M1 · Mate-InfoM2 · Științe⏱ 2 sesiuni
L·4

Teorie înainte de exerciții

Limite fundamentale · 18 exerciții

A patra serie exersează cele patru limite fundamentale și tehnica de a crea la numitor exact expresia din argument.

Materialul marchează această secțiune pentru profilurile Științe ale Naturii și Mate-Info.
1

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 71–84 aplică direct formulele, iar 86–88 și 91 le folosesc pentru a determina un parametru.

De ținut minte

limu→0 eu − 1u = 1
limu→0 ln(1 + u)u = 1
limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani
limu→0 1 − cos uu2 = 12, folosind 1 − cos u = 2sin2(u2)
Pentru eax − 1x, sin(ax)x și ln(1 + ax)x limita este a
  • Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.
  • 1 − cos(2x) = 2sin2x scurtează mult calculul.
  • Dacă g(0) = 0, atunci g(x)x este chiar definiția derivatei în 0.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 71–84, 86–88 și 91 · 18 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 71ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  2. Ex. 72ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

  3. Ex. 73ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 e3x − 1ex − 1.

    Vezi răspunsul

    3

  4. Ex. 74LogaritmM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  5. Ex. 75LogaritmM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi răspunsul

    4

  6. Ex. 76MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ln(1 + 2x)ex − 1.

    Vezi răspunsul

    2

  7. Ex. 77TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  8. Ex. 78TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 sin(5x)2x.

    Vezi răspunsul

    52

  9. Ex. 79TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 sin(3x)sin(2x).

    Vezi răspunsul

    32

  10. Ex. 80CosinusM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 1 − cos xx2.

    Vezi răspunsul

    12

  11. Ex. 81CosinusM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 1 − cos 2xx2.

    Vezi răspunsul

    2 (1 − cos 2x = 2sin2x)

  12. Ex. 82TangentăM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 tg xx.

    Vezi răspunsul

    1

  13. Ex. 83MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ex − 1sin x.

    Vezi răspunsul

    1

  14. Ex. 84MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Calculați limx→0 ln(1 + x)sin(2x).

    Vezi răspunsul

    12

  15. Ex. 86ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 eax − 1x = 4.

    Vezi răspunsul

    a = 4

  16. Ex. 87ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 ln(1 + ax)x = 5.

    Vezi răspunsul

    a = 5

  17. Ex. 88ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 sin(ax)x = 3.

    Vezi răspunsul

    a = 3

  18. Ex. 91Cerință cu funcțieM1 · Mate-Info și M2 · Științe

    Fie f(x) = ex·(x2 + x − 1). Calculați limx→0 f(x) + 1x.

    Vezi răspunsul

    f(0) = −1, deci limita este f′(0); f′(x) = ex(x2 + 3x), deci limita este 0.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Limite fundamentale · 18 exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

A patra serie exersează cele patru limite fundamentale și tehnica de a crea la numitor exact expresia din argument.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 71–84 aplică direct formulele, iar 86–88 și 91 le folosesc pentru a determina un parametru.

  • limu→0 eu − 1u = 1
  • limu→0 ln(1 + u)u = 1
  • limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani
  • limu→0 1 − cos uu2 = 12, folosind 1 − cos u = 2sin2(u2)
  • Pentru eax − 1x, sin(ax)x și ln(1 + ax)x limita este a
  • Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.
  • 1 − cos(2x) = 2sin2x scurtează mult calculul.
  • Dacă g(0) = 0, atunci g(x)x este chiar definiția derivatei în 0.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita fundamentală a funcției exponențiale.
    2. Formula: limu→0 eu − 1u = 1.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Avem nevoie de 2x la numitor, ca să folosim formula.
    2. Scriem e2x − 1x = [e2x − 12x]·2.
    3. Primul factor tinde la 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculați limx→0 e3x − 1ex − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x, operație permisă pentru x ≠ 0.
    2. Numărătorul devine e3x − 1x → 3.
    3. Numitorul devine ex − 1x → 1.
    4. Răspuns final: 3.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita fundamentală a logaritmului natural.
    2. Formula: limu→0 ln(1 + u)u = 1.
    3. Pentru x apropiat de 0 avem 1 + x > 0, deci logaritmul este definit.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem ln(1 + 4x)x = [ln(1 + 4x)4x]·4.
    2. Cu u = 4x avem u → 0, deci primul factor tinde la 1.
    3. Răspuns final: 4.

    Răspuns: 4

  6. Exercițiul 6

    Calculați limx→0 ln(1 + 2x)ex − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: ln(1 + 2x)x → 2.
    3. Numitorul: ex − 1x → 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita trigonometrică fundamentală.
    2. Formula: limu→0 sin uu = 1, cu unghiul măsurat în radiani.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→0 sin(5x)2x.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem sin(5x)2x = [sin(5x)5x]·(52).
    2. Primul factor tinde la 1.
    3. Răspuns final: 52.

