M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 45–60 min

○

Încărcăm partea curentă…

Nivelul 1 · cercul trigonometric și cadranele

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Un unghi devine un punct: cos pe Ox, sin pe Oy

Pornim de la O, centrul unui cerc de rază 1. Raza începe pe partea pozitivă a axei Ox și se rotește cu unghiul α. Pentru un unghi pozitiv rotim în sens invers acelor de ceasornic. Capătul razei este M.

M are două coordonate: prima spune poziția stânga–dreapta și se numește abscisă, a doua spune poziția sus–jos și se numește ordonată. Cosinusul este prima coordonată, sinusul a doua. Nu sunt lungimea arcului și nici măsura unghiului.

O tură completă este 360° = 2π radiani. O jumătate de tură este 180° = π radiani. Ca să treci de la πn la grade, împarți 180 la n. Înainte de exerciții, păstrează la vedere tabelul de mai jos; nu trebuie să îl ghicești.

M · α = 30°

Cercul are raza 1. Urmărește unghiul, poziția punctului și proiecțiile pe axe; valorile exacte se calculează, nu se măsoară.

Pornim de pe semiaxa pozitivă Ox. Unghiul de 30° se măsoară în sens invers acelor de ceasornic pentru valori pozitive; unghiurile negative merg în sensul acelor de ceasornic.

Desen · 1/4

De ținut minte

M(cos α; sin α)

0°: sin = 0, cos = 1

30°: sin = 12, cos = √32

45°: sin = √22, cos = √22

60°: sin = √32, cos = 12

90°: sin = 1, cos = 0

π rad = 180°

Exemplu rezolvat · alte date

Ce unghi în grade este π6 și ce coordonate are punctul lui?

1Recunoaștem unitatea: enunțul folosește radiani, nu grade.
2Înlocuim π radiani cu 180°: π6 înseamnă 180°6.
3Calculăm o singură împărțire: 180 : 6 = 30.
4Unghiul este 30°, între 0° și 90°, în cadranul I.
5Din tabel: cos30° = √32. Acesta este x, coordonata orizontală.
6Din tabel: sin30° = 12. Acesta este y, coordonata verticală.
7Scriem M(√32; 12), în ordinea cosinus, sinus.
8Ambele coordonate sunt pozitive, așa cum arată poziția din cadranul I.

Greșeală frecventă

Greșit: M(sin α; cos α)

De ce: Ordinea se inversează. Prima coordonată este pe Ox, deci cosinusul; a doua este pe Oy, deci sinusul.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 1 · cercul trigonometric și cadranele: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un desen simplu, o idee explicată, un exemplu cu alte date și trei exerciții în pași mici. Poți lucra integral pe ecran, cu rezultatele intermediare păstrate.

Un unghi devine un punct: cos pe Ox, sin pe Oy

M(cos α; sin α)
0°: sin = 0, cos = 1
30°: sin = 12, cos = √32
45°: sin = √22, cos = √22
60°: sin = √32, cos = 12
90°: sin = 1, cos = 0
π rad = 180°

Exemplu rezolvat · alte date

Ce unghi în grade este π6 și ce coordonate are punctul lui?

Recunoaștem unitatea: enunțul folosește radiani, nu grade.
Înlocuim π radiani cu 180°: π6 înseamnă 180°6.
Calculăm o singură împărțire: 180 : 6 = 30.
Unghiul este 30°, între 0° și 90°, în cadranul I.
Din tabel: cos30° = √32. Acesta este x, coordonata orizontală.
Din tabel: sin30° = 12. Acesta este y, coordonata verticală.
Scriem M(√32; 12), în ordinea cosinus, sinus.
Ambele coordonate sunt pozitive, așa cum arată poziția din cadranul I.

Greșeală frecventă: M(sin α; cos α) Ordinea se inversează. Prima coordonată este pe Ox, deci cosinusul; a doua este pe Oy, deci sinusul.

Semnul se citește din poziție, nu din mărimea unghiului

Axele împart planul în patru cadrane. Le numărăm de la dreapta-sus, în sens invers acelor de ceasornic. În dreapta, abscisa este pozitivă; în stânga este negativă. Deasupra, ordonata este pozitivă; dedesubt este negativă.

