Încărcăm partea curentă…

Integrale definite și proprietăți · 25 de exerciții

Integrala definită a unei constante

Integrala definită dă un număr. Mai întâi găsim o funcție F care, derivată, ne dă expresia din integrală; aceasta se numește primitivă. Pentru un număr constant c, alegem F(x)=cx.

Punem în F(x) numărul scris sus la integrală, apoi numărul scris jos. Scădem al doilea rezultat din primul. Pentru o constantă pozitivă poți verifica și ca arie de dreptunghi: înălțime înmulțită cu lățime.

De ținut minte

c dx = c(b−a)
  • Ordinea este: rezultatul pentru numărul de sus minus rezultatul pentru numărul de jos. Nu adăuga +C la răspunsul numeric.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați 4 dx.

  1. 1O primitivă este F(x)=4x.
  2. 2Calculăm F(3)=12 și F(1)=4.
  3. 3Scădem în această ordine: 12−4=8.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Integrale definite și proprietăți · 25 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Integrala definită a unei constante

Integrala definită dă un număr. Mai întâi găsim o funcție F care, derivată, ne dă expresia din integrală; aceasta se numește primitivă. Pentru un număr constant c, alegem F(x)=cx.

Punem în F(x) numărul scris sus la integrală, apoi numărul scris jos. Scădem al doilea rezultat din primul. Pentru o constantă pozitivă poți verifica și ca arie de dreptunghi: înălțime înmulțită cu lățime.

  • c dx = c(b−a)
  • Ordinea este: rezultatul pentru numărul de sus minus rezultatul pentru numărul de jos. Nu adăuga +C la răspunsul numeric.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați 4 dx.

  1. O primitivă este F(x)=4x.
  2. Calculăm F(3)=12 și F(1)=4.
  3. Scădem în această ordine: 12−4=8.

Puteri simple: întâi primitiva, apoi capetele

Pentru xn creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou. La 2x sau 3x2 păstrăm și coeficientul din față.

Scrie F(x). Pune mai întâi în locul lui x numărul de sus și notează rezultatul. Repetă cu numărul de jos. La sfârșit scade al doilea rezultat din primul.

  • f(x)dx = F(b)−F(a), unde F′=f
  • Pune cele două numere în F(x), funcția găsită după integrare, nu în expresia inițială de sub integrală.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați x2 dx.

  1. F(x)=x33.
  2. F(2)=83, iar F(0)=0.
  3. Integrala este 83−0=83.

Pătrat și interval simetric

O funcție impară, cum este x, are integrala zero pe [−a,a], fiindcă partea din stânga și cea din dreapta se compensează. O funcție pară, cum este x2, nu se anulează astfel.

Chiar dacă observi simetria, poți verifica prin calcul: pui în F(x) numărul de sus, apoi pe cel de jos și scazi. Când numărul de jos este negativ, folosește paranteze.

  • f(x)dx=0 dacă f este impară; f(x)dx=2 f(x)dx dacă f este pară
  • x2 este pară și nenegativă: integrala ei pe un interval simetric nu este zero.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați x dx.

  1. Funcția x este impară, iar intervalul este simetric.
  2. O primitivă este F(x)=x22, deci F(2)=2 și F(−2)=2.
  3. Scădem 2−2=0; cele două metode coincid.

Polinoame: integrăm termen cu termen

La o sumă sau diferență integrăm fiecare termen separat, păstrând semnele. Constanta devine un termen cu x.

După ce ai F(x), pui pe rând în locul lui x cele două numere de la integrală. Dacă unul este negativ, calculează puterile în paranteze ca să nu pierzi semnul.

  • (f+g)dx=f dx+g dx
  • Nu păstra termenul constant neschimbat în primitivă.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați (4x+1)dx.

  1. Integrăm termen cu termen: F(x)=2x2+x.
  2. F(1)=3, iar F(0)=0.
  3. Rezultatul este 3−0=3.

Fracții și exponențiale cu limite

Pentru 1x2 folosim puterea negativă: primitiva este −1x. Pentru 1x, excepția este ln|x|. Primitiva lui ex este ex.

Verifică domeniul înainte de a înlocui capetele. Când ambele capete sunt pozitive, ln|x| poate fi scris ln x.

  • ∫x−2dx=−1x+C; ∫1x dx=ln|x|+C; ∫exdx=ex+C
  • Nu folosi logaritmul pentru 1x2; numai exponentul −1 produce ln|x|.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați 1x dx.

