Încărcăm partea curentă…

Puteri, radicali și compuneri · 30 de exerciții

Polinoame: integrăm fiecare termen separat

La o sumă de puteri, nu integrăm tot polinomul dintr-o singură mișcare. Păstrăm semnul și coeficientul fiecărui termen, creștem exponentul cu 1 și împărțim la noul exponent.

Termenul constant a devine ax. O singură constantă C apare la sfârșit. Derivăm răspunsul termen cu termen ca să vedem dacă am recuperat polinomul inițial.

De ținut minte

∫(f+g)dx=∫f dx+∫g dx
∫a·xndx=a·xn+1n+1+C, n≥0
  • Împărțim fiecare coeficient la exponentul NOU, nu la cel inițial.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(7x4−6x+4)dx.

  1. 1Separăm cele trei integrale: ∫7x4dx−∫6xdx+∫4dx.
  2. 2Puterea x4 dă 7x55, iar 6x dă 6x22=3x2.
  3. 3Constanta 4 dă 4x. Rezultatul este 7x55−3x2+4x+C.
  4. 4Control: derivata rezultatului este 7x4−6x+4.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Puteri, radicali și compuneri · 30 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Polinoame: integrăm fiecare termen separat

La o sumă de puteri, nu integrăm tot polinomul dintr-o singură mișcare. Păstrăm semnul și coeficientul fiecărui termen, creștem exponentul cu 1 și împărțim la noul exponent.

Termenul constant a devine ax. O singură constantă C apare la sfârșit. Derivăm răspunsul termen cu termen ca să vedem dacă am recuperat polinomul inițial.

  • ∫(f+g)dx=∫f dx+∫g dx
  • ∫a·xndx=a·xn+1n+1+C, n≥0
  • Împărțim fiecare coeficient la exponentul NOU, nu la cel inițial.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(7x4−6x+4)dx.

  1. Separăm cele trei integrale: ∫7x4dx−∫6xdx+∫4dx.
  2. Puterea x4 dă 7x55, iar 6x dă 6x22=3x2.
  3. Constanta 4 dă 4x. Rezultatul este 7x55−3x2+4x+C.
  4. Control: derivata rezultatului este 7x4−6x+4.

Puteri mari și semne: același algoritm

Regula puterii funcționează la fel pentru x5, x6 sau x7. După creșterea exponentului, simplificăm raportul dintre coeficient și exponentul nou.

Într-un polinom cu semne amestecate lucrăm pe rând. Semnul minus rămâne în fața primitivei termenului negativ; nu afectează exponentul.

  • ∫a·x5dx=a·x66+C
  • ∫a·x6dx=a·x77+C
  • Nu pierde semnul minus când reduci fracția coeficientului.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(9x5−4x3+2x)dx.

  1. Pentru 9x5 creștem exponentul la 6: 9x66=3x62.
  2. Pentru −4x3 obținem −4x44=−x4; pentru 2x obținem 2x22=x2.
  3. Primitiva este 3x62−x4+x2+C.
  4. Control: derivata dă 9x5−4x3+2x.

Radicalul este o putere cu exponent fracționar

Scriem √x=x12, 1√x=x−12 și x√x=x32. Acum putem aplica aceeași regulă a puterii, atâta timp cât exponentul inițial nu este −1.

La împărțirea cu o fracție întoarcem acea fracție: 1÷(32)=23. Pentru 1√x lucrăm pe x>0; la final putem scrie din nou rezultatul cu radical.

  • √x=x12; 1√x=x−12
  • ∫xpdx=xp+1p+1+C, p≠−1
  • Nu folosi formula logaritmului pentru 1√x: exponentul este −12, nu −1.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(5√x+2√x)dx, x>0.

  1. Rescriem integrandul ca 5x12+2x−12.
  2. Primul exponent devine 32: 5·x3232=(103)x√x.
  3. Al doilea devine 12: 2·x1212=4√x. Primitiva este (103)x√x+4√x+C.
  4. Control: derivata fiecărui termen este 5√x, respectiv 2√x.

Fracții de tipul 1x2: puteri negative

Când x apare în numitor, transformăm mai întâi fracția în putere: 1x2=x−2, 1x3=x−3. Apoi creștem exponentul cu 1 și împărțim la noul exponent negativ.

