Încărcăm partea curentă…

Vectori de la zero la aplicații Bac · nivel M1

Vectorul: o săgeată cu direcție, sens și lungime

Un vector este un segment pe care am ales un sens, adică o săgeată. Vectorul AB pleacă din A, numit originea, și ajunge în B, numit extremitatea. Ordinea literelor contează.

Orice vector are direcție (dreapta pe care stă), sens (încotro merge) și modul (lungimea lui). Vectorul BA stă pe aceeași dreaptă și are aceeași lungime, dar merge invers: BA = −AB.

ABCABBCAC
AB+BC=AC
Săgeata AB pleacă din A și se termină în B.

În viața reală

Săgețile de pe un indicator sau de pe harta metroului spun același lucru ca un vector: de unde pleci, încotro mergi și cât de departe.

De ținut minte

AB: pleacă din A, ajunge în B
BA = −AB

Exemplu cu alte date

Un vector pleacă din P și ajunge în Q. Cum îl scriem și cum scriem drumul înapoi?

  1. 1Prima literă este punctul de plecare, deci vectorul este PQ.
  2. 2Drumul înapoi pleacă din Q și ajunge în P: QP.
  3. 3QP are aceeași direcție și aceeași lungime, dar sens opus: QP = −PQ.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Vectori de la zero la aplicații Bac · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Vectorul: o săgeată cu direcție, sens și lungime

Un vector este un segment pe care am ales un sens, adică o săgeată. Vectorul AB pleacă din A, numit originea, și ajunge în B, numit extremitatea. Ordinea literelor contează.

Orice vector are direcție (dreapta pe care stă), sens (încotro merge) și modul (lungimea lui). Vectorul BA stă pe aceeași dreaptă și are aceeași lungime, dar merge invers: BA = −AB.

  • AB: pleacă din A, ajunge în B
  • BA = −AB

Exemplu cu alte date

Un vector pleacă din P și ajunge în Q. Cum îl scriem și cum scriem drumul înapoi?

  1. Prima literă este punctul de plecare, deci vectorul este PQ.
  2. Drumul înapoi pleacă din Q și ajunge în P: QP.
  3. QP are aceeași direcție și aceeași lungime, dar sens opus: QP = −PQ.

Regula triunghiului: două drumuri devin unul

Dacă al doilea vector pornește exact din punctul în care se termină primul, spunem că vectorii sunt consecutivi. Atunci îi putem lega unul după altul.

Suma lor este drumul direct de la primul punct la ultimul: AB + BC = AC. Regula funcționează în orice triunghi, nu doar în cel dreptunghic.

  • AB + BC = AC

Exemplu cu alte date

Cu ce este egală suma PQ + QR?

  1. Primul vector se termină în Q.
  2. Al doilea pornește tot din Q, deci vectorii sunt consecutivi.
  3. Drumul direct de la P la R: PQ + QR = PR.

Vectorul AB în coordonate: final minus inițial

Pentru A(x1, y1) și B(x2, y2), vectorul AB spune cât ne deplasăm pe orizontală și cât pe verticală. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: final minus inițial.

Vectorul BA are aceleași numere, cu semnele schimbate, pentru că merge în sens invers.

  • AB = (x2−x1, y2−y1)
  • BA = −AB

Exemplu cu alte date

Pentru P(2, −1) și Q(5, 3), calculează PQ și QP.

  1. PQ = (5 − 2, 3 − (−1)) = (3, 4).
  2. QP are semnele schimbate: QP = (−3, −4).
  3. Verificare: PQ + QP = (0, 0), adică drumul dus-întors.

Adunăm, scădem și înmulțim cu un număr

Vectorii dați prin coordonate se adună pe poziții: primele coordonate între ele, a doua cu a doua. La scădere procedăm la fel. Regula triunghiului în coordonate devine AC = AB + BC, iar BC = AC − AB.

