M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · TehnologicM4 · Pedagogic⏱ 20–30 min

△

Încărcăm partea curentă…

Arii, asemănare și probleme complete

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Aria cu baza și înălțimea

Aria unui triunghi este baza ori înălțimea corespunzătoare, împărțit la 2. Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă.

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este baza, iar cealaltă înălțimea.

În viața reală

Un dreptunghi tăiat pe diagonală dă două triunghiuri la fel de mari: fiecare are jumătate din aria dreptunghiului, de aici împărțirea la 2.

De ținut minte

A = b·h2

dreptunghic: A = a·b2

Exemplu cu alte date

Un triunghi are baza 12 cm și înălțimea 7 cm. Cât este aria?

1A = 12·72.
212·7 = 84.
3A = 842 = 42 cm².

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Arii, asemănare și probleme complete: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Aria cu baza și înălțimea

Aria unui triunghi este baza ori înălțimea corespunzătoare, împărțit la 2. Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă.

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este baza, iar cealaltă înălțimea.

A = b·h2
dreptunghic: A = a·b2

Exemplu cu alte date

Un triunghi are baza 12 cm și înălțimea 7 cm. Cât este aria?

A = 12·72.
12·7 = 84.
A = 842 = 42 cm².

Aria triunghiului echilateral

Într-un triunghi echilateral cu latura a, înălțimea este a√32. Înlocuind în b·h2 obținem o formulă directă.

Ridicăm latura la pătrat, înmulțim cu √3 și împărțim la 4.

A = a²√34
h = a√32

Exemplu cu alte date

Cât este aria unui triunghi echilateral cu latura 8 cm?

A = 8²√34.
8² = 64, deci A = 64√34.
A = 16√3 cm².

Formula lui Heron și formula cu sinus

Când știm toate cele trei laturi, folosim formula lui Heron: calculăm semiperimetrul s, apoi aria ca radical din s(s − a)(s − b)(s − c).

Când știm două laturi și unghiul dintre ele, folosim A = ab·sin C2.

s = a + b + c2
A = s(s−a)(s−b)(s−c)
A = ab·sin C2

Exemplu cu alte date

Două laturi au 6 cm și 10 cm, iar unghiul dintre ele are 30°. Cât este aria?

A = 6·10·sin 30°2.
sin 30° = 12, deci 60·(12) = 30.
A = 302 = 15 cm².

Asemănare și arii

Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu raportul laturilor k, raportul ariilor este k²: ariile cresc mai repede decât laturile.

Linia mijlocie formează un triunghi mic asemenea cu cel mare, cu raportul 12, deci cu aria de 4 ori mai mică.

raportul ariilor = k²

Exemplu cu alte date

Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor 3. De câte ori este mai mare aria celui mare?

Raportul de asemănare este k = 3.
Raportul ariilor este k² = 9.
Aria triunghiului mare este de 9 ori mai mare.

Mediana și înălțimea în triunghiul isoscel

O mediană împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale: au baze egale și aceeași înălțime.

În triunghiul isoscel, înălțimea din vârf cade în mijlocul bazei. Ea formează două triunghiuri dreptunghice, în care aflăm înălțimea cu Pitagora.

mediana: două arii egale
isoscel: h² = latura² − (baza/2)²

Exemplu cu alte date

Un triunghi isoscel are baza 16 cm și laturile egale de 10 cm. Cât este aria?

Înălțimea împarte baza în 8 și 8.
h² = 10² − 8² = 36, deci h = 6 cm.
A = 16·62 = 48 cm².