Acest calcul se face pe un interval unde x≠0. Pentru 1x2 obținem −1x, nu logaritm; logaritmul este rezervat exponentului −1.

  • ∫x−2dx=−1x+C
  • ∫x−3dx=−12x2+C
  • 1x2 nu este 1x; numai al doilea produce ln|x|.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(7x2)dx, x≠0.

  1. Scriem 7x2 ca 7x−2.
  2. Exponentul −2 crește la −1. Aplicăm regula: 7·x−1−1.
  3. Rezultatul este −7x+C.
  4. Control: derivata lui −7x−1 este 7x−2=7x2.

Fracții cu puteri și coeficienți

La 2x3 sau x−4 procedeul nu se schimbă: transformăm în putere negativă, creștem exponentul cu 1, împărțim și revenim la fracție dacă astfel răspunsul se citește mai ușor.

Coeficientul din față se păstrează până la simplificare. După calcul derivăm răspunsul, fiindcă un semn minus ratat schimbă rezultatul.

  • ∫a·x−3dx=−a2x2+C
  • ∫a·x−4dx=−a3x3+C
  • Împărțirea la un exponent negativ schimbă semnul coeficientului.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(6x3)dx, x≠0.

  1. Rescriem 6x3=6x−3.
  2. Exponentul devine −2: ∫6x−3dx=6x−2−2+C.
  3. Simplificăm și revenim la fracție: −3x2+C.
  4. Control: derivata lui −3x−2 este 6x−3=6x3.

Exponențiala ex rămâne ex

Derivata lui ex este ex. Prin urmare și primitiva lui ex este ex, la care adăugăm C. Un coeficient constant din față rămâne acolo.

Nu aplicăm regula pentru puterile lui x: în ex variabila este în exponent, nu în bază. Verificarea prin derivare distinge imediat cele două situații.

  • ∫exdx=ex+C
  • ∫a·exdx=a·ex+C
  • Nu transforma ex în e·x: sunt expresii diferite.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(5ex)dx.

  1. Observăm că variabila x se află în exponentul lui e.
  2. Scoatem factorul 5: ∫5exdx=5∫exdx.
  3. Folosim ∫exdx=ex+C și obținem 5ex+C.
  4. Control: derivata lui 5ex+C este 5ex.

Exponențiala cu expresie liniară în exponent

Dacă exponentul este 3x sau −x, derivarea lui ekx mai produce factorul k. La integrare împărțim la k ca să compensăm. Pentru baza a>0, a≠1, factorul de compensare este ln a.

Mai întâi citește baza și exponentul. La e−x împărțirea la −1 schimbă semnul; la 2x folosim ln 2, nu numărul 2.

  • ∫ekxdx=ekxk+C, k≠0
  • ∫axdx=axln a+C, a>0, a≠1
  • Nu folosi 1k pentru ax: formula cu o bază diferită de e are ln a la numitor.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(e3x+3x)dx.

  1. Separăm integrala în ∫e3xdx+∫3xdx.
  2. La primul termen compensăm derivata lui 3x: obținem e3x3.
  3. La al doilea folosim baza 3: obținem 3xln 3. Primitiva este e3x3+3xln 3+C.
  4. Control: cele două derivate sunt e3x, respectiv 3x.

Cazul special 1x și tiparul derivata numitorului

Exponentul −1 este singura excepție de la regula puterii. Primitiva lui 1x este ln|x|, pe intervale care nu conțin zero.

Dacă numitorul este u(x) și numărătorul este u′(x), rezultatul devine ln|u(x)|. Dacă numărătorul este doar o fracțiune din u′, compensăm cu un coeficient în față.

  • ∫1x dx=ln|x|+C
  • ∫u′(x)u(x) dx=ln|u(x)|+C
  • Păstrează modulul în ln|u| dacă u poate fi negativ; omite-l doar când u este sigur pozitiv.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫13x+2dx, pe un interval cu 3x+2≠0.