Înmulțirea cu un număr k înmulțește ambele coordonate. Dacă k este negativ, săgeata își schimbă sensul; lungimea ei se înmulțește cu k fără semn.

  • u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
  • k·u = (k·u1, k·u2)

Exemplu cu alte date

Pentru u = (1, −2) și v = (3, 5), calculează u + v, v − u și −2u.

  1. u + v = (1 + 3, −2 + 5) = (4, 3).
  2. v − u = (3 − 1, 5 − (−2)) = (2, 7).
  3. −2u = (−2·1, −2·(−2)) = (−2, 4).

Modulul: cât de lungă e săgeata

Lungimea vectorului v = (v1, v2) se numește modul și se scrie |v|. Coordonatele sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar săgeata este ipotenuza: ridicăm coordonatele la pătrat, le adunăm și extragem radicalul.

Modulul nu este niciodată negativ. Versorii axelor sunt i = (1, 0) și j = (0, 1), iar v = p·i + q·j înseamnă chiar v = (p, q).

  • |v|2 = v12 + v22
  • i = (1, 0), j = (0, 1)

Exemplu cu alte date

Cât este lungimea vectorului w = 6i − 8j?

  1. w = 6·(1, 0) − 8·(0, 1) = (6, −8).
  2. |w|2 = 62 + (−8)2 = 36 + 64 = 100.
  3. |w| = √100 = 10.

Versorul: aceeași direcție, lungimea 1

Versorul unui vector v păstrează direcția și sensul lui, dar are lungimea 1. Îl obținem împărțind fiecare coordonată la modulul |v|.

Verificarea este mereu aceeași: modulul versorului trebuie să iasă 1. Semnele coordonatelor se păstrează. Vectorul zero (0, 0) nu are versor: modulul lui este 0 și nu putem împărți la 0.

  • e = v|v|
  • |e| = 1

Exemplu cu alte date

Află versorul vectorului w = (8, −6).

  1. |w| = 64 + 36 = √100 = 10.
  2. e = (810, −610) = (45, −35).
  3. Verificare: (45)2 + (−35)2 = 1625 + 925 = 1.

Versor cu o coordonată necunoscută

Un vector este versor când modulul lui este 1. Dacă o coordonată este necunoscută, scriem că suma pătratelor coordonatelor este 1 și rezolvăm ecuația.

Din ecuația k2 = un număr pozitiv obținem două valori, una pozitivă și una negativă. Enunțul spune pe care o păstrăm.

  • e = (k, q) versor ⇔ k2 + q2 = 1

Exemplu cu alte date

Află k < 0 astfel încât e = (12, k) să fie versor.

  1. (12)2 + k2 = 1, deci 14 + k2 = 1.
  2. k2 = 34, deci k = √32 sau k = −√32.
  3. Enunțul cere k < 0, deci k = −√32.

Versorul unui vector dat prin două puncte

Lucrăm în trei pași: calculăm vectorul (final minus inițial), apoi modulul lui, apoi împărțim fiecare coordonată la modul.

Dacă A și B sunt puncte diferite, versorul lui BA este opusul versorului lui AB: aceeași direcție, sens invers. Dacă punctele coincid, vectorul este zero și nu are versor.

  • vectorul → modulul → vectorul/modulul
  • versorul lui BA = −versorul lui AB

Exemplu cu alte date

Pentru P(0, 1) și Q(6, 9), află versorul lui PQ și al lui QP.

  1. PQ = (6, 8), iar |PQ| = 36 + 64 = 10.
  2. Versorul lui PQ este (610, 810) = (35, 45).
  3. Versorul lui QP este opusul: (−35, −45).

Vector normal și vector director

Pentru dreapta ax + by + c = 0, vectorul n = (a, b), format din coeficienții lui x și y, este perpendicular pe dreaptă: se numește vector normal. Termenul liber c nu intră în el.

Vectorul director merge de-a lungul dreptei. Îl obținem inversând coordonatele normalei și schimbând un semn: u = (b, −a). Verificăm că produsul scalar n·u este 0.

