Integrarea prin părți, întrebare cu întrebare

Metoda transformă un produs într-o integrală mai simplă. Alegem u astfel încât derivarea lui să simplifice problema și dv astfel încât să-l putem integra ușor.

Nu sărim direct la rezultat: fiecare alegere și fiecare transformare devin o întrebare separată.

Algoritmul integrării prin părți

De ținut minte

∫u dv = uv − ∫v du

Identifică produsul.
Alege u, partea care devine mai simplă prin derivare.
Alege dv, partea care se integrează ușor.
Calculează du și v.
Aplică formula și rezolvă integrala rămasă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAtelier ghidat · modele complete și răspuns final scris · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · ∫ x·e^x dx. Pasul 1: ce metodă alegem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Integrarea prin părți.
Ex. 2Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 2: cum alegem u și dv?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = x (se simplifică prin derivare) și dv = e^x dx, deci v = e^x.
Ex. 3Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 3: care este formula folosită?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∫ u dv = uv − ∫ v du
Ex. 4Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 4: ce obținem după înlocuire?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xe^x − ∫ e^x dx
Ex. 5Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 5: care este rezultatul final?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xe^x − e^x + C = (x − 1)e^x + C
Ex. 6Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · ∫ ln x dx. Pasul 1: cum transformăm integrala într-un produs?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Scriem ln x = ln x · 1.
Ex. 7Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 2: ce alegere simplifică problema?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = ln x (du = dxx) și dv = dx (v = x).
Ex. 8Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 3: care este rezultatul final?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x ln x − x + C
Ex. 9Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · ∫ x²e^x dx. După prima integrare prin părți, ce obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x²e^x − ∫ 2xe^x dx
Ex. 10Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Pentru integrala rămasă ∫2xe^xdx, ce facem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Integrăm încă o dată prin părți (u = 2x, dv = e^x dx).
Ex. 11Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Cât este ∫2xe^xdx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2xe^x − 2e^x + C = 2(x − 1)e^x + C
Ex. 12Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 3 · Care este rezultatul final pentru ∫x²e^xdx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x²e^x − 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x² − 2x + 2) + C
Ex. 13Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ (x + 2)e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 1)e^x + C
Ex. 14Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ x·cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x sin x + cos x + C

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Integrarea prin părți, întrebare cu întrebare: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Metoda transformă un produs într-o integrală mai simplă. Alegem u astfel încât derivarea lui să simplifice problema și dv astfel încât să-l putem integra ușor.

Algoritmul integrării prin părți

∫u dv = uv − ∫v du

Identifică produsul.
Alege u, partea care devine mai simplă prin derivare.
Alege dv, partea care se integrează ușor.
Calculează du și v.
Aplică formula și rezolvă integrala rămasă.

