Radicali și limite la infinit · 31 de exerciții

A doua serie combină raționalizarea cu conjugata și analiza termenului dominant la ±∞.

La ∞ − ∞ cu radicali, conjugata este aproape întotdeauna metoda potrivită.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 31–42 cer raționalizare, iar 43–58 compară gradele. La final apar trei cerințe cu parametru sau cu funcție dată.

Raționalizare: amplifici cu conjugata, folosind (A − B)(A + B) = A² − B²

Grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți

Grad mai mic la numărător: limita este 0

Grad mai mare la numărător: limita este ±∞, după semn și direcție

Pentru x > 0: x² + cx = 1 + cx²

La x → −∞, atenție la paritatea puterii: x³ → −∞, dar x² → +∞.
La ∞ − ∞ cu radicali, amplifică cu conjugata și studiază numitorul rămas.
Împărțirea polinoamelor scoate la iveală asimptota oblică.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 31–58, 85, 90 și 92 · 31 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 31RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x + 3 − 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x + 3 + 2) = 14
Ex. 32RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x + 5 + 3) = 16
Ex. 33RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 1 + x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(1 + x + 1) = 12
Ex. 34RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 1 + 2x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 35RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 4 + x − 2x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(4 + x + 2) = 14
Ex. 36RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x − 1x + 3 − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3 + 2) = 4
Ex. 37RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→4 √x − 2x − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(√x + 2) = 14
Ex. 38RaționalizareToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 x² + 9 − 3x².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x² + 9 + 3) = 16
Ex. 39Doi radicaliToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 1 + x − 1 − xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 2/(1 + x + 1 − x) = 1
Ex. 40Doi radicaliToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x + 1 − 2x − 1x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul raționalizat este 2 − x, deci limita este −1√3 + √3 = −√36.
Ex. 41Raționalizare la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ (x² + 1 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x² + 1 + x) = 0
Ex. 42Raționalizare la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ x·(x² + 4 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 4x/(x² + 4 + x) = 2
Ex. 43Polinom la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ (3x² − x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 44Polinom la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ (2x³ + x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 45Polinom la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ (−x⁴ + 3x²).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 46Grade egaleToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ 4x² − 3x + 12x² + x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 47Grade egaleToate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ 3x² + 2x − 1x² − 4x + 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 48Grad mai mic susToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ 5x − 1x² + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 49Grad mai mic susToate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ x + 42x² − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 50Grad mai mare susToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ x³ − 2xx² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 51Grad mai mare susToate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ 2x³ + 1x² + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 52Grade egaleToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ 5x³ − x + 22x³ + 4x² − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
52
Ex. 53Grad mai mare susToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ 2x³ − xx² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 54Grad mai mare susToate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ 2x³ − xx² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 55Grade egaleToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ −3x⁴ + x² − 1x⁴ + 2x + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3
Ex. 56Asimptotă oblicăToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ (x² + 1x − 1 − x − 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Expresia este 2x − 1, deci limita este 0.
Ex. 57Raționalizare la infinitToate profilurile cu limite
Calculați limx→+∞ (x² + 9 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 9/(x² + 9 + x) = 0
Ex. 58Raționalizare la −∞Toate profilurile cu limite
Calculați limx→−∞ (x² + 1 + x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x² + 1 − x) = 0 (numitorul tinde la +∞)
Ex. 85ParametruToate profilurile cu limite
Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→+∞ ax² + 12x² − 3 = 32.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 3
Ex. 90Cerință cu funcțieToate profilurile cu limite
Fie f(x) = 1x² + 4x + 5. Calculați limx→+∞ (x² − 1)·f(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim x² − 1x² + 4x + 5 = 1
Ex. 92ParametruToate profilurile cu limite
Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→+∞ (x² + ax + 1x − 1 − x − 4) = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Expresia devine (a − 3)x + 5x − 1, care tinde la 0 doar dacă a − 3 = 0: a = 3.