  • ax + by + c = 0: n = (a, b)
  • u = (b, −a)
  • n·u = 0

Exemplu cu alte date

Pentru dreapta x − 4y + 2 = 0, scrie un vector normal și un vector director.

  1. Coeficienții sunt a = 1 și b = −4, deci n = (1, −4).
  2. u = (b, −a) = (−4, −1).
  3. Verificare: 1·(−4) + (−4)·(−1) = −4 + 4 = 0.

Dreapta printr-un punct, cu vectorul normal dat

Dacă dreapta trece prin A(x0, y0) și are normala n = (a, b), ecuația ei este a(x − x0) + b(y − y0) = 0: pentru orice punct al dreptei, săgeata de la A la el este perpendiculară pe n.

Înlocuim, desfacem parantezele cu atenție la semne și adunăm termenii liberi. La final verificăm ecuația cu punctul dat.

  • a(x − x0) + b(y − y0) = 0

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin P(2, −1) cu normala n = (1, 3).

  1. 1·(x − 2) + 3·(y − (−1)) = 0, adică (x − 2) + 3(y + 1) = 0.
  2. Desfacem: x − 2 + 3y + 3 = 0.
  3. x + 3y + 1 = 0. Verificare cu P: 2 − 3 + 1 = 0.

Paralel sau perpendicular: comparăm normalele

Două drepte sunt paralele când normalele lor sunt proporționale: determinantul lor este 0. Un parametru dintr-o normală se află din aceeași proporție.

Două drepte sunt perpendiculare când normalele lor sunt perpendiculare: produsul lor scalar este 0.

  • paralele ⇔ a1b2 − b1a2 = 0
  • perpendiculare ⇔ a1a2 + b1b2 = 0

Exemplu cu alte date

Pentru d1: x + 2y − 3 = 0 și d2: 4x − 2y + 1 = 0, sunt dreptele paralele sau perpendiculare?

  1. n1 = (1, 2) și n2 = (4, −2).
  2. Determinantul: 1·(−2) − 2·4 = −10, nu 0, deci dreptele nu sunt paralele.
  3. Produsul scalar: 1·4 + 2·(−2) = 0, deci dreptele sunt perpendiculare.

Normala unitară și dreapta prin punct

Normala unitară se obține împărțind normala la modulul ei. Cu ea scriem ecuația dreptei la fel ca înainte: a(x − x0) + b(y − y0) = 0.

Pentru că normala are fracții, după înlocuire înmulțim toată ecuația cu numitorul comun, ca să scăpăm de fracții.

  • n|n| are lungimea 1
  • a(x − x0) + b(y − y0) = 0

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin P(1, 1) cu normala unitară (35, −45).

  1. (35)(x − 1) − (45)(y − 1) = 0.
  2. Înmulțim cu 5: 3(x − 1) − 4(y − 1) = 0.
  3. 3x − 3 − 4y + 4 = 0, adică 3x − 4y + 1 = 0.

Exerciții rezolvate din lecție (41)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pornim de la zero · Ce este un vector?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector este un segment orientat, adică un segment pe care alegem un sens.
    2. Săgeata ne arată originea, extremitatea și sensul deplasării.
    3. Vectorul are direcție, sens și modul (lungime).

    Răspuns: Un segment orientat

  2. Exercițiul 2

    Privește săgeata AB din desen. Care este originea vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. În scrierea AB, prima literă arată punctul de plecare.
    2. Vectorul AB pornește din A și ajunge în B.
    3. Prin urmare, originea lui AB este A.

    Răspuns: Punctul A

  3. Exercițiul 3

    Privește săgeata AB. Care este extremitatea vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul AB pornește din A și se termină în B.
    2. A este originea, iar B este extremitatea.
    3. Ordinea literelor păstrează exact traseul săgeții.

    Răspuns: Punctul B

  4. Exercițiul 4

    Ce relație există între vectorii AB și BA?

