Încărcăm partea curentă…

Trigonometrie și teoreme în triunghi · nivel M1

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

În viața reală

Un acoperiș cu panta de 45° urcă exact cât înaintează pe orizontală, pentru că tg 45° = 1: la 3 m de streașină, coama este cu 3 m mai sus.

De ținut minte

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. 1cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 22 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. 3√3 + √3 = 2√3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trigonometrie și teoreme în triunghi · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

  • sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
  • cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
  • tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 2 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. √3 + √3 = 2√3.

Pătratele valorilor și sin2x + cos2x = 1

sin2x înseamnă (sin x)2: aflăm valoarea, apoi o ridicăm la pătrat, sus și jos. De exemplu, sin230° = (12)2 = 14, iar radicalul dispare: (√32)2 = 34.

Pentru orice unghi, sin2x + cos2x = 1. Dacă vedem suma pătratelor pentru același unghi, rezultatul este 1 fără alte calcule.

  • sin2x = (sin x)2
  • sin2x + cos2x = 1
  • (√32)2 = 34

Exemplu cu alte date

Calculați 4 · cos245° − 1.

  1. cos 45° = √22.
  2. cos245° = (√22)2 = 24 = 12.
  3. 4 · 12 − 1 = 2 − 1 = 1.

Din sinus aflăm cosinusul și tangenta

Dacă știm sin α pentru un unghi ascuțit, aflăm cos α din sin2α + cos2α = 1: cos2α = 1 − sin2α, apoi luăm radicalul pozitiv, pentru că la un unghi ascuțit cosinusul este pozitiv. La fel aflăm sinusul din cosinus.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus. Dacă tg α = 1, sinusul și cosinusul sunt egale, iar unghiul ascuțit este 45°.

  • cos2α = 1 − sin2α
  • tg α = sin αcos α

Exemplu cu alte date

Unghiul α este ascuțit și sin α = 725. Calculați cos α și tg α.

  1. cos2α = 1 − 49625 = 576625.
  2. α este ascuțit, deci cos α = 2425.
  3. tg α = 7252425 = 724.

Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor. Dacă știm ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând pătratele. Dacă cele două catete sunt egale, unghiurile ascuțite au câte 45°.

Reciproca: dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai lungi laturi.

  • ipotenuza2 = catetă2 + catetă2
  • catetă2 = ipotenuza2 − catetă2

Exemplu cu alte date

Laturile 9, 40 și 41 formează un triunghi dreptunghic?

  1. Cea mai lungă latură este 41, iar 412 = 1681.
  2. 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681.
  3. Rezultatele sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii 41.

Teorema cosinusului: latura opusă unui unghi

În orice triunghi, pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două, minus de două ori produsul lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele.

Latura din stânga este opusă unghiului din formulă: pentru ∠A calculăm BC. Dacă unghiul are 90°, cos 90° = 0 și regăsim teorema lui Pitagora.

  • BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 3, AC = 8 și ∠A = 60°. Calculați BC.

  1. 2 · 3 · 8 · cos 60° = 2 · 3 · 8 · 12 = 24.
  2. BC2 = 9 + 64 − 24 = 49.
  3. BC = √49 = 7.

Cosinusul unui unghi din cele trei laturi

Din teorema cosinusului izolăm cos A: suma pătratelor laturilor care formează unghiul, minus pătratul laturii opuse, împărțit la dublul produsului primelor două.

Latura opusă unghiului apare cu minus. Dacă rezultatul este pozitiv, unghiul este ascuțit; dacă este negativ, este obtuz.

  • cos A = AB2 + AC2 − BC22 · AB · AC

Exemplu cu alte date

Laturile sunt AB = 4, AC = 5 și BC = 6. Calculați cos A.

  1. BC = 6 este opusă unghiului A, deci apare cu minus.
  2. cos A = 16 + 25 − 362 · 4 · 5 = 540.
  3. cos A = 18.

Teorema sinusurilor

În orice triunghi, fiecare latură împărțită la sinusul unghiului opus dă același rezultat, egal cu 2R, unde R este raza cercului circumscris.

Ca să aflăm o latură, egalăm raportul cunoscut cu cel căutat, de exemplu BCsin A = ACsin B, și izolăm latura. Împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2.

