M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 25–30 min
u

Teorie înainte de exerciții

Schimbarea de variabilă, întrebare cu întrebare

Înlocuim o expresie complicată cu litera u numai când derivata ei apare și ea în integrală. Exersăm separat fiecare decizie.

Nu sărim direct la rezultat: fiecare alegere și fiecare transformare devin o întrebare separată.
1

Algoritmul substituției

De ținut minte

u = g(x), du = g′(x)dx
  • Alege expresia interioară u.
  • Calculează du.
  • Transformă întreaga integrală în u.
  • Integrează în u.
  • Revino la variabila x și adaugă C.
Verifică-te singur · cu răspunsuriAtelier ghidat · modele complete și răspuns final scris · 11 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · ∫ 2x(x2 + 1)3 dx. Pasul 1: ce metodă alegem?

    Vezi răspunsul

    Substituția (schimbarea de variabilă).

  2. Ex. 2Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · Pasul 2: ce substituție facem?

    Vezi răspunsul

    u = x2 + 1

  3. Ex. 3Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · Pasul 3: ce diferențial obținem?

    Vezi răspunsul

    du = 2x dx

  4. Ex. 4Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · Pasul 4: în ce integrală se transformă problema?

    Vezi răspunsul

    ∫ u3 du

  5. Ex. 5Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · Pasul 5: care este primitiva în variabila u?

    Vezi răspunsul

    u44 + C

  6. Ex. 6Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 1 · Pasul 6: reveniți la x și alegeți rezultatul final.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 1)44 + C

  7. Ex. 7Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 2 · ∫ 2xx2 + 1 dx. Ce tipar observăm?

    Vezi răspunsul

    Numărătorul este derivata numitorului: ∫ f′(x)f(x) dx.

  8. Ex. 8Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 2 · După u = x2 + 1, ce integrală obținem?

    Vezi răspunsul

    ∫ duu

  9. Ex. 9Model ghidatM1 · M2 · M3

    Model 2 · Care este rezultatul final?

    Vezi răspunsul

    ln(x2 + 1) + C

  10. Ex. 10Lucrează singurM1 · M2 · M3

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 3x2(x3 + 2)4 dx.

    Vezi răspunsul

    (x3 + 2)55 + C

  11. Ex. 11Lucrează singurM1 · M2 · M3

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 4x2x2 + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(2x2 + 5) + C

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Schimbarea de variabilă, întrebare cu întrebare: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înlocuim o expresie complicată cu litera u numai când derivata ei apare și ea în integrală. Exersăm separat fiecare decizie.

Algoritmul substituției

  • u = g(x), du = g′(x)dx
  • Alege expresia interioară u.
  • Calculează du.
  • Transformă întreaga integrală în u.
  • Integrează în u.
  • Revino la variabila x și adaugă C.

Exerciții rezolvate din lecție (11)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Model 1 · ∫ 2x(x2 + 1)3 dx. Pasul 1: ce metodă alegem?

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția din paranteză este x2 + 1.
    2. Derivata ei este 2x, prezentă exact în integrală.
    3. Alegem schimbarea de variabilă.

    Răspuns: Schimbare de variabilă

  2. Exercițiul 2

    Model 1 · Pasul 2: ce substituție facem?

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia compusă este x2 + 1.
    2. Alegerea ei simplifică puterea a treia.
    3. Punem u = x2 + 1.

    Răspuns: u = x2 + 1

  3. Exercițiul 3

    Model 1 · Pasul 3: ce diferențial obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm x2 și obținem 2x.
    2. Derivata lui 1 este zero.
    3. Prin urmare du = 2x dx.

    Răspuns: du = 2x dx

  4. Exercițiul 4

    Model 1 · Pasul 4: în ce integrală se transformă problema?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul 2x dx devine du.
    2. Puterea (x2 + 1)3 devine u3.
    3. Rămâne integrala elementară ∫u3du.