    Vezi rezolvarea
    1. AB și BA se află pe aceeași dreaptă, deci au aceeași direcție.
    2. Ei sunt parcurși în sensuri opuse.
    3. Au același modul și BA = −AB.

    Răspuns: Au aceeași direcție și sensuri opuse

  5. Exercițiul 5

    Regula triunghiului · Completează relația din desen: AB + BC = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Primul vector ne duce din A în B.
    2. Al doilea pornește exact din B și ne duce în C.
    3. Drumul direct de la punctul inițial A la punctul final C este AC.
    4. Regula triunghiului este AB + BC = AC.

    Răspuns: AC

  6. Exercițiul 6

    Când putem aplica direct regula triunghiului AB + BC = AC?

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii AB și BC sunt consecutivi deoarece primul ajunge în B, iar al doilea pleacă din B.
    2. Forma triunghiului și lungimile laturilor nu contează.
    3. Suma leagă punctul de plecare A de punctul final C.

    Răspuns: Când vectorii sunt consecutivi: primul se termină unde începe al doilea

  7. Exercițiul 7

    Primul calcul ușor · Pentru A(1, 2) și B(4, 6), care sunt coordonatele vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim AB = (xB − xA, yB − yA).
    2. Prima coordonată este 4 − 1 = 3.
    3. A doua coordonată este 6 − 2 = 4.
    4. Rezultă AB = (3, 4).

    Răspuns: (3, 4)

  8. Exercițiul 8

    Pentru aceleași puncte A(1, 2) și B(4, 6), care este vectorul BA?

    Vezi rezolvarea
    1. BA = (xA − xB, yA − yB).
    2. BA = (1 − 4, 2 − 6) = (−3, −4).
    3. Control: BA = −AB.

    Răspuns: (−3, −4)

  9. Exercițiul 9

    Calcul pe componente · Dacă AB = (2, 1) și BC = (3, −1), cât este AC?

    Vezi rezolvarea
    1. Regula triunghiului spune AB + BC = AC.
    2. Adunăm primele coordonate: 2 + 3 = 5.
    3. Adunăm a doua coordonată: 1 + (−1) = 0.
    4. Rezultă AC = (5, 0).

    Răspuns: (5, 0)

  10. Exercițiul 10

    Află vectorul lipsă · Dacă AB = (1, 2) și AC = (4, 7), cât este BC?

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la regula AB + BC = AC.
    2. Izolăm vectorul necunoscut: BC = AC − AB.
    3. BC = (4 − 1, 7 − 2) = (3, 5).

    Răspuns: (3, 5)

  11. Exercițiul 11

    Modulul unui vector · Cât este |v| pentru v = (3, 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula este |v| = v12 + v22.
    2. |v| = 32 + 42 = 9 + 16.
    3. |v| = √25 = 5.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Înmulțire cu un număr · Dacă u = (2, −1), cât este 2u?

    Vezi rezolvarea
    1. La înmulțirea cu un scalar, fiecare componentă se înmulțește cu acel număr.
    2. 2u = (2·2, 2·(−1)).
    3. Rezultă 2u = (4, −2).

    Răspuns: (4, −2)

  13. Exercițiul 13

    Dacă v = −2u, cum sunt vectorii u și v?

    Vezi rezolvarea
    1. Un multiplu scalar nenul păstrează direcția, deci vectorii sunt paraleli.
    2. Semnul minus inversează sensul.
    3. Factorul 2 dublează modulul: |v| = 2|u|.

    Răspuns: Paraleli, de sens opus, iar |v| = 2|u|

  14. Exercițiul 14

    Acum scrii singur · Dacă u = (2, 3) și v = (−1, 4), calculează u + v.

    Vezi rezolvarea
    1. u + v = (2 + (−1), 3 + 4).
    2. Prima coordonată este 1, iar a doua este 7.
    3. Răspuns final: u + v = (1, 7).

