Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
🧮 De ținut minte
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
1Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
2P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
3P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
4Concluzie: 9.
⚠️ Greșeală frecventă
Greșit: P(−2)=−23+2·2−3.
De ce: Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Modele de Bac · polinoame M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 24
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 34
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 44
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 14
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 24
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 34
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 44
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète la gradul 3: s1, s2, s3
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.
Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a)
În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.
Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.
restul la X−a este P(a)
X+k=X−(−k)
Exemplu rezolvat · alte date
Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.
X+2 se anulează la X=−2.
Restul este P(−2), nu P(2).
Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.
Greșeală frecventă:La X+2 calculez P(2).Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).
Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a) · consolidare 2
În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.
Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.
restul la X−a este P(a)
X+k=X−(−k)
Exemplu rezolvat · alte date
Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.
X+2 se anulează la X=−2.
Restul este P(−2), nu P(2).
Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.
Greșeală frecventă:La X+2 calculez P(2).Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).
Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație
Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.
Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.
Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.
divizibilitate la X−a → P(a)=0
Exemplu rezolvat · alte date
P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.
Numărul care anulează X−2 este 2.
P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.
Greșeală frecventă:Înlocuiesc și m cu numărul a.Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.
Horner: copiem, înmulțim, adunăm
Horner împarte un polinom la X−a și calculează în același timp P(a). Scriem coeficienții în ordinea puterilor descrescătoare, inclusiv coeficienții 0 ai puterilor lipsă. În stânga trecem numărul a care anulează împărțitorul.
Copiem primul coeficient pe rândul de jos. Înmulțim acel număr cu a, scriem produsul sub următorul coeficient și adunăm pe coloană. Rezultatul adunării este numărul cu care pornim următoarea înmulțire. Nu facem înmulțirea și adunarea într-un singur pas.
Ultimul număr de jos este restul și valoarea P(a). Numerele de dinainte sunt coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic. Dacă ultimul număr este 0, împărțirea este exactă și putem folosi câtul pentru factorizare.
coeficient nou = rezultat precedent·a + coeficient de sus
P=(X−a)Q+P(a)
Exemplu rezolvat · alte date
Împarte P=X3−4X2−X+4 la X−1.
Împărțitorul este X−1, deci a=1.
Sunt patru coloane: X3, X2, X, 1.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Rândul de jos este 1; −3; −4; 0. Q=X2−3X−4 și R=0. La verificare, (X−1)Q reconstruiește P.
Greșeală frecventă:Ultimul număr intră și el în coeficienții câtului.Ultima coloană este restul. Pentru un cubic împărțit la X−a, câtul este de grad 2 și are doar primele trei rezultate drept coeficienți.
Factorizarea și toate rădăcinile
Căutăm întâi factorul comun. Dacă termenul liber este zero și toți termenii conțin X, scoatem X; nu împărțim pur și simplu prin X, deoarece am pierde rădăcina 0. Diferența de pătrate se scrie A2−B2=(A−B)(A+B).
La X2−sX+p, două rădăcini r și t trebuie să aibă suma s și produsul p. Verificăm ambele condiții și scriem (X−r)(X−t). Semnul coeficientului lui X este minus suma rădăcinilor.
Când coeficientul lui X2 este a≠1, păstrăm și acest factor: a(X−r)(X−t). Putem verifica o factorizare propusă prin cele patru produse. De exemplu (X+1)(3X+2) dă 3X2, 2X, 3X și 2; adunând termenii cu X obținem 3X2+5X+2.
Dacă nu găsim ușor două rădăcini, folosim ecuația de gradul 2: pentru aX2+bX+c=0 calculăm Δ=b2−4ac. Dacă Δ≥0, rădăcinile reale sunt −b+√Δ2a și −b−√Δ2a. Calculăm separat pătratul, produsul 4ac, diferența, radicalul, fiecare numărător și numitorul. Δ<0 înseamnă că nu există rădăcini reale; în ℂ folosim √Δ=i√−Δ.
Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero. Rezolvăm fiecare factor, fără să pierdem rădăcinile negative. Pentru un cubic cu o rădăcină deja verificată, aplicăm Horner și rezolvăm câtul de grad 2.
A2−B2=(A−B)(A+B)
X2−(r+t)X+rt=(X−r)(X−t)
Δ=b2−4ac; x1,2=−b±√Δ2a, a≠0
Exemplu rezolvat · alte date
Factorizează X2−X−12 și află rădăcinile.
Citim suma rădăcinilor: minus coeficientul −1, deci 1.
Citim produsul rădăcinilor: −12.
Încercăm numerele 4 și −3.
4+(−3)=1: suma se potrivește.
4·(−3)=−12: produsul se potrivește.
Scriem (X−4)(X−(−3))=(X−4)(X+3).
X−4=0 dă X=4.
X+3=0 dă X=−3. Sunt ambele rădăcini.
Greșeală frecventă:Scot factorul X și uit rădăcina 0.Ecuația X·Q(X)=0 are și soluția X=0, pe lângă soluțiile lui Q(X)=0.
Construim polinomul din rădăcini
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Dacă r este negativ, factorul are plus: rădăcina −2 dă X+2. Pentru un polinom monic, coeficientul dominant este 1 și folosim produsul factorilor fără un multiplicator suplimentar.
