Teorie înainte de exerciții
Schimbarea de variabilă, întrebare cu întrebare
Înlocuim o expresie complicată cu litera u numai când derivata ei apare și ea în integrală. Exersăm separat fiecare decizie.
Algoritmul substituției
- Alege expresia interioară u.
- Calculează du.
- Transformă întreaga integrală în u.
- Integrează în u.
- Revino la variabila x și adaugă C.
Verifică-te singur · cu răspunsuriAtelier ghidat · modele complete și răspuns final scris · 11 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · ∫ 2x(x2 + 1)3 dx. Pasul 1: ce metodă alegem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Substituția (schimbarea de variabilă).
- Ex. 2Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 2: ce substituție facem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = x2 + 1
- Ex. 3Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 3: ce diferențial obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
du = 2x dx
- Ex. 4Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 4: în ce integrală se transformă problema?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∫ u3 du
- Ex. 5Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 5: care este primitiva în variabila u?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u44 + C
- Ex. 6Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 6: reveniți la x și alegeți rezultatul final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x2 + 1)44 + C
- Ex. 7Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · ∫ 2xx2 + 1 dx. Ce tipar observăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Numărătorul este derivata numitorului: ∫ f′(x)f(x) dx.
- Ex. 8Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · După u = x2 + 1, ce integrală obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∫ duu
- Ex. 9Model ghidatM1 · M2 · M3
Model 2 · Care este rezultatul final?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln(x2 + 1) + C
- Ex. 10Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ 3x2(x3 + 2)4 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x3 + 2)55 + C
- Ex. 11Lucrează singurM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: calculați ∫ 4x2x2 + 5 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln(2x2 + 5) + C