Trigonometrie și teoreme în triunghi · nivel M1

Lecția M1 pornește de la valorile exacte și ajunge la teoremele din triunghiul oarecare, raza cercului circumscris și probleme cu aria dată.

Alege o singură formulă principală pentru fiecare exercițiu; combinarea a două teoreme fără nevoie duce la erori de semn.

Valorile exacte și identitatea fundamentală

Exercițiul 6 verifică trigonometria și geometria în triunghi. Începe prin a stabili tipul triunghiului și datele: laturi, unghiuri, arie sau un raport trigonometric. Apoi alege o singură formulă principală și lucrează ordonat.

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32

cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12

tg 45° = 1, tg 30° = √33, tg 60° = √3

sin²x + cos²x = 1 (identitatea fundamentală)

tg x = sin x / cos x, pentru cos x ≠ 0

Pentru un unghi ascuțit, sin, cos și tg sunt pozitive: alege mereu rădăcina pozitivă.
Observă că sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30°.
Verifică la final: |sin x| ≤ 1 și |cos x| ≤ 1.

Triunghiul dreptunghic

„Opusă” și „alăturată” se stabilesc întotdeauna față de unghiul cerut, iar ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Confuzia dintre cateta opusă și cea alăturată este greșeala cea mai frecventă la acest exercițiu.

Teorema lui Pitagora: ipotenuză² = catetă₁² + catetă₂²

sin A = cateta opusă / ipotenuză

cos A = cateta alăturată / ipotenuză

tg A = cateta opusă / cateta alăturată

Aria unui triunghi dreptunghic: S = catetă₁·catetă₂2

Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură — folosește asta ca verificare.
Conversa teoremei lui Pitagora: dacă a² + b² = c², triunghiul este dreptunghic.
Nu folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare.

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor

Într-un triunghi oarecare, aceste două teoreme înlocuiesc teorema lui Pitagora. Alegerea este simplă: dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile, folosești teorema cosinusului; dacă ai o latură și unghiul ei opus, folosești teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului: c² = a² + b² − 2ab·cos C, unde c este opusă lui C

Izolat: cos C = a² + b² − c²2ab

Teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aria cu sinus: S = a·b·sin C/2, unde C este unghiul dintre a și b

În teorema cosinusului, latura din stânga este întotdeauna opusă unghiului din formulă.
În teorema sinusurilor, fiecare latură merge împreună cu unghiul ei opus.
La aria cu sinus, unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi folosite.

Raza cercului circumscris

Forma extinsă a teoremei sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

R = a2·sin A

Aria inversă: din S = ab·sin C/2 putem afla sin C

Raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este constant în tot triunghiul.
Atenție: raportul este egal cu 2R, nu cu R.
Dacă se dă aria și două laturi, formula ariei devine o ecuație în sin C.

Unghiuri obtuze

Când unghiul din teorema cosinusului este obtuz, cosinusul său este negativ, iar termenul scăzut devine adunat. Aceasta este cea mai frecventă capcană de calcul.

cos(180° − x) = −cos x, pentru 0° < x < 180°

sin(180° − x) = sin x

cos 120° = −cos 60° = −12

sin 120° = sin 60° = √32

Un unghi obtuz are cosinusul negativ și sinusul pozitiv.
La −2ab·cos C cu cos C negativ, cei doi de minus se anulează și termenul se adună.
Latura opusă unui unghi obtuz este mai mare decât dacă unghiul ar fi drept.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · raza cercului circumscris

Într-un triunghi, a = 10 și A = 30°. Calculați raza cercului circumscris R.

1.Pasul 1 — identificăm datele: o latură și unghiul opus ei.
2.Pasul 2 — alegem forma extinsă a teoremei sinusurilor: a/sin A = 2R.
3.Pasul 3 — înlocuim: 1012 = 2R.
4.Pasul 4 — calculăm membrul stâng: împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2, deci 20 = 2R.
5.Pasul 5 — izolăm: R = 10.
6.Pasul 6 — verificăm: raza este pozitivă, iar 2R = 20 este mai mare decât latura a = 10, ceea ce este obligatoriu.