Dacă se dă un coeficient dominant diferit de 1, îl punem în fața produsului. Din Viète, coeficientul de după cel dominant este minus suma rădăcinilor, înmulțită cu coeficientul dominant. Termenul liber are semnul (−1) la puterea gradului, ori produsul rădăcinilor și coeficientul dominant.
P(X)=a∏(X−ri)
termen liber = a(−1)n∏ri
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie polinomul monic cu rădăcinile −2, 1 și 3; află termenul liber.
Monic înseamnă coeficient dominant 1.
Rădăcina −2 dă X+2.
Rădăcina 1 dă X−1.
Rădăcina 3 dă X−3.
P=(X+2)(X−1)(X−3).
Produsul rădăcinilor: (−2)·1=−2.
Înmulțim și cu 3: −2·3=−6.
Gradul este 3, deci termenul liber este minus produsul: 6.
Greșeală frecventă:Rădăcina −2 dă factorul X−2.Factorul este X minus rădăcina, deci X−(−2)=X+2.
Rădăcini distincte și rădăcini repetate
Dacă factorul X−a apare la puterea k, rădăcina a are multiplicitatea k. Numărul de rădăcini distincte numără valorile diferite o singură dată. Gradul numără rădăcinile din ℂ cu multiplicitate, nu numai rădăcinile reale distincte.
Pentru o rădăcină dublă putem împărți exact de două ori prin X−a. Echivalent, P(a)=0 și P′(a)=0. P′ înseamnă derivata polinomului: derivata lui cXn este cnXn−1, iar cea a unei constante este 0.
(X−a)k → multiplicitatea k
rădăcină cel puțin dublă: P(a)=P′(a)=0
Exemplu rezolvat · alte date
P=(X−3)2(X+2). Citește rădăcinile și multiplicitățile.
Din X−3=0 aflăm prima valoare: 3.
Factorul X−3 apare la puterea 2.
Deci 3 are multiplicitatea 2.
Din X+2=0 aflăm a doua valoare: −2.
Factorul X+2 apare o singură dată.
Deci −2 are multiplicitatea 1.
Sunt două rădăcini distincte, 3 și −2.
Cu multiplicitate numărăm 2+1=3, egal cu gradul polinomului.
Greșeală frecventă:(X−3)2 produce două valori diferite ale lui X.Aceeași rădăcină 3 se repetă de două ori. Nu devine o nouă valoare.
Restul la gradul 2: împărțire și reducerea puterilor
La un împărțitor de gradul 2, restul are forma aX+b. Pentru împărțirea completă, ordonăm puterile și punem coeficienții zero. Împărțim termenii dominanți, înmulțim tot împărțitorul cu termenul obținut și scădem pe fiecare coloană.
La D=X2−k putem reduce X2 la k în calculul resturilor. Scriem X2≡k, unde ≡ înseamnă «același rest la D», nu o egalitate pentru orice X. La D=X2+1 folosim X2≡−1. Înmulțim relația pentru puterile mai mari.
La D=X2+X+1, identitatea X3−1=(X−1)D arată X3≡1. Pentru o putere mare grupăm câte trei factori X. Dacă rămâne X2, îl reducem încă o dată la −X−1, ca gradul restului să fie mai mic decât 2.
P=DQ+R
X2+1: X2≡−1
X2+X+1: X3≡1 și X2≡−X−1
Exemplu rezolvat · alte date
Împarte 2X3+X2+3X+4 la X2+1.
Termenii dominanți sunt 2X3 și X2.
Urmărim fiecare scădere în aceeași coloană.
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X + 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=X + 3. Verificarea este D·Q+R=P.
Q=2X+1 și R=X+3. Verificăm: (X2+1)(2X+1)+X+3=2X3+X2+3X+4.
Greșeală frecventă:X2≡−1 înseamnă X2=−1 pentru orice număr real X.Semnul ≡ compară resturi la un împărțitor. Nu este o ecuație în variabila X.
Restul la gradul 2: împărțire și reducerea puterilor · consolidare 2
La un împărțitor de gradul 2, restul are forma aX+b. Pentru împărțirea completă, ordonăm puterile și punem coeficienții zero. Împărțim termenii dominanți, înmulțim tot împărțitorul cu termenul obținut și scădem pe fiecare coloană.
La D=X2−k putem reduce X2 la k în calculul resturilor. Scriem X2≡k, unde ≡ înseamnă «același rest la D», nu o egalitate pentru orice X. La D=X2+1 folosim X2≡−1. Înmulțim relația pentru puterile mai mari.
La D=X2+X+1, identitatea X3−1=(X−1)D arată X3≡1. Pentru o putere mare grupăm câte trei factori X. Dacă rămâne X2, îl reducem încă o dată la −X−1, ca gradul restului să fie mai mic decât 2.
P=DQ+R
X2+1: X2≡−1
X2+X+1: X3≡1 și X2≡−X−1
Exemplu rezolvat · alte date
Împarte 2X3+X2+3X+4 la X2+1.
Termenii dominanți sunt 2X3 și X2.
Urmărim fiecare scădere în aceeași coloană.
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X + 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=X + 3. Verificarea este D·Q+R=P.
Q=2X+1 și R=X+3. Verificăm: (X2+1)(2X+1)+X+3=2X3+X2+3X+4.