  1. Alegem u=3x+2 și calculăm u′=3.
  2. Numărătorul este 1, deci scriem ∫13x+2dx=(13)∫33x+2dx.
  3. Aplicăm tiparul u′u: rezultatul este (13)ln|3x+2|+C.
  4. Control: derivata este (13)·33x+2=13x+2.

Primele primitive trigonometrice

Derivata lui sin x este cos x, iar derivata lui cos x este −sin x. Integrarea merge invers: cos x devine sin x, iar sin x devine −cos x.

Semnul minus din primitiva lui sin x este esențial. Pentru o sumă de termeni trigonometrici integrăm fiecare termen separat, ca la polinoame.

  • ∫cos x dx=sin x+C
  • ∫sin x dx=−cos x+C
  • La ∫sin x apare −cos x, nu +cos x.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫(3sin x−2cos x)dx.

  1. Separăm termenii: 3∫sin xdx−2∫cos xdx.
  2. Înlocuim primitivele: 3(−cos x)−2(sin x).
  3. Rezultatul este −3cos x−2sin x+C.
  4. Control: derivata este 3sin x−2cos x.

Substituția când apare derivata expresiei interioare

Într-o expresie de forma u′(x)·u(x)n, recunoaștem expresia interioară u și derivata u′ de lângă ea. Scriem du=u′(x)dx, apoi integrăm puterea simplă un.

Tiparul funcționează și la exponentul −2. Dacă factorul din față este multiplu al lui u′, scoatem coeficientul suplimentar înainte de integrare.

  • ∫u′·un dx=un+1n+1+C, n≠−1
  • ∫u′u2 dx=−1u+C
  • Nu integra doar paranteza: verifică mai întâi dacă derivata ei este prezentă afară.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫6x(x2+5)2dx.

  1. Punem u=x2+5, de unde du=2x dx.
  2. Factorul 6x dx devine 3du, deci integrala este 3∫u2du.
  3. Integrăm: 3·u33=u3. Revenim la x și obținem (x2+5)3+C.
  4. Control: derivata este 3(x2+5)2·2x=6x(x2+5)2.

Substituția cu e la puterea unei funcții

Dacă lângă eu(x) apare derivata u′(x), putem pune u=u(x). Atunci u′(x)dx devine du, iar ∫eudu=eu+C.

Expresia interioară poate fi un polinom sau chiar sin x. Înainte să alegem răspunsul, derivăm eu(x) și verificăm că factorul exterior coincide cu u′.

  • ∫u′(x)eu(x)dx=eu(x)+C
  • Dacă u′ lipsește, nu aplica mecanic această formulă.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați ∫4x3ex4+2dx.

  1. Expresia interioară este u=x4+2.
  2. Derivata este u′=4x3, exact factorul din fața exponențialei; deci du=4x3dx.
  3. Integrala devine ∫eudu=eu+C=ex4+2+C.
  4. Control: derivata rezultatului este ex4+2·4x3.

Exerciții rezolvate din lecție (30)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați ∫ 4x2 + 6x − 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Integrăm polinomul termen cu termen.
    2. 4x2 → 4x33, 6x → 3x2, iar −5 → −5x
    3. Răspuns final: 4x33 + 3x2 − 5x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 4x33 + 3x2 − 5x + C

  2. Exercițiul 2

    Calculați ∫ 8x3 − 3x2 + 2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare monom se tratează separat.
    2. 8x3 → 2x4, −3x2 → −x3, iar 2 → 2x
    3. Răspuns final: 2x4 − x3 + 2x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2x4 − x3 + 2x + C

  3. Exercițiul 3

    Calculați ∫ 5x4 + 2x2 − x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Creștem cu 1 exponentul fiecărui termen.
    2. Împărțim apoi fiecare coeficient la noul exponent
    3. Răspuns final: x5 + 2x33 − x22 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: x5 + 2x33 − x22 + C

  4. Exercițiul 4

    Calculați ∫ 12x5 − 6x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula puterii pe ambii termeni.
    2. 126 = 2 și −63 = −2
    3. Răspuns final: 2x6 − 2x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2x6 − 2x3 + C

  5. Exercițiul 5

    Calculați ∫ 7x6 + 4x3 + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Polinomul se integrează termen cu termen.
    2. 7x6 → x7, 4x3 → x4, 1 → x
    3. Răspuns final: x7 + x4 + x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: x7 + x4 + x + C

