M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

L·1

Teorie înainte de exerciții

Substituție și forma 0/0 · 31 de exerciții

Prima serie de antrenament: pornești de la substituție directă și ajungi la toate tiparele de factorizare care apar la forma 00.

Substituția este mereu primul gest: ea îți spune dacă ai un rezultat direct sau o formă nedeterminată.

1

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 1–15 se rezolvă prin înlocuire directă, iar 16–30 cer factorizare. Ultimul item adaugă un parametru.

De ținut minte

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a

x² − a² = (x − a)(x + a)

x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²) și x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1), deci limx→1 xⁿ − 1x − 1 = n

Polinoamele sunt continue: substituția este permisă direct.
La fracții, verifică întâi dacă numitorul se anulează.
Simplificarea factorului comun este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 1–30 și 89 · 31 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 (3x − 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 2SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→−1 (x² + 2x + 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 2 + 4 = 3
Ex. 3SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 (x³ − 2x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 4SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→3 (2x² − x + 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 − 3 + 5 = 20
Ex. 5SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x² + 1x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
23
Ex. 6SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→−2 x² − 3x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 − 3−3 = −13
Ex. 7SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 2x + 5x² + 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
54
Ex. 8Radical continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→4 x + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 9Radical continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 1 + x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 10Logaritm continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 ln(x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln 2
Ex. 11ExponențialăToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 e^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 12TrigonometrieToate profilurile cu limite
Calculați limx→π2 sin x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 13TrigonometrieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 cos x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 14ModulToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 |x − 1|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 15Radical și fracțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² + 5x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√93 = 1
Ex. 16Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² − 4x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2) = 4
Ex. 17Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3) = 6
Ex. 18Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x² + x − 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2) = 3
Ex. 19Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² − 5x + 6x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x − 3) = −1
Ex. 20Diferență de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
Ex. 21Diferență de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x³ − 8x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + 2x + 4) = 12
Ex. 22Sumă de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→−2 x³ + 8x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² − 2x + 4) = 12
Ex. 23Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x⁴ − 16x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2)(x² + 4) = 4 · 8 = 32
Ex. 24Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁴ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 1)(x² + 1) = 4
Ex. 25Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁵ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 26Caz generalToate profilurile cu limite
Fie a ∈ ℝ. Calculați limx→a x² − a²x − a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + a) = 2a
Ex. 27Simplificare directăToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 (x − 1)(2x + 3)x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (2x + 3) = 5
Ex. 28Factor comunToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 x³ − 3x² + 2xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² − 3x + 2) = 2
Ex. 29GrupareToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x³ + x² − x − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul este (x − 1)(x + 1)², deci limita este 4.
Ex. 30Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁴ − 5x² + 4x² − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² − 1)x² − 4x² − 1 = x² − 4, deci limita este −3.
Ex. 89ParametruToate profilurile cu limite
Determinați m ∈ ℝ astfel încât limx→2 x² + mx − 2m − 4x − 2 = 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul este (x − 2)(x + 2 + m), deci limita este 4 + m = 7 și m = 3.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Substituție și forma 0/0 · 31 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Prima serie de antrenament: pornești de la substituție directă și ajungi la toate tiparele de factorizare care apar la forma 00.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 1–15 se rezolvă prin înlocuire directă, iar 16–30 cer factorizare. Ultimul item adaugă un parametru.

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a
x² − a² = (x − a)(x + a)
x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²) și x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1), deci limx→1 xⁿ − 1x − 1 = n

Polinoamele sunt continue: substituția este permisă direct.
La fracții, verifică întâi dacă numitorul se anulează.
Simplificarea factorului comun este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.