Greșeală frecventă:X2≡−1 înseamnă X2=−1 pentru orice număr real X.Semnul ≡ compară resturi la un împărțitor. Nu este o ecuație în variabila X.
Suma pătratelor: eliminăm produsele încrucișate
Dezvoltarea lui (x1+x2+x3)2 conține fiecare pătrat și încă de două ori fiecare produs câte două. De aceea suma pătratelor este s12−2s2. Aflăm întâi s1 și s2 din Viète.
Calculăm separat pătratul lui s1 și produsul 2s2, apoi scădem. Dacă s2 este negativ, scăderea acelui număr devine adunare. O sumă a pătratelor poate fi negativă când rădăcinile sunt complexe; nu presupunem fără dovadă că toate trei sunt reale.
x12+x22+x32=s12−2s2
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−2X+6, află suma pătratelor rădăcinilor.
Nu rezolvăm ecuația cubică.
Luăm suma rădăcinilor și suma produselor câte două din coeficienți.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -21=-2.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-2) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 9 − (-4) și obținem 13. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma pătratelor este 13, deoarece 9−(−4)=13.
Greșeală frecventă:Suma pătratelor este s12.Pătratul sumei include și produsele încrucișate. Trebuie să scazi 2s2.
Dezvoltarea lui (x1+x2+x3)2 conține fiecare pătrat și încă de două ori fiecare produs câte două. De aceea suma pătratelor este s12−2s2. Aflăm întâi s1 și s2 din Viète.
Calculăm separat pătratul lui s1 și produsul 2s2, apoi scădem. Dacă s2 este negativ, scăderea acelui număr devine adunare. O sumă a pătratelor poate fi negativă când rădăcinile sunt complexe; nu presupunem fără dovadă că toate trei sunt reale.
x12+x22+x32=s12−2s2
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−2X+6, află suma pătratelor rădăcinilor.
Nu rezolvăm ecuația cubică.
Luăm suma rădăcinilor și suma produselor câte două din coeficienți.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -21=-2.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-2) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 9 − (-4) și obținem 13. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma pătratelor este 13, deoarece 9−(−4)=13.
Greșeală frecventă:Suma pătratelor este s12.Pătratul sumei include și produsele încrucișate. Trebuie să scazi 2s2.
Suma inverselor: verificăm că rădăcinile sunt nenule
1x1, 1x2 și 1x3 există numai dacă fiecare rădăcină este nenulă. Este suficient să verificăm s3≠0. Din Viète, s3=−da, deci pentru un cubic cu a≠0 avem nevoie de d≠0.
Aducem cele trei fracții la numitorul comun x1x2x3. La numărător rămân x2x3, x1x3 și x1x2, adică s2. Astfel suma inverselor este s2s3. Nu inversăm raportul și nu confundăm expresia cu 1s1.
1x1+1x2+1x3=s2s3, s3≠0
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma inverselor rădăcinilor.
Termenul liber 3 este nenul, deci 0 nu este rădăcină.
Putem forma toate cele trei inverse.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Raportul este −1−3=13. Două semne minus dau o fracție pozitivă.
Greșeală frecventă:Suma inverselor este 1s1.Inversa unei sume nu este suma inverselor. Amplificarea fracțiilor arată că raportul corect este s2s3.
Suma cuburilor: trei rezultate separate
Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.
Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.
S3=s13−3s1s2+3s3
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.
Notăm S3=x13+x23+x33.
Construim formula din coeficienții polinomului.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.
Greșeală frecventă:S3=(x1+x2+x3)3.Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.
Suma cuburilor: trei rezultate separate · consolidare 2
Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.
Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.
S3=s13−3s1s2+3s3
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.
Notăm S3=x13+x23+x33.
Construim formula din coeficienții polinomului.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.
Greșeală frecventă:S3=(x1+x2+x3)3.Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.
M1 · divizor și multiplu comun
Factorizăm ambele polinoame în același domeniu, de exemplu ℝ. Pentru c.m.m.d.c. luăm numai factorii comuni, fiecare la exponentul minim. Pentru c.m.m.m.c. luăm toți factorii, fiecare la exponentul maxim.
Convenția de aici este să alegem polinomul monic, pentru unicitate. Nu adunăm exponenții și nu confundăm c.m.m.d.c. cu produsul celor două polinoame. Factorul X2+4 este ireductibil în ℝ, dar în ℂ se descompune; domeniul contează.
c.m.m.d.c.: exponenți minimi
c.m.m.m.c.: exponenți maximi
Exemplu rezolvat · alte date
P=(X−2)2(X+3)3 și Q=(X−2)3(X+3). Află c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. monice.
Factorii comuni sunt X−2 și X+3.
Pentru X−2, minimul exponenților 2 și 3 este 2.
Pentru X+3, minimul lui 3 și 1 este 1.
c.m.m.d.c.=(X−2)2(X+3).
Pentru X−2, maximul exponenților este 3.
Pentru X+3, maximul exponenților este 3.
c.m.m.m.c.=(X−2)3(X+3)3.
Coeficienții dominanți sunt 1, deci rezultatele sunt monice.
Greșeală frecventă:La c.m.m.d.c. aleg exponenții maximi.Un divizor comun trebuie să dividă ambele polinoame. O putere mai mare decât cea din unul dintre ele nu poate fi divizor.