    Răspuns: 52

  9. Exercițiul 9

    Calculați limx→0 sin(3x)sin(2x).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: sin(3x)x → 3.
    3. Numitorul: sin(2x)x → 2.
    4. Răspuns final: 32.

    Răspuns: 32

  10. Exercițiul 10

    Calculați limx→0 1 − cos xx2.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea 1 − cos x = 2sin2(x2).
    2. Expresia devine 2sin2(x2)x2 = (12)·[sin(x2)x2]2.
    3. Paranteza tinde la 1, deci limita este 12·12.
    4. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  11. Exercițiul 11

    Calculați limx→0 1 − cos 2xx2.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim 1 − cos(2x) = 2sin2x.
    2. Expresia devine 2sin2xx2 = 2·[sin xx]2.
    3. Paranteza tinde la 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Calculați limx→0 tg xx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem tg x = sin xcos x.
    2. Atunci tg xx = [sin xx]·(1cos x).
    3. Primul factor tinde la 1, iar cos x → 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  13. Exercițiul 13

    Calculați limx→0 ex − 1sin x.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: ex − 1x → 1.
    3. Numitorul: sin xx → 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    Calculați limx→0 ln(1 + x)sin(2x).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: ln(1 + x)x → 1.
    3. Numitorul: sin(2x)x → 2.
    4. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  15. Exercițiul 15

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 eax − 1x = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem eax − 1x = [eax − 1ax]·a, pentru a ≠ 0.
    2. Primul factor tinde la 1, deci limita este a.
    3. Punem a = 4.
    4. Răspuns final: a = 4.

    Răspuns: 4

  16. Exercițiul 16

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 ln(1 + ax)x = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem ln(1 + ax)x = [ln(1 + ax)ax]·a, pentru a ≠ 0.
    2. Primul factor tinde la 1, deci limita este a.
    3. Punem a = 5.
    4. Răspuns final: a = 5.

    Răspuns: 5

  17. Exercițiul 17

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 sin(ax)x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem sin(ax)x = [sin(ax)ax]·a, pentru a ≠ 0.
    2. Primul factor tinde la 1, deci limita este a.
    3. Punem a = 3.
    4. Răspuns final: a = 3.

    Răspuns: 3

  18. Exercițiul 18

    Fie f(x) = ex·(x2 + x − 1). Calculați limx→0 f(x) + 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm g(x) = f(x) + 1. La x = 0: e0(0 + 0 − 1) + 1 = −1 + 1 = 0, deci avem 00.
    2. Cum g(0) = 0, raportul g(x)x este exact g(x) − g(0)x − 0, adică definiția derivatei în 0.
    3. Derivăm: g′(x) = ex(x2 + x − 1) + ex(2x + 1) = ex(x2 + 3x).
    4. La x = 0 obținem g′(0) = e0·0 = 0.
    5. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

Fișa de antrenament · exercițiile 71–84, 86–88 și 91 (18)

  1. 71. Exponențială

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  2. 72. Exponențială

    Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

  3. 73. Exponențială

    Calculați limx→0 e3x − 1ex − 1.

    Vezi răspunsul

    3

  4. 74. Logaritm

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  5. 75. Logaritm

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi răspunsul

    4

  6. 76. Mixt

    Calculați limx→0 ln(1 + 2x)ex − 1.

    Vezi răspunsul

    2

  7. 77. Trigonometrie

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  8. 78. Trigonometrie

    Calculați limx→0 sin(5x)2x.

    Vezi răspunsul

    52

  9. 79. Trigonometrie

    Calculați limx→0 sin(3x)sin(2x).

    Vezi răspunsul

    32

  10. 80. Cosinus

    Calculați limx→0 1 − cos xx2.

    Vezi răspunsul

    12

  11. 81. Cosinus

    Calculați limx→0 1 − cos 2xx2.

    Vezi răspunsul

    2 (1 − cos 2x = 2sin2x)

  12. 82. Tangentă

    Calculați limx→0 tg xx.

    Vezi răspunsul

    1

  13. 83. Mixt

    Calculați limx→0 ex − 1sin x.

    Vezi răspunsul

    1

  14. 84. Mixt

    Calculați limx→0 ln(1 + x)sin(2x).

    Vezi răspunsul

    12

  15. 86. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 eax − 1x = 4.

    Vezi răspunsul

    a = 4

  16. 87. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 ln(1 + ax)x = 5.

    Vezi răspunsul

    a = 5

  17. 88. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 sin(ax)x = 3.

    Vezi răspunsul

    a = 3

  18. 91. Cerință cu funcție

    Fie f(x) = ex·(x2 + x − 1). Calculați limx→0 f(x) + 1x.

    Vezi răspunsul

    f(0) = −1, deci limita este f′(0); f′(x) = ex(x2 + 3x), deci limita este 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.