Modele de Bac · polinoame M1

Acum unești toate regulile într-un model de examen: citești cerința, alegi teorema potrivită și scrii pașii în ordinea care aduce punctaj.

Nu sări direct la rezultat. La Bac, condiția folosită și calculele intermediare fac parte din rezolvare.

Șablonul unei probleme complete

Valoare sau rădăcină: calculează P(a).
Divizibilitate prin X−a: scrie P(a)=0.
Expresii în rădăcini: notează întâi relațiile lui Viète.
Rest la un polinom de grad 2: caută un rest aX+b și redu puterile mari.

Model rezolvat în trei etape

De la factor la rest

P(X)=mX³+X²−2X+2 este divizibil cu X+1. Găsește m, apoi restul la X²−2.

1.X+1=X−(−1), deci Bézout ne cere P(−1)=0.
2.−m+1+2+2=0, de unde m=5.
3.Modulo X²−2 avem X²≡2 și X³≡2X.
4.P≡10X+2−2X+2=8X+4.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM1 · Mate-Info
Factorizează X⁴ − 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X² − 4)(X² + 4) = (X − 2)(X + 2)(X² + 4)
Ex. 2Pornim de la zeroM1 · Mate-Info
Rezolvă ecuația bipătrată X⁴ − 5X² + 4 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu y = X²: y² − 5y + 4 = 0, deci y = 1 sau y = 4. Rădăcinile: −2, −1, 1, 2.
Ex. 3Pornim de la zeroM1 · Mate-Info
Polinomul reciproc P(X) = X⁴ − 3X³ + 4X² − 3X + 1 se simplifică împărțind prin X² și folosind:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Substituția y = X + 1X, cu X² + 1X² = y² − 2.
Ex. 4Pornim de la zeroM1 · Mate-Info
Care este c.m.m.d.c. al polinoamelor (X − 1)²(X + 2) și (X − 1)(X + 2)³?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X − 1)(X + 2)
Ex. 5Legăm regulileM1 · Mate-Info
Pentru aceleași două polinoame, care este c.m.m.m.c.?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X − 1)²(X + 2)³
Ex. 6Legăm regulileM1 · Mate-Info
Dacă rădăcinile unui cubic sunt x₁,x₂,x₃, cum exprimi x₁²+x₂²+x₃² prin s₁=x₁+x₂+x₃ și s₂=x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁² + x₂² + x₃² = s₁² − 2s₂
Ex. 7Legăm regulileM1 · Mate-Info
Pentru P(X)=X³−4X²+X+6, cât este x₁²+x₂²+x₃²?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
s₁ = 4, s₂ = 1, deci 16 − 2 = 14.
Ex. 8Legăm regulileM1 · Mate-Info
Dacă P(X)=X³−2X²−5X+6 și 1 este rădăcină, câtul la X−1 este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X² − X − 6 (Horner: 1, −1, −6, restul 0)
Ex. 9Legăm regulileM1 · Mate-Info
Care sunt toate rădăcinile lui X³−2X²−5X+6?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1, 3 și −2
Ex. 10Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info
Un polinom monic de grad 4 are rădăcinile 1, 1, −2, 3. Care este termenul liber?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Termenul liber este produsul rădăcinilor: 1 · 1 · (−2) · 3 = −6.
Ex. 11Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info
Care este restul lui X⁷ la împărțirea prin X²+X+1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Modulo X² + X + 1 avem X³ = 1, deci X⁷ = X⁶ · X = X. Restul este X.
Ex. 12Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info
Dacă P este divizibil cu (X−2)², ce două condiții sunt adevărate?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(2) = 0 și P′(2) = 0: 2 este rădăcină dublă (echivalent, și câtul lui P la X − 2 se anulează în 2).