Încărcăm partea curentă…

Nivelul 3 · unghiul dublu și identități

Unghiul dublu înseamnă α + α

2α este un unghi de două ori mai mare. Punctul pentru 2α se află tot pe cercul de rază 1; nu dublezi coordonatele punctului pentru α. În special, sin(2α) nu este 2sin α.

În formula sumei punem ambele unghiuri egale cu α. La sinus apar două produse egale, sin α·cos α și cos α·sin α, deci se adună în 2sin α cos α. La cosinus obținem cos2α − sin2α. Pătratul înseamnă produsul unei valori cu ea însăși, nu dublarea unghiului.

De ținut minte

sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2α − sin2α
sin2α înseamnă (sin α) · (sin α)

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează sin120° folosind α = 60°.

  1. 1120° = 2·60°, deci folosim formula unghiului dublu.
  2. 2Scriem sin120° = 2sin60°cos60°.
  3. 3Din tabel, sin60° = √32.
  4. 4Separat, cos60° = 12.
  5. 5Înmulțim cele două fracții: (√32)(12) = √34.
  6. 6Dublăm rezultatul: 2·√34 = 2√34.
  7. 7Simplificăm factorul 2 din 24: sin120° = √32.
  8. 8Rezultatul este pozitiv, cum trebuie pentru sinus în cadranul II.

Greșeală frecventă

Greșit: sin(2α) = 2sin α

De ce: Lipsește factorul cos α. Punctele α și 2α sunt ambele pe cercul de rază 1.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 3 · unghiul dublu și identități: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un desen simplu, o idee explicată, un exemplu cu alte date și trei exerciții în pași mici. Poți lucra integral pe ecran, cu rezultatele intermediare păstrate.

Unghiul dublu înseamnă α + α

2α este un unghi de două ori mai mare. Punctul pentru 2α se află tot pe cercul de rază 1; nu dublezi coordonatele punctului pentru α. În special, sin(2α) nu este 2sin α.

În formula sumei punem ambele unghiuri egale cu α. La sinus apar două produse egale, sin α·cos α și cos α·sin α, deci se adună în 2sin α cos α. La cosinus obținem cos2α − sin2α. Pătratul înseamnă produsul unei valori cu ea însăși, nu dublarea unghiului.

  • sin(2α) = 2 sin α cos α
  • cos(2α) = cos2α − sin2α
  • sin2α înseamnă (sin α) · (sin α)

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează sin120° folosind α = 60°.

  1. 120° = 2·60°, deci folosim formula unghiului dublu.
  2. Scriem sin120° = 2sin60°cos60°.
  3. Din tabel, sin60° = √32.
  4. Separat, cos60° = 12.
  5. Înmulțim cele două fracții: (√32)(12) = √34.
  6. Dublăm rezultatul: 2·√34 = 2√34.
  7. Simplificăm factorul 2 din 24: sin120° = √32.
  8. Rezultatul este pozitiv, cum trebuie pentru sinus în cadranul II.

Greșeală frecventă: sin(2α) = 2sin α Lipsește factorul cos α. Punctele α și 2α sunt ambele pe cercul de rază 1.

Alegi forma lui cos(2α) după ce cunoști

Pe cercul de rază 1, teorema lui Pitagora dă sin2α + cos2α = 1. Dacă știm sinusul, înlocuim cos2α cu 1 − sin2α. Dacă știm cosinusul, înlocuim sin2α cu 1 − cos2α.

Obținem două forme utile: cos(2α) = 1 − 2sin2α și cos(2α) = 2cos2α − 1. Sunt aceeași valoare. Alegi forma care folosește datele enunțului, apoi faci pătratul, dublarea și scăderea pe rând.

La o fracție, ridici la pătrat atât numărătorul, cât și numitorul: (12)2 = 14. Dacă numărătorul nu este 1, îl ridici și pe el la pătrat: (35)2 = 925, nu 325.

  • sin2α + cos2α = 1
  • cos(2α) = 1 − 2sin2α
  • cos(2α) = 2cos2α − 1

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează cos90° cu α = 45° și cos45° = √22.

  1. 90° = 2·45°. Știm cos45°, deci alegem 2cos2α − 1.
  2. Punem cos45° = √22 în formulă.
  3. Pătratul numărătorului este (√2)2 = 2.
  4. Pătratul numitorului este 22 = 4.
  5. Fracția pătrată este 24 = 12.
  6. Dublăm: 2·(12) = 1.
  7. Scădem 1: cos90° = 1 − 1 = 0.
  8. Pe desen, punctul pentru 90° este pe Oy și are abscisa zero.