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Model 1 · ∫ x·e^x dx. Pasul 1: ce metodă alegem?
Vezi rezolvarea
1. Avem un produs între x și e^x.
2. Derivata lui x este mai simplă.
3. Alegem integrarea prin părți.
Răspuns: Integrare prin părți
Exercițiul 2
Model 1 · Pasul 2: cum alegem u și dv?
Vezi rezolvarea
1. Alegem u = x pentru ca du să devină dx.
2. Alegem dv = e^xdx deoarece se integrează imediat.
3. Rezultă du = dx și v = e^x.
Răspuns: u = x, dv = e^xdx
Exercițiul 3
Model 1 · Pasul 3: care este formula folosită?
Vezi rezolvarea
1. Formula provine din derivata produsului.
2. Semnul dintre cei doi termeni este minus.
3. Formula este ∫u dv = uv − ∫v du.
Răspuns: ∫u dv = uv − ∫v du
Exercițiul 4
Model 1 · Pasul 4: ce obținem după înlocuire?
Vezi rezolvarea
1. Produsul uv este xe^x.
2. Integrala rămasă este ∫vdu = ∫e^xdx.
3. Obținem xe^x − ∫e^xdx.
Răspuns: xe^x − ∫e^xdx
Exercițiul 5
Model 1 · Pasul 5: care este rezultatul final?
Vezi rezolvarea
1. ∫e^xdx = e^x.
2. Rezultă xe^x − e^x + C.
3. Dăm factor comun: (x − 1)e^x + C.
Răspuns: (x − 1)e^x + C
Exercițiul 6
Model 2 · ∫ ln x dx. Pasul 1: cum transformăm integrala într-un produs?
Vezi rezolvarea
1. Funcția ln x nu este o primitivă uzuală.
2. O putem scrie ca produsul 1·ln x.
3. Astfel putem aplica integrarea prin părți.
Răspuns: ∫ 1·ln x dx
Exercițiul 7
Model 2 · Pasul 2: ce alegere simplifică problema?
Vezi rezolvarea
1. Derivata logaritmului este 1x.
2. Primitiva lui 1 este x.
3. Alegem u = ln x și dv = dx.
Răspuns: u = ln x, dv = dx
Exercițiul 8
Model 2 · Pasul 3: care este rezultatul final?
Vezi rezolvarea
1. uv = xln x.
2. Integrala rămasă este ∫x·(1x)dx = ∫1dx = x.
3. Rezultă xln x − x + C.
Răspuns: x ln x − x + C
Exercițiul 9
Model 3 · ∫ x²e^x dx. După prima integrare prin părți, ce obținem?
Vezi rezolvarea
1. u = x², deci du = 2x dx.
2. v = e^x.
3. Formula dă x²e^x − ∫2xe^xdx.
Răspuns: x²e^x − ∫2xe^xdx
Exercițiul 10
Model 3 · Pentru integrala rămasă ∫2xe^xdx, ce facem?
Vezi rezolvarea
1. Integrala rămasă nu este încă elementară.
2. Gradul polinomului a scăzut de la 2 la 1.
3. Aplicăm din nou integrarea prin părți.
Răspuns: Aplicăm din nou integrarea prin părți
Exercițiul 11
Model 3 · Cât este ∫2xe^xdx?
Vezi rezolvarea
1. Știm că ∫xe^xdx = (x − 1)e^x + C.
2. Înmulțim cu 2.
3. Obținem 2(x − 1)e^x + C.
Răspuns: 2(x − 1)e^x + C
Exercițiul 12
Model 3 · Care este rezultatul final pentru ∫x²e^xdx?
Vezi rezolvarea
1. Din primul pas avem x²e^x − 2(x − 1)e^x.
2. Desfacem: x²e^x − 2xe^x + 2e^x.
3. Dăm factor comun și obținem (x² − 2x + 2)e^x + C.
Răspuns: (x² − 2x + 2)e^x + C
Exercițiul 13
Acum rezolvați singur: calculați ∫ (x + 2)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Punem u = x + 2, du = dx, v = e^x.
2. Formula dă (x + 2)e^x − ∫e^xdx.
3. Rezultă (x + 1)e^x + C.
Răspuns: (x + 1)e^x + C
Exercițiul 14
Acum rezolvați singur: calculați ∫ x·cos x dx.
Vezi rezolvarea
1. Punem u = x, du = dx, iar v = sin x.
2. Formula dă xsin x − ∫sin xdx.
3. Cum ∫sin xdx = −cos x, rezultă xsin x + cos x + C.
Răspuns: x sin x + cos x + C

Atelier ghidat · modele complete și răspuns final scris (14)

1. Model ghidat
Model 1 · ∫ x·e^x dx. Pasul 1: ce metodă alegem?
Vezi răspunsul
Integrarea prin părți.
2. Model ghidat
Model 1 · Pasul 2: cum alegem u și dv?
Vezi răspunsul
u = x (se simplifică prin derivare) și dv = e^x dx, deci v = e^x.
3. Model ghidat
Model 1 · Pasul 3: care este formula folosită?
Vezi răspunsul
∫ u dv = uv − ∫ v du
4. Model ghidat
Model 1 · Pasul 4: ce obținem după înlocuire?
Vezi răspunsul
xe^x − ∫ e^x dx
5. Model ghidat
Model 1 · Pasul 5: care este rezultatul final?
Vezi răspunsul
xe^x − e^x + C = (x − 1)e^x + C
6. Model ghidat
Model 2 · ∫ ln x dx. Pasul 1: cum transformăm integrala într-un produs?
Vezi răspunsul
Scriem ln x = ln x · 1.
7. Model ghidat
Model 2 · Pasul 2: ce alegere simplifică problema?
Vezi răspunsul
u = ln x (du = dxx) și dv = dx (v = x).
8. Model ghidat
Model 2 · Pasul 3: care este rezultatul final?
Vezi răspunsul
x ln x − x + C
9. Model ghidat
Model 3 · ∫ x²e^x dx. După prima integrare prin părți, ce obținem?
Vezi răspunsul
x²e^x − ∫ 2xe^x dx
10. Model ghidat
Model 3 · Pentru integrala rămasă ∫2xe^xdx, ce facem?
Vezi răspunsul
Integrăm încă o dată prin părți (u = 2x, dv = e^x dx).
11. Model ghidat
Model 3 · Cât este ∫2xe^xdx?
Vezi răspunsul
2xe^x − 2e^x + C = 2(x − 1)e^x + C
12. Model ghidat
Model 3 · Care este rezultatul final pentru ∫x²e^xdx?
Vezi răspunsul
x²e^x − 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x² − 2x + 2) + C
13. Lucrează singur
Acum rezolvați singur: calculați ∫ (x + 2)e^x dx.
Vezi răspunsul
(x + 1)e^x + C
14. Lucrează singur
Acum rezolvați singur: calculați ∫ x·cos x dx.
Vezi răspunsul
x sin x + cos x + C