Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Suma și diferența sinusurilor
O sumă de sinusuri devine produs: 2 ori sinusul semisumei ori cosinusul semidiferenței. Semisuma este a + b2, iar semidiferența este a − b2.
La diferența sinusurilor, funcțiile își schimbă locul: 2 ori cosinusul semisumei ori sinusul semidiferenței.
🌍 În viața reală
Când două note muzicale foarte apropiate sună împreună, sunetul crește și scade ritmic, fenomen numit bătăi: suma a două sinusuri devine un produs, iar un factor dă ritmul.
🧮 De ținut minte
sin a + sin b = 2 · sin(semisumă) · cos(semidiferență)
sin a − sin b = 2 · cos(semisumă) · sin(semidiferență)
semisuma = a + b2
semidiferența = a − b2
✏️Exemplu cu alte date
Transformă sin 50° + sin 30° în produs.
1Semisuma: 50° + 30°2 = 40°.
2Semidiferența: 50° − 30°2 = 10°.
3sin 50° + sin 30° = 2 sin 40° cos 10°.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Nivelul 4 · transformarea sumei în produs: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.
Suma și diferența sinusurilor
O sumă de sinusuri devine produs: 2 ori sinusul semisumei ori cosinusul semidiferenței. Semisuma este a + b2, iar semidiferența este a − b2.
La diferența sinusurilor, funcțiile își schimbă locul: 2 ori cosinusul semisumei ori sinusul semidiferenței.
sin a + sin b = 2 · sin(semisumă) · cos(semidiferență)
sin a − sin b = 2 · cos(semisumă) · sin(semidiferență)
semisuma = a + b2
semidiferența = a − b2
Exemplu cu alte date
Transformă sin 50° + sin 30° în produs.
Semisuma: 50° + 30°2 = 40°.
Semidiferența: 50° − 30°2 = 10°.
sin 50° + sin 30° = 2 sin 40° cos 10°.
Suma și diferența cosinusurilor
Suma cosinusurilor devine 2 ori cosinusul semisumei ori cosinusul semidiferenței.
Diferența cosinusurilor are un minus în față: −2 ori sinusul semisumei ori sinusul semidiferenței.
cos a + cos b = 2 · cos(semisumă) · cos(semidiferență)
cos a − cos b = −2 · sin(semisumă) · sin(semidiferență)
Exemplu cu alte date
Transformă cos 80° − cos 20° în produs.
Semisuma: 50°; semidiferența: 30°.
cos 80° − cos 20° = −2 sin 50° sin 30°.
Cum sin 30° = 12, rezultatul este −sin 50°.
Calcule cu valori exacte
Transformarea în produs ajută când semisuma și semidiferența sunt unghiuri din tabel, chiar dacă unghiurile inițiale nu sunt.
Dacă unghiurile inițiale sunt din tabel, putem calcula și direct, fără transformare.
semisuma și semidiferența: unghiuri din tabel
√2·√3 = √6
Exemplu cu alte date
Calculează sin 105° + sin 15°.
Semisuma: 60°; semidiferența: 45°.
sin 105° + sin 15° = 2 sin 60° cos 45°.
= 2·(√32)·(√22) = √62.
Simplificări cu 3x și x
Pentru sin 3x ± sin x sau cos 3x ± cos x, semisuma este 2x, iar semidiferența este x. Aplicăm formula potrivită.
Rezultatul este un produs, util apoi la ecuații: un produs este 0 când unul dintre factori este 0.
3x + x2 = 2x
3x − x2 = x
Exemplu cu alte date
Transformă sin 5x − sin x în produs.
Semisuma: 3x; semidiferența: 2x.
Diferența sinusurilor este 2 cos(a + b2) sin(a − b2).
sin 5x − sin x = 2 cos 3x sin 2x.
Un produs egal cu zero
După transformarea în produs, o egalitate de forma sin a + sin b = 0 devine un produs egal cu 0.
Un produs este 0 doar dacă unul dintre factori este 0; dacă știm că un factor nu este 0, rămâne celălalt.
A·B = 0 ⇔ A = 0 sau B = 0
Exemplu cu alte date
Dacă cos a + cos b = 0 și cos(a − b2) ≠ 0, ce rezultă?
cos a + cos b = 2 cos(a + b2) cos(a − b2).
Produsul este 0, iar al doilea factor nu este 0.
Rezultă cos(a + b2) = 0.
Exerciții rezolvate din lecție (13)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Formula pentru sin a+sin b este:
Vezi rezolvarea
Suma a două sinusuri se transformă în produs.
Primul factor folosește sinusul semisumei.
Al doilea folosește cosinusul semidiferenței.
Răspuns: 2sin(a+b2)cos(a−b2)
Exercițiul 2
Formula pentru sin a−sin b este:
Vezi rezolvarea
La diferență, ordinea funcțiilor se schimbă.
Avem cosinusul semisumei și sinusul semidiferenței.
Formula este 2cos(a+b2)sin(a−b2).
Răspuns: 2cos(a+b2)sin(a−b2)
Exercițiul 3
Formula pentru cos a+cos b este:
Vezi rezolvarea
Suma cosinusurilor are coeficientul 2.
