Încărcăm partea curentă…

Linii importante și centrele triunghiului

Mediana și mijlocul unei laturi

Mediana dintr-un vârf este segmentul care unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse.

Dacă AD este mediană, D este mijlocul lui BC, deci BD = DC = BC2.

DABCABBCCA
D este mijlocul lui BC, iar AD este mediana.

În viața reală

Mediana împarte triunghiul în două bucăți cu aceeași arie: dacă tai o felie triunghiulară de-a lungul unei mediane, obții două părți egale ca suprafață.

De ținut minte

AD mediană ⇒ BD = DC = BC2

Exemplu cu alte date

BE este mediana din B în triunghiul ABC, iar AC = 22 cm. Cât este AE?

  1. 1Mediana din B merge la mijlocul laturii opuse, AC.
  2. 2E este mijlocul lui AC, deci AE = AC2.
  3. 3AE = 222 = 11 cm.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Linii importante și centrele triunghiului: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Mediana și mijlocul unei laturi

Mediana dintr-un vârf este segmentul care unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse.

Dacă AD este mediană, D este mijlocul lui BC, deci BD = DC = BC2.

  • AD mediană ⇒ BD = DC = BC2

Exemplu cu alte date

BE este mediana din B în triunghiul ABC, iar AC = 22 cm. Cât este AE?

  1. Mediana din B merge la mijlocul laturii opuse, AC.
  2. E este mijlocul lui AC, deci AE = AC2.
  3. AE = 222 = 11 cm.

Înălțimea, bisectoarea și mediatoarea

Înălțimea dintr-un vârf este perpendiculara din acel vârf pe latura opusă. Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri egale.

Mediatoarea unei laturi este dreapta perpendiculară pe latură în mijlocul ei. Ea nu pleacă neapărat dintr-un vârf.

  • înălțimea AH: AH ⟂ BC
  • bisectoarea AD: ∠BAD = ∠DAC
  • mediatoarea lui BC: ⟂ pe BC, prin mijloc

Exemplu cu alte date

Unghiul B are 70°, iar BE este bisectoarea lui. Cât are unghiul ABE?

  1. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale.
  2. ∠ABE = 70°2.
  3. ∠ABE = 35°.

Linia mijlocie

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi. Ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.

Dacă M și N sunt mijloacele lui AB și AC, atunci MN ∥ BC și MN = BC2.

  • MN ∥ BC
  • MN = BC2

Exemplu cu alte date

P și Q sunt mijloacele laturilor AB și BC, iar AC = 24 cm. Cât este PQ?

  1. PQ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie.
  2. Ea este paralelă cu latura rămasă, AC.
  3. PQ = 242 = 12 cm.

Centrul de greutate

Cele trei mediane se întâlnesc într-un singur punct, G, numit centru de greutate.

G împarte fiecare mediană în raportul 2 : 1: bucata dinspre vârf este dublul celei dinspre latură.

  • AG = 2·GD
  • AG = (23)·AD

Exemplu cu alte date

Mediana AD are 12 cm. Cât au AG și GD?

  1. Mediana se împarte în 3 părți egale de câte 4 cm.
  2. AG are două părți: 8 cm.
  3. GD are o parte: 4 cm.

Ortocentrul și centrele cercurilor

Înălțimile se întâlnesc în ortocentrul H. Bisectoarele se întâlnesc în I, centrul cercului înscris, care atinge toate cele trei laturi.

Mediatoarele se întâlnesc în O, centrul cercului circumscris, care trece prin toate vârfurile: OA = OB = OC.

  • H: înălțimi
  • I: bisectoare, cercul înscris
  • O: mediatoare, cercul circumscris

Exemplu cu alte date

Trei case formează un triunghi. Unde săpăm o fântână aflată la aceeași distanță de toate trei?

  1. Punctul egal depărtat de vârfuri este pe toate mediatoarele.
  2. Mediatoarele se întâlnesc în O.
  3. Fântâna se sapă în O, centrul cercului circumscris.

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce este mediana AD dintr-un triunghi?

    Vezi rezolvarea
    1. Punctul D este mijlocul lui BC, deci BD = DC.
    2. Segmentul AD unește vârful A cu acest mijloc.
    3. Prin definiție, AD este mediană.

    Răspuns: Segmentul de la A la mijlocul lui BC

  2. Exercițiul 2

    Dacă AD este mediană și BC = 18 cm, cât este BD?

    Vezi rezolvarea
    1. D este mijlocul lui BC.
    2. BD = DC = BC2.
    3. BD = 182 = 9 cm.

    Răspuns: 9 cm

  3. Exercițiul 3

    Ce proprietate are înălțimea AH?

    Vezi rezolvarea
    1. AH pornește din vârful A.
    2. La piciorul H se formează un unghi de 90°.
    3. Deci AH ⟂ BC.

    Răspuns: AH ⟂ BC

  4. Exercițiul 4

    Ce este mediatoarea laturii BC?

    Vezi rezolvarea
    1. Mediatoarea este o dreaptă, nu neapărat un segment pornit dintr-un vârf.
    2. Ea trece prin mijlocul laturii BC.
    3. În acel punct este perpendiculară pe BC.

    Răspuns: Dreapta perpendiculară pe BC în mijlocul ei

  5. Exercițiul 5

    Ce face bisectoarea AD a unghiului A?