  • BCsin A = ACsin B = ABsin C = 2R
  • AC = BC · sin Bsin A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, BC = 4, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.

  1. BC este opusă lui A, iar AC este opusă lui B: BCsin A = ACsin B.
  2. AC = 4 · 12√22 = 2 · 2√2 = 4√2.
  3. AC = 4√22 = 2√2.

Aria cu sinusul unghiului dintre două laturi

Dacă știm două laturi și unghiul dintre ele, aria este produsul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului, totul împărțit la 2.

Unghiul trebuie să fie chiar cel dintre cele două laturi: pentru AB și AC folosim unghiul A. Dacă știm aria, aceeași formulă ne dă sinusul unghiului.

  • S = AB · AC · sin A2

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 16, AC = 5 și ∠A = 30°. Calculați aria.

  1. S = AB · AC · sin A2, iar sin 30° = 12.
  2. 16 · 5 · 12 = 40.
  3. S = 402 = 20.

Cel mai mic unghi este opus celei mai mici laturi

Într-un triunghi, la latura mai mare se opune unghiul mai mare. Deci cel mai mic unghi este opus celei mai mici laturi.

Dacă triunghiul este dreptunghic, sinusul acestui unghi este cea mai mică catetă împărțită la ipotenuză.

  • latură mai mare ⇔ unghi opus mai mare
  • sin = cateta opusăipotenuză

Exemplu cu alte date

Un triunghi are laturile 7, 24 și 25. Cât este sinusul celui mai mic unghi?

  1. 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252, deci triunghiul este dreptunghic.
  2. Cel mai mic unghi este opus laturii 7.
  3. sin = 725.

Razele r și R în triunghiul dreptunghic

Raza cercului înscris se află din aria și semiperimetrul triunghiului: r = As, unde s este jumătate din perimetru.

În triunghiul dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci R este jumătate din ipotenuză.

  • r = As
  • R = ipotenuza2

Exemplu cu alte date

Un triunghi dreptunghic are laturile 9, 12 și 15. Calculați r și R.

  1. A = 9 · 122 = 54 și s = 9 + 12 + 152 = 18.
  2. r = 5418 = 3.
  3. R = 152 = 7,5.

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabelul valorilor exacte: sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Adunăm: 12 + 12.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Înlocuim: 2·(12) + 2·(12) = 1 + 1.
    3. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea fundamentală sin2x + cos2x = 1, valabilă pentru orice unghi x.
    2. Aici x = 45°, deci rezultatul este 1.
    3. Verificare directă: (√22)2 + (√22)2 = 12 + 12 = 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  4. Exercițiul 4

    Calculați tg 45°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim tg x = sin xcos x, cu condiția cos x ≠ 0.
    2. sin 45° = √22 și cos 45° = √22.
    3. Raportul este √22√22 = 1.
    4. Răspuns final: tg 45° = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabel: sin 60° = √32 și cos 30° = √32.
    2. Produsul este (√32)·(√32) = (√3)24.
    3. Cum (√3)2 = 3, obținem 34.
    4. Răspuns final: 34.

    Răspuns: 34

  6. Exercițiul 6

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm că cos 60° = 12 și sin 30° = 12, deci cele două valori sunt egale.
    2. cos260° − sin230° = 14 − 14.
    3. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm sin2α + cos2α = 1.
    2. cos2α = 1 − (35)2 = 1 − 925 = 1625.
    3. Unghiul α este ascuțit, deci cos α > 0 și alegem rădăcina pozitivă.
    4. Răspuns final: cos α = 45.

    Răspuns: 45

  8. Exercițiul 8

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aflăm întâi sinusul: sin2α = 1 − (1213)2 = 1 − 144169 = 25169.
    2. Cum α este ascuțit, sin α = 513.
    3. Aplicăm tg α = sin αcos α = 5131213.
    4. Fracțiile de 13 se simplifică. Răspuns final: tg α = 512.