  1. Pe [1,2] folosim F(x)=ln x.
  2. F(2)=ln 2 și F(1)=ln 1=0.
  3. Integrala este ln 2−0=ln 2.

Trigonometrie și substituție la integrale definite

Primitiva lui cos x este sin x; primitiva lui sin x este −cos x. Dacă apare u′u, primitiva este ln|u|.

După alegerea primitivei, calculează valorile ei la ambele capete. Nu confunda sin 0 cu cos 0 și păstrează parantezele la scădere.

  • ∫cos x dx=sin x+C; ∫sin x dx=−cos x+C; ∫u′u dx=ln|u|+C
  • La integrala definită rezultatul este un număr, fără +C.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați sin x dx.

  1. O primitivă este F(x)=−cos x.
  2. F(π2)=0, iar F(0)=−1.
  3. Integrala este 0−(−1)=1.

Numere în fața funcției, sume și capete inversate

Dacă 2 înmulțește funcția, înmulțește cu 2 și rezultatul integralei. Dacă ai f+g, aduni rezultatul integralei lui f cu rezultatul integralei lui g. Când schimbi între ele numerele de sus și de jos, schimbi semnul.

Scrie întâi regula folosind integralele din enunț. Apoi pune în calcul valorile deja cunoscute. Aceste reguli se numesc liniaritate și inversarea capetelor.

  • (cf+g)dx=cf dx+g dx; f dx=−f dx
  • Când schimbi între ele numerele de sus și de jos, rezultatul devine opusul celui inițial.

Exemplu rezolvat cu alte date

Dacă f(x)dx=2, calculați 3f(x)dx.

  1. Scoatem factorul 3: 3f=3f.
  2. Înlocuim valoarea cunoscută: 3·2.
  3. Rezultatul este 6.

Alăturăm intervalele și comparăm cu zero

Dacă două intervale se întâlnesc într-un capăt, integrala pe intervalul mare este suma celor două integrale. Dacă f(x)≥0 peste tot, și integrala este ≥0.

Nu presupune că o funcție nenegativă are integrală strict pozitivă: funcția zero este un contraexemplu. Scrie concluzia cu semnul ≥.

  • f dx=f dx+f dx; f≥0 ⇒ f dx≥0
  • Adună doar intervale care se alătură corect, fără goluri sau suprapuneri.

Exemplu rezolvat cu alte date

Dacă f(x)dx=4 și f(x)dx=−1, calculați f(x)dx.

  1. Împărțim [0,2] la punctul comun 1.
  2. Adunăm valorile: f=f+f=4+(−1).
  3. Rezultatul este 3.

Exerciții rezolvate din lecție (25)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x.
    2. Aplicăm F(1) − F(0).
    3. 1 − 0 = 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x.
    2. F(2) − F(0) = 2 − 0.
    3. Rezultatul este 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculați 2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = 2x.
    2. F(4) − F(1) = 8 − 2.
    3. Rezultatul este 6.

    Răspuns: 6

  4. Exercițiul 4

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x22.
    2. F(2) = 42 = 2 și F(0) = 0.
    3. Rezultatul este 2.

    Răspuns: 2

  5. Exercițiul 5

    Calculați 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x2.
    2. F(3) − F(0) = 9 − 0.
    3. Rezultatul este 9.

    Răspuns: 9

  6. Exercițiul 6

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x3.
    2. F(2) − F(1) = 8 − 1.
    3. Rezultatul este 7.

    Răspuns: 7

  7. Exercițiul 7

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x33.
    2. F(1) − F(0) = 13 − 0.
    3. Rezultatul este 13.

    Răspuns: 13

  8. Exercițiul 8

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x3.
    2. F(2) − F(0) = 8.
    3. Rezultatul este 8.

    Răspuns: 8

  9. Exercițiul 9

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este x22.
    2. F(1) − F(−1) = 12 − 12.
    3. Rezultatul este 0.

    Răspuns: 0

  10. Exercițiul 10

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x33.
    2. F(1) − F(−1) = 13 − (−13).
    3. Rezultatul este 23.

    Răspuns: 23

  11. Exercițiul 11

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x2 + x.
    2. F(1) − F(0) = 1 + 1.
    3. Rezultatul este 2.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Calculați (3x2 + 2) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x3 + 2x.
    2. F(2) − F(0) = 8 + 4.
    3. Rezultatul este 12.

    Răspuns: 12

  13. Exercițiul 13

    Calculați (2x + 3) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x2 + 3x.
    2. F(2) = 10, iar F(−1) = 1 − 3 = −2.
    3. 10 − (−2) = 12.

    Răspuns: 12

  14. Exercițiul 14

    Calculați (4x3 − 2x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = x4 − x2.
    2. F(1) = 1 − 1 = 0 și F(0) = 0.
    3. Rezultatul este 0.