  6. Exercițiul 6

    Calculați ∫ x7 − 8x3 + 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm formula puterii de trei ori.
    2. Coeficienții devin 18, −84 = −2 și 22 = 1
    3. Răspuns final: x88 − 2x4 + x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: x88 − 2x4 + x2 + C

  7. Exercițiul 7

    Calculați ∫ √x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem √x = x12.
    2. Exponentul devine 32, iar împărțirea la 32 înseamnă înmulțire cu 23
    3. Răspuns final: 2x√x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2x√x3 + C

  8. Exercițiul 8

    Calculați ∫ 3√x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem radicalul ca putere x12.
    2. 3·(23)x32 = 2x√x
    3. Răspuns final: 2x√x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2x√x + C

  9. Exercițiul 9

    Calculați ∫ 1√x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 1√x = x−12.
    2. Exponentul devine 12 și împărțim la 12
    3. Răspuns final: 2√x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2√x + C

  10. Exercițiul 10

    Calculați ∫ x√x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem x√x = x32.
    2. Exponentul devine 52, deci primitiva este (25)x52
    3. Răspuns final: 2x2√x5 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2x2√x5 + C

  11. Exercițiul 11

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 1x2 = x−2; nu este cazul logaritmic.
    2. ∫ x−2 dx = x−1−1 = −1x
    3. Răspuns final: −1x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −1x + C

  12. Exercițiul 12

    Calculați ∫ 1x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 1x3 = x−3.
    2. ∫ x−3 dx = x−2−2 = −12x2
    3. Răspuns final: −12x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −12x2 + C

  13. Exercițiul 13

    Calculați ∫ 4x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Constanta 4 rămâne în față.
    2. 4∫x−2 dx = −4x + C
    3. Răspuns final: −4x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −4x + C

  14. Exercițiul 14

    Calculați ∫ 2x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula puterii pentru exponentul −3.
    2. 2·x−2−2 = −x−2
    3. Răspuns final: −1x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −1x2 + C

  15. Exercițiul 15

    Calculați ∫ x−4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Exponentul −4 devine −3.
    2. Împărțim x−3 la −3
    3. Răspuns final: −13x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −13x3 + C

  16. Exercițiul 16

    Calculați ∫ ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Exponențiala ex este propria sa derivată.
    2. ∫ ex dx = ex + C
    3. Răspuns final: ex + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ex + C

  17. Exercițiul 17

    Calculați ∫ 3ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Constanta 3 iese în față.
    2. ∫ 3ex dx = 3ex + C
    3. Răspuns final: 3ex + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 3ex + C

  18. Exercițiul 18

    Calculați ∫ e2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivarea lui e2x produce factorul 2.
    2. Împărțim la 2 pentru a compensa regula lanțului
    3. Răspuns final: e2x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: e2x2 + C

  19. Exercițiul 19

    Calculați ∫ e−x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata exponentului −x este −1.
    2. Derivând −e−x obținem e−x
    3. Răspuns final: −e−x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −e−x + C

  20. Exercițiul 20

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru baza a, ∫axdx = axln a + C.
    2. Aici a = 2
    3. Răspuns final: 2xln 2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: 2xln 2 + C

  21. Exercițiul 21

    Calculați ∫ 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Exponentul −1 este excepția de la regula puterii.
    2. Folosim formula ∫1x dx = ln|x| + C
    3. Răspuns final: ln|x| + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ln|x| + C

  22. Exercițiul 22

    Calculați ∫ 1x + 3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este derivata numitorului.
    2. Aplicăm ∫u′u dx = ln|u| + C
    3. Răspuns final: ln|x + 3| + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ln|x + 3| + C

  23. Exercițiul 23

    Calculați ∫ 12x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata numitorului este 2, deci avem un factor lipsă.
    2. Compensăm cu 12 în fața logaritmului
    3. Răspuns final: ln|2x + 1|2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ln|2x + 1|2 + C

  24. Exercițiul 24

    Calculați ∫ sin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata lui cos x este −sin x.
    2. Prin urmare derivata lui −cos x este sin x
    3. Răspuns final: −cos x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −cos x + C