    Vezi rezolvarea
    1. Cele două arce portocalii au același marcaj.
    2. Prin urmare ∠BAD = ∠DAC.
    3. AD este bisectoarea unghiului A.

    Răspuns: Împarte unghiul A în două unghiuri egale

  6. Exercițiul 6

    M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Cum se numește MN?

    Vezi rezolvarea
    1. M este mijlocul lui AB, iar N este mijlocul lui AC.
    2. MN unește aceste două mijloace.
    3. MN este linie mijlocie a triunghiului.

    Răspuns: Linie mijlocie

  7. Exercițiul 7

    Dacă MN este linie mijlocie și BC = 16 cm, cât este MN?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema liniei mijlocii spune MN ∥ BC și MN = BC2.
    2. MN = 162.
    3. MN = 8 cm.

    Răspuns: 8 cm

  8. Exercițiul 8

    Cum se numește punctul comun al celor trei mediane?

    Vezi rezolvarea
    1. În desen apar cele trei mediane.
    2. Ele sunt concurente într-un singur punct G.
    3. G se numește centru de greutate sau baricentru.

    Răspuns: Centru de greutate G

  9. Exercițiul 9

    Pe mediana AD, centrul de greutate G verifică:

    Vezi rezolvarea
    1. Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport 2:1.
    2. Segmentul dinspre vârf este cel mai lung.
    3. Prin urmare AG = 2·GD.

    Răspuns: AG = 2·GD

  10. Exercițiul 10

    Punctul comun al celor trei înălțimi se numește:

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare înălțime este perpendiculară pe o latură.
    2. Cele trei înălțimi sunt concurente în H.
    3. H se numește ortocentru.

    Răspuns: Ortocentru

  11. Exercițiul 11

    Punctul comun al bisectoarelor este centrul cărui cerc?

    Vezi rezolvarea
    1. Bisectoarele se întâlnesc în punctul I, numit incentru.
    2. I este egal depărtat de cele trei laturi.
    3. De aceea I este centrul cercului înscris.

    Răspuns: Cercului înscris

  12. Exercițiul 12

    Punctul comun al mediatoarelor este centrul cărui cerc?

    Vezi rezolvarea
    1. Mediatoarele se întâlnesc în O, circumcentrul.
    2. OA = OB = OC.
    3. Prin urmare O este centrul cercului circumscris.

    Răspuns: Cercului circumscris

  13. Exercițiul 13

    Rezolvă singur: AD este mediană, iar BC = 14 cm. Cât este DC?

    Vezi rezolvarea
    1. AD mediană înseamnă BD = DC.
    2. BD + DC = BC = 14 cm.
    3. DC = 142 = 7 cm.

    Răspuns: 7

  14. Exercițiul 14

    Rezolvă singur: MN este linie mijlocie și BC = 18 cm. Cât este MN?

    Vezi rezolvarea
    1. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.
    2. Lungimea ei este jumătate din BC.
    3. MN = 182 = 9 cm.

    Răspuns: 9

Exerciții de la recunoaștere la rezolvare (14)

  1. 1. Pornim ușor

    Ce este mediana AD dintr-un triunghi?

    Vezi răspunsul

    Segmentul care unește vârful A cu mijlocul D al laturii BC.

  2. 2. Pornim ușor

    Dacă AD este mediană și BC = 18 cm, cât este BD?

    Vezi răspunsul

    BD = 18 : 2 = 9 cm

  3. 3. Pornim ușor

    Ce proprietate are înălțimea AH?

    Vezi răspunsul

    Este perpendiculară pe BC: AH ⊥ BC.

  4. 4. Pornim ușor

    Ce este mediatoarea laturii BC?

    Vezi răspunsul

    Dreapta perpendiculară pe BC dusă prin mijlocul lui BC.

  5. 5. Pornim ușor

    Ce face bisectoarea AD a unghiului A?

    Vezi răspunsul

    Împarte unghiul A în două unghiuri congruente.

  6. 6. Consolidare

    M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Cum se numește MN?

    Vezi răspunsul

    Linie mijlocie.

  7. 7. Consolidare

    Dacă MN este linie mijlocie și BC = 16 cm, cât este MN?

    Vezi răspunsul

    MN = 16 : 2 = 8 cm

  8. 8. Consolidare

    Cum se numește punctul comun al celor trei mediane?

    Vezi răspunsul

    Centrul de greutate, G.

  9. 9. Consolidare

    Pe mediana AD, centrul de greutate G verifică:

    Vezi răspunsul

    AG = 2 · GD (adică AG = 23 · AD).

  10. 10. Consolidare

    Punctul comun al celor trei înălțimi se numește:

    Vezi răspunsul

    Ortocentru.

  11. 11. Consolidare

    Punctul comun al bisectoarelor este centrul cărui cerc?

    Vezi răspunsul

    Al cercului înscris în triunghi.

  12. 12. Consolidare

    Punctul comun al mediatoarelor este centrul cărui cerc?

    Vezi răspunsul

    Al cercului circumscris triunghiului.

  13. 13. Rezolvi singur

    Rezolvă singur: AD este mediană, iar BC = 14 cm. Cât este DC?

    Vezi răspunsul

    DC = 14 : 2 = 7 cm

  14. 14. Rezolvi singur

    Rezolvă singur: MN este linie mijlocie și BC = 18 cm. Cât este MN?

    Vezi răspunsul

    MN = 18 : 2 = 9 cm

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.