Exerciții rezolvate din lecție (31)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculați limx→2 (3x − 5).
Vezi rezolvarea
1. Expresia este un polinom, deci este continuă pe ℝ.
2. Limita se obține prin înlocuire directă: 3·2 − 5.
3. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 2
Calculați limx→−1 (x² + 2x + 4).
Vezi rezolvarea
1. Polinomul este continuu, deci înlocuim direct x = −1.
2. (−1)² + 2·(−1) + 4 = 1 − 2 + 4.
3. Atenție la semnul termenului 2x, care devine negativ.
4. Răspuns final: 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 3
Calculați limx→0 (x³ − 2x + 1).
Vezi rezolvarea
1. Înlocuim x = 0 în fiecare termen.
2. 0³ − 2·0 + 1 = 0 − 0 + 1.
3. Rămâne doar termenul liber.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 4
Calculați limx→3 (2x² − x + 5).
Vezi rezolvarea
1. Înlocuim x = 3: 2·3² − 3 + 5.
2. Calculăm întâi puterea: 3² = 9, deci 2·9 = 18.
3. 18 − 3 + 5 = 20.
4. Răspuns final: 20.
Răspuns: 20
Exercițiul 5
Calculați limx→1 x² + 1x + 2.
Vezi rezolvarea
1. Verificăm numitorul: 1 + 2 = 3 ≠ 0, deci fracția este continuă în 1.
2. Numărătorul: 1² + 1 = 2.
3. Numitorul: 3.
4. Răspuns final: 23.
Răspuns: 23
Exercițiul 6
Calculați limx→−2 x² − 3x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Numitorul la x = −2 este −2 − 1 = −3 ≠ 0.
2. Numărătorul: (−2)² − 3 = 4 − 3 = 1.
3. Raportul este 1−3.
4. Răspuns final: −13.
Răspuns: −13
Exercițiul 7
Calculați limx→0 2x + 5x² + 4.
Vezi rezolvarea
1. Numitorul la x = 0 este 0 + 4 = 4 ≠ 0.
2. Numărătorul: 2·0 + 5 = 5.
3. Răspuns final: 54.
Răspuns: 54
Exercițiul 8
Calculați limx→4 x + 5.
Vezi rezolvarea
1. Funcția radical este continuă pe domeniul ei, iar x + 5 = 9 > 0.
2. Înlocuim direct: 4 + 5 = √9.
3. Răspuns final: 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 9
Calculați limx→0 1 + x.
Vezi rezolvarea
1. Pentru x apropiat de 0, expresia de sub radical este pozitivă.
2. Înlocuim: 1 + 0 = √1.
3. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 10
Calculați limx→1 ln(x + 1).
Vezi rezolvarea
1. Argumentul x + 1 = 2 este pozitiv, deci logaritmul este definit și continuu în 1.
2. Înlocuim direct: ln(1 + 1).
3. Răspuns final: ln 2.
Răspuns: ln 2
Exercițiul 11
Calculați limx→0 e^x.
Vezi rezolvarea
1. Funcția exponențială este continuă pe ℝ.
2. Înlocuim: e⁰ = 1.
3. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 12
Calculați limx→π2 sin x.
Vezi rezolvarea
1. Funcția sinus este continuă pe ℝ.
2. Înlocuim: sin(π2) = 1, valoarea maximă a sinusului.
3. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 13
Calculați limx→0 cos x.
Vezi rezolvarea
1. Funcția cosinus este continuă pe ℝ.
2. Înlocuim: cos 0 = 1.
3. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 14
Calculați limx→2 |x − 1|.
Vezi rezolvarea
1. Funcția modul este continuă pe ℝ.
2. La x = 2 avem x − 1 = 1 > 0, deci modulul nu schimbă semnul.
3. |2 − 1| = 1.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 15
Calculați limx→2 x² + 5x + 1.
Vezi rezolvarea
1. Numitorul la x = 2 este 3 ≠ 0, iar sub radical avem 4 + 5 = 9 > 0.
2. Numărătorul: √9 = 3.
3. Raportul: 33.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 16
Calculați limx→2 x² − 4x − 2.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Factorizăm diferența de pătrate: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
3. Simplificăm x − 2, valabil pentru x ≠ 2, și rămâne x + 2.
4. La x = 2 obținem 4. Răspuns final: 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 17
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. După simplificare rămâne x + 3.
4. La x = 3 obținem 6. Răspuns final: 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 18
Calculați limx→1 x² + x − 2x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Rădăcinile trinomului x² + x − 2 sunt 1 și −2, deci se scrie (x − 1)(x + 2).
3. Simplificăm x − 1 și rămâne x + 2.
4. La x = 1 obținem 3. Răspuns final: 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 19
Calculați limx→2 x² − 5x + 6x − 2.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Rădăcinile lui x² − 5x + 6 sunt 2 și 3, deci se scrie (x − 2)(x − 3).