M1 · ecuații bipătrate și reciproce
O ecuație bipătrată conține X4, X2 și constante. Notăm t=X2 și rezolvăm o ecuație de gradul 2 în t. Pentru soluții reale păstrăm numai t≥0; apoi X=±√t. Nu pierdem soluția negativă a lui X.
La un polinom reciproc, coeficienții se citesc la fel de la capete. Dacă termenul liber este nenul, X=0 nu este rădăcină. Împărțim prin X2 și notăm t=X+1X. Din t2=X2+2+1X2 obținem X2+1X2=t2−2.
După aflarea lui t revenim la X2−tX+1=0 și verificăm discriminantul. Pentru X real nenul avem |t|≥2. De exemplu t=1 nu produce soluții reale, chiar dacă este soluție a ecuației în t.
t=X2≥0
t=X+1X, X≠0
X2+1X2=t2−2
Exemplu rezolvat · alte date
Rezolvă în ℝ ecuația X4−10X2+9=0.
Notăm t=X2 și avem t≥0.
Ecuația devine t2−10t+9=0.
Numerele 1 și 9 au suma 10 și produsul 9.
Factorizăm: (t−1)(t−9)=0.
Obținem t=1 sau t=9; ambele sunt nenegative.
Pentru X2=1, X=−1 sau X=1.
Pentru X2=9, X=−3 sau X=3.
Soluțiile sunt −3, −1, 1 și 3; fiecare verifică ecuația inițială.
Greșeală frecventă:Din t=9 iau numai X=3.Ecuația X2=9 are două soluții reale, ±3. Înlocuirea t=X2 nu păstrează semnul lui X.
Probleme complete de Bac · a), b), c)
Acum legăm metodele într-o singură problemă. Citim separat fiecare subpunct; dacă un parametru primește o valoare numai la b), nu o folosim automat și la c). Păstrăm toate datele pe ecran și revenim la enunțul general când ni se cere.
La a) prezentăm înlocuirea și calculul, nu doar rezultatul. La b) prezentăm câtul, restul și condiția de divizibilitate sau toate rădăcinile. La c) scriem relațiile lui Viète și identitatea folosită înainte de calcul. Concluzia trebuie să răspundă exact cerinței.
Cele trei subpuncte rămân în aceeași problemă, cu pași separați. După finalizare poți reciti toată rezolvarea și paragraful «Redactare pentru Bac». Cele 15 puncte descriu formatul unei probleme de examen; acest antrenament ghidat nu este o notă de simulare independentă.
Model complet rezolvat · alte date
Model original de tip Bac · M1. P(X)=X3 − 5X2 − X + 5. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-5)·(1)2+(-1)·(1)+5=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 2: (1)·(1)+(-5)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-4)·(1)+(-1)=-5. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -5, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 5 din coloana 4: (-5)·(1)+(5)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -5, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 51=5.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 5 · 5 și obținem 25. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 25 − (-2) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 27.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 4X − 5, R=0. c) s1=5, s2=−1, deci S2=52−2(−1)=27.
Greșeală frecventă:Folosesc la c) parametrul numeric impus numai la b).Condiția numerică de la un subpunct nu se transferă automat. Recitim parametrul și condițiile exacte ale subpunctului curent.
Exerciții rezolvate din lecție (78)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculează P(1) pentru P(X)=X + 2.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 3
Exercițiul 2
Calculează P(1) pentru P(X)=2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=2·(1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Calculează P(0) pentru P(X)=X + 4.
Vezi rezolvarea
P(0) cere să înlocuim fiecare X cu (0), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(0)=1·(0)+4=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 4
Exercițiul 4
Calculează P(1) pentru P(X)=X2 + 1.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)2+1=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 5
Calculează P(2) pentru P(X)=X2 + X + 2.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+1·(2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 8
Exercițiul 6
Calculează P(2) pentru P(X)=2X2 − X + 1.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=2·(2)2+(-1)·(2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 7
Exercițiul 7
Calculează P(-1) pentru P(X)=X2 + 2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+3=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 8
Calculează P(-2) pentru P(X)=X2 − X + 1.
Vezi rezolvarea
P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 7
Exercițiul 9
Calculează P(-1) pentru P(X)=2X2 + X − 1.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=2·(-1)2+1·(-1)+(-1)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 0
Exercițiul 10
Calculează P(1) pentru P(X)=X3 − X + 2.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-1)·(1)+2=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 11
Calculează P(2) pentru P(X)=X3 − X2 + 1.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)3+(-1)·(2)2+1=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 12
Calculează P(-1) pentru P(X)=X3 + X2 − 2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)3+1·(-1)2+(-2)·(-1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 13
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 3X2 + 2X − 4.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-31=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=21=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-41=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=3; T=2; P=4
Exercițiul 14
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 2X2 − X + 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−21=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-11=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−31=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3
Exercițiul 15
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X − 2.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−01=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=41=4. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-21=2. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=4; x1x2x3=2. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=0; T=4; P=2
Exercițiul 16
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 5X2 − 2X + 1.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-51=5. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-21=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−11=-1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=5; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=5; T=-2; P=-1
Exercițiul 17
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X2 − 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−41=-4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=01=0. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-31=3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-4; x1x2+x1x3+x2x3=0; x1x2x3=3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-4; T=0; P=3
Exercițiul 18
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − X2 + 3X.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-11=1. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=31=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−01=0. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=1; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=0. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=1; T=3; P=0
Exercițiul 19
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 6X2 + 4X − 8.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-62=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=42=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-82=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=3; T=2; P=4
Exercițiul 20
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 + 4X2 − 2X + 6.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−42=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-22=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−62=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3
Exercițiul 21
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 3X3 − 6X2 + 9X − 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-63=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=93=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-33=1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=2; T=3; P=1
Exercițiul 22
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −X3 + 2X2 − 3X + 4.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−2-1=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-3-1=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−4-1=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=2; T=3; P=4
Exercițiul 23
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −2X3 − 4X2 + 6X − 8.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-4-2=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=6-2=-3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-8-2=-4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-3; x1x2x3=-4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-3; P=-4
Exercițiul 24
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 4X3 − 8X + 12.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−04=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-84=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−124=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=0; T=-2; P=-3
Exercițiul 25
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s1?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
s1 este opusul său: 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 26
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s2?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
s2=3.
