M1 · Mate-Info⏱ 2 sesiuni
M1·aₙ

Teorie înainte de exerciții

Șiruri convergente, limite și proprietatea lui Weierstrass · nivel M1

Lecția pornește de la cele patru cazuri de nedeterminare și ajunge la convergența șirurilor monotone și mărginite, cu limite calculate prin compararea termenilor dominanți.

Programa cere șirurile convergente, mărginirea, monotonia și proprietatea lui Weierstrass numai la profilul Mate-Info. La celelalte profiluri apar doar progresiile aritmetice și geometrice.
1

Dreapta reală încheiată și cazurile de nedeterminare

Analiza lucrează pe ℝ împreună cu −∞ și +∞. Adăugarea celor două elemente rezolvă unele probleme, dar aduce altele: apar patru configurații cărora nu li se poate atribui un rezultat. Orice altă combinație are răspuns cert, deci merită reținute exact excepțiile.

De ținut minte

Cazuri de nedeterminare: ∞ − ∞, 0 · ∞, 00, ∞∞
Rezultate certe: ∞ + 1 = ∞, ∞2 = ∞, ∞ · (−∞) = −∞
a0 = ±∞ pentru a ≠ 0, semnul rezultând din analiza semnelor
Estimarea inițială: înlocuiește n cu +∞ și vezi ce formă apare
  • Fă întotdeauna estimarea inițială înainte de orice calcul.
  • Dacă nu apare nedeterminare, ai deja răspunsul.
  • Nu toate infiniturile cresc la fel de repede: gradul contează.
2

Limite de șiruri: reguli practice

Aproape toate limitele de la examen se rezolvă comparând termenii dominanți. La rapoarte de polinoame decizia se ia din grade, iar la radicali se amplifică cu conjugata. Nu se folosește regula lui l'Hospital: ea este pentru funcții, nu pentru șiruri.

De ținut minte

grad numărător < grad numitor ⇒ limita 0
grad numărător = grad numitor ⇒ raportul coeficienților dominanți
grad numărător > grad numitor ⇒ ±∞, după semne
qn → 0 pentru |q| < 1, qn → +∞ pentru q > 1
(1 + 1n)n → e
∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata
  • La rapoarte de polinoame, gradele decid înaintea oricărui calcul.
  • Termenii de grad mai mic devin neglijabili la infinit.
  • Teorema cleștelui rezolvă cazurile în care șirul este încadrat între două șiruri cu aceeași limită.
3

Monotonie, mărginire și proprietatea lui Weierstrass

Uneori nu se cere valoarea limitei, ci doar demonstrarea faptului că ea există. Atunci se folosește proprietatea lui Weierstrass: monotonie plus mărginire dau convergență. Abia după ce existența e stabilită se poate trece la limită într-o relație de recurență.

De ținut minte

Șir mărginit: există m și M cu m ≤ an ≤ M pentru orice n
Monotonie: se studiază semnul diferenței an+1 − an
Weierstrass: șir monoton și mărginit ⇒ convergent
Convergent ⇒ mărginit, dar reciproca este falsă
Contraexemplu: an = (−1)n este mărginit și divergent
  • Ambele ipoteze sunt necesare: mărginirea singură nu ajunge.
  • Justifică existența limitei înainte de a trece la limită în recurență.
  • Monotonia se verifică cel mai simplu prin semnul diferenței a doi termeni consecutivi.
4

Algoritmul universal în 4 pași

  • Fă estimarea inițială, înlocuind n cu +∞.
  • Dacă nu apare nedeterminare, scrie direct rezultatul.
  • Dacă apare, alege transformarea: grade pentru rapoarte, conjugata pentru radicali, factor comun pentru diferențe.
  • Dacă se cere doar existența limitei, verifică monotonia și mărginirea și invocă Weierstrass.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · șiruri convergente și limite · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Cazuri de nedeterminareM1 · Mate-Info

    Câte cazuri de nedeterminare există la operațiile din ℝ extins?

    Vezi răspunsul

    7: ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞∞, 00, 1^∞, ∞0 și 00.

  2. Ex. 2Rezultat certM1 · Mate-Info

    Cât este ∞2 în ℝ extins?