3. Simplificăm x − 2 și rămâne x − 3.
4. La x = 2 obținem −1. Răspuns final: −1.
Răspuns: −1
Exercițiul 20
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Folosim x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).
3. Simplificăm x − 1 și rămâne x² + x + 1.
4. La x = 1: 1 + 1 + 1 = 3. Răspuns final: 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 21
Calculați limx→2 x³ − 8x − 2.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Aplicăm x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²) cu a = 2: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
3. După simplificare rămâne x² + 2x + 4.
4. La x = 2: 4 + 4 + 4 = 12. Răspuns final: 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 22
Calculați limx→−2 x³ + 8x + 2.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Aplicăm x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²) cu a = 2: x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4).
3. După simplificare rămâne x² − 2x + 4.
4. La x = −2: 4 + 4 + 4 = 12. Răspuns final: 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 23
Calculați limx→2 x⁴ − 16x − 2.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Scriem x⁴ − 16 = (x − 2)(x³ + 2x² + 4x + 8).
3. După simplificare, la x = 2 obținem 8 + 8 + 8 + 8.
4. Răspuns final: 32.
Răspuns: 32
Exercițiul 24
Calculați limx→1 x⁴ − 1x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Folosim xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1).
2. Aici x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).
3. După simplificare, la x = 1 fiecare dintre cei 4 termeni devine 1.
4. Răspuns final: 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 25
Calculați limx→1 x⁵ − 1x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Aceeași factorizare: x⁵ − 1 = (x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).
2. După simplificare, la x = 1 avem 5 termeni egali cu 1.
3. Regulă generală: limx→1 xⁿ − 1x − 1 = n.
4. Răspuns final: 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 26
Fie a ∈ ℝ. Calculați limx→a x² − a²x − a.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Factorizăm diferența de pătrate: x² − a² = (x − a)(x + a).
3. Simplificăm x − a, valabil pentru x ≠ a, și rămâne x + a.
4. La x → a obținem a + a. Răspuns final: 2a.
Răspuns: 2a
Exercițiul 27
Calculați limx→1 (x − 1)(2x + 3)x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Factorul x − 1 apare atât la numărător, cât și la numitor.
2. Simplificăm, valabil pentru x ≠ 1, și rămâne 2x + 3.
3. La x = 1: 2 + 3 = 5.
4. Răspuns final: 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 28
Calculați limx→0 x³ − 3x² + 2xx.
Vezi rezolvarea
1. Substituția dă 00.
2. Dăm factor comun x la numărător: x(x² − 3x + 2).
3. Simplificăm x, valabil pentru x ≠ 0, și rămâne x² − 3x + 2.
4. La x = 0 rămâne termenul liber 2. Răspuns final: 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 29
Calculați limx→1 x³ + x² − x − 1x − 1.
Vezi rezolvarea
1. Grupăm termenii: x³ + x² − x − 1 = x²(x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(x² − 1).
2. Cum x² − 1 = (x − 1)(x + 1), obținem (x − 1)(x + 1)².
3. Simplificăm x − 1 și rămâne (x + 1)².
4. La x = 1: 2² = 4. Răspuns final: 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 30
Calculați limx→1 x⁴ − 5x² + 4x² − 1.
Vezi rezolvarea
1. Notăm t = x²: t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4), deci x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4).
2. Simplificăm factorul x² − 1, valabil pentru x ≠ ±1.
3. Rămâne x² − 4, iar la x = 1 obținem 1 − 4.
4. Răspuns final: −3.
Răspuns: −3
Exercițiul 31
Determinați m ∈ ℝ astfel încât limx→2 x² + mx − 2m − 4x − 2 = 7.
Vezi rezolvarea
1. Verificăm întâi numărătorul la x = 2: 4 + 2m − 2m − 4 = 0, deci avem 00 pentru orice m.
2. Împărțim numărătorul la x − 2: câtul este x + (m + 2), fără rest.
3. Verificare: (x − 2)(x + m + 2) = x² + mx − 2m − 4.
4. Limita devine 2 + m + 2 = m + 4, deci punem m + 4 = 7.
5. Răspuns final: m = 3.
Răspuns: 3

