M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

L·1

Teorie înainte de exerciții

Substituție și forma 0/0 · 31 de exerciții

Prima serie de antrenament: pornești de la substituție directă și ajungi la toate tiparele de factorizare care apar la forma 00.

Substituția este mereu primul gest: ea îți spune dacă ai un rezultat direct sau o formă nedeterminată.

1

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 1–15 se rezolvă prin înlocuire directă, iar 16–30 cer factorizare. Ultimul item adaugă un parametru.

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a

x² − a² = (x − a)(x + a)

x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²) și x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1), deci limx→1 xⁿ − 1x − 1 = n

Polinoamele sunt continue: substituția este permisă direct.
La fracții, verifică întâi dacă numitorul se anulează.
Simplificarea factorului comun este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 1–30 și 89 · 31 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 (3x − 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 2SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→−1 (x² + 2x + 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 2 + 4 = 3
Ex. 3SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 (x³ − 2x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 4SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→3 (2x² − x + 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 − 3 + 5 = 20
Ex. 5SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x² + 1x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
23
Ex. 6SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→−2 x² − 3x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 − 3−3 = −13
Ex. 7SubstituțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 2x + 5x² + 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
54
Ex. 8Radical continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→4 x + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 9Radical continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 1 + x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 10Logaritm continuuToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 ln(x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln 2
Ex. 11ExponențialăToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 e^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 12TrigonometrieToate profilurile cu limite
Calculați limx→π/2 sin x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 13TrigonometrieToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 cos x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 14ModulToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 |x − 1|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 15Radical și fracțieToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² + 5x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√93 = 1
Ex. 16Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² − 4x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2) = 4
Ex. 17Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3) = 6
Ex. 18Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x² + x − 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2) = 3
Ex. 19Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x² − 5x + 6x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x − 3) = −1
Ex. 20Diferență de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
Ex. 21Diferență de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x³ − 8x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + 2x + 4) = 12
Ex. 22Sumă de cuburiToate profilurile cu limite
Calculați limx→−2 x³ + 8x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² − 2x + 4) = 12
Ex. 23Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→2 x⁴ − 16x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2)(x² + 4) = 4 · 8 = 32
Ex. 24Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁴ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 1)(x² + 1) = 4
Ex. 25Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁵ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 26Caz generalToate profilurile cu limite
Fie a ∈ ℝ. Calculați limx→a x² − a²x − a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + a) = 2a
Ex. 27Simplificare directăToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 (x − 1)(2x + 3)x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (2x + 3) = 5
Ex. 28Factor comunToate profilurile cu limite
Calculați limx→0 x³ − 3x² + 2xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² − 3x + 2) = 2
Ex. 29GrupareToate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x³ + x² − x − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul este (x − 1)(x + 1)², deci limita este 4.
Ex. 30Forma 0/0Toate profilurile cu limite
Calculați limx→1 x⁴ − 5x² + 4x² − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² − 1)x² − 4x² − 1 = x² − 4, deci limita este −3.
Ex. 89ParametruToate profilurile cu limite
Determinați m ∈ ℝ astfel încât limx→2 x² + mx − 2m − 4x − 2 = 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul este (x − 2)(x + 2 + m), deci limita este 4 + m = 7 și m = 3.