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care este formula ariei unui triunghi cu baza b și înălțimea h?
Vezi rezolvarea
1. Alegem o bază și înălțimea perpendiculară pe ea.
2. Înmulțim b·h.
3. Împărțim la 2: A = b·h2.
Răspuns: A = b·h2
Exercițiul 2
Baza este 10 cm, iar înălțimea este 6 cm. Aria este:
Vezi rezolvarea
1. A = 10·62.
2. 10·6 = 60.
3. 602 = 30 cm².
Răspuns: 30 cm²
Exercițiul 3
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm și 8 cm. Aria este:
Vezi rezolvarea
1. O catetă este baza, iar cealaltă este înălțimea.
2. A = 6·82.
3. A = 24 cm².
Răspuns: 24 cm²
Exercițiul 4
Care este formula ariei triunghiului echilateral de latură a?
Vezi rezolvarea
1. Înălțimea echilateralului este h = a√32.
2. A = a·h2.
3. Rezultă A = a²√34.
Răspuns: a²√34
Exercițiul 5
Aria unui triunghi echilateral cu latura 4 cm este:
Vezi rezolvarea
1. A = 4²√34.
2. A = 16√34.
3. A = 4√3 cm².
Răspuns: 4√3 cm²
Exercițiul 6
Un triunghi are laturile 3 cm, 4 cm și 5 cm. Folosind formula lui Heron, aria este:
Vezi rezolvarea
1. s = 3 + 4 + 52 = 6.
2. A = 6·3·2·1 = √36.
3. A = 6 cm².
Răspuns: 6 cm²
Exercițiul 7
Dacă știm două laturi a, b și unghiul C dintre ele, ce formulă folosim pentru arie?
Vezi rezolvarea
1. Înălțimea corespunzătoare este b·sin C.
2. A = a·b·sin C2.
3. Deci A = ab·sin C2.
Răspuns: A = ab·sin C2
Exercițiul 8
Două laturi au 8 cm și 5 cm, iar unghiul dintre ele este 30°. Aria este:
Vezi rezolvarea
1. A = 8·5·sin30°2.
2. sin30° = 12.
3. A = 40·122 = 10 cm².
Răspuns: 10 cm²
Exercițiul 9
Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor 2. Raportul ariilor este:
Vezi rezolvarea
1. Raportul de asemănare este k = 2.
2. Raportul ariilor este k².
3. k² = 2² = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 10
O mediană împarte un triunghi în două triunghiuri cu arii:
Vezi rezolvarea
1. Mediana împarte baza în două segmente egale.
2. Cele două triunghiuri au aceeași înălțime din vârful A.
3. Ariile lor sunt egale.
Răspuns: Egale
Exercițiul 11
MN este linie mijlocie. Raportul ariilor A(AMN) : A(ABC) este:
Vezi rezolvarea
1. MN = BC2, deci raportul de asemănare este 12.
2. Raportul ariilor este pătratul acestuia.
3. (12)² = 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 12
Un triunghi isoscel are baza 10 cm și laturile egale de 13 cm. Aria este:
Vezi rezolvarea
1. În jumătate de triunghi, h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
2. h = 12 cm.
3. A = 10·122 = 60 cm².
Răspuns: 60 cm²
Exercițiul 13
Rezolvă singur: baza este 14 cm și înălțimea 9 cm. Calculează aria.
Vezi rezolvarea
1. A = b·h2.
2. A = 14·92 = 1262.
3. A = 63 cm².
Răspuns: 63
Exercițiul 14
Rezolvă singur: un triunghi echilateral are latura 6 cm. Calculează aria.
Vezi rezolvarea
1. A = 6²√34.
2. A = 36√34.
3. A = 9√3 cm².
Răspuns: 9√3

Exerciții de la recunoaștere la rezolvare (14)

1. Pornim ușor
Care este formula ariei unui triunghi cu baza b și înălțimea h?
Vezi răspunsul
A = b · h2
2. Pornim ușor
Baza este 10 cm, iar înălțimea este 6 cm. Aria este:
Vezi răspunsul
10 · 6 : 2 = 30 cm²
3. Pornim ușor
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm și 8 cm. Aria este:
Vezi răspunsul
6 · 8 : 2 = 24 cm²
4. Pornim ușor
Care este formula ariei triunghiului echilateral de latură a?
Vezi răspunsul
A = a²√34
5. Pornim ușor
Aria unui triunghi echilateral cu latura 4 cm este:
Vezi răspunsul
16√34 = 4√3 cm²
6. Consolidare
Un triunghi are laturile 3 cm, 4 cm și 5 cm. Folosind formula lui Heron, aria este:
Vezi răspunsul
p = 6, deci A = 6 · 3 · 2 · 1 = 6 cm².
7. Consolidare
Dacă știm două laturi a, b și unghiul C dintre ele, ce formulă folosim pentru arie?
Vezi răspunsul
A = a · b · sin C2
8. Consolidare
Două laturi au 8 cm și 5 cm, iar unghiul dintre ele este 30°. Aria este:
Vezi răspunsul
(12) · 8 · 5 · sin 30° = 10 cm²
9. Consolidare
Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor 2. Raportul ariilor este:
Vezi răspunsul
2² = 4
10. Consolidare
O mediană împarte un triunghi în două triunghiuri cu arii:
Vezi răspunsul
Egale (au baze egale și aceeași înălțime).
11. Consolidare
MN este linie mijlocie. Raportul ariilor A(AMN) : A(ABC) este:
Vezi răspunsul
14
12. Consolidare
Un triunghi isoscel are baza 10 cm și laturile egale de 13 cm. Aria este:
Vezi răspunsul
Înălțimea pe bază: 169 − 25 = 12 cm, deci aria = 10 · 12 : 2 = 60 cm².
13. Rezolvi singur
Rezolvă singur: baza este 14 cm și înălțimea 9 cm. Calculează aria.
Vezi răspunsul
14 · 9 : 2 = 63 cm²
14. Rezolvi singur
Rezolvă singur: un triunghi echilateral are latura 6 cm. Calculează aria.
Vezi răspunsul
36√34 = 9√3 cm²