De la ∫1 dx la primele polinoame · 30 de exerciții
Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Primitiva: mergem invers față de derivare
O primitivă F a lui f este o funcție pentru care F′(x)=f(x). Începem cu derivări cunoscute: x se derivează în 1, x2 în 2x, iar x3 în 3x2.
La integrarea nedefinită căutăm toate primitivele. Ele diferă printr-o constantă, fiindcă derivata lui C este zero; de aceea scriem întotdeauna + C și verificăm rezultatul prin derivare.
🧮 De ținut minte
∫a·xn dx = a·xn+1n+1 + C, pentru n≥0
✓Nu copia exponentul din integrand în răspuns; derivarea scade exponentul cu 1.
✏️Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫4x2 dx.
1Căutăm o funcție a cărei derivată este 4x2; exponentul 2 trebuie să devină 3 în primitivă.
2Aplicăm regula puterii: ∫4x2 dx = 4·x33 + C.
3Scriem rezultatul ca 4x33 + C, unde C poate fi orice constantă reală.
4Control: (4x33 + C)′ = (43)·3x2 + 0 = 4x2.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
De la ∫1 dx la primele polinoame · 30 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.
Primitiva: mergem invers față de derivare
O primitivă F a lui f este o funcție pentru care F′(x)=f(x). Începem cu derivări cunoscute: x se derivează în 1, x2 în 2x, iar x3 în 3x2.
La integrarea nedefinită căutăm toate primitivele. Ele diferă printr-o constantă, fiindcă derivata lui C este zero; de aceea scriem întotdeauna + C și verificăm rezultatul prin derivare.
∫a·xn dx = a·xn+1n+1 + C, pentru n≥0
•Nu copia exponentul din integrand în răspuns; derivarea scade exponentul cu 1.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫4x2 dx.
Căutăm o funcție a cărei derivată este 4x2; exponentul 2 trebuie să devină 3 în primitivă.
Aplicăm regula puterii: ∫4x2 dx = 4·x33 + C.
Scriem rezultatul ca 4x33 + C, unde C poate fi orice constantă reală.
Control: (4x33 + C)′ = (43)·3x2 + 0 = 4x2.
Primitiva unei constante, inclusiv negative
Derivata lui ax este a, indiferent dacă a este pozitiv sau negativ. Prin urmare, la integrarea unei constante o înmulțim cu x; numărul nu devine exponent.
Semnul se păstrează, iar + C rămâne obligatoriu. Verificarea prin derivare este rapidă și arată imediat dacă semnul a fost pierdut.
∫a dx = ax + C
•Nu transforma ∫a dx în a+C: derivata unei constante este zero.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(−6) dx.
Integrandul este constanta a=−6, deci folosim regula ∫a dx=ax+C.
Înlocuim a: ∫(−6) dx=(−6)x+C.
Forma simplificată este −6x+C.
Control: (−6x+C)′=−6+0=−6, exact integrandul.
De la constante la primul termen cu x
Pentru o constantă folosim ∫a dx=ax+C. Când apare x, scriem x=x1, creștem exponentul la 2 și împărțim coeficientul la 2.
Acestea sunt două cazuri ale aceleiași reguli a puterii: o constantă este a·x0. Alegem exponentul inițial înainte de a începe calculul.
∫a·x0 dx=ax+C; ∫a·x dx=a·x22+C
•Nu trata x ca pe o constantă: ∫x dx nu este x·x+C.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫8x dx.
Scriem integrandul ca 8x1: coeficientul este 8, iar exponentul lui x este 1.
Creștem exponentul la 2 și împărțim: ∫8x dx=8x22+C.
Simplificăm coeficientul 82=4 și obținem 4x2+C.
Control: (4x2+C)′=4·2x=8x.
Coeficientul din fața lui x
Un coeficient constant poate fi scos în fața integralei. Pentru x1 obținem x22, apoi înmulțim cu coeficientul inițial.
Dacă acel coeficient este negativ, semnul minus rămâne în fața rezultatului. La final simplificăm fracția, fără să schimbăm puterea.
∫a·x dx=a·x22+C
•Împărțim la exponentul nou, 2, nu la exponentul vechi, 1.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(−7x) dx.
