M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · TehnologicM4 · Pedagogic⏱ 20–30 min

△

Încărcăm partea curentă…

Pitagora și relații metrice

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ipotenuza și teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai lungă. Celelalte două laturi se numesc catete.

Teorema lui Pitagora: ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor. Ridicăm catetele la pătrat, le adunăm, apoi extragem radicalul.

Ipotenuza AB este opusă unghiului drept din C.

În viața reală

Constructorii verifică un colț drept cu o sfoară cu noduri la 3, 4 și 5 metri: dacă sfoara se întinde exact, colțul este drept, pentru că 3² + 4² = 5².

De ținut minte

c² = a² + b²

Exemplu cu alte date

Catetele sunt 9 cm și 12 cm. Cât este ipotenuza?

1c² = 9² + 12² = 81 + 144.
2c² = 225.
3c = √225 = 15 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Pitagora și relații metrice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Ipotenuza și teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai lungă. Celelalte două laturi se numesc catete.

Teorema lui Pitagora: ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor. Ridicăm catetele la pătrat, le adunăm, apoi extragem radicalul.

c² = a² + b²

Exemplu cu alte date

Catetele sunt 9 cm și 12 cm. Cât este ipotenuza?

c² = 9² + 12² = 81 + 144.
c² = 225.
c = √225 = 15 cm.

Cateta necunoscută

Dacă știm ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând: b² = c² − a².

Scădem pătratele, nu laturile, și extragem radicalul la final.

b² = c² − a²

Exemplu cu alte date

Ipotenuza este 17 cm, iar o catetă 8 cm. Cât este cealaltă catetă?

b² = 17² − 8² = 289 − 64.
b² = 225.
b = 15 cm.

Reciproca: este dreptunghic?

Dacă pătratul laturii celei mai lungi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic. Aceasta este reciproca teoremei lui Pitagora.

Dacă egalitatea nu are loc, triunghiul nu este dreptunghic.

a² + b² = c² ⇒ unghi drept

Exemplu cu alte date

Laturile 7, 24 și 25 formează un triunghi dreptunghic?

7² + 24² = 49 + 576 = 625.
25² = 625.
Egalitatea are loc, deci triunghiul este dreptunghic.

Mediana pe ipotenuză și unghiul de 30°

Mediana dusă la ipotenuză are jumătate din ipotenuză: m = c2. Invers, ipotenuza este dublul acestei mediane.

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, cateta opusă acestui unghi are jumătate din ipotenuză.

m = c2
cateta opusă lui 30° = c2

Exemplu cu alte date

Ipotenuza este 18 cm, iar un unghi ascuțit are 30°. Cât au mediana la ipotenuză și cateta opusă lui 30°?

Mediana la ipotenuză: 182 = 9 cm.
Cateta opusă lui 30°: tot 182 = 9 cm.
Ambele au 9 cm.

Relații metrice: înălțimea și proiecțiile

Înălțimea pe ipotenuză o împarte în două bucăți, numite proiecțiile catetelor, p și q. Înălțimea la pătrat este produsul lor: h² = p·q.

O catetă la pătrat este ipotenuza înmulțită cu proiecția acelei catete: a² = c·p.

h² = p·q
a² = c·p

Exemplu cu alte date

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 8 cm. Cât sunt ipotenuza și înălțimea?