    Răspuns: 512

  9. Exercițiul 9

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema lui Pitagora: ipotenuză2 = catetă12 + catetă22.
    2. c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
    3. Lungimea este pozitivă, deci c = √25 = 5.
    4. Control: ipotenuza 5 este cea mai lungă latură. Răspuns final: 5.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi rezolvarea
    1. Din Pitagora: catetă2 = ipotenuză2 − catetă2.
    2. catetă2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64.
    3. catetă = √64 = 8.
    4. Control: 62 + 82 = 100 = 102. Răspuns final: 8.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele egale înseamnă că triunghiul este dreptunghic isoscel.
    2. Unghiurile opuse laturilor egale sunt egale.
    3. Suma unghiurilor ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic este 90°.
    4. Fiecare are măsura 90° : 2 = 45°. Răspuns final: 45°.

    Răspuns: 45°

  12. Exercițiul 12

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea (a + b)2 + (a − b)2 = 2a2 + 2b2.
    2. Expresia devine 2·sin260° + 2·cos260° = 2(sin260° + cos260°).
    3. Din identitatea fundamentală, sin260° + cos260° = 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    În triunghiul ABC, AB = 6, AC = 10 și ∠A = 60°. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = AB2 + AC2 − 2·AB·AC·cos A.
    2. BC2 = 36 + 100 − 2·6·10·(12) = 136 − 60 = 76.
    3. BC = √76 = 4·19 = 2√19.
    4. Răspuns final: BC = 2√19.

    Răspuns: 2√19

  14. Exercițiul 14

    În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 10 și cos A = 35. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici cosinusul este dat direct, deci nu mai avem nevoie de tabelul valorilor exacte.
    2. BC2 = 25 + 100 − 2·5·10·(35).
    3. 2·5·10·(35) = 100·(35) = 60, deci BC2 = 125 − 60 = 65.
    4. BC = √65. Răspuns final: BC = √65.

    Răspuns: √65

  15. Exercițiul 15

    Arătați că un triunghi cu toate laturile egale are toate unghiurile de 60°. Scrieți valoarea cosinusului unui unghi.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm cu a lungimea comună a laturilor.
    2. Din teorema cosinusului: cos A = a2 + a2 − a22a2 = a22a2.
    3. Simplificăm: cos A = 12.
    4. Cum A ∈ (0°, 180°), rezultă A = 60°; raționamentul se repetă pentru celelalte unghiuri.
    5. Răspuns final: cos A = 12.

    Răspuns: 12

  16. Exercițiul 16

    Exercițiul 52 semi-ghidat · Într-un triunghi, a = 4√2 și A = 45°. Ce relație leagă latura a de raza cercului circumscris?

    Vezi rezolvarea
    1. Forma extinsă a teoremei sinusurilor este asin A = bsin B = csin C = 2R.
    2. Raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu 2R.
    3. Atenție: rezultatul este 2R, nu R.

    Răspuns: asin A = 2R

  17. Exercițiul 17

    Acum calculați raza R.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim: 4√2√22 = 2R.
    2. Împărțirea la √22 înseamnă înmulțire cu 2√2: 4√2·(2√2) = 8.
    3. Deci 2R = 8 și R = 4.
    4. Răspuns final: R = 4.

    Răspuns: 4

  18. Exercițiul 18

    În triunghiul ABC, AB = 9, AC = 8 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. S = AB·AC·sin A2.
    2. S = 9·8·122 = 72·122 = 362.
    3. Răspuns final: aria este 18.

    Răspuns: 18

  19. Exercițiul 19

    Exercițiul 54 semi-ghidat · În triunghiul ABC, aria este 15, AB = 5 și AC = 12. Ce ecuație obținem din formula ariei?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula ariei cu sinus: S = AB·AC·sin A2.
    2. Înlocuim: 15 = 5·12·sin A2 = 60·sin A2.
    3. Simplificăm: 15 = 30·sin A.

    Răspuns: 15 = 30 · sin A

  20. Exercițiul 20

    Acum calculați sin A.

    Vezi rezolvarea
    1. Din 15 = 30·sin A rezultă sin A = 1530.
    2. sin A = 12.
    3. Control: valoarea este în intervalul [0, 1], deci este posibilă.
    4. Observație: unghiul A poate fi 30° sau 150°, ambele având sinusul 12.

