Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Vârfuri, laturi și latura opusă
Un triunghi ABC are trei vârfuri, punctele A, B și C, și trei laturi, segmentele AB, BC și CA.
Latura opusă unui vârf este singura latură care nu conține litera acelui vârf: BC este opusă lui A, AC este opusă lui B, iar AB este opusă lui C.
Latura MP nu conține litera N, deci este opusă vârfului N.
🌍 În viața reală
Un acoperiș văzut din față este un triunghi: coama este un vârf, iar grinda de jos este latura opusă ei.
🧮 De ținut minte
vârfuri: A, B, C
laturi: AB, BC, CA
latura opusă lui A: BC
✏️Exemplu cu alte date
În triunghiul MNP, care este latura opusă vârfului N?
1Laturile care pornesc din N sunt NM și NP.
2Singura latură fără litera N este MP.
3Deci MP este latura opusă vârfului N.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Triunghiuri de la zero · tipuri și elemente: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.
Vârfuri, laturi și latura opusă
Un triunghi ABC are trei vârfuri, punctele A, B și C, și trei laturi, segmentele AB, BC și CA.
Latura opusă unui vârf este singura latură care nu conține litera acelui vârf: BC este opusă lui A, AC este opusă lui B, iar AB este opusă lui C.
vârfuri: A, B, C
laturi: AB, BC, CA
latura opusă lui A: BC
Exemplu cu alte date
În triunghiul MNP, care este latura opusă vârfului N?
Laturile care pornesc din N sunt NM și NP.
Singura latură fără litera N este MP.
Deci MP este latura opusă vârfului N.
Tipuri de triunghiuri după laturi
După laturi, un triunghi poate fi echilateral (toate cele trei laturi egale), isoscel (două laturi egale) sau scalen (toate laturile diferite).
În desene, laturile egale sunt marcate cu aceleași liniuțe. Un triunghi echilateral este și isoscel, pentru că are sigur două laturi egale.
echilateral: toate laturile egale
isoscel: două laturi egale
scalen: toate laturile diferite
Exemplu cu alte date
Ce tip are un triunghi cu laturile 7 cm, 7 cm și 4 cm?
Două laturi sunt egale: 7 cm și 7 cm.
A treia, 4 cm, este diferită.
Triunghiul este isoscel.
Tipuri de triunghiuri după unghiuri
După unghiuri, un triunghi este ascuțitunghic (toate unghiurile mai mici de 90°), dreptunghic (un unghi de 90°) sau obtuzunghic (un unghi mai mare de 90°).
Un triunghi are cel mult un unghi drept sau obtuz: celelalte două trebuie să fie ascuțite, ca suma să rămână 180°.
ascuțitunghic: toate < 90°
dreptunghic: un unghi = 90°
obtuzunghic: un unghi > 90°
Exemplu cu alte date
Un triunghi are unghiurile 30°, 45° și 105°. Ce tip este?
Cel mai mare unghi este 105°.
105° este mai mare decât 90°, deci este obtuz.
Triunghiul este obtuzunghic.
Există triunghiul? Inegalitatea triunghiului
Trei segmente formează un triunghi numai dacă fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
Este suficient să verificăm latura cea mai lungă: dacă ea este mai mică decât suma celorlalte două, triunghiul există.
cea mai lungă < suma celorlalte două
Exemplu cu alte date
Pot lungimile 4 cm, 5 cm și 10 cm să formeze un triunghi?
Cea mai lungă latură este 10 cm.
4 + 5 = 9, iar 9 < 10.
Segmentele scurte nu ajung să se întâlnească, deci triunghiul nu există.
Suma unghiurilor: 180°
În orice triunghi, suma celor trei unghiuri este 180°. Dacă știm două unghiuri, al treilea este 180° minus suma lor.
Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale; le notăm cu aceeași literă, x.
A + B + C = 180°
isoscel: unghiurile de la bază sunt egale
Exemplu cu alte date
Într-un triunghi isoscel, unghiul la vârf are 80°. Cât are fiecare unghi de la bază?
80° + 2x = 180°.
2x = 100°.
x = 50°.
Exerciții rezolvate din lecție (14)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Pornim de la zero: în triunghiul ABC, care sunt vârfurile?
Vezi rezolvarea
Literele singure numesc puncte.
Punctele A, B și C sunt vârfurile triunghiului.
AB, BC și CA sunt laturile.
Răspuns: A, B și C
Exercițiul 2
Care este latura opusă vârfului A?
Vezi rezolvarea
Laturile care pornesc din A sunt AB și AC.
Singura latură care nu trece prin A este BC.
Deci BC este opusă unghiului A.
Răspuns: BC
Exercițiul 3
Triunghiul din desen are două laturi egale. Cum se numește?
Vezi rezolvarea
Marcajele portocalii arată două laturi egale.
Un triunghi cu două laturi egale este isoscel.
Răspuns: Isoscel
Exercițiul 4
Un triunghi are toate cele trei laturi egale. Ce tip este?
Vezi rezolvarea
Cele trei marcaje indică laturi congruente.
Triunghiul este echilateral.
În plus, fiecare unghi măsoară 60°.
Răspuns: Echilateral
Exercițiul 5
Un triunghi cu laturile 5 cm, 6 cm și 7 cm este:
Vezi rezolvarea
Cele trei laturi au lungimi diferite.
