M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

∫

Încărcăm partea curentă…

Alegerea metodei și calcule mixte · 20 de exerciții

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Cum alegem: substituție sau integrare prin părți?

Când vezi o expresie între paranteze și lângă ea derivata expresiei, poți înlocui toată paranteza cu litera u. Aceasta este substituția. Când vezi două funcții înmulțite, iar derivarea uneia simplifică produsul, folosești integrarea prin părți.

Încercuiește mai întâi partea din interior. Caută derivata ei lângă paranteză. Dacă nu o găsești, verifică dacă ai un produs de tipul x·e^x sau x·sin x.

De ținut minte

u=g(x), du=g′(x)dx; ∫u dv=uv−∫v du

Nu alege metoda doar fiindcă expresia arată lungă; caută întâi relația dintre factorii ei.

Exemplu rezolvat cu alte date

Alege metoda pentru ∫6x(3x²+2)⁴dx.

1Partea din interior este 3x²+2.
2Derivata ei este 6x, exact factorul din față.
3Alegem substituția u=3x²+2; nu avem nevoie de integrare prin părți.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Alegerea metodei și calcule mixte · 20 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Cum alegem: substituție sau integrare prin părți?

Încercuiește mai întâi partea din interior. Caută derivata ei lângă paranteză. Dacă nu o găsești, verifică dacă ai un produs de tipul x·e^x sau x·sin x.

u=g(x), du=g′(x)dx; ∫u dv=uv−∫v du

Nu alege metoda doar fiindcă expresia arată lungă; caută întâi relația dintre factorii ei.

Exemplu rezolvat cu alte date

Alege metoda pentru ∫6x(3x²+2)⁴dx.

Partea din interior este 3x²+2.
Derivata ei este 6x, exact factorul din față.
Alegem substituția u=3x²+2; nu avem nevoie de integrare prin părți.

Când apar fracțiile simple?

Dacă ai o fracție cu două paranteze liniare la numitor, o poți scrie ca diferența a două fracții mai ușoare. Dacă numărătorul este chiar derivata numitorului, substituția este mai scurtă.

Compară numărătorul cu derivata numitorului. Dacă nu se potrivesc, încearcă să desfaci numitorul în factori și apoi în fracții simple.

1(x+a)(x+b) = Ax+a+Bx+b

Nu orice fracție cere fracții simple: pentru u′u, substituția duce direct la ln|u|.

Exemplu rezolvat cu alte date

Alege metoda pentru ∫1(x+3)(x+4)dx.

Numitorul are doi factori: x+3 și x+4.
Scriem 1(x+3)(x+4)=1x+3−1x+4.
Folosim fracții simple, apoi integrăm fiecare termen.

Verificăm o primitivă prin derivare

F este o primitivă pentru f dacă derivata lui F este chiar f, pentru toate valorile din intervalul dat. Ca să verifici, derivezi fiecare termen și compari cu funcția din enunț.

Un exponent greșit este suficient ca răspunsul să fie «nu». Constanta adăugată nu schimbă derivata, deoarece derivata ei este zero.

F′(x)=f(x)

Nu compara doar forma celor două expresii: calculează efectiv derivata.

Exemplu rezolvat cu alte date

Este F(x)=x⁴+3x o primitivă pentru f(x)=4x³+3?

Derivăm x⁴ și obținem 4x³.
Derivăm 3x și obținem 3.
F′(x)=4x³+3, egală cu f(x), deci da.

Cum aflăm constanta C?

Integrând o funcție obții o familie de primitive, toate cu +C. O condiție precum F(2)=7 alege una singură din familie.

Scrie mai întâi F(x) cu +C. Înlocuiește x cu numărul din condiție, egalează cu valoarea dată și află C. Abia apoi scrie răspunsul complet.

F(x)=∫f(x)dx+C; F(a)=b determină C

Nu confunda C cu rezultatul condiției; înlocuiește mai întâi x în toți termenii.

Exemplu rezolvat cu alte date

Găsește primitiva lui 2x pentru care F(1)=5.

F(x)=x²+C.
Înlocuim x cu 1: 1+C=5, așadar C=4.
Primitiva cerută este F(x)=x²+4.