Răspuns: 3
Exercițiul 27
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s3?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
s3=4.
Răspuns: 4
Exercițiul 28
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−1.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(1) este P(1). La X+1, argumentul este negativ când a<0.
P(1)=1·(1)2+2·(1)+3=6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=6. Pătratul este 1, produsul este 2; suma 1+2+3 este 6.
Răspuns: R = 6
Exercițiul 29
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−2.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(2) este P(2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+3=11. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=11. Pătratul este 4, produsul este 4; suma 4+4+3 este 11.
Răspuns: R = 11
Exercițiul 30
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−3.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(3) este P(3). La X+3, argumentul este negativ când a<0.
P(3)=1·(3)2+2·(3)+3=18. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=18. Pătratul este 9, produsul este 6; suma 9+6+3 este 18.
Răspuns: R = 18
Exercițiul 31
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−4.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(4) este P(4). La X+4, argumentul este negativ când a<0.
P(4)=1·(4)2+2·(4)+3=27. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=27. Pătratul este 16, produsul este 8; suma 16+8+3 este 27.
Răspuns: R = 27
Exercițiul 32
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−5.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(5) este P(5). La X+5, argumentul este negativ când a<0.
P(5)=1·(5)2+2·(5)+3=38. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=38. Pătratul este 25, produsul este 10; suma 25+10+3 este 38.
Răspuns: R = 38
Exercițiul 33
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−6.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(6) este P(6). La X+6, argumentul este negativ când a<0.
P(6)=1·(6)2+2·(6)+3=51. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=51. Pătratul este 36, produsul este 12; suma 36+12+3 este 51.
Răspuns: R = 51
Exercițiul 34
Află a astfel încât P(X)=X3+aX+2 să fie divizibil cu X−1.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(1)=0 cere 1m+(3)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 3 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-3) : 1 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
a=−3, iar P(1)=1−3+2=0. a+3=0 dă a=−3. Restul nul confirmă divizibilitatea.
Răspuns: a = −3
Exercițiul 35
Află m astfel încât P=X2+mX−12 să fie divizibil cu X−2.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+(-12)=-8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(2)=0 cere 2m+(-8)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-8) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 8 : 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 36
Află m astfel încât P=X2+mX−14 să fie divizibil cu X−2.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+(-14)=-10. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(2)=0 cere 2m+(-10)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-10) și obținem 10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 10 : 2 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 37
Dacă P(X)=X3−2X2−5X+6 și 1 este rădăcină, câtul la X−1 este:
Vezi rezolvarea
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 3: (-1)·(1)+(-5)=-6. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -6, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 6 din coloana 4: (-6)·(1)+(6)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Acesta se mai factorizează (X−3)(X+2).
Răspuns: X2 − X − 6
Exercițiul 38
Care sunt toate rădăcinile lui X3−2X2−5X+6?
Vezi rezolvarea
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 3: (-1)·(1)+(-5)=-6. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -6, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 6 din coloana 4: (-6)·(1)+(6)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 3 + (-2) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
Rădăcinile sunt 1, 3 și −2.
Răspuns: −2, 1, 3
Exercițiul 39
Aplică Horner pentru P=X3 − 2X2 − X + 2 la X−1. Află câtul.
Vezi rezolvarea
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-1)·(1)+(-1)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 4: (-2)·(1)+(2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Rezultatul cerut este X2 − X − 2.
Răspuns: X2 − X − 2
Exercițiul 40
Factorizează X4 − 16.
Vezi rezolvarea
X4−16=(X2)2−42. Aplicăm A2−B2=(A−B)(A+B).
Aplicăm încă o dată diferența de pătrate: 4=22. X2+4 nu are rădăcini reale și rămâne factor ireductibil în ℝ.
Rezultă factorizarea completă peste numere reale.
Răspuns: (X − 2)(X + 2)(X2 + 4)
Exercițiul 41
Factorizează X2−5X+6.
Vezi rezolvarea
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 2 + 3 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
Rezultatul cerut este (X−2)(X−3).
Răspuns: (X−2)(X−3)
Exercițiul 42
Factorizează X2−7X+12.
Vezi rezolvarea
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 3 + 4 și obținem 7. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
Rezultatul cerut este (X−3)(X−4).
Răspuns: (X−3)(X−4)
Exercițiul 43
Un polinom monic de grad 4 are rădăcinile 1, 1, −2, 3. Care este termenul liber?