Pentru cosinus te uiți pe orizontală, pentru sinus pe verticală. În I sunt ambele pozitive; în II cos este negativ și sin pozitiv; în III sunt ambele negative; în IV cos este pozitiv și sin negativ. Pe axe, una dintre valori este zero: nu alegem un cadran pentru 90°, 180° sau 270°.

Unghiul de referință este unghiul mic cu axa Ox. În cadranul III îl afli scăzând 180° din unghi. Referința ajută la valoare, dar semnul vine tot din poziția punctului inițial.

I: 0° < α < 90°
II: 90° < α < 180°
III: 180° < α < 270°
IV: 270° < α < 360°

Exemplu rezolvat · alte date

În ce cadran este 200°, care sunt semnele și unghiul de referință?

Comparăm cu granițele: 180° < 200° < 270°.
Punctul este în cadranul III, în stânga și sub origine.
Stânga înseamnă x < 0, deci cos200° < 0.
Jos înseamnă y < 0, deci sin200° < 0.
Pentru referință scădem granița de 180°: 200° − 180° = 20°.
20° este doar referința; punctul inițial rămâne în cadranul III.
Nu avem nevoie de valori exacte ca să stabilim semnele.

Greșeală frecventă: Unghi pozitiv ⇒ sin și cos pozitive Unghiul descrie rotirea. Semnele sunt ale coordonatelor punctului final, nu ale numărului care măsoară rotirea.

Reducerea în cadranul II: păstrezi sinusul, schimbi cosinusul

În cadranul II, unghiul are forma 180° − β, cu β ascuțit. Referința β se obține calculând 180° minus unghiul dat. Punctul este oglindit față de Oy: înălțimea rămâne aceeași, dar poziția orizontală își schimbă semnul.

Citești valoarea funcției la β din tabel, apoi îi pui semnul din cadranul II. Nu schimbi sinusul în cosinus: reduci unghiul, nu numele funcției.

sin(180° − β) = sin β
cos(180° − β) = −cos β

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează cos120°.

120° este între 90° și 180°, deci în cadranul II.
Referința este 180° − 120° = 60°.
Căutăm în tabel aceeași funcție: cos60° = 12.
În cadranul II, punctul este în stânga originii.
Cosinusul este abscisa, deci trebuie să fie negativ.
Punem minus valorii din tabel: cos120° = −12.
Verificăm plauzibilitatea: valoarea este între −1 și 0.

Greșeală frecventă: cos120° = sin60° Reducerea cu 180° păstrează funcția. La cosinus schimbi doar semnul, nu îl înlocuiești cu sinusul.

Reducerea în III și IV: întâi referința, apoi semnul

În cadranul III, α = 180° + β: scazi 180° ca să afli β, iar sin și cos sunt negative. În cadranul IV, α = 360° − β: scazi α din 360°; sin este negativ, cos pozitiv.

Rezolvarea are trei sarcini separate: găsești β, citești valoarea din tabel, alegi semnul. Nu este nevoie să memorezi un tabel nou pentru fiecare cadran.

III: β = α − 180°
IV: β = 360° − α
sin(180° + β) = −sin β
cos(360° − β) = cos β

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează sin240°.

240° se află între 180° și 270°, în cadranul III.
Referința este 240° − 180° = 60°.
În tabel, sin60° = √32.
În cadranul III punctul este sub Ox, deci ordonata este negativă.
Sinusul este ordonata: îi punem minus.
Rezultă sin240° = −√32.
Nu am folosit cos60° și nu am schimbat funcția.

Greșeală frecventă: Pentru 300° referința este 300° − 180° 300° este în IV. Referința este distanța unghiulară până la 360°, deci scazi 300 din 360.

Unghiuri negative: oglindirea față de Ox

Pentru −α rotim în sensul acelor de ceasornic. Punctul se oglindește față de Ox comparativ cu punctul pentru α: abscisa rămâne la fel, ordonata își schimbă semnul.

De aceea cos(−α) = cos α, iar sin(−α) = −sin α. Minusul din unghi nu produce automat minus la orice funcție. Înainte de calcul, alege dacă se cere sinus sau cosinus.

cos(−α) = cos α
sin(−α) = −sin α

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează cos(−45°).

