Cerc înscris, cerc circumscris și segmente importante
Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Centrele: O din mediatoare, I din bisectoare
Centrul O al cercului circumscris trece prin toate vârfurile, deci este la aceeași distanță R de A, B și C. Punctele egal depărtate de două vârfuri stau pe mediatoarea segmentului dintre ele, așa că O este intersecția mediatoarelor.
Centrul I al cercului înscris atinge toate laturile, deci este la aceeași distanță r de ele. Punctele egal depărtate de laturile unui unghi stau pe bisectoarea lui, așa că I este intersecția bisectoarelor.
OA = OB = OC = R.
🌍 În viața reală
Dacă vrei să amplasezi o antenă la aceeași distanță de trei sate, o pui în centrul cercului circumscris al triunghiului format de sate, adică la intersecția mediatoarelor.
🧮 De ținut minte
O = intersecția mediatoarelor, OA = OB = OC = R
I = intersecția bisectoarelor, distanța la laturi = r
✏️Exemplu cu alte date
Punctul P este la 4 cm de A și la 4 cm de B. Pe ce linie a triunghiului ABC se află P?
1P este egal depărtat de capetele segmentului AB.
2Punctele egal depărtate de A și B formează mediatoarea lui AB.
3Deci P este pe mediatoarea lui AB; dacă ar fi la aceeași distanță și de C, P ar fi chiar O.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Cerc înscris, cerc circumscris și segmente importante: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.
Centrele: O din mediatoare, I din bisectoare
Centrul O al cercului circumscris trece prin toate vârfurile, deci este la aceeași distanță R de A, B și C. Punctele egal depărtate de două vârfuri stau pe mediatoarea segmentului dintre ele, așa că O este intersecția mediatoarelor.
Centrul I al cercului înscris atinge toate laturile, deci este la aceeași distanță r de ele. Punctele egal depărtate de laturile unui unghi stau pe bisectoarea lui, așa că I este intersecția bisectoarelor.
O = intersecția mediatoarelor, OA = OB = OC = R
I = intersecția bisectoarelor, distanța la laturi = r
Exemplu cu alte date
Punctul P este la 4 cm de A și la 4 cm de B. Pe ce linie a triunghiului ABC se află P?
P este egal depărtat de capetele segmentului AB.
Punctele egal depărtate de A și B formează mediatoarea lui AB.
Deci P este pe mediatoarea lui AB; dacă ar fi la aceeași distanță și de C, P ar fi chiar O.
Triunghiul dreptunghic: cele două raze
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei: ipotenuza este un diametru, deci R este jumătate din ea.
Raza cercului înscris se află din catetele a, b și ipotenuza c: adunăm catetele, scădem ipotenuza și împărțim la 2.
R = c2
r = a + b − c2
Exemplu cu alte date
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm, 12 cm și ipotenuza 15 cm. Calculează R și r.
R = c2 = 152 = 7,5 cm.
a + b − c = 9 + 12 − 15 = 6.
r = 62 = 3 cm.
Aria și raza cercului înscris
Unim centrul I cu vârfurile: triunghiul se împarte în trei triunghiuri mici, fiecare cu o latură ca bază și cu înălțimea r.
Adunând cele trei arii obținem A = r·s, unde s este semiperimetrul, jumătate din perimetru. De aici r = As.
A = r·s
s = a + b + c2
r = As
Exemplu cu alte date
Un triunghi are laturile 5 cm, 5 cm, 6 cm și aria 12 cm2. Calculează r.
s = 5 + 5 + 62 = 8 cm.
r = As = 128.
r = 32 = 1,5 cm.
Aria și raza cercului circumscris
Formula A = abc4R leagă aria de cele trei laturi și de raza cercului circumscris. Când cunoaștem laturile și aria, o întoarcem: R = abc4A.
Calculăm separat produsul laturilor de sus și 4A de jos, apoi împărțim.
A = abc4R
R = abc4A
Exemplu cu alte date
Triunghiul cu laturile 8 cm, 15 cm, 17 cm are aria 60 cm2. Calculează R.
abc = 8 · 15 · 17 = 2040.
4A = 4 · 60 = 240.
R = 2040240 = 8,5 cm, adică jumătate din 17, ipotenuza.
Aria unui cerc: πR2 și πr2
Aria unui cerc este π înmulțit cu raza la pătrat. Pentru cercul circumscris folosim R, iar pentru cercul înscris folosim r.
Nu confunda aria cercului cu lungimea lui, 2πR, și nici cu aria triunghiului.
Acerc = πR2
L = 2πR
Exemplu cu alte date
Raza cercului circumscris unui triunghi este R = 7 cm. Cât este aria cercului?
Acerc = πR2.
R2 = 72 = 49.
Acerc = 49π cm2.
Triunghiul echilateral: R = 2r
În triunghiul echilateral, medianele, înălțimile, bisectoarele și mediatoarele coincid, deci O și I sunt același punct, centrul de greutate.
Acest centru împarte fiecare înălțime în două bucăți, 2 la 1: până la vârf este R = 2h3, iar până la latură este r = h3. De aceea R = 2r.
h = a√32
r = h3
R = 2h3 = 2r
Exemplu cu alte date
Un triunghi echilateral are latura 12 cm. Calculează r și R.
h = 12√32 = 6√3 cm.
r = h3 = 2√3 cm.
R = 2r = 4√3 cm.
Mediana, teorema lui Ceva și teorema lui Menelaus
Mediana din A se află din cele trei laturi: 4ma2 = 2b2 + 2c2 − a2. Calculăm partea dreaptă, extragem radicalul și împărțim la 2.
Teorema lui Ceva spune când trei segmente duse din vârfuri la laturile opuse trec prin același punct: produsul rapoartelor de pe laturi este 1. Teorema lui Menelaus spune când trei puncte de pe laturi sau de pe prelungiri sunt pe aceeași dreaptă, tot printr-un produs de rapoarte egal cu 1.