Limite fundamentale · 18 exerciții

A patra serie exersează cele patru limite fundamentale și tehnica de a crea la numitor exact expresia din argument.

Materialul marchează această secțiune pentru profilurile Științe ale Naturii și Mate-Info.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 71–84 aplică direct formulele, iar 86–88 și 91 le folosesc pentru a determina un parametru.

limu→0 e^u − 1u = 1

limu→0 ln(1 + u)u = 1

limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani

limu→0 1 − cos uu² = 12, folosind 1 − cos u = 2sin²(u2)

Pentru e^(ax) − 1x, sin(ax)x și ln(1 + ax)x limita este a

Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.
1 − cos(2x) = 2sin²x scurtează mult calculul.
Dacă g(0) = 0, atunci g(x)x este chiar definiția derivatei în 0.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 71–84, 86–88 și 91 · 18 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 71ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 72ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 e^2x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 73ExponențialăM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 e^3x − 1e^x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 74LogaritmM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 75LogaritmM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4
Ex. 76MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + 2x)e^x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 77TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 sin xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 78TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 sin(5x)2x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
52
Ex. 79TrigonometrieM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 sin(3x)sin(2x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
32
Ex. 80CosinusM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 1 − cos xx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12
Ex. 81CosinusM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 1 − cos 2xx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 (1 − cos 2x = 2sin²x)
Ex. 82TangentăM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 tg xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 83MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 (e^x − 1)/sin x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 84MixtM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + x)sin(2x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12
Ex. 86ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 e^(ax) − 1x = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 4
Ex. 87ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 ln(1 + ax)x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 5
Ex. 88ParametruM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ astfel încât limx→0 sin(ax)x = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 3
Ex. 91Cerință cu funcțieM1 · Mate-Info și M2 · Științe
Fie f(x) = e^x·(x² + x − 1). Calculați limx→0 f(x) + 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = −1, deci limita este f′(0); f′(x) = e^x(x² + 3x), deci limita este 0.