Substituția cu paranteză la putere

Când apare o paranteză la putere și derivata parantezei se află în față, numim paranteza u. Dacă factorul din față este de două ori derivata, păstrăm acel 2 în calcul.

Scrie u, apoi du. Transformă toată integrala în u, integrează puterea și înlocuiește u înapoi cu expresia inițială.

u=g(x), du=g′(x)dx; ∫uⁿdu=uⁿ⁺¹n+1+C

La sfârșit răspunsul trebuie să fie din nou în x și să conțină +C.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫2x(x²+5)²dx.

Punem u=x²+5, deci du=2x dx.
Integrala devine ∫u²du=u³3+C.
Înlocuim înapoi: (x²+5)³3+C.

Substituția la exponențiale și fracții

La e^g(x) ai nevoie de derivata lui g(x) în față. La 1g(x), dacă numărătorul este derivata numitorului, răspunsul folosește ln|g(x)|.

Alege u egal cu exponentul sau cu numitorul. Verifică dacă factorul din față este du; apoi integrează e^u sau 1u.

∫u′e^udx=e^u+C; ∫u′u dx=ln|u|+C

Nu mai înmulți o dată cu derivata din față: ea este deja inclusă în du.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫44x+7dx.

Punem u=4x+7, iar du=4dx.
Integrala devine ∫1u du=ln|u|+C.
Revenim la x: ln|4x+7|+C.

Integrarea prin părți, pas cu pas

Într-un produs alegem u partea care devine mai simplă când o derivăm; restul este dv. Apoi calculăm du și v și folosim formula. Pentru ln x îl privim ca pe produsul 1·ln x.

Fă patru notări: u, du, dv, v. Înlocuiește-le în uv−∫v du. Fii atent la semnul minus și integrează expresia rămasă.

∫u dv=uv−∫v du

Exemplul rezolvat folosește cos x; la exercițiul cu sin x, v este −cos x.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫x cos x dx.

Luăm u=x, du=dx, dv=cos x dx și v=sin x.
Formula dă x sin x−∫sin x dx.
Cum ∫sin x dx=−cos x, obținem x sin x+cos x+C.

Descompunerea în fracții simple

O fracție cu numitor produs poate deveni suma sau diferența unor fracții cu numitor mai simplu. Integrezi fiecare termen separat, de obicei prin logaritm.

Întâi desfaci numitorul, apoi găsești coeficienții fracțiilor. Verifică adunându-le la loc: trebuie să obții fracția inițială.

∫1x+adx=ln|x+a|+C

Lucrează numai pe intervale unde numitorii nu sunt zero.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫1(x+2)(x+3)dx.

Scriem 1(x+2)(x+3)=1x+2−1x+3.
Integrăm: ln|x+2|−ln|x+3|+C.
Putem scrie și ln|x+2x+3|+C.

După integrarea prin părți, punem capetele

La o integrală definită, întâi găsim primitiva F(x). Apoi calculăm separat rezultatul când înlocuim x cu numărul de sus și rezultatul când înlocuim x cu numărul de jos. La o integrală fără capete, răspunsul rămâne o familie de primitive, cu +C.

Scrie clar cele două rezultate și scade al doilea din primul, cu paranteze dacă este negativ. Numai integrala cu capete dă un număr, fără +C.

f(x)dx=F(b)−F(a); ∫f(x)dx=F(x)+C

La scădere, −(−1) devine +1. La integrala fără capete, nu uita +C.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați x e^x dx.

Prin părți obținem F(x)=(x−1)e^x.
Înlocuim x cu 2: F(2)=e². Apoi x cu 0: F(0)=−1.
Scădem al doilea din primul: e²−(−1)=e²+1.

