M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni

M1·n

Teorie înainte de exerciții

Vectori de la zero la aplicații Bac · nivel M1

Lecția pornește de la sensul unei săgeți și regula triunghiului, continuă cu primele calcule în coordonate și ajunge treptat la normală, director și versor.

Nu sări direct la formulele de Bac. Parcurge întâi desenul și calculele scurte; ele fac mult mai ușoare problemele cu drepte.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

AB+BC=AC

Pornești din A spre B, apoi continui din B spre C. Vectorul direct de la A la C este suma celor doi vectori.

1

Ce este un vector? Pornim de la o săgeată

Imaginează-ți că mergi din punctul A în punctul B. Săgeata care descrie această deplasare este vectorul AB. Litera A arată de unde pleci, iar litera B arată unde ajungi.

Un vector are trei caracteristici: direcție, sens și modul. Direcția arată dreapta pe care se află săgeata, sensul arată încotro merge, iar modulul este lungimea ei.

AB pornește din A și ajunge în B; ordinea literelor contează.
BA are aceeași direcție și același modul ca AB, dar sens opus: BA = −AB.
Doi vectori pot fi egali chiar dacă sunt desenați în locuri diferite, dacă au aceeași direcție, același sens și același modul.
Vectorul nul are originea egală cu extremitatea și modulul 0.

2

Regula triunghiului — două drumuri devin unul

În desen, primul drum este A → B, iar al doilea este B → C. Fiindcă al doilea începe exact unde se termină primul, vectorii se pot lega unul după altul.

Suma lor este drumul direct de la punctul de plecare A la punctul final C. De aceea scriem AB + BC = AC. Regula funcționează în orice triunghi, nu doar într-unul dreptunghic.

AB + BC = AC

BC = AC − AB

AB = AC − BC

Exemplu foarte simplu

Dacă AB = (2, 1) și BC = (3, −1), determinați AC.

1.Observăm traseul consecutiv A → B → C, deci folosim AB + BC = AC.
2.Adunăm primele coordonate: 2 + 3 = 5.
3.Adunăm a doua coordonată: 1 + (−1) = 0.
4.Rezultă AC = (5, 0).

3

Primele calcule în coordonate

După ce ai înțeles săgeata și regula triunghiului, calculele se fac separat pe cele două coordonate. Pentru un vector dintre două puncte folosim mereu final minus inițial.

Pentru A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B): AB = (x_B − x_A, y_B − y_A)

Dacă u = (u₁, u₂) și v = (v₁, v₂): u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

Dacă k este număr real: k·u = (k·u₁, k·u₂)

Modulul: |u| = u₁² + u₂²

La AB scazi coordonatele lui A din coordonatele lui B, nu invers.
La adunare și scădere lucrezi pe coloane: prima coordonată cu prima, a doua cu a doua.
Un scalar negativ schimbă sensul vectorului.
Controlează modulul: el nu poate fi negativ.

4

Vector normal și vector director

Acești doi vectori transformă ecuația unei drepte într-o informație geometrică directă: normalul este perpendicular pe dreaptă, iar directorul este paralel cu ea. Sunt unelte pentru paralelism și perpendicularitate, temele cerute la examen.

Pentru d: ax + by + c = 0, vector normal n = (a, b)

Vector director: u = (b, −a) sau u = (−b, a)

Control: n·u = 0

Dreaptă prin P(x₀, y₀) cu normala (a, b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0

Doi vectori normali ai aceleiași drepte sunt proporționali

Termenul liber c nu intră niciodată în vectorul normal.
Drepte paralele ⇔ normale proporționale; drepte perpendiculare ⇔ normale perpendiculare.
Vectorul director nu este unic: orice multiplu nenul al lui este tot vector director.

5

Modul și versori

Versorul arată numai direcția și sensul unui vector, nu și mărimea lui. Se obține împărțind vectorul la modulul său, iar verificarea este întotdeauna aceeași: modulul rezultatului trebuie să fie 1.

Modulul: |v| = v₁² + v₂²

Versorul: e = v/|v|, definit pentru v ≠ 0

Verificare: |e| = 1

Versorii axelor: i = (1, 0) și j = (0, 1)

Scrierea v = p·i + q·j înseamnă v = (p, q)

Versorul lui BA este opusul versorului lui AB.
Un vector și versorul său au aceeași direcție și același sens.
Nu numi versor un vector al cărui modul nu este 1.

6

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · versorul unei direcții

Pentru A(−1, 2) și B(2, 6), determinați versorul vectorului AB.

1.Pasul 1 — scriem vectorul: AB = (x_B − x_A, y_B − y_A).
2.Pasul 2 — înlocuim cu atenție la semne: AB = (2 − (−1), 6 − 2) = (3, 4).
3.Pasul 3 — scriem formula modulului: |AB| = 3² + 4².
4.Pasul 4 — calculăm: |AB| = 9 + 16 = √25 = 5.
5.Pasul 5 — aplicăm formula versorului: e = AB/|AB| = (35, 45).
6.Pasul 6 — controlăm: |e| = 925 + 1625 = 1. Răspuns final: e = (35, 45).