Fișa de antrenament · exercițiile 1–30 și 89 (31)

1. Substituție
Calculați limx→2 (3x − 5).
Vezi răspunsul
1
2. Substituție
Calculați limx→−1 (x² + 2x + 4).
Vezi răspunsul
1 − 2 + 4 = 3
3. Substituție
Calculați limx→0 (x³ − 2x + 1).
Vezi răspunsul
1
4. Substituție
Calculați limx→3 (2x² − x + 5).
Vezi răspunsul
18 − 3 + 5 = 20
5. Substituție
Calculați limx→1 x² + 1x + 2.
Vezi răspunsul
23
6. Substituție
Calculați limx→−2 x² − 3x − 1.
Vezi răspunsul
4 − 3−3 = −13
7. Substituție
Calculați limx→0 2x + 5x² + 4.
Vezi răspunsul
54
8. Radical continuu
Calculați limx→4 x + 5.
Vezi răspunsul
3
9. Radical continuu
Calculați limx→0 1 + x.
Vezi răspunsul
1
10. Logaritm continuu
Calculați limx→1 ln(x + 1).
Vezi răspunsul
ln 2
11. Exponențială
Calculați limx→0 e^x.
Vezi răspunsul
1
12. Trigonometrie
Calculați limx→π2 sin x.
Vezi răspunsul
1
13. Trigonometrie
Calculați limx→0 cos x.
Vezi răspunsul
1
14. Modul
Calculați limx→2 |x − 1|.
Vezi răspunsul
1
15. Radical și fracție
Calculați limx→2 x² + 5x + 1.
Vezi răspunsul
√93 = 1
16. Forma 0/0
Calculați limx→2 x² − 4x − 2.
Vezi răspunsul
lim (x + 2) = 4
17. Forma 0/0
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsul
lim (x + 3) = 6
18. Forma 0/0
Calculați limx→1 x² + x − 2x − 1.
Vezi răspunsul
lim (x + 2) = 3
19. Forma 0/0
Calculați limx→2 x² − 5x + 6x − 2.
Vezi răspunsul
lim (x − 3) = −1
20. Diferență de cuburi
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
21. Diferență de cuburi
Calculați limx→2 x³ − 8x − 2.
Vezi răspunsul
lim (x² + 2x + 4) = 12
22. Sumă de cuburi
Calculați limx→−2 x³ + 8x + 2.
Vezi răspunsul
lim (x² − 2x + 4) = 12
23. Forma 0/0
Calculați limx→2 x⁴ − 16x − 2.
Vezi răspunsul
lim (x + 2)(x² + 4) = 4 · 8 = 32
24. Forma 0/0
Calculați limx→1 x⁴ − 1x − 1.
Vezi răspunsul
lim (x + 1)(x² + 1) = 4
25. Forma 0/0
Calculați limx→1 x⁵ − 1x − 1.
Vezi răspunsul
5
26. Caz general
Fie a ∈ ℝ. Calculați limx→a x² − a²x − a.
Vezi răspunsul
lim (x + a) = 2a
27. Simplificare directă
Calculați limx→1 (x − 1)(2x + 3)x − 1.
Vezi răspunsul
lim (2x + 3) = 5
28. Factor comun
Calculați limx→0 x³ − 3x² + 2xx.
Vezi răspunsul
lim (x² − 3x + 2) = 2
29. Grupare
Calculați limx→1 x³ + x² − x − 1x − 1.
Vezi răspunsul
Numărătorul este (x − 1)(x + 1)², deci limita este 4.
30. Forma 0/0
Calculați limx→1 x⁴ − 5x² + 4x² − 1.
Vezi răspunsul
(x² − 1)x² − 4x² − 1 = x² − 4, deci limita este −3.
89. Parametru
Determinați m ∈ ℝ astfel încât limx→2 x² + mx − 2m − 4x − 2 = 7.
Vezi răspunsul
Numărătorul este (x − 2)(x + 2 + m), deci limita este 4 + m = 7 și m = 3.