Greșeală frecventă: (12)2 = 12 Pătratul fracției ridică la pătrat ambii termeni: 1222 = 14.

Valori date: nu trebuie să afli unghiul

Dacă enunțul oferă sin α și cos α, le înlocuiești direct. Nu calculezi α și nu ai nevoie de calculator trigonometric. Pentru sin(2α) înmulțești valorile și dublezi produsul; pentru cos(2α) scazi pătratele.

Înmulțirea fracțiilor înseamnă produsul numărătorilor peste produsul numitorilor. La scădere, după ce pătratele au același numitor, scazi doar numărătorii. Într-un calcul mai lung, fiecare operație este un pas separat și valorile rămân vizibile.

  • sin(2α) = 2 sin α cos α
  • cos(2α) = cos2α − sin2α

Exemplu rezolvat · alte date

sin α = 45 și cos α = 35. Calculează sin(2α) și cos(2α).

  1. Alegem pentru sinus formula cu produsul: 2·(45)·(35).
  2. Înmulțim numărătorii: 4·3 = 12.
  3. Înmulțim numitorii: 5·5 = 25. Produsul este 1225.
  4. Dublăm numărătorul: 2·12 = 24, deci sin(2α) = 2425.
  5. Pentru cosinus alegem diferența pătratelor: (35)2 − (45)2.
  6. Primul pătrat este 925; al doilea este 1625.
  7. Scădem numărătorii: 9 − 16 = −7.
  8. Rezultă cos(2α) = −725. Minusul este posibil chiar dacă ambele valori inițiale erau pozitive.

Greșeală frecventă: cos(2α) = cos α − sin α Formula cere pătratele valorilor, nu valorile inițiale. Calculează separat fiecare pătrat.

Dacă este dată numai tangenta

Tangenta este tg α = sin αcos α și există numai când cos α ≠ 0. Notăm valoarea ei cu t. Din relația fundamentală rezultă 1 + t2 = 1cos2α.

Înmulțind fracția 2t1+t2 cu cos2α la numărător și numitor, obținem 2sin α cos α. Așadar sin(2α) = 2t1+t2. Nu trebuie să reconstruiești separat sinusul și cosinusul lui α.

Când numitorul final este o fracție, împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa ei. Calculăm pe rând t2, 1+t2, 2t și fracția finală.

  • t = tg α
  • sin(2α) = 2t1 + t2
  • a : (bc) = a · (cb), cu b și c nenule

Exemplu rezolvat · alte date

Dacă tg α = 34, calculează sin(2α).

  1. Notăm t = 34 și alegem formula 2t1+t2.
  2. Pătratul numărătorului este 32 = 9.
  3. Pătratul numitorului este 42 = 16, deci t2 = 916.
  4. Scriem 1 = 1616 pentru a putea aduna.
  5. Numitorul formulei devine 1616 + 916 = 2516.
  6. Numărătorul formulei este 2·34 = 64 = 32.
  7. Împărțim: (32):(2516) = (32)·(1625).
  8. Simplificăm 16 cu 2: 3·825 = 2425.
  9. Prin urmare sin(2α) = 2425, fără să aflăm unghiul α.

Greșeală frecventă: Împărțirea la 54 înseamnă înmulțire cu 54 La împărțire inversezi a doua fracție: înmulțești cu 45.

Expresiile 1 + cos(2α) și 1 − cos(2α)

Alegem forma lui cos(2α) care reduce constanta 1. Pentru 1 + cos(2α), punem 2cos2α − 1: cei doi termeni 1 se reduc. Pentru 1 − cos(2α), punem 1 − 2sin2α.

Minusul din fața unei paranteze schimbă toate semnele din ea. De aceea 1 − (1 − 2sin2α) = 1 − 1 + 2sin2α. Când expresia este 2sin2α − 1, recunoști opusul lui 1 − 2sin2α.

  • 1 + cos(2α) = 2cos2α
  • 1 − cos(2α) = 2sin2α
  • 2sin2α − 1 = −cos(2α)

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică 1 − cos(2β), apoi calculează valoarea pentru sin β = 12.