Enunțul cere cosinusul unui unghi negativ.
Cosinusul este coordonata orizontală a punctului.
Oglindirea față de Ox schimbă sus sau jos, dar nu stânga sau dreapta.
Aplicăm cos(−45°) = cos45°.
Din tabel, cos45° = √22.
Rezultatul este pozitiv: cos(−45°) = √22.
Verificare pe desen: punctul pentru −45° este în IV, unde cosinusul este pozitiv.

Greșeală frecventă: cos(−45°) = −cos45° Cosinusul este par: abscisa nu se schimbă la oglindirea față de Ox. Numai sinusul își schimbă semnul.

Ture complete: reduci unghiul înainte de tabel

O tură de 360° aduce raza înapoi în aceeași poziție. Sinusul și cosinusul se repetă: poți scădea 360° de câte ori este nevoie, până obții un unghi între 0° și 360°.

După reducere, citești unghiul mic din tabel sau din poziția pe axe. La 180°, punctul este (−1; 0); la 0° și 360°, este (1; 0). Pe axe nu atribuim un cadran și nu presupunem că ambele funcții sunt nenule.

sin(α + 360°) = sin α
cos(α + 360°) = cos α
180°: cos = −1, sin = 0
270°: cos = 0, sin = −1

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează sin450°.

450° depășește o tură completă.
Scădem o tură: 450° − 360° = 90°.
Punctul final este același ca la 90°.
La 90° punctul este sus, pe Oy, cu coordonatele (0; 1).
Sinusul este a doua coordonată, adică 1.
Prin periodicitate, sin450° = 1.
Nu împărțim unghiul la 360° pentru a afla valoarea sinusului.

Greșeală frecventă: cos540° = cos180° = 0 La 180° abscisa este −1; zero este ordonata. Nu inversa funcțiile.

Dincolo de tabel: o sumă sau o diferență, în pași mici

75° și 15° nu sunt în tabelul de bază. Le scriem ca 45° + 30° și 45° − 30°. Formula combină două produse; nu este sin(a+b) = sin a + sin b.

La sinus păstrezi semnul sumei sau diferenței. La cosinus, semnul dintre produse este invers. Înlocuiești fiecare valoare din tabel, calculezi separat produsele, apoi aduni sau scazi fracțiile cu același numitor.

Un produs de radicali se poate reuni: √2·√3 = √6. O sumă de radicali diferiți nu se reunește: √6 + √2 rămâne așa. Pe ecran păstrăm ambele produse până la rezultatul final.

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează cos105°, folosind 105° = 60° + 45°.

105° nu este în tabel; îl scriem 60° + 45°.
Alegem formula cosinusului sumei: cos60°cos45° − sin60°sin45°.
Din tabel, cos60° = 12 și cos45° = √22.
Primul produs este (12)(√22) = √24.
Din tabel, sin60° = √32 și sin45° = √22.
Al doilea produs este (√32)(√22) = √64.
Scădem fracțiile cu numitorul 4: cos105° = √2 − √64.
√6 este mai mare decât √2, deci rezultatul este negativ.
Semnul se potrivește cu cadranul II al unghiului de 105°.

Greșeală frecventă: sin75° = sin45° + sin30° Sinusul nu se distribuie peste adunare. Formula corectă are două produse, sin·cos și cos·sin.