    Răspuns: 12

  21. Exercițiul 21

    Calculați 1 − 2·sin230°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12, deci sin230° = 14.
    2. 2·sin230° = 12.
    3. 1 − 12 = 12.
    4. Observație: expresia este chiar formula lui cos 2x pentru x = 30°, iar cos 60° = 12. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  22. Exercițiul 22

    Unghiul α este ascuțit și tg α = 1. Determinați α.

    Vezi rezolvarea
    1. tg α = sin αcos α = 1 înseamnă sin α = cos α.
    2. Pentru un unghi ascuțit, singura valoare cu această proprietate este 45°.
    3. Atunci sin α = cos α = √22.
    4. Răspuns final: α = 45°.

    Răspuns: 45°

  23. Exercițiul 23

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă m > 0. Determinați m dacă cealaltă catetă este 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Din teorema lui Pitagora: m2 + 62 = 102.
    2. m2 = 100 − 36 = 64.
    3. Ecuația are soluțiile m = 8 și m = −8, dar condiția m > 0 păstrează o singură valoare.
    4. Răspuns final: m = 8.

    Răspuns: 8

  24. Exercițiul 24

    Un triunghi are laturile 7, 8 și 9. Calculați cosinusul unghiului opus laturii 7.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm cu A unghiul opus laturii 7, deci celelalte laturi sunt 8 și 9.
    2. cos A = 82 + 92 − 722·8·9.
    3. cos A = 64 + 81 − 49144 = 96144.
    4. Simplificăm prin 48: 23. Răspuns final: cos A = 23.

    Răspuns: 23

  25. Exercițiul 25

    În triunghiul ABC, a = 10, A = 30° și B = 60°. Calculați b.

    Vezi rezolvarea
    1. Din teorema sinusurilor: asin A = bsin B.
    2. b = a·sin Bsin A = 10·√3212.
    3. b = 10·(√32)·2 = 10√3.
    4. Control: B > A, deci b > a, ceea ce se confirmă. Răspuns final: b = 10√3.

    Răspuns: 10√3

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 60 ghidat · Un triunghi are laturile 8, 15 și 17. Pasul 1: verificați tipul triunghiului. Cât este 82 + 152?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm 82 + 152 = 64 + 225 = 289.
    2. Observăm că 289 = 172.
    3. Prin conversa teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza 17.

    Răspuns: 289

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: în orice triunghi, cărei laturi îi corespunde cel mai mic unghi?

    Vezi rezolvarea
    1. Într-un triunghi, unghiurile și laturile opuse lor sunt în aceeași ordine de mărime.
    2. Cea mai mică latură este 8, deci ei i se opune cel mai mic unghi.
    3. Latura 8 este o catetă a triunghiului dreptunghic.

    Răspuns: Celei mai mici laturi, adică 8

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: ce raport folosim pentru sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic?

    Vezi rezolvarea
    1. Prin definiție, sin = cateta opusăipotenuză.
    2. Pentru unghiul opus laturii 8, cateta opusă este chiar 8.
    3. Ipotenuza este 17.

    Răspuns: cateta opusăipotenuză

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: calculați sinusul celui mai mic unghi.

    Vezi rezolvarea
    1. sin = cateta opusăipotenuză = 817.
    2. Fracția nu se simplifică, deoarece 17 este prim.
    3. Control: valoarea este subunitară, deci este plauzibilă pentru un sinus.
    4. Aria triunghiului este 8·152 = 60. Răspuns final: 817.

    Răspuns: 817

  30. Exercițiul 30

    Un triunghi dreptunghic are laturile 6, 8, 10. Află raza cercului înscris și raza cercului circumscris.

    Vezi rezolvarea
    1. A=24; s=12. Aria este 6·82=24, iar semiperimetrul este 6+8+102=12.
    2. r=As=2. Formula A=rs dă r=2412=2.
    3. R=102=5. La triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris.

    Răspuns: R=102=5

  31. Exercițiul 31

    Un triunghi dreptunghic are catetele 5 cm și 12 cm. Află ipotenuza și aria.

    Vezi rezolvarea
    1. c2=52+122. Ipotenuza este opusă unghiului drept. Pătratul ei este suma pătratelor catetelor.
    2. c=√169=13 cm. 25+144=169. Lungimea este rădăcina pozitivă, nu pătratul ei.
    3. A=5·122=30 cm2. Una dintre catete este baza, cealaltă înălțimea corespunzătoare.