    Răspuns: (1, 7)

  15. Exercițiul 15

    Exercițiu independent · Pentru A(−2, 1) și B(3, 5), calculează vectorul AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (3 − (−2), 5 − 1).
    2. AB = (3 + 2, 4).
    3. Răspuns final: AB = (5, 4).

    Răspuns: (5, 4)

  16. Exercițiul 16

    Pentru dreapta d: 3x − 2y + 5 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru o dreaptă scrisă sub forma ax + by + c = 0, un vector normal este n = (a, b).
    2. Identificăm coeficienții: a = 3 și b = −2.
    3. Termenul liber c = 5 nu intră în vectorul normal.
    4. Răspuns final: n = (3, −2).

    Răspuns: (3, −2)

  17. Exercițiul 17

    Pentru dreapta d: 4x + y − 7 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal este format din coeficienții lui x și y.
    2. Aici a = 4, iar coeficientul lui y este 1, deoarece y = 1·y.
    3. Răspuns final: n = (4, 1).

    Răspuns: (4, 1)

  18. Exercițiul 18

    Pentru dreapta d: 2x + 3y − 1 = 0, scrieți un vector director.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal al dreptei este n = (2, 3).
    2. Un vector director este perpendicular pe normal: putem lua u = (b, −a) = (3, −2).
    3. Control: n·u = 2·3 + 3·(−2) = 6 − 6 = 0.
    4. Răspuns final: u = (3, −2); și u = (−3, 2) este corect.

    Răspuns: (3, −2)

  19. Exercițiul 19

    Arătați că u = (2, 5) este vector director al dreptei d: 5x − 2y + 1 = 0. Scrieți valoarea produsului scalar n·u, unde n este vectorul normal al dreptei.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal al dreptei este n = (5, −2).
    2. Calculăm produsul scalar: n·u = 5·2 + (−2)·5 = 10 − 10 = 0.
    3. Produsul scalar nul arată că u este perpendicular pe normal, deci paralel cu dreapta.
    4. Prin urmare u este vector director. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  20. Exercițiul 20

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și are vector normal n = (3, −4).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula dreptei prin punct cu normală dată: a(x − x0) + b(y − y0) = 0.
    2. Înlocuim: 3(x − 1) − 4(y − 2) = 0.
    3. Desfacem parantezele: 3x − 3 − 4y + 8 = 0.
    4. Răspuns final: 3x − 4y + 5 = 0.

    Răspuns: 3x − 4y + 5 = 0

  21. Exercițiul 21

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(−2, 1) și are vector normal n = (1, 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm a(x − x0) + b(y − y0) = 0.
    2. Înlocuim: 1·(x + 2) + 2·(y − 1) = 0.
    3. Desfacem: x + 2 + 2y − 2 = 0.
    4. Termenii liberi se reduc. Răspuns final: x + 2y = 0.

    Răspuns: x + 2y = 0

  22. Exercițiul 22

    Determinați a, știind că n = (a, 2) este vector normal al dreptei 3x + 6y − 1 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal al dreptei date este (3, 6).
    2. Doi vectori normali ai aceleiași drepte sunt proporționali.
    3. Scriem a3 = 26 = 13.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: a = 1

  23. Exercițiul 23

    Arătați că dreptele d1: 2x − y + 3 = 0 și d2: 4x − 2y − 5 = 0 sunt paralele. Scrieți valoarea n11·n22 − n12·n21, unde n1 și n2 sunt vectorii normali.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii normali sunt n1 = (2, −1) și n2 = (4, −2).
    2. Calculăm determinantul: 2·(−2) − (−1)·4 = −4 + 4 = 0.
    3. Determinantul nul arată că normalele sunt proporționale (n2 = 2·n1).
    4. Dreptele cu normale proporționale sunt paralele. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 69 semi-ghidat · Pentru d1: 2x + y − 1 = 0 și d2: x − 2y + 3 = 0, scrieți cei doi vectori normali.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru d1: 2x + y − 1 = 0 avem n1 = (2, 1).
    2. Pentru d2: x − 2y + 3 = 0 avem n2 = (1, −2).
    3. Termenii liberi nu intră în vectorii normali.