    Răspuns: ∫ u3 du

  5. Exercițiul 5

    Model 1 · Pasul 5: care este primitiva în variabila u?

    Vezi rezolvarea
    1. Exponentul 3 crește la 4.
    2. Împărțim la noul exponent 4.
    3. Obținem u44 + C.

    Răspuns: u44 + C

  6. Exercițiul 6

    Model 1 · Pasul 6: reveniți la x și alegeți rezultatul final.

    Vezi rezolvarea
    1. Aveam u44 + C.
    2. Substituim înapoi u = x2 + 1.
    3. Rezultă (x2 + 1)44 + C.

    Răspuns: (x2 + 1)44 + C

  7. Exercițiul 7

    Model 2 · ∫ 2xx2 + 1 dx. Ce tipar observăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este u = x2 + 1.
    2. Numărătorul 2x este u′.
    3. Tiparul u′u produce un logaritm.

    Răspuns: u′u

  8. Exercițiul 8

    Model 2 · După u = x2 + 1, ce integrală obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul împreună cu dx devine du.
    2. Numitorul devine u.
    3. Integrala este ∫duu.

    Răspuns: ∫ duu

  9. Exercițiul 9

    Model 2 · Care este rezultatul final?

    Vezi rezolvarea
    1. ∫duu = ln|u| + C.
    2. Înlocuim u = x2 + 1.
    3. Cum x2 + 1 > 0, modulul poate fi omis.

    Răspuns: ln(x2 + 1) + C

  10. Exercițiul 10

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 3x2(x3 + 2)4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = x3 + 2.
    2. Atunci du = 3x2dx, exact factorul rămas.
    3. Integrala devine ∫u4du = u55 + C, adică (x3 + 2)55 + C.

    Răspuns: (x3 + 2)55 + C

  11. Exercițiul 11

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 4x2x2 + 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = 2x2 + 5.
    2. Atunci du = 4x dx.
    3. Obținem ∫duu = ln|u| + C = ln(2x2 + 5) + C.

    Răspuns: ln(2x2 + 5) + C

Atelier ghidat · modele complete și răspuns final scris (11)

  1. 1. Model ghidat

    Model 1 · ∫ 2x(x2 + 1)3 dx. Pasul 1: ce metodă alegem?

    Vezi răspunsul

    Substituția (schimbarea de variabilă).

  2. 2. Model ghidat

    Model 1 · Pasul 2: ce substituție facem?

    Vezi răspunsul

    u = x2 + 1

  3. 3. Model ghidat

    Model 1 · Pasul 3: ce diferențial obținem?

    Vezi răspunsul

    du = 2x dx

  4. 4. Model ghidat

    Model 1 · Pasul 4: în ce integrală se transformă problema?

    Vezi răspunsul

    ∫ u3 du

  5. 5. Model ghidat

    Model 1 · Pasul 5: care este primitiva în variabila u?

    Vezi răspunsul

    u44 + C

  6. 6. Model ghidat

    Model 1 · Pasul 6: reveniți la x și alegeți rezultatul final.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 1)44 + C

  7. 7. Model ghidat

    Model 2 · ∫ 2xx2 + 1 dx. Ce tipar observăm?

    Vezi răspunsul

    Numărătorul este derivata numitorului: ∫ f′(x)f(x) dx.

  8. 8. Model ghidat

    Model 2 · După u = x2 + 1, ce integrală obținem?

    Vezi răspunsul

    ∫ duu

  9. 9. Model ghidat

    Model 2 · Care este rezultatul final?

    Vezi răspunsul

    ln(x2 + 1) + C

  10. 10. Lucrează singur

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 3x2(x3 + 2)4 dx.

    Vezi răspunsul

    (x3 + 2)55 + C

  11. 11. Lucrează singur

    Acum rezolvați singur: calculați ∫ 4x2x2 + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(2x2 + 5) + C

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.