    Răspuns: A=5·122=30 cm2

  32. Exercițiul 32

    Într-un triunghi dreptunghic, pentru unghiul ascuțit A avem sin A=35. Calculează cos A și tg A.

    Vezi rezolvarea
    1. cos2A=1−925=1625. sin2A+cos2A=1. Ridicăm mai întâi sinusul la pătrat.
    2. cos A=45. A este ascuțit, deci cosinusul este pozitiv.
    3. tg A=3545=34. Tangenta este sinus împărțit la cosinus, nu produsul lor.

    Răspuns: tg A=3545=34

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

  1. 1. Valori exacte

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  2. 2. Valori exacte

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi răspunsul

    2 · 12 + 2 · 12 = 2

  3. 3. Identitate

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  4. 4. Valori exacte

    Calculați tg 45°.

    Vezi răspunsul

    1

  5. 5. Valori exacte

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi răspunsul

    (√32) · (√32) = 34

  6. 6. Valori exacte

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi răspunsul

    14 − 14 = 0

  7. 7. Identitate

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1 − 925 = 45

  8. 8. Tangentă

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi răspunsul

    sin α = 513, deci tg α = 512.

  9. 9. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  10. 10. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    100 − 36 = 8

  11. 11. Unghiuri

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi răspunsul

    45° și 45°

  12. 12. Mixt

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi răspunsul

    Dezvoltând: 2(sin260° + cos260°) = 2.

  13. 49. Teorema cosinusului

    În triunghiul ABC, AB = 6, AC = 10 și ∠A = 60°. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    BC2 = 36 + 100 − 2 · 6 · 10 · 12 = 76, deci BC = 2√19.

  14. 50. Teorema cosinusului

    În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 10 și cos A = 35. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    BC2 = 25 + 100 − 2 · 5 · 10 · 35 = 65, deci BC = √65.

  15. 51. Triunghi echilateral

    Arătați că un triunghi cu toate laturile egale are toate unghiurile de 60°. Scrieți valoarea cosinusului unui unghi.

    Vezi răspunsul

    Din teorema cosinusului: a2 = a2 + a2 − 2a2 cos A, deci cos A = 12 și A = 60° (la fel pentru toate unghiurile). Valoarea: 12.

  16. 52. Raza cercului circumscris

    Într-un triunghi, a = 4√2 și A = 45°. Calculați raza cercului circumscris.

    Vezi răspunsul

    2R = asin A = 4√2 : (√22) = 8, deci R = 4.

  17. 53. Arie cu sinus

    În triunghiul ABC, AB = 9, AC = 8 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    Aria = (12) · 9 · 8 · sin 30° = 18

  18. 54. Arie inversă

    În triunghiul ABC, aria este 15, AB = 5 și AC = 12. Calculați sin A.

    Vezi răspunsul

    15 = (12) · 5 · 12 · sin A, deci sin A = 12.

  19. 55. Valori exacte

    Calculați 1 − 2·sin230°.

    Vezi răspunsul

    1 − 2 · 14 = 12

  20. 56. Tangentă

    Unghiul α este ascuțit și tg α = 1. Determinați α.

    Vezi răspunsul

    α = 45°

  21. 57. Pitagora cu parametru

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă m > 0. Determinați m dacă cealaltă catetă este 6.

    Vezi răspunsul

    m = 100 − 36 = 8

  22. 58. Teorema cosinusului

    Un triunghi are laturile 7, 8 și 9. Calculați cosinusul unghiului opus laturii 7.

    Vezi răspunsul

    cos = (82 + 92 − 72) : (2 · 8 · 9) = 96144 = 23

  23. 59. Teorema sinusurilor

    În triunghiul ABC, a = 10, A = 30° și B = 60°. Calculați b.

    Vezi răspunsul

    b = a · sin Bsin A = 10 · (√32) : (12) = 10√3

  24. 60. Mixt

    Un triunghi are laturile 8, 15 și 17. Calculați sinusul celui mai mic unghi.

    Vezi răspunsul

    82 + 152 = 172, deci triunghiul este dreptunghic; cel mai mic unghi este opus laturii 8: sin = 817.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.