    Răspuns: n1 = (2, 1) și n2 = (1, −2)

  25. Exercițiul 25

    Acum scrieți valoarea produsului scalar n1·n2 și trage concluzia.

    Vezi rezolvarea
    1. n1·n2 = 2·1 + 1·(−2) = 2 − 2 = 0.
    2. Produsul scalar nul înseamnă că normalele sunt perpendiculare.
    3. Dacă normalele sunt perpendiculare, atunci și dreptele sunt perpendiculare.
    4. Răspuns final: n1·n2 = 0, deci d1 ⟂ d2.

    Răspuns: 0

  26. Exercițiul 26

    Determinați un vector normal unitar al dreptei 3x + 4y − 5 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal este n = (3, 4), din coeficienții lui x și y.
    2. Calculăm modulul: |n| = 32 + 42 = 5.
    3. Împărțim la modul: n0 = (35, 45).
    4. Și opusul, (−35, −45), este tot vector normal unitar. Răspuns final: (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  27. Exercițiul 27

    Calculați modulul vectorului v = (3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula modulului: |v| = v12 + v22.
    2. Înlocuim: |v| = 32 + 42 = 9 + 16.
    3. |v| = √25.
    4. Răspuns final: |v| = 5.

    Răspuns: 5

  28. Exercițiul 28

    Determinați versorul vectorului v = (3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Versorul este e = v|v|, definit pentru v ≠ 0.
    2. Calculăm modulul: |v| = 32 + 42 = 5.
    3. Împărțim fiecare coordonată la 5: e = (35, 45).
    4. Control: |e| = 925 + 1625 = 1. Răspuns final: e = (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  29. Exercițiul 29

    Determinați versorul vectorului v = (−5, 12).

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm modulul: |v| = (−5)2 + 122 = 25 + 144 = √169 = 13.
    2. Împărțim fiecare coordonată la 13.
    3. Semnul minus se păstrează pe prima coordonată.
    4. Răspuns final: e = (−513, 1213).

    Răspuns: (−513, 1213)

  30. Exercițiul 30

    Determinați versorul vectorului v = (0, −7).

    Vezi rezolvarea
    1. Modulul este |v| = 02 + (−7)2 = 7.
    2. Împărțim: e = (07, −77).
    3. Vectorul are direcția axei Oy, cu sensul negativ.
    4. Răspuns final: e = (0, −1).

    Răspuns: (0, −1)

  31. Exercițiul 31

    Arătați că e = (√22, √22) este versor. Scrieți valoarea modulului |e|.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector este versor dacă are modulul egal cu 1.
    2. Calculăm: |e| = (√22)2 + (√22)2.
    3. Fiecare pătrat este 24 = 12, deci |e| = 12 + 12 = √1.
    4. Răspuns final: |e| = 1, deci e este versor.

    Răspuns: 1

  32. Exercițiul 32

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Determinăm vectorul: AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).
    2. Calculăm modulul: |AB| = 32 + 42 = 5.
    3. Versorul este e = AB|AB| = (35, 45).
    4. Răspuns final: e = (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  33. Exercițiul 33

    Exercițiul 77 semi-ghidat · Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați coordonatele vectorului BA.

    Vezi rezolvarea
    1. BA = (xA − xB, yA − yB).
    2. Prima coordonată: 1 − 4 = −3.
    3. A doua coordonată: 2 − 6 = −4.
    4. Rezultă BA = (−3, −4), opusul vectorului AB.

    Răspuns: (−3, −4)

  34. Exercițiul 34

    Acum determinați versorul vectorului BA.

    Vezi rezolvarea
    1. Modulul este |BA| = (−3)2 + (−4)2 = 5.
    2. Împărțim fiecare coordonată la 5: e = (−35, −45).
    3. Versorul lui BA este opusul versorului lui AB, pentru că sensul este invers.
    4. Răspuns final: e = (−35, −45).

