M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 1 sesiune
L·3

Teorie înainte de exerciții

Limite laterale și asimptote · 12 exerciții

A treia serie este despre semn: la limite laterale, rezultatul se decide studiind separat stânga și dreapta.

Un raport de forma număr nenul / 0 nu este formă nedeterminată: cere doar un studiu de semn.
1

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 59–68 cer limite laterale, iar 69–70 cer asimptote. Semnul numărătorului decide ordinea rezultatelor.

De ținut minte

Limita bilaterală există ⇔ limitele laterale există și sunt egale
x = a este asimptotă verticală dacă o limită laterală în a este infinită
y = L este asimptotă orizontală dacă limx→±∞ f(x) = L
limx→0+ ln x = −∞
  • Dacă numitorul este un pătrat, semnul este același din ambele părți.
  • Când numărătorul este negativ, ordinea celor două limite laterale se inversează.
  • La un numitor factorizat, verifică semnul fiecărui factor în vecinătatea punctului.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 59–70 · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 59Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limx→2− 1x − 2 și limx→2+ 1x − 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  2. Ex. 60Limită infinităToate profilurile cu limite

    Calculați limx→2 1(x − 2)2.

    Vezi răspunsul

    +∞

  3. Ex. 61Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției x + 1x − 3 în punctul 3. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞ (numărătorul tinde la 4)

  4. Ex. 62Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției 2x − 1x + 2 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    +∞,−∞ (numărătorul tinde la −5)

  5. Ex. 63Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției x − 1(x − 1)2 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞ (funcția este 1x − 1 pentru x ≠ 1)

  6. Ex. 64Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  7. Ex. 65Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    +∞,−∞

  8. Ex. 66LogaritmToate profilurile cu limite

    Calculați limx→0+ ln x.

    Vezi răspunsul

    −∞

  9. Ex. 67LogaritmToate profilurile cu limite

    Calculați limx→1+ ln(x − 1).

    Vezi răspunsul

    −∞

  10. Ex. 68Limite lateraleToate profilurile cu limite

    Determinați limitele laterale ale funcției 1ln x în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  11. Ex. 69Asimptote verticaleToate profilurile cu limite

    Determinați asimptotele verticale ale funcției f(x) = x + 2(x − 1)(x + 3). Scrieți ecuațiile separate prin virgulă.

    Vezi răspunsul

    x = 1, x = −3

  12. Ex. 70Asimptotă orizontalăToate profilurile cu limite

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 3.

    Vezi răspunsul

    y = 2

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Limite laterale și asimptote · 12 exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

A treia serie este despre semn: la limite laterale, rezultatul se decide studiind separat stânga și dreapta.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 59–68 cer limite laterale, iar 69–70 cer asimptote. Semnul numărătorului decide ordinea rezultatelor.

  • Limita bilaterală există ⇔ limitele laterale există și sunt egale
  • x = a este asimptotă verticală dacă o limită laterală în a este infinită
  • y = L este asimptotă orizontală dacă limx→±∞ f(x) = L
  • limx→0+ ln x = −∞
  • Dacă numitorul este un pătrat, semnul este același din ambele părți.
  • Când numărătorul este negativ, ordinea celor două limite laterale se inversează.
  • La un numitor factorizat, verifică semnul fiecărui factor în vecinătatea punctului.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Determinați limx→2− 1x − 2 și limx→2+ 1x − 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este constant 1, deci pozitiv.
    2. La stânga: x − 2 este negativ și tinde la 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. La dreapta: x − 2 este pozitiv și tinde la 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale diferă, deci limita bilaterală nu există.

    Răspuns: −∞,+∞

  2. Exercițiul 2

    Calculați limx→2 1(x − 2)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este 1, pozitiv.
    2. Numitorul (x − 2)2 este un pătrat, deci pozitiv pentru x ≠ 2, și tinde la 0.
    3. Fiind pătrat, semnul este același din ambele părți, deci limita bilaterală există.
    4. Răspuns final: +∞.

    Răspuns: +∞

  3. Exercițiul 3

    Determinați limitele laterale ale funcției x + 1x − 3 în punctul 3. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 3 + 1 = 4 > 0.
    2. La stânga: x − 3 este negativ și tinde la 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. La dreapta: x − 3 este pozitiv și tinde la 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Dreapta x = 3 este asimptotă verticală.

    Răspuns: −∞,+∞

  4. Exercițiul 4

    Determinați limitele laterale ale funcției 2x − 1x + 2 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 2·(−2) − 1 = −5 < 0.
    2. La stânga: x + 2 este negativ și tinde la 0; negativ împărțit la negativ mic dă +∞.
    3. La dreapta: x + 2 este pozitiv și tinde la 0; negativ împărțit la pozitiv mic dă −∞.
    4. Atenție: aici ordinea este inversă față de cazul cu numărător pozitiv.