  1. Vedem că expresia conține 1 minus cosinusul unghiului dublu.
  2. Alegem forma cos(2β) = 1 − 2sin2β.
  3. Înlocuim cu paranteză: 1 − (1 − 2sin2β).
  4. Desfacem minusul: 1 − 1 + 2sin2β.
  5. Constantele se reduc și rămâne 2sin2β.
  6. Cu sin β = 12, pătratul este 14.
  7. Dublăm: 2·14 = 12. Formula și calculul au fost sarcini separate.

Greșeală frecventă: 1 − (1 − 2sin2α) = −2sin2α Minusul din fața parantezei schimbă și semnul termenului −2sin2α, care devine pozitiv.

Simplifici factori, după ce verifici că sunt nenuli

Ca să simplifici o fracție, scrii numărătorul ca produs, apoi elimini un factor comun nenul. Nu elimini un termen dintr-o sumă. Condiția din enunț garantează că împărțirea are sens.

Înlocuiești mai întâi sin(2α), 1+cos(2α) sau 1−cos(2α) cu formula potrivită. Apoi observi factorul care se repetă sus și jos; ce rămâne este rezultatul. Dacă factorul poate fi zero, păstrezi condiția de existență.

  • sin(2α) = 2sin α cos α
  • 1 + cos(2α) = 2cos2α
  • 1 − cos(2α) = 2sin2α

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică sin(2β)2cos β, unde cos β ≠ 0.

  1. Numitorul 2cos β este nenul prin condiția din enunț.
  2. Înlocuim sinusul unghiului dublu: sin(2β) = 2sin β cos β.
  3. Fracția este 2sin β cos β2cos β.
  4. Factorul 2cos β apare și sus, și jos.
  5. Putem simplifica deoarece am verificat că acest factor nu este zero.
  6. Rămâne sin β. Nu rămâne cos β: acela a fost factorul eliminat.
  7. Condiția cos β ≠ 0 rămâne valabilă și după simplificare.

Greșeală frecventă: Simplificăm fără condiții de existență Nu putem împărți la zero. Verificăm mai întâi că factorul comun este nenul.

Alegi metoda după cerință: unghi sau valoare

La o cerință de Bac, citești mai întâi ce se cere. Dacă este un unghi și se dă cos(2α), afli 2α din tabel și apoi îl împarți la 2. Condiția «α ascuțit» înseamnă 0° < α < 90°, deci 0° < 2α < 180° și te ajută să alegi o singură soluție.

Dacă se cere o valoare ca sin75°, nu forțezi formula unghiului dublu: folosești 45°+30° și formula sumei, învățată la nivelul 1. În fiecare caz păstrezi numele funcției și verifici semnul rezultatului.

  • α ascuțit ⇒ 0° < 2α < 180°
  • sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b

Exemplu rezolvat · alte date

α este ascuțit și cos(2α) = −12. Află α.

  1. Cerința cere unghiul α, nu formula cosinusului.
  2. α este ascuțit, deci unghiul 2α este între 0° și 180°.
  3. În tabelul extins, cos120° = −12.
  4. Pe intervalul (0°,180°), cosinusul scade strict, deci valoarea −12 apare o singură dată.
  5. Rezultă 2α = 120°, nu α = 120°.
  6. Împărțim la 2: α = 60°.
  7. Verificăm condiția: 60° este ascuțit, iar cos(2·60°) = −12.

Greșeală frecventă: cos(2α) = 0 ⇒ α = 90° 90° este valoarea lui 2α. Trebuie încă o împărțire la 2, iar rezultatul să fie ascuțit.

Exerciții rezolvate din lecție (21)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Formula pentru sin 2a este:

    Vezi rezolvarea
    1. sin2a=sin(a+a).
    2. Aplicăm formula sumei: sin a cos a+cos a sin a.
    3. Rezultă 2sin a cos a.

    Răspuns: 2 sin a cos a

  2. Exercițiul 2

    O formulă corectă pentru cos 2a este:

    Vezi rezolvarea
    1. cos2a=cos(a+a).
    2. Formula sumei dă cos2a−sin2a.
    3. Aceasta este forma de bază.

    Răspuns: cos2a−sin2a

  3. Exercițiul 3

    Calculează sin 60° folosind formula de unghi dublu cu a=30°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin60°=2·sin30°·cos30°.
    2. Înlocuim 12 și √32.
    3. Obținem √32.

    Răspuns: √32

  4. Exercițiul 4

    Care este o altă formă pentru cos 2a?