Vezi rezolvarea
Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm 1 · (-2) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 4: calculăm (-2) · 3 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Deci termenul liber este −6.
Răspuns: −6
Exercițiul 44
Un polinom monic de grad 3 are rădăcinile 2, −1 și 2. Află termenul liber.
Vezi rezolvarea
Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm (-2) · 2 și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
La grad impar, termenul liber este minus produsul: calculăm (-1) · (-4) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 45
Un polinom monic de grad 3 are rădăcinile 3, −1 și 2. Află termenul liber.
Vezi rezolvarea
Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm (-3) · 2 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
La grad impar, termenul liber este minus produsul: calculăm (-1) · (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 46
Dacă P este divizibil cu (X−2)2, ce două condiții sunt adevărate?
Vezi rezolvarea
Factorul (X−2)2 înseamnă că 2 este rădăcină de multiplicitate cel puțin 2.
O rădăcină multiplă anulează și derivata polinomului.
Condițiile sunt P(2)=0 și P′(2)=0.
Răspuns: P(2)=0 și P′(2)=0
Exercițiul 47
P=(X−2)2(X+3). Ce multiplicitate are rădăcina 2?
Vezi rezolvarea
Multiplicitatea este exponentul factorului X−r, nu numărul factorilor diferiți.
Rezultatul cerut este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 48
P=(X−3)3(X+4). Ce multiplicitate are rădăcina 3?
Vezi rezolvarea
Multiplicitatea este exponentul factorului X−r, nu numărul factorilor diferiți.
Rezultatul cerut este 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 49
Care este restul lui X7 la împărțirea prin X2+X+1?
Vezi rezolvarea
Diferența de cuburi arată că X3−1 este divizibil cu X2+X+1.
X3 și 1 diferă printr-un multiplu al împărțitorului, deci X3≡1. Nu afirmăm că X3=1 pentru orice X.
Cea mai mare parte a exponentului, multiplu de 3: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Exponentul rămas: calculăm 7 − 6 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Restul se calculează pe cicluri de trei puteri. Mai verificăm gradul față de împărțitor.
Restul este X.
Răspuns: X
Exercițiul 50
La împărțirea lui P(X) = 3X3 + 2X2 + 6X + 7 prin X2 + 1, restul este 3X + b. Află b.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 3 : 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 3X, nu doar numărul 3.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 3 · 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 3 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 3 · 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 2X2 + 3X + 7. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 7 − 2 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 5. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=3X + 2 și R=3X + 5. Verificarea este D·Q+R=P.
Q = 3X + 2, b = 5. Produsul (X2 + 1)(3X + 2) plus restul reconstruiește P.
Răspuns: 5
Exercițiul 51
La împărțirea lui P(X) = 4X3 + 2X2 + 7X + 8 prin X2 + 1, restul este 3X + b. Află b.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 4 : 1 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 4X, nu doar numărul 4.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 4 · 1 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 4 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 4 · 1 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 7 − 4 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 2X2 + 3X + 8. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 8 − 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=4X + 2 și R=3X + 6. Verificarea este D·Q+R=P.
Q = 4X + 2, b = 6. Produsul (X2 + 1)(4X + 2) plus restul reconstruiește P.
Răspuns: 6
Exercițiul 52
La împărțirea lui P(X) = 6X3 + 2X2 + 9X + 10 prin X2 + 1, restul este 3X + b. Află b.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 6 : 1 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 6X, nu doar numărul 6.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 6 · 1 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 6 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 6 · 1 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 9 − 6 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 2X2 + 3X + 10. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 10 − 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 8. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=6X + 2 și R=3X + 8. Verificarea este D·Q+R=P.
Q = 6X + 2, b = 8. Produsul (X2 + 1)(6X + 2) plus restul reconstruiește P.
Răspuns: 8
Exercițiul 53
Află restul lui 2X3 + X2 + 5X + 6 la X2+1.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 3X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 5. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=3X + 5. Verificarea este D·Q+R=P.
Rezultatul cerut este 3X + 5.
Răspuns: 3X + 5
Exercițiul 54
Află restul lui 2X3 + X2 + 6X + 7 la X2+1.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 4X + 7. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 7 − 1 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 4X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=4X + 6. Verificarea este D·Q+R=P.
Rezultatul cerut este 4X + 6.
Răspuns: 4X + 6
Exercițiul 55
Dacă rădăcinile unui cubic sunt x1,x2,x3, cum exprimi x12+x22+x32 prin s1=x1+x2+x3 și s2=x1x2+x1x3+x2x3?
Vezi rezolvarea
Fiecare produs de două rădăcini apare de două ori în pătratul sumei.
Scădem termenul suplimentar 2s2 din s12.
Mutăm 2s2 și obținem x12+x22+x32 = s12 − 2s2.
Răspuns: s12 − 2s2
Exercițiul 56
Pentru P(X)=X3−4X2+X+6, cât este x12+x22+x32?
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 11=1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 16 − 2 și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Obținem 42 − 2·1 = 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 57
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma pătratelor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − 6 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Σxi2=4−6=−2. Rădăcinile nu sunt toate reale; nu este o contradicție.
Răspuns: −2
Exercițiul 58
Pentru X3−6X2+11X−6, află suma pătratelor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 11 și obținem 22. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 36 − 22 și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
36−22=14.