Ipotenuza este p + q = 10 cm.
h² = 2·8 = 16.
h = 4 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
În triunghiul dreptunghic din desen, care este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul drept este în C.
2. Latura opusă lui C este AB.
3. AB este ipotenuza.
Răspuns: AB
Exercițiul 2
Care este formula lui Pitagora pentru triunghiul ABC dreptunghic în C?
Vezi rezolvarea
1. AB este ipotenuza.
2. AC și BC sunt catetele.
3. Formula corectă este AB² = AC² + BC².
Răspuns: AB² = AC² + BC²
Exercițiul 3
Catetele sunt 3 cm și 4 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. c² = 3² + 4² = 9 + 16.
2. c² = 25.
3. c = √25 = 5 cm.
Răspuns: 5 cm
Exercițiul 4
Catetele sunt 5 cm și 12 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. c² = 5² + 12².
2. c² = 25 + 144 = 169.
3. c = 13 cm.
Răspuns: 13 cm
Exercițiul 5
Ipotenuza este 10 cm, iar o catetă este 6 cm. Cealaltă catetă este:
Vezi rezolvarea
1. b² = 10² − 6².
2. b² = 100 − 36 = 64.
3. b = 8 cm.
Răspuns: 8 cm
Exercițiul 6
Laturile 8 cm, 15 cm și 17 cm formează un triunghi dreptunghic?
Vezi rezolvarea
1. 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
2. 17² = 289.
3. Egalitatea confirmă, prin reciproca lui Pitagora, că triunghiul este dreptunghic.
Răspuns: Da
Exercițiul 7
Laturile 6 cm, 8 cm și 11 cm formează un triunghi dreptunghic?
Vezi rezolvarea
1. 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
2. 11² = 121.
3. Deoarece 100 ≠ 121, triunghiul nu este dreptunghic.
Răspuns: Nu
Exercițiul 8
Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă la ipotenuza de 14 cm are lungimea:
Vezi rezolvarea
1. Mediana la ipotenuză este jumătate din ipotenuză.
2. m = 142.
3. m = 7 cm.
Răspuns: 7 cm
Exercițiul 9
Mediana la ipotenuză măsoară 6 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. m = c2.
2. De aici c = 2m.
3. c = 2·6 = 12 cm.
Răspuns: 12 cm
Exercițiul 10
Înălțimea pe ipotenuză o împarte în segmente p = 4 cm și q = 9 cm. Cât este h?
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm h² = p·q.
2. h² = 4·9 = 36.
3. h = 6 cm.
Răspuns: 6 cm
Exercițiul 11
Ipotenuza este c = 25 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză este p = 9 cm. Cateta este:
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm a² = c·p.
2. a² = 25·9 = 225.
3. a = √225 = 15 cm.
Răspuns: 15 cm
Exercițiul 12
Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit este 30°, iar ipotenuza este 10 cm. Cateta opusă unghiului de 30° este:
Vezi rezolvarea
1. În triunghiul de 30°–60°–90°, cateta opusă lui 30° este c2.
2. Calculăm 102.
3. Rezultatul este 5 cm.
Răspuns: 5 cm
Exercițiul 13
Rezolvă singur: catetele sunt 6 cm și 8 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. c² = 36 + 64 = 100.
2. c = √100.
3. c = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 14
Rezolvă singur: ipotenuza este 13 cm, iar o catetă este 12 cm. Află cealaltă catetă.
Vezi rezolvarea
1. a² = 13² − 12².
2. a² = 169 − 144 = 25.
3. a = 5 cm.
Răspuns: 5

Exerciții de la recunoaștere la rezolvare (14)

1. Pornim ușor
În triunghiul dreptunghic din desen, care este ipotenuza?
Vezi răspunsul
Latura opusă unghiului drept (cea mai lungă).
2. Pornim ușor
Care este formula lui Pitagora pentru triunghiul ABC dreptunghic în C?
Vezi răspunsul
AB² = AC² + BC² (ipotenuza AB este opusă unghiului drept din C).
3. Pornim ușor
Catetele sunt 3 cm și 4 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi răspunsul
9 + 16 = 5 cm
4. Pornim ușor
Catetele sunt 5 cm și 12 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi răspunsul
25 + 144 = 13 cm
5. Pornim ușor
Ipotenuza este 10 cm, iar o catetă este 6 cm. Cealaltă catetă este:
Vezi răspunsul
100 − 36 = 8 cm
6. Consolidare
Laturile 8 cm, 15 cm și 17 cm formează un triunghi dreptunghic?
Vezi răspunsul
Da: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².
7. Consolidare
Laturile 6 cm, 8 cm și 11 cm formează un triunghi dreptunghic?
Vezi răspunsul
Nu: 6² + 8² = 100, iar 11² = 121.
8. Consolidare
Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă la ipotenuza de 14 cm are lungimea:
Vezi răspunsul
14 : 2 = 7 cm
9. Consolidare
Mediana la ipotenuză măsoară 6 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi răspunsul
2 · 6 = 12 cm
10. Consolidare
Înălțimea pe ipotenuză o împarte în segmente p = 4 cm și q = 9 cm. Cât este h?
Vezi răspunsul
h = p · q = √36 = 6 cm
11. Consolidare
Ipotenuza este c = 25 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză este p = 9 cm. Cateta este:
Vezi răspunsul
p · c = 9 · 25 = 15 cm
12. Consolidare
Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit este 30°, iar ipotenuza este 10 cm. Cateta opusă unghiului de 30° este:
Vezi răspunsul
10 : 2 = 5 cm
13. Rezolvi singur
Rezolvă singur: catetele sunt 6 cm și 8 cm. Cât este ipotenuza?
Vezi răspunsul
36 + 64 = 10 cm
14. Rezolvi singur
Rezolvă singur: ipotenuza este 13 cm, iar o catetă este 12 cm. Află cealaltă catetă.
Vezi răspunsul
169 − 144 = 5 cm