Exerciții rezolvate din lecție (21)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Pe cercul trigonometric, cos α reprezintă:
Vezi rezolvarea
1. Punctul M asociat unghiului α are coordonatele M(cos α, sin α).
2. Prima coordonată este abscisa.
3. Așadar cos α este abscisa punctului.
Răspuns: Abscisa punctului
Exercițiul 2
Pe cercul trigonometric, sin α reprezintă:
Vezi rezolvarea
1. Punctul M are coordonatele (cos α, sin α).
2. A doua coordonată este ordonata.
3. Așadar sin α este ordonata punctului.
Răspuns: Ordonata punctului
Exercițiul 3
Unghiul de π3 radiani are în grade:
Vezi rezolvarea
1. Conversia este grade = radiani·180°π.
2. (π3)·180°π=60°.
3. Așadar π3 rad = 60°.
Răspuns: 60°
Exercițiul 4
În cadranul al II-lea, semnele lui sin α și cos α sunt:
Vezi rezolvarea
1. În cadranul II, ordonata este pozitivă, deci sin α > 0.
2. Abscisa este negativă, deci cos α < 0.
3. Semnele sunt + pentru sinus și − pentru cosinus.
Răspuns: sin α > 0, cos α < 0
Exercițiul 5
În cadranul al IV-lea, semnele lui sin α și cos α sunt:
Vezi rezolvarea
1. Abscisa este pozitivă, deci cos α > 0.
2. Ordonata este negativă, deci sin α < 0.
3. În cadranul IV avem cos pozitiv și sin negativ.
Răspuns: sin α < 0, cos α > 0
Exercițiul 6
Unghiul de 225° are unghiul de referință:
Vezi rezolvarea
1. 225° este între 180° și 270°, deci se află în cadranul III.
2. Unghiul de referință este 225°−180°.
3. Rezultă 45°.
Răspuns: 45°
Exercițiul 7
Calculează sin 150°.
Vezi rezolvarea
1. Folosim sin(180°−x)=sin x.
2. sin 150°=sin 30°.
3. Rezultatul este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 8
Calculează cos 150°.
Vezi rezolvarea
1. Folosim cos(180°−x)=−cos x.
2. cos 150°=−cos 30°.
3. Rezultatul este −√32.
Răspuns: −√32
Exercițiul 9
Calculează cos135°.
Vezi rezolvarea
1. Comparăm unghiul cu multiplii de 90°; 135° este în cadranul 2.
2. În acest cadran calculăm 180 − 135 = 45. Păstrăm aceeași funcție trigonometrică.
3. La 45°, tabelul dă cos 45° = √22. Semnul unghiului inițial se aplică separat.
4. Citim coordonata orizontală a punctului din cadranul 2; semnul este negativ.
5. cos 135° = −cos 45° = −√22.
Răspuns: −√22
Exercițiul 10
Calculează sin 210°.
Vezi rezolvarea
1. Folosim sin(180°+x)=−sin x.
2. sin 210°=−sin 30°.
3. Rezultatul este −12.
Răspuns: −12
Exercițiul 11
Calculează cos 330°.
Vezi rezolvarea
1. Folosim cos(360°−x)=cos x.
2. cos 330°=cos 30°.
3. Rezultatul este √32.
Răspuns: √32
Exercițiul 12
Calculează cos225°.
Vezi rezolvarea
1. Comparăm unghiul cu multiplii de 90°; 225° este în cadranul 3.
2. În acest cadran calculăm 225 − 180 = 45. Păstrăm aceeași funcție trigonometrică.
3. La 45°, tabelul dă cos 45° = √22. Semnul unghiului inițial se aplică separat.
4. Citim coordonata orizontală a punctului din cadranul 3; semnul este negativ.
5. cos 225° = −cos 45° = −√22.
Răspuns: −√22
Exercițiul 13
Calculează sin(−30°).
Vezi rezolvarea
1. sin(−x)=−sin x.
2. sin(−30°)=−sin 30°.
3. Rezultatul este −12.
Răspuns: −12
Exercițiul 14
Calculează cos(−60°).
Vezi rezolvarea
1. cos(−x)=cos x.
2. cos(−60°)=cos 60°.
3. Rezultatul este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 15
Calculează sin(−90°).
Vezi rezolvarea
1. Sinusul este impar: sin(−α) = −sin α.
2. La 90° punctul este (0;1), iar sinusul este ordonata 1.
3. Minusul se aplică valorii 1: sin(−90°) = −1.
Răspuns: -1
Exercițiul 16
Calculează sin 390°.
Vezi rezolvarea
1. Funcțiile trigonometrice au perioada 360°.
2. 390°−360°=30°.
3. sin 390°=sin 30°=12.
Răspuns: 12
Exercițiul 17
Calculează cos 540°.
Vezi rezolvarea
1. 540°−360°=180°.
2. Cosinusul este periodic cu 360°.
3. cos 540°=cos 180°=−1.
Răspuns: −1
Exercițiul 18
Calculează cos720°.
Vezi rezolvarea
1. După o tură, rămân 360°.
2. Două ture complete aduc raza în poziția de 0°.
3. Punctul este (1;0); cosinusul este abscisa 1. Cos720° = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 19
Calculează sin(75°) folosind 75°=45°+30°.
Vezi rezolvarea
1. sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°. Sinusul unei sume nu este suma sinusurilor. Folosim produsele încrucișate și semnul plus.
2. (√22)(√32)+(√22)(12). sin45°=cos45°=√22, cos30°=√32 și sin30°=12.
3. sin75°=√6+√24. Ambele produse au numitorul 4. Radicalii diferiți nu se adună sub același radical.
Răspuns: √6+√24
Exercițiul 20
Calculează cos75° folosind 75° = 45° + 30°.
Vezi rezolvarea
1. Avem 75° = 45° + 30°. Folosim formula pentru cos, nu adunăm valorile funcției.
2. La sinus folosim sin·cos și cos·sin; la cosinus cos·cos și sin·sin. Semnul se alege din formula sumei sau a diferenței.
3. În tabel, ambele valori pentru 45° sunt √22. Le păstrăm pentru cele două produse.
4. Tabelul dă cos30° = √32; sin30° are altă valoare.
5. Tabelul dă sin30° = 12.
6. Înmulțim separat: √2·√3 = √6, iar 2·2 = 4. Primul produs rămâne √64.
7. La numărător rămâne √2·1 = √2, iar la numitor avem 2·2 = 4.
8. Fracțiile au același numitor: păstrăm 4 și scriem √6 − √2 la numărător. Radicalii diferiți nu se adună într-un singur radical.
Răspuns: √6−√24
Exercițiul 21
Calculează sin15° folosind 15° = 45° − 30°.
Vezi rezolvarea
1. Avem 15° = 45° − 30°. Folosim formula pentru sin, nu adunăm valorile funcției.
2. La sinus folosim sin·cos și cos·sin; la cosinus cos·cos și sin·sin. Semnul se alege din formula sumei sau a diferenței.
3. În tabel, ambele valori pentru 45° sunt √22. Le păstrăm pentru cele două produse.
4. Tabelul dă cos30° = √32; sin30° are altă valoare.
5. Tabelul dă sin30° = 12.
6. Înmulțim separat: √2·√3 = √6, iar 2·2 = 4. Primul produs rămâne √64.
7. La numărător rămâne √2·1 = √2, iar la numitor avem 2·2 = 4.
8. Fracțiile au același numitor: păstrăm 4 și scriem √6 − √2 la numărător. Radicalii diferiți nu se adună într-un singur radical.
Răspuns: √6−√24