Scoatem coeficientul −7: ∫(−7x) dx=−7∫x dx.
Din regula puterii, ∫x dx=x22+C; constanta finală se scrie o singură dată.
Rezultă ∫(−7x) dx=−7x22+C.
Control: (−7x22+C)′=−(72)·2x=−7x.
Simplificăm coeficientul după integrare
La ax, exponentul lui x devine 2. Coeficientul a se împarte apoi la 2; când a este par, rezultatul poate fi scris fără fracție.
La un coeficient negativ păstrăm semnul în fața raportului. Derivarea rezultatului confirmă simultan puterea, coeficientul și semnul.
∫a·x dx=(a2)x2+C
•Nu lăsa coeficientul neschimbat: derivata lui ax2 ar fi 2ax.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫14x dx.
Identificăm a=14 și exponentul inițial 1.
Regula puterii dă ∫14x dx=14x22+C.
Simplificăm 142=7, deci rezultatul este 7x2+C.
Control: (7x2+C)′=14x.
Termenii cu x2 devin termeni cu x3
Când integrandul conține x2, creștem exponentul la 3 și împărțim coeficientul la 3. Aceeași regulă funcționează și pentru un coeficient negativ.
La verificare, derivata lui x3 este 3x2; acest factor 3 trebuie să se simplifice cu numitorul introdus la integrare.
∫a·x2 dx=a·x33+C
•Numitorul rezultat este 3, nu 2: împărțim la exponentul nou.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(−7x2) dx.
Coeficientul este −7, iar exponentul lui x este 2.
Creștem exponentul la 3: ∫(−7x2) dx=−7·x33+C.
Rezultatul este −7x33+C; semnul minus rămâne la coeficient.
Control: (−7x33+C)′=−(73)·3x2=−7x2.
Trecerea de la x2 la x3
Regula puterii nu se schimbă când întâlnim un exponent mai mare. Pentru x2 folosim x33, iar pentru x3 folosim x44.
Înainte de calcul citim cu atenție exponentul inițial; apoi înmulțim cu coeficientul și simplificăm fracția rezultată.
∫a·x3 dx=a·x44+C
•Nu deriva x3 în loc să îl integrezi: derivarea ar coborî la x2.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫12x3 dx.
Exponentul inițial este 3; îl creștem la 4.
Aplicăm regula: ∫12x3 dx=12x44+C.
Simplificăm 124=3 și obținem 3x4+C.
Control: (3x4+C)′=3·4x3=12x3.
Puteri mai mari și semnul coeficientului
La x3 împărțim la 4, iar la x4 împărțim la 5. Coeficientul și semnul lui se păstrează până la simplificarea fracției.
Verificarea se face termen cu termen: derivata rezultatului trebuie să reproducă exact integrandul, nu doar aceeași putere.
∫a·xn dx=a·xn+1n+1+C, n≥0
•Un coeficient negativ nu schimbă regula exponentului; păstrează minusul.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(−6x3) dx.
Exponentul lui x este 3, deci în primitivă devine 4.
Împărțim coeficientul: ∫(−6x3) dx=−6x44+C.
Reducem fracția −64=−32 și obținem −3x42+C.
Control: (−3x42+C)′=−(32)·4x3=−6x3.
Integrăm suma termen cu termen
Integrala unei sume este suma integralelor, iar un coeficient constant rămâne în fața termenului său. Astfel, un polinom se poate desface în monomi simpli.
Integrăm fiecare termen folosind exponentul său: x4, x și constanta au numitori diferiți după aplicarea regulii. Adăugăm o singură constantă C la final.
∫(f+g)dx=∫f dx+∫g dx; ∫a·xn dx=a·xn+1n+1+C
•Nu adăuga C după fiecare termen: toate constantele se reunesc într-un singur + C.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(4x4+3x+2) dx.
Desfacem prin liniaritate: ∫4x4 dx+∫3x dx+∫2 dx.
Aplicăm regula fiecărui termen: 4x55, 3x22 și 2x.
Primitiva este 4x55+3x22+2x+C.
Control: derivata este 4x4+3x+2, exact polinomul din enunț.
