Încărcăm partea curentă…

Triunghiul dreptunghic · recapitulare vizuală

Catetele față de unghiul α: sinus, cosinus, tangentă

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă. Față de un unghi ascuțit, cateta opusă este cea care nu atinge vârful unghiului, iar cateta alăturată este cea care pornește din el.

Sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, iar tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată.

βMNPMNMPNP
Față de β, MP este cateta opusă, NP cateta alăturată, MN ipotenuza.

În viața reală

La o scară sprijinită de perete, scara este ipotenuza, iar peretele și podeaua sunt catetele. Regula de siguranță „4 la 1” (piciorul scării la 1 m de perete pentru fiecare 4 m de înălțime) înseamnă tg α = 4, adică un unghi de aproximativ 76° cu podeaua.

De ținut minte

sin α = cateta opusăipotenuză
cos α = cateta alăturatăipotenuză
tg α = cateta opusăcateta alăturată

Exemplu cu alte date

În △MNP dreptunghic în P, unghiul β este în N. Scrie sin β, cos β și tg β.

  1. 1Ipotenuza este MN, opusă unghiului drept din P.
  2. 2Față de N, cateta opusă este MP (nu atinge N), iar cateta alăturată este NP.
  3. 3sin β = MPMN, cos β = NPMN și tg β = MPNP.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Triunghiul dreptunghic · recapitulare vizuală: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Catetele față de unghiul α: sinus, cosinus, tangentă

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă. Față de un unghi ascuțit, cateta opusă este cea care nu atinge vârful unghiului, iar cateta alăturată este cea care pornește din el.

Sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, iar tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată.

  • sin α = cateta opusăipotenuză
  • cos α = cateta alăturatăipotenuză
  • tg α = cateta opusăcateta alăturată

Exemplu cu alte date

În △MNP dreptunghic în P, unghiul β este în N. Scrie sin β, cos β și tg β.

  1. Ipotenuza este MN, opusă unghiului drept din P.
  2. Față de N, cateta opusă este MP (nu atinge N), iar cateta alăturată este NP.
  3. sin β = MPMN, cos β = NPMN și tg β = MPNP.

Unghiurile de 30° și 45°

Când știm ipotenuza și un unghi, cateta opusă lui este ipotenuza înmulțită cu sinusul unghiului. Pentru 30°, sin 30° = 12, deci cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Dacă cele două catete sunt egale, triunghiul este dreptunghic isoscel: unghiurile ascuțite sunt egale și au împreună 90°, deci fiecare are 45°.

  • sin 30° = 12
  • cateta opusă = ipotenuza · sin α
  • catete egale ⇒ unghiuri de 45°

Exemplu cu alte date

În △ABC dreptunghic în C, AB = 14 cm și ∢B = 30°. Cât este AC?

  1. Față de B, AC este cateta opusă: sin 30° = ACAB.
  2. 12 = AC14.
  3. AC = 142 = 7 cm.

Teorema lui Pitagora pe desen

În triunghiul dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Ridicăm catetele la pătrat, le adunăm, apoi extragem radicalul.

Verificare rapidă: ipotenuza iese mai lungă decât fiecare catetă, dar mai scurtă decât suma lor.

  • AB2 = AC2 + BC2
  • AB = AC2 + BC2

Exemplu cu alte date

Catetele sunt AC = 8 cm și BC = 15 cm. Cât este AB?

  1. AB2 = 82 + 152 = 64 + 225.
  2. AB2 = 289.
  3. AB = √289 = 17 cm.

Aria și înălțimea pe ipotenuză

Catetele sunt perpendiculare, deci una este baza și cealaltă înălțimea: aria este produsul catetelor împărțit la 2.

Aceeași arie se scrie și cu ipotenuza ca bază și cu înălțimea h dusă din C: A = AB · h2. Egalăm cele două scrieri și aflăm h.

  • A = AC · BC2
  • A = AB · h2

Exemplu cu alte date

Catetele sunt 9 cm și 12 cm, iar ipotenuza 15 cm. Calculează aria și înălțimea pe ipotenuză.