    Răspuns: (−35, −45)

  35. Exercițiul 35

    Se consideră versorii axelor i = (1, 0), j = (0, 1) și vectorul v = 3i − 4j. Determinați |v|.

    Vezi rezolvarea
    1. Scrierea v = 3i − 4j înseamnă v = 3·(1, 0) − 4·(0, 1) = (3, −4).
    2. Calculăm modulul: |v| = 32 + (−4)2 = 9 + 16 = 5.
    3. Versorul lui v este (35, −45), adică (35)i − (45)j.
    4. Răspuns final: |v| = 5.

    Răspuns: 5

  36. Exercițiul 36

    Determinați k > 0 astfel încât e = (k, 35) să fie versor.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția de versor este |e| = 1, adică k2 + (35)2 = 1.
    2. Obținem k2 + 925 = 1, deci k2 = 1625.
    3. Rezultă k = ±45, iar condiția k > 0 păstrează o singură valoare.
    4. Răspuns final: k = 45.

    Răspuns: 45

  37. Exercițiul 37

    Exercițiul 80 ghidat · Dreapta trece prin A(2, −1) și are vector normal unitar e = (35, 45). Pasul 1: verificați că e este într-adevăr versor. Cât este |e|?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm |e| = (35)2 + (45)2.
    2. (35)2 = 925 și (45)2 = 1625, iar suma este 2525 = 1.
    3. Deci |e| = √1 = 1, ceea ce confirmă că e este versor.

    Răspuns: 1

  38. Exercițiul 38

    Pasul 2: ce formulă aplicăm pentru dreapta prin A(x0, y0) cu normala (a, b)?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula este a(x − x0) + b(y − y0) = 0, indiferent dacă normala este unitară sau nu.
    2. Aici a = 35, b = 45, x0 = 2 și y0 = −1.
    3. Obținem (35)(x − 2) + (45)(y + 1) = 0.

    Răspuns: a(x − x0) + b(y − y0) = 0

  39. Exercițiul 39

    Pasul 3: cum scăpăm cel mai simplu de numitorii 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțind ambii membri cu 5 obținem o ecuație echivalentă.
    2. (35)(x − 2)·5 = 3(x − 2), iar (45)(y + 1)·5 = 4(y + 1).
    3. Ecuația devine 3(x − 2) + 4(y + 1) = 0.
    4. Membrul drept rămâne 0, pentru că 0·5 = 0.

    Răspuns: Înmulțim toată ecuația cu 5

  40. Exercițiul 40

    Pasul 4: scrieți ecuația finală, sub forma ax + by + c = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Desfacem: 3x − 6 + 4y + 4 = 0.
    2. Adunăm termenii liberi: −6 + 4 = −2.
    3. Verificare cu A(2, −1): 3·2 + 4·(−1) − 2 = 6 − 4 − 2 = 0.
    4. Răspuns final: 3x + 4y − 2 = 0.

    Răspuns: 3x + 4y − 2 = 0

  41. Exercițiul 41

    Pentru A(−1,2), B(3,5), C(5,1), calculează vectorul AB+BC.

    Vezi rezolvarea
    1. AB=(4;3). Coordonate finale minus inițiale: (3−(−1),5−2)=(4,3).
    2. BC=(2;−4). (5−3,1−5)=(2,−4). Păstrăm semnul ordonatei.
    3. AB+BC=(6;−1)=AC. Adunăm coordonatele corespunzătoare: (4+2,3−4). Direct, AC=(5−(−1),1−2)=(6,−1).

    Răspuns: AB+BC=(6;−1)=AC

Fișa integrală · vectori normali, directori și versori (20)

  1. 61. Vector normal

    Pentru dreapta d: 3x − 2y + 5 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi răspunsul

    n = (3, −2) (coeficienții lui x și y)

  2. 62. Vector normal

    Pentru dreapta d: 4x + y − 7 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi răspunsul

    n = (4, 1)

  3. 63. Vector director

    Pentru dreapta d: 2x + 3y − 1 = 0, scrieți un vector director.

