Cerc înscris, cerc circumscris și segmente importante

După ce stăpânim liniile importante, putem înțelege de unde apar centrele I și O, razele r și R și formulele de arie folosite la Bac.

Nu confunda r cu R: r aparține cercului înscris și măsoară distanța până la laturi; R aparține cercului circumscris și măsoară distanța până la vârfuri.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

OA = OB = OC = R.

Cercul înscris și cercul circumscris

A = r·s

A = abc4R

R = a2sin A

În triunghi dreptunghic: R = c2 și r = a+b−c2

I este intersecția bisectoarelor; distanța sa la fiecare latură este r.
O este intersecția mediatoarelor; OA = OB = OC = R.
Aria cercului înscris este πr²; aria cercului circumscris este πR².

Segmente și teoreme avansate

m_a = 12·2b² + 2c² − a²

Ceva: produsul rapoartelor = 1

Menelaus: produsul rapoartelor = 1 pentru puncte coliniare

Triunghiul 3–4–5

Calculăm r și R.

1.A = 3·42 = 6 și s = 6, deci r = As = 1.
2.Fiind dreptunghic, R = c2 = 52.
3.Ariile cercurilor sunt π și 25π4.

Verifică-te singur · cu răspunsuriExerciții de la recunoaștere la rezolvare · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim ușorM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Cum găsim centrul O al cercului circumscris unui triunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
La intersecția mediatoarelor laturilor.
Ex. 2Pornim ușorM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Cum găsim centrul I al cercului înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
La intersecția bisectoarelor unghiurilor.
Ex. 3Pornim ușorM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 10 cm. Raza cercului circumscris este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R = 10 : 2 = 5 cm (jumătate din ipotenuză)
Ex. 4Pornim ușorM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm, 8 cm și ipotenuza 10 cm. Raza cercului înscris este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = (6 + 8 − 10) : 2 = 2 cm (sau As = 2412)
Ex. 5Pornim ușorM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Ce formulă leagă aria A, raza cercului înscris r și semiperimetrul s?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = r · s
Ex. 6ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Pentru triunghiul 3–4–5, aria este 6 cm² și semiperimetrul este 6 cm. Cât este r?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = As = 66 = 1 cm
Ex. 7ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Ce formulă leagă aria A, laturile a, b, c și raza cercului circumscris R?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = abc4R, adică R = abc4A.
Ex. 8ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Pentru triunghiul 3–4–5, A = 6 cm². Cât este raza R?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R = 3 · 4 · 5 : (4 · 6) = 6024 = 2,5 cm
Ex. 9ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Dacă raza cercului circumscris este R = 5 cm, aria cercului este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
πR² = 25π cm²
Ex. 10ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Dacă raza cercului înscris este r = 3 cm, aria cercului este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
πr² = 9π cm²
Ex. 11ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Într-un triunghi echilateral, care este relația dintre R și r?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R = 2r
Ex. 12ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Un triunghi echilateral are latura 6 cm. Cât este raza cercului înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = a√36 = 6√36 = √3 cm
Ex. 13ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Care formulă calculează mediana m_a din laturile a, b, c?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m_a² = 2b² + 2c² − a²4
Ex. 14ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Trei ceviene AD, BE și CF sunt concurente. Ce relație exprimă teorema lui Ceva?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(BDDC) · (CEEA) · (AFFB) = 1
Ex. 15ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
O dreaptă taie laturile (sau prelungirile) unui triunghi în D, E și F. Ce verifică teorema lui Menelaus?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(BDDC) · (CEEA) · (AFFB) = 1 (în lungimi; cu segmente orientate, produsul este −1).
Ex. 16Rezolvi singurM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Rezolvă singur: un triunghi dreptunghic are ipotenuza 13 cm. Cât este R?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R = 13 : 2 = 6,5 cm
Ex. 17Rezolvi singurM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Rezolvă singur: raza cercului înscris este 2 cm. Care este aria acestui cerc?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
π · 2² = 4π cm²