Exerciții rezolvate din lecție (20)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce metodă alegem pentru ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx?
Vezi rezolvarea
1. Expresia interioară este x² + 1.
2. Derivata ei este 2x, prezentă în integrală.
3. Metoda potrivită este schimbarea de variabilă.
Răspuns: Schimbare de variabilă
Exercițiul 2
Ce metodă alegem pentru ∫ x·e^x dx?
Vezi rezolvarea
1. Avem produs între un polinom și o exponențială.
2. Derivarea polinomului îi reduce gradul.
3. Folosim integrarea prin părți.
Răspuns: Integrare prin părți
Exercițiul 3
Ce metodă alegem pentru ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx?
Vezi rezolvarea
1. Fracția rațională este proprie.
2. Numitorul se descompune în factori liniari.
3. Folosim fracții simple.
Răspuns: Descompunere în fracții simple
Exercițiul 4
Ce metodă alegem pentru ∫ 3x²x³ + 4 dx?
Vezi rezolvarea
1. Derivata lui x³ + 4 este 3x².
2. Tiparul este u′u.
3. Punem u = x³ + 4.
Răspuns: Schimbare de variabilă
Exercițiul 5
Este F(x) = x³ + 2x o primitivă a lui f(x) = 3x² + 2?
Vezi rezolvarea
1. Derivăm F termen cu termen.
2. F′(x) = 3x² + 2.
3. Obținem exact f, deci răspunsul este da.
Răspuns: Da
Exercițiul 6
Este F(x) = 2x³ o primitivă a lui f(x) = 6x?
Vezi rezolvarea
1. Derivata lui 2x³ este 6x².
2. Funcția cerută este 6x, fără pătrat.
3. Nu sunt egale, deci răspunsul este nu.
Răspuns: Nu
Exercițiul 7
Primitiva lui f(x) = 2x cu F(0) = 5 este:
Vezi rezolvarea
1. Familia primitivelor este F(x) = x² + C.
2. Din F(0) = C = 5.
3. Rezultă F(x) = x² + 5.
Răspuns: F(x) = x² + 5
Exercițiul 8
Primitiva lui f(x) = 3x² − 1 cu F(1) = 4 este:
Vezi rezolvarea
1. F(x) = x³ − x + C.
2. F(1) = 1 − 1 + C = C.
3. Din F(1) = 4 rezultă C = 4.
Răspuns: F(x) = x³ − x + 4
Exercițiul 9
Calculați ∫ 4x(x² + 3) dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata lui x² + 3 este 2x.
2. Avem de două ori această derivată: 4x dx = 2du.
3. Rezultatul este u² + C = (x² + 3)² + C.
Răspuns: (x² + 3)² + C
Exercițiul 10
Calculați ∫ 6x²(x³ + 1)² dx.
Vezi rezolvarea
1. du = 3x²dx, deci 6x²dx = 2du.
2. Integrala devine 2∫u²du.
3. Obținem 2u³3 + C.
Răspuns: 2(x³ + 1)³3 + C
Exercițiul 11
Calculați ∫ 5e^5x dx.
Vezi rezolvarea
1. Punem u = 5x.
2. du = 5dx, prezent exact în integrală.
3. Rezultatul este e^u + C = e^5x + C.
Răspuns: e^5x + C
Exercițiul 12
Calculați ∫ 33x + 2 dx.
Vezi rezolvarea
1. Punem u = 3x + 2.
2. du = 3dx.
3. Integrala devine ∫duu = ln|u| + C.
Răspuns: ln|3x + 2| + C
Exercițiul 13
Calculați ∫ x·e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Formula este ∫u dv = uv − ∫v du.
2. u = x, du = dx, iar v = e^x.
3. Rezultă xe^x − e^x + C = (x − 1)e^x + C.
Răspuns: (x − 1)e^x + C
Exercițiul 14
Calculați ∫ ln x dx, pentru x > 0.
Vezi rezolvarea
1. Alegem u = ln x și dv = dx.
2. du = dxx și v = x.
3. Rezultă xln x − ∫1dx = xln x − x + C.
Răspuns: x ln x − x + C
Exercițiul 15
Calculați ∫ x·sin x dx.
Vezi rezolvarea
1. u = x, du = dx, v = −cos x.
2. Aplicăm formula: −xcos x + ∫cos x dx.
3. Rezultă −xcos x + sin x + C.
Răspuns: −x cos x + sin x + C
Exercițiul 16
Calculați ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx.
Vezi rezolvarea
1. Descompunerea este 1x + 1 − 1x + 2.
2. Integrăm fiecare fracție ca logaritm.
3. Diferența logaritmilor devine logaritmul raportului.
Răspuns: ln|x + 1x + 2| + C
Exercițiul 17
Calculați ∫ 1x² − 1 dx.
Vezi rezolvarea
1. Descompunerea este 12(x − 1) − 12(x + 1).
2. Integrăm cele două fracții.
3. Rezultă (12)ln|x − 1x + 1| + C.
Răspuns: (12)ln|x − 1x + 1| + C
Exercițiul 18
Calculați x·e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este F(x) = (x − 1)e^x.
2. F(1) = 0, iar F(0) = −1.
3. F(1) − F(0) = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 19
Calculați ln x dx.
Vezi rezolvarea
1. F(x) = xln x − x.
2. F(e) = 0, iar F(1) = −1.
3. Rezultatul este 0 − (−1) = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 20
La o integrală nedefinită, ce element trebuie să apară în răspuns?
Vezi rezolvarea
1. Derivata oricărei constante este zero.
2. Prin urmare există o familie de primitive.
3. Răspunsul nedefinit trebuie scris cu + C.
Răspuns: + C