  1. A = 9 · 122 = 54 cm2.
  2. 54 = 15 · h2, deci 15h = 108.
  3. h = 10815 = 7,2 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (10)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?

    Vezi rezolvarea
    1. Latura opusă vârfului B este AC.
    2. Prin urmare, AC este cateta opusă unghiului α.

    Răspuns: AC

  2. Exercițiul 2

    În desen, care este formula corectă pentru sin α?

    Vezi rezolvarea
    1. Față de α = ∢B, AC este cateta opusă.
    2. AB este ipotenuza.
    3. Rezultă sin α = ACAB.

    Răspuns: ACAB

  3. Exercițiul 3

    În desen, care este formula corectă pentru cos α?

    Vezi rezolvarea
    1. BC este cateta alăturată unghiului α.
    2. AB este ipotenuza.
    3. Așadar, cos α = BCAB.

    Răspuns: BCAB

  4. Exercițiul 4

    În desen, care este formula corectă pentru tg α?

    Vezi rezolvarea
    1. Cateta opusă este AC, iar cea alăturată este BC.
    2. Prin urmare, tg α = ACBC.

    Răspuns: ACBC

  5. Exercițiul 5

    AB = 10 cm și α = 30°. Cât este cateta opusă AC?

    Vezi rezolvarea
    1. sin α = ACAB.
    2. 12 = AC10.
    3. AC = 102 = 5 cm.

    Răspuns: 5 cm

  6. Exercițiul 6

    AC = 6 cm și BC = 8 cm. Care este aria triunghiului?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria = AC · BC2.
    2. Aria = 6 · 82 = 24 cm2.

    Răspuns: 24 cm2

  7. Exercițiul 7

    Aria este 24 cm2, iar ipotenuza AB = 10 cm. Cât este înălțimea pe ipotenuză?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria = AB · h2.
    2. 24 = 10h2 = 5h.
    3. h = 245 = 4,8 cm.

    Răspuns: 4,8 cm

  8. Exercițiul 8

    Dacă AC = BC, ce măsură au unghiurile A și B?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiurile A și B sunt egale deoarece catetele opuse lor sunt egale.
    2. Ele au suma 90°.
    3. Fiecare măsoară 45°.

    Răspuns: 45° și 45°

  9. Exercițiul 9

    AC = 5 cm și BC = 12 cm. Cât este AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = AC2 + BC2.
    2. AB2 = 25 + 144 = 169.
    3. AB = 13 cm.

    Răspuns: 13 cm

  10. Exercițiul 10

    Ce două laturi trebuie înmulțite pentru formula directă a ariei?

    Vezi rezolvarea
    1. AC și BC sunt catetele și sunt perpendiculare.
    2. Aria este AC · BC2.

    Răspuns: AC și BC

Recapitulare rapidă pentru Bac (3)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie sin, cos și tg pentru fiecare dintre cele două unghiuri ascuțite.

    Vezi răspunsul

    În triunghiul ABC dreptunghic în A: sin B = ACBC, cos B = ABBC, tg B = ACAB; sin C = ABBC, cos C = ACBC, tg C = ABAC.

  2. 2. Dificultate medie

    Rezolvă triunghiul dreptunghic cu laturile cunoscute 5 și 12.

    Vezi răspunsul

    Cu catetele 5 și 12, ipotenuza are 25 + 144 = 13. Pentru unghiul opus catetei de 5: sin = 513, cos = 1213, tg = 512; pentru celălalt unghi ascuțit: sin = 1213, cos = 513, tg = 125.

  3. 3. Dificultate medie

    Calculează înălțimea pe ipotenuză folosind două expresii ale ariei.

    Vezi răspunsul

    Aria este c1 · c2 : 2 și tot ipotenuză · h : 2, deci h = c1 · c2 : ipotenuză. Pentru triunghiul 5, 12, 13: h = 6013 ≈ 4,62.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.