Nivelul 3 · unghiul dublu și identități

Unghiul dublu este doar cazul a+a al formulelor precedente. Cele trei forme pentru cos2a permit să alegi formula care conține numai sinus sau numai cosinus.

Alege forma care elimină necunoscuta pe care nu o cunoști: 1−2sin²a sau 2cos²a−1.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Pe cercul de rază 1, raza OQ formează α = 30° cu axa pozitivă, iar OP formează 2α = 60°. Q = (√3/2, 1/2), P = (1/2, √3/2). Unghiul se dublează, dar coordonatele nu: sin(2α) = 2 sin α cos α, iar cos(2α) = cos²α − sin²α.

Formulele de bază

sin2a=2sin a cos a

cos2a=cos²a−sin²a

cos2a=1−2sin²a

cos2a=2cos²a−1

1+cos2a=2cos²a.
1−cos2a=2sin²a.
Verifică semnul lui 2a dacă extragi ulterior o rădăcină.

Exemplu cu date raționale

sin a=3/5 și cos a=4/5

Calculează sin2a și cos2a.

1.sin2a=2·35·45=2425.
2.cos2a=(45)²−(35)².
3.cos2a=16−925=725.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFormule trigonometrice · întâi semnul, apoi calculul · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Formula pentru sin 2a este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin 2a = 2 sin a cos a
Ex. 2Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
O formulă corectă pentru cos 2a este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos 2a = cos²a − sin²a
Ex. 3Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este o altă formă pentru cos 2a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos 2a = 1 − 2sin²a (sau 2cos²a − 1)
Ex. 4Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Exprimă cos 2a numai în funcție de cos a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos 2a = 2cos²a − 1
Ex. 5Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Calculează sin 60° folosind formula de unghi dublu cu a=30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · (12) · (√32) = √32
Ex. 6Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Calculează cos 60° folosind 1−2sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 2 · 14 = 12
Ex. 7Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă sin a=35 și cos a=45, cât este sin 2a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · (35) · (45) = 2425
Ex. 8Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Cu aceleași date, cât este cos 2a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1625 − 925 = 725
Ex. 9Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Simplifică 2sin²a−1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−cos 2a
Ex. 10Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Simplifică 1+cos 2a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2cos²a
Ex. 11Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Simplifică 1−cos 2a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2sin²a
Ex. 12Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă a este ascuțit și cos 2a=0, atunci a este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 45° (π4): 2a = 90°.
Ex. 13Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Simplifică sin 2a/(2sin a), unde sin a≠0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos a
Ex. 14Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă tg a=12 și a este ascuțit, cât este sin 2a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin 2a = 2tg a/(1 + tg²a) = 1 : (54) = 45