7

Algoritmul universal în 6 pași

Notează punctele și identifică originea O(0, 0), dacă apare în enunț.
Tradu cerința: distanță, mijloc, mediană, dreaptă, normal, director sau versor.
Scrie formula înainte de a înlocui numerele; astfel reduci erorile de semn.
Folosește paranteze, mai ales la coordonate negative.
Simplifică radicalul, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Controlează: verifică punctul în ecuație, n·u = 0 sau |e| = 1, după caz.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · vectori normali, directori și versori · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 61Vector normalM1 · Mate-Info
Pentru dreapta d: 3x − 2y + 5 = 0, scrieți un vector normal.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = (3, −2) (coeficienții lui x și y)
Ex. 62Vector normalM1 · Mate-Info
Pentru dreapta d: 4x + y − 7 = 0, scrieți un vector normal.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = (4, 1)
Ex. 63Vector directorM1 · Mate-Info
Pentru dreapta d: 2x + 3y − 1 = 0, scrieți un vector director.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = (3, −2) (perpendicular pe normala (2, 3); merge și (−3, 2)).
Ex. 64Vector directorM1 · Mate-Info
Arătați că u = (2, 5) este vector director al dreptei d: 5x − 2y + 1 = 0. Scrieți valoarea produsului scalar n·u, unde n este vectorul normal al dreptei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = (5, −2), iar n · u = 5 · 2 + (−2) · 5 = 0, deci u este paralel cu dreapta.
Ex. 65Dreaptă cu normalăM1 · Mate-Info
Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și are vector normal n = (3, −4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3(x − 1) − 4(y − 2) = 0, adică 3x − 4y + 5 = 0.
Ex. 66Dreaptă cu normalăM1 · Mate-Info
Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(−2, 1) și are vector normal n = (1, 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 2) + 2(y − 1) = 0, adică x + 2y = 0.
Ex. 67ParametruM1 · Mate-Info
Determinați a, știind că n = (a, 2) este vector normal al dreptei 3x + 6y − 1 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(a, 2) trebuie să fie proporțional cu (3, 6): a3 = 26, deci a = 1.
Ex. 68ParalelismM1 · Mate-Info
Arătați că dreptele d₁: 2x − y + 3 = 0 și d₂: 4x − 2y − 5 = 0 sunt paralele. Scrieți valoarea n₁₁·n₂₂ − n₁₂·n₂₁, unde n₁ și n₂ sunt vectorii normali.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n₁ = (2, −1), n₂ = (4, −2): 2 · (−2) − (−1) · 4 = 0. Normalele sunt coliniare, iar dreptele nu coincid, deci sunt paralele.
Ex. 69PerpendicularitateM1 · Mate-Info
Arătați că dreptele d₁: 2x + y − 1 = 0 și d₂: x − 2y + 3 = 0 sunt perpendiculare. Scrieți valoarea produsului scalar n₁·n₂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n₁ · n₂ = 2 · 1 + 1 · (−2) = 0, deci dreptele sunt perpendiculare.
Ex. 70Normal unitarM1 · Mate-Info
Determinați un vector normal unitar al dreptei 3x + 4y − 5 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(35, 45) (sau opusul lui, (−35, −45)).
Ex. 71ModulM1 · Mate-Info
Calculați modulul vectorului v = (3, 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|v| = 9 + 16 = 5
Ex. 72VersorM1 · Mate-Info
Determinați versorul vectorului v = (3, 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(35, 45)
Ex. 73VersorM1 · Mate-Info
Determinați versorul vectorului v = (−5, 12).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|v| = 13, deci versorul este (−513, 1213).
Ex. 74VersorM1 · Mate-Info
Determinați versorul vectorului v = (0, −7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(0, −1)
Ex. 75VersorM1 · Mate-Info
Arătați că e = (√22, √22) este versor. Scrieți valoarea modulului |e|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|e| = 12 + 12 = 1, deci e este versor.
Ex. 76Versorul unei direcțiiM1 · Mate-Info
Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (3, 4), cu modulul 5: versorul este (35, 45).
Ex. 77Versorul unei direcțiiM1 · Mate-Info
Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului BA.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−35, −45)
Ex. 78Versorii axelorM1 · Mate-Info
Se consideră versorii axelor i = (1, 0), j = (0, 1) și vectorul v = 3i − 4j. Determinați |v|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
v = (3, −4), deci |v| = 5.
Ex. 79ParametruM1 · Mate-Info
Determinați k > 0 astfel încât e = (k, 35) să fie versor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k² + 925 = 1, deci k² = 1625 și k = 45.
Ex. 80MixtM1 · Mate-Info
Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(2, −1) și are vector normal unitar e = (35, 45).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(35)(x − 2) + (45)(y + 1) = 0, adică 3x + 4y − 2 = 0.