Alegerea metodei și calcule mixte · 20 de exerciții

La integralele grele, primul pas nu este calculul, ci alegerea metodei potrivite după forma integrandei.

Substituția caută o derivată ascunsă; integrarea prin părți simplifică un produs; fracțiile simple descompun o funcție rațională.

Cum alegem metoda

u′ și u apar împreună → substituție.
Polinom înmulțit cu e^x, sin x, cos x sau ln x → părți.
Raport de polinoame cu numitor factorizabil → fracții simple.
Capete a și b → primitivă, apoi F(b) − F(a).

Verifică-te singur · cu răspunsuri20 de exerciții în ordine progresivă · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Nivel 4 · Alegerea metodeiM1 · M2 · M3
Ce metodă alegem pentru ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Substituția u = x² + 1 (apare derivata, 2x).
Ex. 2Nivel 4 · Alegerea metodeiM1 · M2 · M3
Ce metodă alegem pentru ∫ x·e^x dx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Integrarea prin părți.
Ex. 3Nivel 4 · Alegerea metodeiM1 · M2 · M3
Ce metodă alegem pentru ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Descompunerea în fracții simple.
Ex. 4Nivel 4 · Alegerea metodeiM1 · M2 · M3
Ce metodă alegem pentru ∫ 3x²x³ + 4 dx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Substituția u = x³ + 4: numărătorul este derivata numitorului (rezultat: ln|x³ + 4| + C).
Ex. 5Nivel 4 · VerificareM1 · M2 · M3
Este F(x) = x³ + 2x o primitivă a lui f(x) = 3x² + 2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: F′(x) = 3x² + 2.
Ex. 6Nivel 4 · VerificareM1 · M2 · M3
Este F(x) = 2x³ o primitivă a lui f(x) = 6x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: F′(x) = 6x², nu 6x.
Ex. 7Nivel 4 · Constanta CM1 · M2 · M3
Primitiva lui f(x) = 2x cu F(0) = 5 este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F(x) = x² + 5
Ex. 8Nivel 4 · Constanta CM1 · M2 · M3
Primitiva lui f(x) = 3x² − 1 cu F(1) = 4 este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F(x) = x³ − x + C, iar F(1) = C = 4: F(x) = x³ − x + 4.
Ex. 9Nivel 4 · SubstituțieM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 4x(x² + 3) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² + 3)² + C
Ex. 10Nivel 4 · SubstituțieM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 6x²(x³ + 1)² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(23)(x³ + 1)³ + C
Ex. 11Nivel 4 · SubstituțieM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 5e^(5x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^(5x) + C
Ex. 12Nivel 4 · SubstituțieM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 33x + 2 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln|3x + 2| + C
Ex. 13Nivel 4 · Prin părțiM1 · M2 · M3
Calculați ∫ x·e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 1)e^x + C
Ex. 14Nivel 4 · Prin părțiM1 · M2 · M3
Calculați ∫ ln x dx, pentru x > 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x ln x − x + C
Ex. 15Nivel 4 · Prin părțiM1 · M2 · M3
Calculați ∫ x·sin x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−x cos x + sin x + C
Ex. 16Nivel 4 · Fracții simpleM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln|x + 1x + 2| + C
Ex. 17Nivel 4 · Fracții simpleM1 · M2 · M3
Calculați ∫ 1x² − 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12) ln|x − 1x + 1| + C
Ex. 18Nivel 4 · Integrală definităM1 · M2 · M3
Calculați x·e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x − 1)e^x] de la 0 la 1 = 0 − (−1) = 1
Ex. 19Nivel 4 · Integrală definităM1 · M2 · M3
Calculați ln x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1
Ex. 20Nivel 4 · Control finalM1 · M2 · M3
La o integrală nedefinită, ce element trebuie să apară în răspuns?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Constanta de integrare, C.