Ambii factori sunt cosinusuri.
Argumentele sunt semisuma și semidiferența.
Răspuns: 2cos(a+b2)cos(a−b2)
Exercițiul 4
Formula pentru cos a−cos b este:
Vezi rezolvarea
Diferența cosinusurilor se transformă într-un produs de sinusuri.
În față apare −2.
Formula este −2sin(a+b2)sin(a−b2).
Răspuns: −2sin(a+b2)sin(a−b2)
Exercițiul 5
Transformă sin 70°+sin 10° în produs.
Vezi rezolvarea
70°+10°2=40°.
70°−10°2=30°.
Rezultă 2sin40°cos30°.
Răspuns: 2sin40°cos30°
Exercițiul 6
Calculează cos 75°+cos 15°.
Vezi rezolvarea
cos75°+cos15°=2cos45°cos30°.
Înlocuim cos45°=√22 și cos30°=√32.
Rezultatul este 2·√64=√62.
Răspuns: √62
Exercițiul 7
Calculează sin 75°−sin 15°.
Vezi rezolvarea
sin75°−sin15°=2cos45°sin30°.
Înlocuim √22 și 12.
Rezultă 2·√22·12=√22.
Răspuns: √22
Exercițiul 8
Calculează cos 120°−cos 60°.
Vezi rezolvarea
cos120°=−12, iar cos60°=12.
Scădem: −12−12.
Rezultatul este −1.
Răspuns: −1
Exercițiul 9
Simplifică sin 3x+sin x.
Vezi rezolvarea
3x+x2=2x.
3x−x2=x.
Rezultă 2sin2x cos x.
Răspuns: 2sin2x cos x
Exercițiul 10
Simplifică cos 3x+cos x.
Vezi rezolvarea
Semisuma este 2x, semidiferența este x.
Aplicăm formula sumei cosinusurilor.
Rezultă 2cos2x cos x.
Răspuns: 2cos2x cos x
Exercițiul 11
Simplifică cos 3x−cos x.
Vezi rezolvarea
Semisuma este 2x, semidiferența este x.
Formula diferenței cosinusurilor are semnul minus.
Rezultă −2sin2x sin x.
Răspuns: −2sin2x sin x
Exercițiul 12
Dacă sin a+sin b=0 și cos(a−b2)≠0, atunci:
Vezi rezolvarea
sin a+sin b=2sin(a+b2)cos(a−b2).
Al doilea factor este nenul prin ipoteză.
Produsul este zero doar dacă sin(a+b2)=0.
Răspuns: sin(a+b2)=0
Exercițiul 13
Calculează sin(75°) folosind 75°=45°+30°.
Vezi rezolvarea
sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°. Sinusul unei sume nu este suma sinusurilor. Folosim produsele încrucișate și semnul plus.
(√22)(√32)+(√22)(12). sin45°=cos45°=√22, cos30°=√32 și sin30°=12.
sin75°=√6+√24. Ambele produse au numitorul 4. Radicalii diferiți nu se adună sub același radical.
Răspuns: sin75°=√6+√24
Formule trigonometrice · întâi semnul, apoi calculul (12)
1. Recunoaștem formula
Formula pentru sin a+sin b este:
Vezi răspunsul
sin a + sin b = 2 sin(a + b2) cos(a − b2)
2. Recunoaștem formula
Formula pentru sin a−sin b este:
Vezi răspunsul
sin a − sin b = 2 cos(a + b2) sin(a − b2)
3. Recunoaștem formula
Formula pentru cos a+cos b este:
Vezi răspunsul
cos a + cos b = 2 cos(a + b2) cos(a − b2)
4. Recunoaștem formula
Formula pentru cos a−cos b este:
Vezi răspunsul
cos a − cos b = −2 sin(a + b2) sin(a − b2)
5. Calculăm pas cu pas
Transformă sin 70°+sin 10° în produs.
Vezi răspunsul
2 sin 40° cos 30° = √3 sin 40°
6. Calculăm pas cu pas
Calculează cos 75°+cos 15°.
Vezi răspunsul
2 cos 45° cos 30° = 2 · (√22) · (√32) = √62
7. Calculăm pas cu pas
Calculează sin 75°−sin 15°.
Vezi răspunsul
2 cos 45° sin 30° = √22
8. Calculăm pas cu pas
Calculează cos 120°−cos 60°.
Vezi răspunsul
−12 − 12 = −1
9. Calculăm pas cu pas
Simplifică sin 3x+sin x.
Vezi răspunsul
2 sin 2x cos x
10. Calculăm pas cu pas
Simplifică cos 3x+cos x.
Vezi răspunsul
2 cos 2x cos x
11. Model de Bac
Simplifică cos 3x−cos x.
Vezi răspunsul
−2 sin 2x sin x
12. Model de Bac
Dacă sin a+sin b=0 și cos(a−b2)≠0, atunci:
Vezi răspunsul
2 sin(a + b2) cos(a − b2) = 0, iar cos(a − b2) ≠ 0, deci sin(a + b2) = 0: a + b = 2kπ, k ∈ ℤ.