Un triunghi cu toate laturile diferite este scalen.
Inegalitățile triunghiului sunt îndeplinite.
Răspuns: Scalen
Exercițiul 6
Cum se numește un triunghi ale cărui trei unghiuri sunt mai mici de 90°?
Vezi rezolvarea
Toate unghiurile sunt ascuțite.
Prin definiție, triunghiul este ascuțitunghic.
Răspuns: Ascuțitunghic
Exercițiul 7
Un triunghi are un unghi de 90°. Ce tip este?
Vezi rezolvarea
Triunghiul conține un unghi drept.
De aceea se numește triunghi dreptunghic.
Răspuns: Dreptunghic
Exercițiul 8
Un triunghi are un unghi de 110°. Ce tip este după unghiuri?
Vezi rezolvarea
Unghiul de 110° este obtuz.
Un triunghi poate avea cel mult un unghi obtuz.
Triunghiul este obtuzunghic.
Răspuns: Obtuzunghic
Exercițiul 9
Lungimile 3 cm, 4 cm și 5 cm pot forma un triunghi?
Vezi rezolvarea
Verificăm cea mai restrictivă inegalitate: 3 + 4 > 5.
Avem 7 > 5.
Celelalte două inegalități sunt evidente, deci triunghiul există.
Răspuns: Da
Exercițiul 10
Lungimile 2 cm, 3 cm și 6 cm pot forma un triunghi?
Vezi rezolvarea
Adunăm cele mai mici laturi: 2 + 3 = 5.
Dar 5 nu este mai mare decât 6.
Inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită, deci figura nu se poate construi.
Răspuns: Nu
Exercițiul 11
Două unghiuri ale unui triunghi sunt 50° și 70°. Al treilea este:
Vezi rezolvarea
Adunăm unghiurile cunoscute: 50° + 70° = 120°.
Scădem din 180°: 180° − 120° = 60°.
Al treilea unghi este 60°.
Răspuns: 60°
Exercițiul 12
Într-un triunghi isoscel, unghiul la vârf este 40°. Fiecare unghi de la bază este:
Vezi rezolvarea
Cele două unghiuri de la bază au aceeași măsură x.
Scriem 40° + 2x = 180°.
2x = 140°, deci x = 70°.
Răspuns: 70°
Exercițiul 13
Rezolvă singur: unghiurile A și B sunt 35° și 85°. Cât este unghiul C?
Vezi rezolvarea
A + B + C = 180°.
C = 180° − 35° − 85°.
C = 60°.
Răspuns: 60
Exercițiul 14
Rezolvă singur: într-un triunghi isoscel, fiecare unghi de la bază este 55°. Cât este unghiul la vârf?
Vezi rezolvarea
Cele două unghiuri de la bază au suma 55° + 55° = 110°.
Unghiul la vârf este 180° − 110°.
Rezultatul este 70°.
Răspuns: 70
Exerciții de la recunoaștere la rezolvare (14)
1. Pornim ușor
Pornim de la zero: în triunghiul ABC, care sunt vârfurile?
Vezi răspunsul
A, B și C.
2. Pornim ușor
Care este latura opusă vârfului A?
Vezi răspunsul
BC
3. Pornim ușor
Triunghiul din desen are două laturi egale. Cum se numește?
Vezi răspunsul
Triunghi isoscel.
4. Pornim ușor
Un triunghi are toate cele trei laturi egale. Ce tip este?
Vezi răspunsul
Echilateral.
5. Pornim ușor
Un triunghi cu laturile 5 cm, 6 cm și 7 cm este:
Vezi răspunsul
Oarecare (scalen): toate laturile sunt diferite.
6. Consolidare
Cum se numește un triunghi ale cărui trei unghiuri sunt mai mici de 90°?
Vezi răspunsul
Ascuțitunghic.
7. Consolidare
Un triunghi are un unghi de 90°. Ce tip este?
Vezi răspunsul
Dreptunghic.
8. Consolidare
Un triunghi are un unghi de 110°. Ce tip este după unghiuri?
Vezi răspunsul
Obtuzunghic.
9. Consolidare
Lungimile 3 cm, 4 cm și 5 cm pot forma un triunghi?
Vezi răspunsul
Da: 3 + 4 > 5 (este chiar triunghi dreptunghic).
10. Consolidare
Lungimile 2 cm, 3 cm și 6 cm pot forma un triunghi?
Vezi răspunsul
Nu: 2 + 3 = 5 < 6.
11. Consolidare
Două unghiuri ale unui triunghi sunt 50° și 70°. Al treilea este:
Vezi răspunsul
180° − 50° − 70° = 60°
12. Consolidare
Într-un triunghi isoscel, unghiul la vârf este 40°. Fiecare unghi de la bază este:
Vezi răspunsul
(180° − 40°) : 2 = 70°
13. Rezolvi singur
Rezolvă singur: unghiurile A și B sunt 35° și 85°. Cât este unghiul C?
Vezi răspunsul
180° − 35° − 85° = 60°
14. Rezolvi singur
Rezolvă singur: într-un triunghi isoscel, fiecare unghi de la bază este 55°. Cât este unghiul la vârf?