Nivelul 4 · transformarea sumei în produs

Transformarea sumei în produs ajută la calcule exacte, factorizări și ecuații trigonometrice. De fiecare dată calculăm semisuma și semidiferența unghiurilor.

Semnul minus din formula cos a−cos b este o capcană frecventă. Verifică formula înainte de calcul.

Cele patru transformări

sin a+sin b=2sin(a+b2)cos(a−b2)

sin a−sin b=2cos(a+b2)sin(a−b2)

cos a+cos b=2cos(a+b2)cos(a−b2)

cos a−cos b=−2sin(a+b2)sin(a−b2)

Exemplu rapid

cos75°+cos15°

Transformă suma în produs și calculează.

1.Semisuma este 45°, iar semidiferența este 30°.
2.Suma devine 2cos45°cos30°.
3.Rezultatul este 2·√22·√32=√62.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFormule trigonometrice · întâi semnul, apoi calculul · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Formula pentru sin a+sin b este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin a + sin b = 2 sin(a + b2) cos(a − b2)
Ex. 2Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Formula pentru sin a−sin b este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin a − sin b = 2 cos(a + b2) sin(a − b2)
Ex. 3Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Formula pentru cos a+cos b este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos a + cos b = 2 cos(a + b2) cos(a − b2)
Ex. 4Recunoaștem formulaM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Formula pentru cos a−cos b este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos a − cos b = −2 sin(a + b2) sin(a − b2)
Ex. 5Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Transformă sin 70°+sin 10° în produs.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 sin 40° cos 30° = √3 sin 40°
Ex. 6Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Calculează cos 75°+cos 15°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 cos 45° cos 30° = 2 · (√22) · (√32) = √62
Ex. 7Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Calculează sin 75°−sin 15°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 cos 45° sin 30° = √22
Ex. 8Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Calculează cos 120°−cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−12 − 12 = −1
Ex. 9Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Simplifică sin 3x+sin x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 sin 2x cos x
Ex. 10Calculăm pas cu pasM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Simplifică cos 3x+cos x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 cos 2x cos x
Ex. 11Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Simplifică cos 3x−cos x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−2 sin 2x sin x
Ex. 12Model de BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Dacă sin a+sin b=0 și cos(a−b2)≠0, atunci:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 sin(a + b2) cos(a − b2) = 0, iar cos(a − b2) ≠ 0, deci sin(a + b2) = 0: a + b = 2kπ, k ∈ ℤ.