Integrarea prin părți, întrebare cu întrebare

Metoda transformă un produs într-o integrală mai simplă. Alegem u astfel încât derivarea lui să simplifice problema și dv astfel încât să-l putem integra ușor.

Nu sărim direct la rezultat: fiecare alegere și fiecare transformare devin o întrebare separată.

Algoritmul integrării prin părți

∫u dv = uv − ∫v du

Identifică produsul.
Alege u, partea care devine mai simplă prin derivare.
Alege dv, partea care se integrează ușor.
Calculează du și v.
Aplică formula și rezolvă integrala rămasă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAtelier ghidat · modele complete și răspuns final scris · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · ∫ x·e^x dx. Pasul 1: ce metodă alegem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Integrarea prin părți.
Ex. 2Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 2: cum alegem u și dv?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = x (se simplifică prin derivare) și dv = e^x dx, deci v = e^x.
Ex. 3Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 3: care este formula folosită?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∫ u dv = uv − ∫ v du
Ex. 4Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 4: ce obținem după înlocuire?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xe^x − ∫ e^x dx
Ex. 5Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 5: care este rezultatul final?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xe^x − e^x + C = (x − 1)e^x + C
Ex. 6Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · ∫ ln x dx. Pasul 1: cum transformăm integrala într-un produs?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Scriem ln x = ln x · 1.
Ex. 7Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 2: ce alegere simplifică problema?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = ln x (du = dxx) și dv = dx (v = x).
Ex. 8Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 3: care este rezultatul final?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x ln x − x + C
Ex. 9Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · ∫ x²e^x dx. După prima integrare prin părți, ce obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x²e^x − ∫ 2xe^x dx
Ex. 10Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Pentru integrala rămasă ∫2xe^xdx, ce facem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Integrăm încă o dată prin părți (u = 2x, dv = e^x dx).
Ex. 11Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Cât este ∫2xe^xdx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2xe^x − 2e^x + C = 2(x − 1)e^x + C
Ex. 12Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Care este rezultatul final pentru ∫x²e^xdx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x²e^x − 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x² − 2x + 2) + C
Ex. 13Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ (x + 2)e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 1)e^x + C
Ex. 14Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ x·cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x sin x + cos x + C