  25. Exercițiul 25

    Calculați ∫ cos x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata lui sin x este cos x.
    2. ∫cos x dx = sin x + C
    3. Răspuns final: sin x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: sin x + C

  26. Exercițiul 26

    Calculați ∫ 2x(x2 + 1)3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm derivata expresiei interioare x2 + 1.
    2. Punem u = x2 + 1 și du = 2x dx, apoi ∫u3du = u44
    3. Răspuns final: (x2 + 1)44 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: (x2 + 1)44 + C

  27. Exercițiul 27

    Calculați ∫ 2xx2 + 4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este derivata numitorului.
    2. Aplicăm tiparul ∫u′u dx
    3. Răspuns final: ln(x2 + 4) + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ln(x2 + 4) + C

  28. Exercițiul 28

    Calculați ∫ 3x2ex3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia interioară este u = x3.
    2. du = 3x2dx, deci integrala devine ∫eudu
    3. Răspuns final: ex3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: ex3 + C

  29. Exercițiul 29

    Calculați ∫ cos x·esin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata lui sin x este cos x.
    2. Punem u = sin x și obținem ∫eudu
    3. Răspuns final: esin x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: esin x + C

  30. Exercițiul 30

    Calculați ∫ 2x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = x2 + 1, du = 2x dx.
    2. Integrăm u−2 și obținem −u−1
    3. Răspuns final: −1x2 + 1 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.

    Răspuns: −1x2 + 1 + C

30 de exerciții în ordine progresivă (30)

  1. 1. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 4x2 + 6x − 5 dx.

    Vezi răspunsul

    4x33 + 3x2 − 5x + C

  2. 2. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 8x3 − 3x2 + 2 dx.

    Vezi răspunsul

    2x4 − x3 + 2x + C

  3. 3. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 5x4 + 2x2 − x dx.

    Vezi răspunsul

    x5 + 2x33 − x22 + C

  4. 4. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 12x5 − 6x2 dx.

    Vezi răspunsul

    2x6 − 2x3 + C

  5. 5. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 7x6 + 4x3 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    x7 + x4 + x + C

  6. 6. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ x7 − 8x3 + 2x dx.

    Vezi răspunsul

    x88 − 2x4 + x2 + C

  7. 7. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ √x dx.

    Vezi răspunsul

    (23)x√x + C

  8. 8. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 3√x dx.

    Vezi răspunsul

    2x√x + C

  9. 9. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 1√x dx.

    Vezi răspunsul

    2√x + C

  10. 10. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ x√x dx.

    Vezi răspunsul

    (25)x2√x + C

  11. 11. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x + C

  12. 12. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 1x3 dx.

    Vezi răspunsul

    −12x2 + C

  13. 13. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 4x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −4x + C

  14. 14. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 2x3 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x2 + C

  15. 15. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ x−4 dx.

    Vezi răspunsul

    −13x3 + C

  16. 16. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ ex dx.

    Vezi răspunsul

    ex + C

  17. 17. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 3ex dx.

    Vezi răspunsul

    3ex + C

  18. 18. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ e2x dx.

    Vezi răspunsul

    e2x2 + C

  19. 19. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ e−x dx.

    Vezi răspunsul

    −e−x + C

  20. 20. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi răspunsul

    2xln 2 + C

  21. 21. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x| + C

  22. 22. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 1x + 3 dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x + 3| + C

  23. 23. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 12x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|2x + 1| + C

  24. 24. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ sin x dx.

    Vezi răspunsul

    −cos x + C

  25. 25. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ cos x dx.

    Vezi răspunsul

    sin x + C

  26. 26. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 2x(x2 + 1)3 dx.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 1)44 + C

  27. 27. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 2xx2 + 4 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(x2 + 4) + C

  28. 28. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 3x2ex3 dx.

    Vezi răspunsul

    ex3 + C

  29. 29. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ cos x·esin x dx.

    Vezi răspunsul

    esin x + C

  30. 30. Nivel 2 · Formule și compuneri

    Calculați ∫ 2x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x2 + 1 + C

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.