Polinomul complet: fiecare termen, apoi controlul
La un polinom cu mai mulți termeni păstrăm ordinea și semnele, apoi integrăm separat fiecare putere a lui x. Termenul constant se transformă într-un termen liniar.
La final derivăm întreaga expresie. Dacă obținem exact polinomul inițial, toate exponentele și toți coeficienții au fost tratați corect.
∫(anxn+⋯+a1x+a0)dx=Σ[akxk+1k+1]+C
•Un singur semn pierdut într-un termen schimbă derivata finală; verifică întregul polinom.
Exemplu rezolvat cu alte date
Calculați ∫(8x3−6x2+4x−5) dx.
Desfacem integrala în patru termeni, păstrând semnele +, −, +, −.
Calculăm separat: ∫8x3 dx=2x4, ∫(−6x2) dx=−2x3.
Mai departe, ∫4x dx=2x2 și ∫(−5) dx=−5x; deci rezultatul este 2x4−2x3+2x2−5x+C.
Control: derivata este 8x3−6x2+4x−5, exact integrandul.
Exerciții rezolvate din lecție (30)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculați ∫ 1 dx.
Vezi rezolvarea
Derivata lui x este 1, deci x este o primitivă a constantei 1.
∫ 1 dx = x + C
Răspuns final: x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x + C
Exercițiul 2
Calculați ∫ 2x dx.
Vezi rezolvarea
Pentru x folosim ∫ x dx = x22 + C.
∫ 2x dx = 2·x22 = x2 + C
Răspuns final: x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x2 + C
Exercițiul 3
Calculați ∫ 5x2 dx.
Vezi rezolvarea
Aplicăm ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C.
∫ 5x2 dx = 5·x33 + C
Răspuns final: 5x33 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 5x33 + C
Exercițiul 4
Calculați ∫ 2 dx.
Vezi rezolvarea
Primitiva unei constante a este ax + C.
∫ 2 dx = 2x + C
Răspuns final: 2x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 2x + C
Exercițiul 5
Calculați ∫ 5 dx.
Vezi rezolvarea
Primitiva unei constante a este ax + C.
∫ 5 dx = 5x + C
Răspuns final: 5x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 5x + C
Exercițiul 6
Calculați ∫ −3 dx.
Vezi rezolvarea
Semnul constantei se păstrează la integrare.
∫ (−3) dx = −3x + C
Răspuns final: −3x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −3x + C
Exercițiul 7
Calculați ∫ 7 dx.
Vezi rezolvarea
Primitiva unei constante a este ax + C.
∫ 7 dx = 7x + C
Răspuns final: 7x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 7x + C
Exercițiul 8
Calculați ∫ −10 dx.
Vezi rezolvarea
Semnul minus rămâne în rezultat.
∫ (−10) dx = −10x + C
Răspuns final: −10x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −10x + C
Exercițiul 9
Calculați ∫ x dx.
Vezi rezolvarea
Creștem exponentul de la 1 la 2 și împărțim la 2.
∫ x dx = x22 + C
Răspuns final: x22 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x22 + C
Exercițiul 10
Calculați ∫ 3x dx.
Vezi rezolvarea
Constanta 3 iese în fața integralei.
∫ 3x dx = 3·x22 + C
Răspuns final: 3x22 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 3x22 + C
Exercițiul 11
Calculați ∫ 5x dx.
Vezi rezolvarea
Creștem exponentul și împărțim la noul exponent.
∫ 5x dx = 5x22 + C
Răspuns final: 5x22 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 5x22 + C
Exercițiul 12
Calculați ∫ −4x dx.
Vezi rezolvarea
Coeficientul −4 rămâne în față.
∫ (−4x) dx = −4·x22 = −2x2 + C
Răspuns final: −2x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −2x2 + C
Exercițiul 13
Calculați ∫ 6x dx.
Vezi rezolvarea
Împărțim coeficientul 6 la noul exponent 2.
∫ 6x dx = 6·x22 = 3x2 + C
Răspuns final: 3x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 3x2 + C
Exercițiul 14
Calculați ∫ 10x dx.
Vezi rezolvarea
Aplicăm regula puterii cu exponentul inițial 1.
∫ 10x dx = 10·x22 = 5x2 + C
Răspuns final: 5x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 5x2 + C
Exercițiul 15
Calculați ∫ −x dx.