    Răspuns: +∞,−∞

  5. Exercițiul 5

    Determinați limitele laterale ale funcției x − 1(x − 1)2 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Simplificăm întâi: pentru x ≠ 1, x − 1(x − 1)2 = 1x − 1.
    2. La stânga: x − 1 este negativ și tinde la 0, deci limita este −∞.
    3. La dreapta: x − 1 este pozitiv și tinde la 0, deci limita este +∞.
    4. Simplificarea este esențială: fără ea, forma pare mai complicată decât este.

    Răspuns: −∞,+∞

  6. Exercițiul 6

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm numitorul: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. Lângă x = 2, factorul x + 2 tinde la 4 > 0, deci semnul îl dă x − 2.
    3. La stânga: x − 2 < 0, deci numitorul este negativ și limita este −∞.
    4. La dreapta: x − 2 > 0, deci limita este +∞.

    Răspuns: −∞,+∞

  7. Exercițiul 7

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. Lângă x = −2, factorul x − 2 tinde la −4 < 0, deci este negativ.
    3. La stânga: x + 2 < 0, iar produsul a doi factori negativi este pozitiv, deci limita este +∞.
    4. La dreapta: x + 2 > 0, iar produsul este negativ, deci limita este −∞.
    5. Comparând cu exercițiul 64, se vede cât de important este semnul celuilalt factor.

    Răspuns: +∞,−∞

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→0+ ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul logaritmului natural este (0, +∞), deci ne apropiem numai dinspre dreapta.
    2. Când argumentul scade spre 0, valorile logaritmului scad nelimitat.
    3. Dreapta x = 0 este asimptotă verticală pentru funcția logaritmică.
    4. Răspuns final: −∞.

    Răspuns: −∞

  9. Exercițiul 9

    Calculați limx→1+ ln(x − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = x − 1; când x → 1+, avem u → 0+.
    2. Limita devine limu→0+ ln u.
    3. Din exercițiul anterior, aceasta este −∞.
    4. Răspuns final: −∞.

    Răspuns: −∞

  10. Exercițiul 10

    Determinați limitele laterale ale funcției 1ln x în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția este definită pentru x > 0 și x ≠ 1, iar ln 1 = 0.
    2. La stânga, pentru 0 < x < 1, avem ln x < 0 și ln x → 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. La dreapta, pentru x > 1, avem ln x > 0 și ln x → 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale diferă, deci limita bilaterală nu există.

    Răspuns: −∞,+∞

  11. Exercițiul 11

    Determinați asimptotele verticale ale funcției f(x) = x + 2(x − 1)(x + 3). Scrieți ecuațiile separate prin virgulă.

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptotele verticale apar în punctele în care numitorul se anulează, iar numărătorul nu.
    2. Numitorul se anulează pentru x = 1 și x = −3.
    3. Numărătorul x + 2 este 3 în x = 1 și −1 în x = −3, deci nenul în ambele.
    4. Prin urmare ambele drepte sunt asimptote verticale.
    5. Răspuns final: x = 1 și x = −3.

    Răspuns: x=1,x=−3

  12. Exercițiul 12

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptota orizontală se obține din limita funcției la ±∞.
    2. Gradele sunt egale, ambele 2, deci limita este raportul coeficienților dominanți: 21.
    3. Aceeași valoare se obține și la −∞.
    4. Răspuns final: y = 2.

    Răspuns: y=2

Fișa de antrenament · exercițiile 59–70 (12)

  1. 59. Limite laterale

    Determinați limx→2− 1x − 2 și limx→2+ 1x − 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  2. 60. Limită infinită

    Calculați limx→2 1(x − 2)2.

    Vezi răspunsul

    +∞

  3. 61. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției x + 1x − 3 în punctul 3. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞ (numărătorul tinde la 4)

  4. 62. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 2x − 1x + 2 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    +∞,−∞ (numărătorul tinde la −5)

  5. 63. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției x − 1(x − 1)2 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞ (funcția este 1x − 1 pentru x ≠ 1)

  6. 64. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  7. 65. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x2 − 4 în punctul −2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    +∞,−∞

  8. 66. Logaritm

    Calculați limx→0+ ln x.

    Vezi răspunsul

    −∞

  9. 67. Logaritm

    Calculați limx→1+ ln(x − 1).

    Vezi răspunsul

    −∞

  10. 68. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1ln x în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  11. 69. Asimptote verticale

    Determinați asimptotele verticale ale funcției f(x) = x + 2(x − 1)(x + 3). Scrieți ecuațiile separate prin virgulă.

    Vezi răspunsul

    x = 1, x = −3

  12. 70. Asimptotă orizontală

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 3.

    Vezi răspunsul

    y = 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.