Formule trigonometrice · întâi semnul, apoi calculul (14)

1. Recunoaștem formula
Pe cercul trigonometric, cos α reprezintă:
Vezi răspunsul
Abscisa punctului corespunzător lui α pe cerc (proiecția pe axa Ox).
2. Recunoaștem formula
Pe cercul trigonometric, sin α reprezintă:
Vezi răspunsul
Ordonata punctului corespunzător lui α pe cerc (proiecția pe axa Oy).
3. Recunoaștem formula
În cadranul al II-lea, semnele lui sin α și cos α sunt:
Vezi răspunsul
sin α > 0 și cos α < 0.
4. Recunoaștem formula
În cadranul al IV-lea, semnele lui sin α și cos α sunt:
Vezi răspunsul
sin α < 0 și cos α > 0.
5. Calculăm pas cu pas
Calculează sin 150°.
Vezi răspunsul
sin 150° = sin 30° = 12
6. Calculăm pas cu pas
Calculează cos 150°.
Vezi răspunsul
cos 150° = −cos 30° = −√32
7. Calculăm pas cu pas
Calculează sin 210°.
Vezi răspunsul
sin 210° = −sin 30° = −12
8. Calculăm pas cu pas
Calculează cos 330°.
Vezi răspunsul
cos 330° = cos 30° = √32
9. Calculăm pas cu pas
Calculează sin(−30°).
Vezi răspunsul
−sin 30° = −12
10. Calculăm pas cu pas
Calculează cos(−60°).
Vezi răspunsul
cos 60° = 12
11. Model de Bac
Calculează sin 390°.
Vezi răspunsul
sin 390° = sin 30° = 12
12. Model de Bac
Calculează cos 540°.
Vezi răspunsul
cos 540° = cos 180° = −1
13. Model de Bac
Unghiul de π3 radiani are în grade:
Vezi răspunsul
60°
14. Model de Bac
Unghiul de 225° are unghiul de referință:
Vezi răspunsul
45° (225° − 180°)