20 de exerciții în ordine progresivă (20)

1. Nivel 4 · Alegerea metodei
Ce metodă alegem pentru ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx?
Vezi răspunsul
Substituția u = x² + 1 (apare derivata, 2x).
2. Nivel 4 · Alegerea metodei
Ce metodă alegem pentru ∫ x·e^x dx?
Vezi răspunsul
Integrarea prin părți.
3. Nivel 4 · Alegerea metodei
Ce metodă alegem pentru ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx?
Vezi răspunsul
Descompunerea în fracții simple.
4. Nivel 4 · Alegerea metodei
Ce metodă alegem pentru ∫ 3x²x³ + 4 dx?
Vezi răspunsul
Substituția u = x³ + 4: numărătorul este derivata numitorului (rezultat: ln|x³ + 4| + C).
5. Nivel 4 · Verificare
Este F(x) = x³ + 2x o primitivă a lui f(x) = 3x² + 2?
Vezi răspunsul
Da: F′(x) = 3x² + 2.
6. Nivel 4 · Verificare
Este F(x) = 2x³ o primitivă a lui f(x) = 6x?
Vezi răspunsul
Nu: F′(x) = 6x², nu 6x.
7. Nivel 4 · Constanta C
Primitiva lui f(x) = 2x cu F(0) = 5 este:
Vezi răspunsul
F(x) = x² + 5
8. Nivel 4 · Constanta C
Primitiva lui f(x) = 3x² − 1 cu F(1) = 4 este:
Vezi răspunsul
F(x) = x³ − x + C, iar F(1) = C = 4: F(x) = x³ − x + 4.
9. Nivel 4 · Substituție
Calculați ∫ 4x(x² + 3) dx.
Vezi răspunsul
(x² + 3)² + C
10. Nivel 4 · Substituție
Calculați ∫ 6x²(x³ + 1)² dx.
Vezi răspunsul
(23)(x³ + 1)³ + C
11. Nivel 4 · Substituție
Calculați ∫ 5e^5x dx.
Vezi răspunsul
e^5x + C
12. Nivel 4 · Substituție
Calculați ∫ 33x + 2 dx.
Vezi răspunsul
ln|3x + 2| + C
13. Nivel 4 · Prin părți
Calculați ∫ x·e^x dx.
Vezi răspunsul
(x − 1)e^x + C
14. Nivel 4 · Prin părți
Calculați ∫ ln x dx, pentru x > 0.
Vezi răspunsul
x ln x − x + C
15. Nivel 4 · Prin părți
Calculați ∫ x·sin x dx.
Vezi răspunsul
−x cos x + sin x + C
16. Nivel 4 · Fracții simple
Calculați ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx.
Vezi răspunsul
ln|x + 1x + 2| + C
17. Nivel 4 · Fracții simple
Calculați ∫ 1x² − 1 dx.
Vezi răspunsul
(12) ln|x − 1x + 1| + C
18. Nivel 4 · Integrală definită
Calculați x·e^x dx.
Vezi răspunsul
[(x − 1)e^x] de la 0 la 1 = 0 − (−1) = 1
19. Nivel 4 · Integrală definită
Calculați ln x dx.
Vezi răspunsul
[x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1
20. Nivel 4 · Control final
La o integrală nedefinită, ce element trebuie să apară în răspuns?
Vezi răspunsul
Constanta de integrare, C.