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la cos2a=cos2a−sin2a.
    2. Punem cos2a=1−sin2a.
    3. Obținem cos2a=1−2sin2a.

    Răspuns: 1−2sin2a

  5. Exercițiul 5

    Exprimă cos 2a numai în funcție de cos a.

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la cos2a−sin2a.
    2. Punem sin2a=1−cos2a.
    3. Rezultă 2cos2a−1.

    Răspuns: 2cos2a−1

  6. Exercițiul 6

    Calculează cos 60° folosind 1−2sin230°.

    Vezi rezolvarea
    1. cos60°=1−2·(12)2.
    2. Calculăm 1−2·14.
    3. Rezultă 1−12=12.

    Răspuns: 12

  7. Exercițiul 7

    Dacă sin a=35 și cos a=45, cât este sin 2a?

    Vezi rezolvarea
    1. sin2a=2·(35)·(45).
    2. Numărătorul este 24, numitorul 25.
    3. Rezultă 2425.

    Răspuns: 2425

  8. Exercițiul 8

    Cu aceleași date, cât este cos 2a?

    Datele problemei: sin a = 35 și cos a = 45.

    Vezi rezolvarea
    1. cos2a=(45)2−(35)2.
    2. Obținem 1625−925.
    3. Rezultă 725.

    Răspuns: 725

  9. Exercițiul 9

    Dacă sin α = 513 și cos α = 1213, calculează cos(2α).

    Vezi rezolvarea
    1. Cosinusul unghiului dublu este diferența pătratelor.
    2. 12·10 = 120.
    3. 12·2 = 24.
    4. 122 = 120+24 = 144.
    5. 52 = 25.
    6. 13·10 = 130.
    7. 13·3 = 39.
    8. Descompunem 39 în 30+9. După primele 30, suma este 160.
    9. 132 = 169. Ambele fracții au numitorul 169.
    10. Descompunem 25 în 20+5. După scăderea lui 20 rămâne 124.
    11. Diferența numărătorilor este 119; numitorul rămâne 169.
    12. cos(2α) = 144169−25169 = 119169.

    Răspuns: 119169

  10. Exercițiul 10

    Dacă tg a=12 și a este ascuțit, cât este sin 2a?

    Vezi rezolvarea
    1. sin2a=2t1+t2, cu t=tg a.
    2. Înlocuim t=12: 11+14.
    3. Rezultă 154=45.

    Răspuns: 45

  11. Exercițiul 11

    Dacă tg α = 1, calculează sin(2α).

    Vezi rezolvarea
    1. Sinusul unghiului dublu este 2t1+t2.
    2. Pătratul înseamnă înmulțirea valorii cu ea însăși.
    3. Numitorul este 1+t2 = 2.
    4. Numărătorul este 2t = 2.
    5. Fracția este 22 = 1.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Dacă tg α = 2, calculează sin(2α).

    Vezi rezolvarea
    1. Sinusul unghiului dublu este 2t1+t2.
    2. Pătratul înseamnă înmulțirea valorii cu ea însăși.
    3. Numitorul este 1+t2 = 5.
    4. Numărătorul este 2t = 4.
    5. Numărătorul este 4, numitorul 5: sin(2α) = 45.

    Răspuns: 45

  13. Exercițiul 13

    Simplifică 2sin2a−1.

    Vezi rezolvarea
    1. Știm că cos2a=1−2sin2a.
    2. Înmulțim egalitatea cu −1.
    3. Rezultă 2sin2a−1=−cos2a.

    Răspuns: −cos 2a

  14. Exercițiul 14

    Simplifică 1+cos 2a.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim cos2a cu 2cos2a−1.
    2. 1+cos2a=1+2cos2a−1.
    3. Rămâne 2cos2a.

    Răspuns: 2cos2a

  15. Exercițiul 15

    Simplifică 1−cos 2a.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim cos2a cu 1−2sin2a.
    2. 1−cos2a=1−(1−2sin2a).
    3. Rezultă 2sin2a.

    Răspuns: 2sin2a

  16. Exercițiul 16

    Simplifică sin 2a2sin a, unde sin a≠0.

    Vezi rezolvarea
    1. sin2a=2sin a cos a.
    2. Împărțim la 2sin a, permis deoarece sin a≠0.
    3. Rămâne cos a.