Vezi rezolvarea
Semnul minus se păstrează.
∫ (−x) dx = −x22 + C
Răspuns final: −x22 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −x22 + C
Exercițiul 16
Calculați ∫ x2 dx.
Vezi rezolvarea
Exponentul 2 devine 3, apoi împărțim la 3.
∫ x2 dx = x33 + C
Răspuns final: x33 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x33 + C
Exercițiul 17
Calculați ∫ 3x2 dx.
Vezi rezolvarea
Creștem exponentul și împărțim la 3.
∫ 3x2 dx = 3·x33 = x3 + C
Răspuns final: x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x3 + C
Exercițiul 18
Calculați ∫ −2x2 dx.
Vezi rezolvarea
Păstrăm coeficientul −2 și aplicăm regula puterii.
∫ (−2x2) dx = −2x33 + C
Răspuns final: −2x33 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −2x33 + C
Exercițiul 19
Calculați ∫ 6x2 dx.
Vezi rezolvarea
Împărțim coeficientul 6 la 3.
∫ 6x2 dx = 6x33 = 2x3 + C
Răspuns final: 2x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 2x3 + C
Exercițiul 20
Calculați ∫ 9x2 dx.
Vezi rezolvarea
Exponentul devine 3, iar 9 se împarte la 3.
∫ 9x2 dx = 3x3 + C
Răspuns final: 3x3 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: 3x3 + C
Exercițiul 21
Calculați ∫ x3 dx.
Vezi rezolvarea
Exponentul 3 devine 4.
∫ x3 dx = x44 + C
Răspuns final: x44 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x44 + C
Exercițiul 22
Calculați ∫ 2x3 dx.
Vezi rezolvarea
Creștem exponentul la 4 și împărțim coeficientul 2 la 4.
∫ 2x3 dx = 2x44 = x42 + C
Răspuns final: x42 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x42 + C
Exercițiul 23
Calculați ∫ −4x3 dx.
Vezi rezolvarea
Coeficientul −4 se împarte la noul exponent 4.
∫ (−4x3) dx = −4x44 = −x4 + C
Răspuns final: −x4 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: −x4 + C
Exercițiul 24
Calculați ∫ x4 dx.
Vezi rezolvarea
Exponentul 4 devine 5.
∫ x4 dx = x55 + C
Răspuns final: x55 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x55 + C
Exercițiul 25
Calculați ∫ 5x4 dx.
Vezi rezolvarea
Coeficientul 5 se simplifică cu noul exponent 5.
∫ 5x4 dx = 5x55 = x5 + C
Răspuns final: x5 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x5 + C
Exercițiul 26
Calculați ∫ 2x + 1 dx.
Vezi rezolvarea
Integrăm suma termen cu termen.
∫ 2x dx = x2, iar ∫ 1 dx = x
Răspuns final: x2 + x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x2 + x + C
Exercițiul 27
Calculați ∫ 3x2 + 2 dx.
Vezi rezolvarea
Liniaritatea permite integrarea fiecărui termen separat.
∫ 3x2 dx = x3 și ∫ 2 dx = 2x
Răspuns final: x3 + 2x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x3 + 2x + C
Exercițiul 28
Calculați ∫ 4x3 − 2x dx.
Vezi rezolvarea
Integrăm separat cele două puteri.
∫ 4x3 dx = x4, iar ∫ (−2x) dx = −x2
Răspuns final: x4 − x2 + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x4 − x2 + C
Exercițiul 29
Calculați ∫ x2 + x + 1 dx.
Vezi rezolvarea
Un polinom se integrează termen cu termen.
Aplicăm regula puterii lui x2 și lui x, iar 1 devine x
Răspuns final: x33 + x22 + x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.
Răspuns: x33 + x22 + x + C
Exercițiul 30
Calculați ∫ 6x2 − 4x + 3 dx.
Vezi rezolvarea
Aplicăm liniaritatea și regula puterii fiecărui termen.
6x2 devine 2x3, −4x devine −2x2, iar 3 devine 3x
Răspuns final: 2x3 − 2x2 + 3x + C. Verificarea se face derivând rezultatul.