Răspuns: 14
Exercițiul 59
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma pătratelor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 60
P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma pătratelor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 16 − (-2) și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 18.
Răspuns: 18
Exercițiul 61
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma inverselor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Suma inverselor este s2s3=34.
Răspuns: 34
Exercițiul 62
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Rezultatul cerut este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 63
P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Rezultatul cerut este 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 64
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − 18 și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm (-10) + 12 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adunăm: 2·(−2)−3·2+12=2.
Răspuns: 2
Exercițiul 65
Pentru X3+X−1, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 0, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 01=0.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 11=1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 11=1.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 0 · 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 0 − 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 0 + 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma rădăcinilor este 0, deci suma cuburilor este 3−0=3.
Răspuns: 3
Exercițiul 66
Pentru X3−6X2+11X−6, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 36 · 6 și obținem 216. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 6 · 11 și obținem 66. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 66 și obținem 198. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 216 − 198 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 18 + 18 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
6·14−11·6+3·6=36.
Răspuns: 36
Exercițiul 67
Pentru 2X3−6X2+4X−8, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 42=2.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 82=4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − 18 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 9 + 12 și obținem 21. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor: 3·5−2·3+12=21.
Răspuns: 21
Exercițiul 68
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − (-6) și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 14 + (-6) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 8.
Răspuns: 8
Exercițiul 69
P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 16 · 4 și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 4 · (-1) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 64 − (-12) și obținem 76. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 76 + (-12) și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 64.
Răspuns: 64
Exercițiul 70
Care este c.m.m.d.c. al polinoamelor (X − 1)2(X + 2) și (X − 1)(X + 2)3?
Vezi rezolvarea
Un divizor comun nu poate conține o putere mai mare decât cea prezentă în fiecare polinom.
Minimul lui 2 și 1 este 1.
Minimul lui 1 și 3 este 1.
C.m.m.d.c. este (X − 1)(X + 2).
Răspuns: (X − 1)(X + 2)
Exercițiul 71
Pentru aceleași două polinoame, care este c.m.m.m.c.?
Cele două polinoame sunt (X−1)2(X+2) și (X−1)(X+2)3.
Vezi rezolvarea
Un multiplu comun trebuie să conțină fiecare factor de suficiente ori pentru a fi divizibil cu ambele polinoame.
Maximul dintre 2 și 1 este 2.
Maximul dintre 1 și 3 este 3.
C.m.m.m.c. este (X − 1)2(X + 2)3.
Răspuns: (X − 1)2(X + 2)3
Exercițiul 72
P=(X−1)2(X+3), Q=(X−1)(X+3)2. Află c.m.m.d.c. monic.
Vezi rezolvarea
Alegem minimul dintre exponentul din P și 1 din Q.
Alegem minimul dintre 1 și 2.
Rezultatul cerut este (X−1)(X+3).
Răspuns: (X−1)(X+3)
Exercițiul 73
Rezolvă ecuația bipătrată X4 − 5X2 + 4 = 0.
Vezi rezolvarea
X4=(X2)2. Substituția t=X2 dă t2−5t+4=0, cu t≥0.
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 1 + 4 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 1 · 4 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
În ℝ, pătratul unui număr este 1 pentru X=±1.
√4=2, dar ecuația X2=4 are ambele soluții, X=±2.
Deci X = ±1 sau X = ±2.
Răspuns: X ∈ {−2, −1, 1, 2}
Exercițiul 74
Polinomul reciproc P(X) = X4 − 3X3 + 4X2 − 3X + 1 se simplifică împărțind prin X2 și folosind:
Vezi rezolvarea
Coeficienții sunt simetrici, deci polinomul este reciproc.
Pentru X ≠ 0, împărțim prin X2.
Substituția potrivită este t = X + 1X, iar X2 + 1X2 = t2 − 2.
Răspuns: t = X + 1X
Exercițiul 75
Ecuația X4−5X2+4=0 are soluții reale. Află cea mai mare soluție.
Vezi rezolvarea
Ecuația este bipătrată. Puterea X4 devine t2.
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 1 + 4 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 1 · 4 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
√4=2. Avem și soluția negativă, dar cerința cere cea mai mare soluție.
Rezultatul cerut este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 76
Bac 2019 · M1 · II.2. f=X3+X2+mX+n. a) Arată că f(−1)−2f(0)+f(1)=2. b) Află m,n pentru care X2−1 divide f. c) Arată că 3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)−(x13+x23+x33)=1.
La a) și c), m și n sunt oarecare. Numai b) impune divizibilitatea. x1,x2,x3 sunt toate rădăcinile complexe, cu multiplicitate.
Vezi rezolvarea
a) Calculăm (−1)2: calculăm (-1) · (-1) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
a) Calculăm (−1)3: calculăm 1 · (-1) și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
a) Adunăm partea cubică și pătratică la X=−1: calculăm (-1) + 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
(−1)3=−1 și (−1)2=1 se anulează. Termenul mX devine −m, iar n rămâne n.
Toți termenii cu X devin 0. Rămâne termenul liber n.
a) Termenii constanți din f(1): calculăm 1 + 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
13+12=2, m·1=m. Prin urmare f(1)=2+m+n.
Înlocuim cele trei valori și păstrăm coeficientul −2 al lui f(0).
Termenii cu m sunt opuși și se anulează.