    Răspuns: cos a

  17. Exercițiul 17

    Simplifică 1+cos(2α)2cos α, unde cos α ≠ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem cos(2α) = 2cos2α−1 și reducem 1 cu −1.
    2. cos2α înseamnă cos α·cos α.
    3. Numitorul este 2cos α, nenul deoarece cos α ≠ 0.
    4. Din 2cos α·cos α2cos α rămâne cos α, pe domeniul inițial.

    Răspuns: cos α

  18. Exercițiul 18

    Simplifică 1−cos(2α)2sin α, unde sin α ≠ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem cos(2α) = 1−2sin2α și desfacem minusul parantezei.
    2. sin2α înseamnă sin α·sin α.
    3. Numitorul este 2sin α, nenul prin condiția sin α ≠ 0.
    4. Din 2sin α·sin α2sin α rămâne sin α.

    Răspuns: sin α

  19. Exercițiul 19

    Dacă a este ascuțit și cos 2a=0, atunci a este:

    Vezi rezolvarea
    1. cos2a=0 pentru 2a=90° în intervalul relevant.
    2. Împărțim la 2.
    3. Obținem a=45°.

    Răspuns: 45°

  20. Exercițiul 20

    Calculează sin(75°) folosind 75°=45°+30°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°. Sinusul unei sume nu este suma sinusurilor. Folosim produsele încrucișate și semnul plus.
    2. (√22)(√32)+(√22)(12). sin45°=cos45°=√22, cos30°=√32 și sin30°=12.
    3. sin75°=√6+√24. Ambele produse au numitorul 4. Radicalii diferiți nu se adună sub același radical.

    Răspuns: √6+√24

  21. Exercițiul 21

    α este ascuțit și cos(2α) = 12. Află α în grade.

    Vezi rezolvarea
    1. Dublăm 0° < α < 90° și obținem 0° < 2α < 180°.
    2. În tabel cos60° = 12, iar pe (0°,180°) cosinusul este strict descrescător.
    3. Împărțim la 2: α = 30°. Unghiul este ascuțit și verifică enunțul.

    Răspuns: 30

Formule trigonometrice · întâi semnul, apoi calculul (14)

  1. 1. Recunoaștem formula

    Formula pentru sin 2a este:

    Vezi răspunsul

    sin 2a = 2 sin a cos a

  2. 2. Recunoaștem formula

    O formulă corectă pentru cos 2a este:

    Vezi răspunsul

    cos 2a = cos2a − sin2a

  3. 3. Recunoaștem formula

    Care este o altă formă pentru cos 2a?

    Vezi răspunsul

    cos 2a = 1 − 2sin2a (sau 2cos2a − 1)

  4. 4. Recunoaștem formula

    Exprimă cos 2a numai în funcție de cos a.

    Vezi răspunsul

    cos 2a = 2cos2a − 1

  5. 5. Calculăm pas cu pas

    Calculează sin 60° folosind formula de unghi dublu cu a=30°.

    Vezi răspunsul

    2 · (12) · (√32) = √32

  6. 6. Calculăm pas cu pas

    Calculează cos 60° folosind 1−2sin230°.

    Vezi răspunsul

    1 − 2 · 14 = 12

  7. 7. Calculăm pas cu pas

    Dacă sin a=35 și cos a=45, cât este sin 2a?

    Vezi răspunsul

    2 · (35) · (45) = 2425

  8. 8. Calculăm pas cu pas

    Cu aceleași date, cât este cos 2a?

    Vezi răspunsul

    1625 − 925 = 725

  9. 9. Calculăm pas cu pas

    Simplifică 2sin2a−1.

    Vezi răspunsul

    −cos 2a

  10. 10. Calculăm pas cu pas

    Simplifică 1+cos 2a.

    Vezi răspunsul

    2cos2a

  11. 11. Model de Bac

    Simplifică 1−cos 2a.

    Vezi răspunsul

    2sin2a

  12. 12. Model de Bac

    Dacă a este ascuțit și cos 2a=0, atunci a este:

    Vezi răspunsul

    a = 45° (π4): 2a = 90°.

  13. 13. Model de Bac

    Simplifică sin 2a2sin a, unde sin a≠0.

    Vezi răspunsul

    cos a

  14. 14. Model de Bac

    Dacă tg a=12 și a este ascuțit, cât este sin 2a?

    Vezi răspunsul

    sin 2a = 2tg a1 + tg2a = 1 : (54) = 45

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.