    Vezi răspunsul

    u = (3, −2) (perpendicular pe normala (2, 3); merge și (−3, 2)).

  4. 64. Vector director

    Arătați că u = (2, 5) este vector director al dreptei d: 5x − 2y + 1 = 0. Scrieți valoarea produsului scalar n·u, unde n este vectorul normal al dreptei.

    Vezi răspunsul

    n = (5, −2), iar n · u = 5 · 2 + (−2) · 5 = 0, deci u este paralel cu dreapta.

  5. 65. Dreaptă cu normală

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și are vector normal n = (3, −4).

    Vezi răspunsul

    3(x − 1) − 4(y − 2) = 0, adică 3x − 4y + 5 = 0.

  6. 66. Dreaptă cu normală

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(−2, 1) și are vector normal n = (1, 2).

    Vezi răspunsul

    (x + 2) + 2(y − 1) = 0, adică x + 2y = 0.

  7. 67. Parametru

    Determinați a, știind că n = (a, 2) este vector normal al dreptei 3x + 6y − 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    (a, 2) trebuie să fie proporțional cu (3, 6): a3 = 26, deci a = 1.

  8. 68. Paralelism

    Arătați că dreptele d1: 2x − y + 3 = 0 și d2: 4x − 2y − 5 = 0 sunt paralele. Scrieți valoarea n11·n22 − n12·n21, unde n1 și n2 sunt vectorii normali.

    Vezi răspunsul

    n1 = (2, −1), n2 = (4, −2): 2 · (−2) − (−1) · 4 = 0. Normalele sunt coliniare, iar dreptele nu coincid, deci sunt paralele.

  9. 69. Perpendicularitate

    Arătați că dreptele d1: 2x + y − 1 = 0 și d2: x − 2y + 3 = 0 sunt perpendiculare. Scrieți valoarea produsului scalar n1·n2.

    Vezi răspunsul

    n1 · n2 = 2 · 1 + 1 · (−2) = 0, deci dreptele sunt perpendiculare.

  10. 70. Normal unitar

    Determinați un vector normal unitar al dreptei 3x + 4y − 5 = 0.

    Vezi răspunsul

    (35, 45) (sau opusul lui, (−35, −45)).

  11. 71. Modul

    Calculați modulul vectorului v = (3, 4).

    Vezi răspunsul

    |v| = 9 + 16 = 5

  12. 72. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (3, 4).

    Vezi răspunsul

    (35, 45)

  13. 73. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (−5, 12).

    Vezi răspunsul

    |v| = 13, deci versorul este (−513, 1213).

  14. 74. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (0, −7).

    Vezi răspunsul

    (0, −1)

  15. 75. Versor

    Arătați că e = (√22, √22) este versor. Scrieți valoarea modulului |e|.

    Vezi răspunsul

    |e| = 12 + 12 = 1, deci e este versor.

  16. 76. Versorul unei direcții

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 4), cu modulul 5: versorul este (35, 45).

  17. 77. Versorul unei direcții

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului BA.

    Vezi răspunsul

    (−35, −45)

  18. 78. Versorii axelor

    Se consideră versorii axelor i = (1, 0), j = (0, 1) și vectorul v = 3i − 4j. Determinați |v|.

    Vezi răspunsul

    v = (3, −4), deci |v| = 5.

  19. 79. Parametru

    Determinați k > 0 astfel încât e = (k, 35) să fie versor.

    Vezi răspunsul

    k2 + 925 = 1, deci k2 = 1625 și k = 45.

  20. 80. Mixt

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(2, −1) și are vector normal unitar e = (35, 45).

    Vezi răspunsul

    (35)(x − 2) + (45)(y + 1) = 0, adică 3x + 4y − 2 = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.