Coeficienții lui n au suma 1−2+1=0.
Rămâne numai constanta 2. Egalitatea este adevărată pentru orice m și n.
X2−1=(X−1)(X+1). Rădăcinile 1 și −1 sunt distincte, deci trebuie ambii factori.
Folosim valorile calculate la a), dar acum le impunem zero.
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=mn. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 1 − (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui m devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu -2; 0; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·1=−2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·0=0. Acest produs se va scădea.
Δm, principală minus secundară: (−2) − 0 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm m: (−2) : 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui n devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu -2; 0; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·0=0.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
Δn, principală minus secundară: 0 − 2 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm n: (−2) : 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·(−1)+1·(−1)=−2 = -2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
(−1)·(−1)+1·(−1)=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=−1−1. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea m, n.
Coeficientul lui X2 este 1, deci s1=−1. Nu folosim valorile speciale de la b).
s2 este coeficientul lui X, deoarece polinomul este monic.
La gradul 3, produsul este minus termenul liber.
Formula a fost dedusă în partea despre suma cuburilor; este valabilă pentru toate rădăcinile în ℂ.
c) Pătratul lui s1: calculăm (-1) · (-1) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
c) Cubul lui s1: calculăm 1 · (-1) și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
−3·(−1)·m=3m, iar 3s3=−3n. Cubul lui −1 este −1.
Paranteza mare din enunț conține s2+s3. Înlocuim fiecare expresie fără să pierdem semnele.
Minusul schimbă semnul fiecărui termen, inclusiv −1 care devine +1.
3m−3m=0 și −3n+3n=0. Rămâne 1, pentru orice m și n, exact cum cere demonstrația.
Redactare: a) Substituțiile și anulările dau 2. b) Sistemul f(1)=f(−1)=0 dă m=n=−1. c) s1=−1, s2=m, s3=−n și S3=−1+3m−3n; expresia cerută este 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 77
Model original de tip Bac · M1. P(X)=X3 − 2X2 − X + 2. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-2)·(1)2+(-1)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-1)·(1)+(-1)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 4: (-2)·(1)+(2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 6.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − X − 2, R=0. c) s1=2, s2=−1, deci S2=22−2(−1)=6.
Răspuns: 6
Exercițiul 78
Model original de tip Bac · M1. P(X)=X3 − 4X2 − X + 4. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-4)·(1)2+(-1)·(1)+4=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 16 − (-2) și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 18.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 3X − 4, R=0. c) s1=4, s2=−1, deci S2=42−2(−1)=18.
Răspuns: 18
Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)
1. Pornim de la zero
Factorizează X4 − 16.
Vezi răspunsul
(X2 − 4)(X2 + 4) = (X − 2)(X + 2)(X2 + 4)
2. Pornim de la zero
Rezolvă ecuația bipătrată X4 − 5X2 + 4 = 0.
Vezi răspunsul
Cu y = X2: y2 − 5y + 4 = 0, deci y = 1 sau y = 4. Rădăcinile: −2, −1, 1, 2.
3. Pornim de la zero
Polinomul reciproc P(X) = X4 − 3X3 + 4X2 − 3X + 1 se simplifică împărțind prin X2 și folosind:
Vezi răspunsul
Substituția y = X + 1X, cu X2 + 1X2 = y2 − 2.
4. Pornim de la zero
Care este c.m.m.d.c. al polinoamelor (X − 1)2(X + 2) și (X − 1)(X + 2)3?
Vezi răspunsul
(X − 1)(X + 2)
5. Legăm regulile
Pentru aceleași două polinoame, care este c.m.m.m.c.?
Vezi răspunsul
(X − 1)2(X + 2)3
6. Legăm regulile
Dacă rădăcinile unui cubic sunt x1,x2,x3, cum exprimi x12+x22+x32 prin s1=x1+x2+x3 și s2=x1x2+x1x3+x2x3?
Vezi răspunsul
x12 + x22 + x32 = s12 − 2s2
7. Legăm regulile
Pentru P(X)=X3−4X2+X+6, cât este x12+x22+x32?
Vezi răspunsul
s1 = 4, s2 = 1, deci 16 − 2 = 14.
8. Legăm regulile
Dacă P(X)=X3−2X2−5X+6 și 1 este rădăcină, câtul la X−1 este:
Vezi răspunsul
X2 − X − 6 (Horner: 1, −1, −6, restul 0)
9. Legăm regulile
Care sunt toate rădăcinile lui X3−2X2−5X+6?
Vezi răspunsul
1, 3 și −2
10. Rezolvi ca la Bac
Un polinom monic de grad 4 are rădăcinile 1, 1, −2, 3. Care este termenul liber?
Vezi răspunsul
Termenul liber este produsul rădăcinilor: 1 · 1 · (−2) · 3 = −6.
11. Rezolvi ca la Bac
Care este restul lui X7 la împărțirea prin X2+X+1?
Vezi răspunsul
Modulo X2 + X + 1 avem X3 = 1, deci X7 = X6 · X = X. Restul este X.
12. Rezolvi ca la Bac
Dacă P este divizibil cu (X−2)2, ce două condiții sunt adevărate?
Vezi răspunsul
P(2) = 0 și P′(2) = 0: 2 este rădăcină dublă (echivalent, și câtul lui P la X − 2 se anulează în 2).