    Răspuns: 0

  15. Exercițiul 15

    Calculați 1x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = −1x.
    2. F(2) − F(1) = −12 − (−1).
    3. Rezultatul este 12.

    Răspuns: 12

  16. Exercițiul 16

    Calculați 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = ln x pe intervalul pozitiv.
    2. F(e) − F(1) = 1 − 0.
    3. Rezultatul este 1.

    Răspuns: 1

  17. Exercițiul 17

    Calculați ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = ex.
    2. F(1) − F(0) = e − 1.
    3. Rezultatul este e − 1.

    Răspuns: e − 1

  18. Exercițiul 18

    Calculați cos x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = sin x.
    2. sin(π2) − sin 0 = 1 − 0.
    3. Rezultatul este 1.

    Răspuns: 1

  19. Exercițiul 19

    Calculați sin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = −cos x.
    2. F(π) − F(0) = 1 − (−1).
    3. Rezultatul este 2.

    Răspuns: 2

  20. Exercițiul 20

    Calculați 2xx2 + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este ln(x2 + 1).
    2. La 1 obținem ln 2, iar la 0 obținem ln 1 = 0.
    3. Rezultatul este ln 2.

    Răspuns: ln 2

  21. Exercițiul 21

    Știind că f(x)dx = 3, calculați 2f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim liniaritatea integralei definite.
    2. ∫2f = 2∫f.
    3. 2·3 = 6.

    Răspuns: 6

  22. Exercițiul 22

    Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 4, calculați (f + g)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm liniaritatea.
    2. ∫(f + g) = ∫f + ∫g.
    3. 3 + 4 = 7.

    Răspuns: 7

  23. Exercițiul 23

    Știind că f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim f = −∫aβf.
    2. Capetele au fost inversate.
    3. Rezultatul este −5.

    Răspuns: −5

  24. Exercițiul 24

    Știind că f(x)dx = 2 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm aditivitatea pe intervale.
    2. f = f + f.
    3. 2 + 5 = 7.

    Răspuns: 7

  25. Exercițiul 25

    Dacă f(x) ≥ 0 pe [0, 2], ce putem spune despre f(x)dx?

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția nulă satisface 0 ≤ f pe tot intervalul.
    2. Monotonia dă ∫0 dx ≤ ∫f dx.
    3. Deci integrala este nenegativă.

    Răspuns: Este ≥ 0

25 de exerciții în ordine progresivă (25)

  1. 1. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 1 dx.

    Vezi răspunsul

    1

  2. 2. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 1 dx.

    Vezi răspunsul

    2

  3. 3. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 2 dx.

    Vezi răspunsul

    2 · (4 − 1) = 6

  4. 4. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    [x22] de la 0 la 2 = 2

  5. 5. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2] de la 0 la 3 = 9

  6. 6. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 1 la 2 = 8 − 1 = 7

  7. 7. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    13

  8. 8. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 0 la 2 = 8

  9. 9. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    0

  10. 10. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x33] de la −1 la 1 = 23

  11. 11. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 0 la 1 = 2

  12. 12. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați (3x2 + 2) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 + 2x] de la 0 la 2 = 8 + 4 = 12

  13. 13. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați (2x + 3) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + 3x] de la −1 la 2 = 10 − (−2) = 12

  14. 14. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați (4x3 − 2x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x4 − x2] de la 0 la 1 = 0

  15. 15. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−1x] de la 1 la 2 = 12

  16. 16. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 1x dx.

    Vezi răspunsul

    [ln x] de la 1 la e = 1

  17. 17. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    e − 1

  18. 18. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [sin x] de la 0 la π2 = 1

  19. 19. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați sin x dx.

    Vezi răspunsul

    [−cos x] de la 0 la π = 2

  20. 20. Nivel 3 · Integrale definite

    Calculați 2xx2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(x2 + 1)] de la 0 la 1 = ln 2

  21. 21. Nivel 3 · Proprietăți

    Știind că f(x)dx = 3, calculați 2f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    2 · 3 = 6

  22. 22. Nivel 3 · Proprietăți

    Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 4, calculați (f + g)dx.

    Vezi răspunsul

    3 + 4 = 7

  23. 23. Nivel 3 · Proprietăți

    Știind că f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    −5 (schimbarea capetelor schimbă semnul)

  24. 24. Nivel 3 · Proprietăți

    Știind că f(x)dx = 2 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    2 + 5 = 7

  25. 25. Nivel 3 · Proprietăți

    Dacă f(x) ≥ 0 pe [0, 2], ce putem spune despre f(x)dx?

    Vezi răspunsul

    Este mai mare sau egală cu 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.