Algoritmul universal în 6 pași

Marchează tipul triunghiului: dreptunghic, isoscel sau oarecare.
Identifică unghiul cerut și stabilește latura opusă și laturile care îl formează.
Alege o singură formulă: Pitagora, raport trigonometric, arie, cosinus sau sinusuri.
Scrie valorile exacte, de exemplu sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
Calculează cu paranteze și simplifică radicalii, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Verifică: lungimile sunt pozitive, ipotenuza este cea mai mare, iar sinusul și cosinusul sunt în [−1, 1].

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați sin 30° + cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 2Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 12 + 2 · 12 = 2
Ex. 3IdentitateM1 · Mate-Info
Calculați sin²45° + cos²45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 4Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați tg 45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 5Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați sin 60°·cos 30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(√32) · (√32) = 34
Ex. 6Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați cos²60° − sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 − 14 = 0
Ex. 7IdentitateM1 · Mate-Info
Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 1 − 925 = 45
Ex. 8TangentăM1 · Mate-Info
Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 513, deci tg α = 512.
Ex. 9PitagoraM1 · Mate-Info
Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 10PitagoraM1 · Mate-Info
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
100 − 36 = 8
Ex. 11UnghiuriM1 · Mate-Info
Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45° și 45°
Ex. 12MixtM1 · Mate-Info
Calculați (sin 60° + cos 60°)² + (sin 60° − cos 60°)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dezvoltând: 2(sin²60° + cos²60°) = 2.
Ex. 49Teorema cosinusuluiM1 · Mate-Info
În triunghiul ABC, AB = 6, AC = 10 și ∠A = 60°. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 36 + 100 − 2 · 6 · 10 · 12 = 76, deci BC = 2√19.
Ex. 50Teorema cosinusuluiM1 · Mate-Info
În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 10 și cos A = 35. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 25 + 100 − 2 · 5 · 10 · 35 = 65, deci BC = √65.
Ex. 51Triunghi echilateralM1 · Mate-Info
Arătați că un triunghi cu toate laturile egale are toate unghiurile de 60°. Scrieți valoarea cosinusului unui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Din teorema cosinusului: a² = a² + a² − 2a² cos A, deci cos A = 12 și A = 60° (la fel pentru toate unghiurile). Valoarea: 12.
Ex. 52Raza cercului circumscrisM1 · Mate-Info
Într-un triunghi, a = 4√2 și A = 45°. Calculați raza cercului circumscris.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2R = a/sin A = 4√2 : (√22) = 8, deci R = 4.
Ex. 53Arie cu sinusM1 · Mate-Info
În triunghiul ABC, AB = 9, AC = 8 și ∠A = 30°. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = (12) · 9 · 8 · sin 30° = 18
Ex. 54Arie inversăM1 · Mate-Info
În triunghiul ABC, aria este 15, AB = 5 și AC = 12. Calculați sin A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 = (12) · 5 · 12 · sin A, deci sin A = 12.
Ex. 55Valori exacteM1 · Mate-Info
Calculați 1 − 2·sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 2 · 14 = 12
Ex. 56TangentăM1 · Mate-Info
Unghiul α este ascuțit și tg α = 1. Determinați α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
α = 45°
Ex. 57Pitagora cu parametruM1 · Mate-Info
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă m > 0. Determinați m dacă cealaltă catetă este 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 100 − 36 = 8
Ex. 58Teorema cosinusuluiM1 · Mate-Info
Un triunghi are laturile 7, 8 și 9. Calculați cosinusul unghiului opus laturii 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos = (8² + 9² − 7²) : (2 · 8 · 9) = 96144 = 23
Ex. 59Teorema sinusurilorM1 · Mate-Info
În triunghiul ABC, a = 10, A = 30° și B = 60°. Calculați b.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = a · sin B / sin A = 10 · (√32) : (12) = 10√3
Ex. 60MixtM1 · Mate-Info
Un triunghi are laturile 8, 15 și 17. Calculați sinusul celui mai mic unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8² + 15² = 17², deci triunghiul este dreptunghic; cel mai mic unghi este opus laturii 8: sin = 817.