    Vezi răspunsul

    +∞

  3. Ex. 3Estimarea inițialăM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ (n2 − n − 2).

    Vezi răspunsul

    +∞

  4. Ex. 4Grad mai mic la numărătorM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ n2 − n − 2n3 − 2n2 + 1.

    Vezi răspunsul

    0 (gradul numărătorului este mai mic)

  5. Ex. 5Grade egaleM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ 3n2 + 12n2 − n.

    Vezi răspunsul

    32 (raportul coeficienților dominanți)

  6. Ex. 6Grad mai mare la numărătorM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ n3 + 1n2 + 2.

    Vezi răspunsul

    +∞

  7. Ex. 7Șir mărginitM1 · Mate-Info

    Este șirul an = 1n, cu n ≥ 1, mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 0 < an ≤ 1.

  8. Ex. 8MonotonieM1 · Mate-Info

    Este șirul an = nn + 1 crescător? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: an+1 − an = 1(n + 1)(n + 2) > 0.

  9. Ex. 9Limita unui șir monotonM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ nn + 1.

    Vezi răspunsul

    1

  10. Ex. 10Proprietatea lui WeierstrassM1 · Mate-Info

    Un șir monoton și mărginit este convergent? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  11. Ex. 11Convergent implică mărginitM1 · Mate-Info

    Orice șir convergent este mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  12. Ex. 12Mărginit fără limităM1 · Mate-Info

    Este șirul an = (−1)n convergent? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: termenii alternează între −1 și 1.

  13. Ex. 13Limita fundamentală eM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ (1 + 1n)n.

    Vezi răspunsul

    e

  14. Ex. 14Șir geometricM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ qn pentru q = 12.

    Vezi răspunsul

    0

  15. Ex. 15RaționalizareM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ (n + 1 − n).

    Vezi răspunsul

    lim 1n + 1 + √n = 0

  16. Ex. 16Teorema cleșteluiM1 · Mate-Info

    Știind că 0 ≤ an ≤ 1n pentru orice n ≥ 1, calculați limn→∞ an.

    Vezi răspunsul

    0 (teorema cleștelui)

  17. Ex. 17Nedeterminare cu produsM1 · Mate-Info

    Este 0 · ∞ un caz de nedeterminare? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  18. Ex. 18Limita unei progresii geometriceM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ 2n3n.

    Vezi răspunsul

    lim (23)n = 0

  19. Ex. 19Sumă de rapoarteM1 · Mate-Info

    Calculați limn→∞ 2n + 35n − 1.

    Vezi răspunsul

    25

  20. Ex. 20Șir definit prin recurențăM1 · Mate-Info

    Șirul an este crescător și mărginit superior de 3, iar limita lui verifică ecuația L = L + 32. Determinați L.

    Vezi răspunsul

    2L = L + 3, deci L = 3.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Șiruri convergente, limite și proprietatea lui Weierstrass · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lecția pornește de la cele patru cazuri de nedeterminare și ajunge la convergența șirurilor monotone și mărginite, cu limite calculate prin compararea termenilor dominanți.

Dreapta reală încheiată și cazurile de nedeterminare

Analiza lucrează pe ℝ împreună cu −∞ și +∞. Adăugarea celor două elemente rezolvă unele probleme, dar aduce altele: apar patru configurații cărora nu li se poate atribui un rezultat. Orice altă combinație are răspuns cert, deci merită reținute exact excepțiile.

  • Cazuri de nedeterminare: ∞ − ∞, 0 · ∞, 00, ∞∞
  • Rezultate certe: ∞ + 1 = ∞, ∞2 = ∞, ∞ · (−∞) = −∞
  • a0 = ±∞ pentru a ≠ 0, semnul rezultând din analiza semnelor
  • Estimarea inițială: înlocuiește n cu +∞ și vezi ce formă apare
  • Fă întotdeauna estimarea inițială înainte de orice calcul.
  • Dacă nu apare nedeterminare, ai deja răspunsul.
  • Nu toate infiniturile cresc la fel de repede: gradul contează.

Limite de șiruri: reguli practice

Aproape toate limitele de la examen se rezolvă comparând termenii dominanți. La rapoarte de polinoame decizia se ia din grade, iar la radicali se amplifică cu conjugata. Nu se folosește regula lui l'Hospital: ea este pentru funcții, nu pentru șiruri.

  • grad numărător < grad numitor ⇒ limita 0
  • grad numărător = grad numitor ⇒ raportul coeficienților dominanți
  • grad numărător > grad numitor ⇒ ±∞, după semne
  • qn → 0 pentru |q| < 1, qn → +∞ pentru q > 1
  • (1 + 1n)n → e
  • ∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata
  • La rapoarte de polinoame, gradele decid înaintea oricărui calcul.
  • Termenii de grad mai mic devin neglijabili la infinit.
  • Teorema cleștelui rezolvă cazurile în care șirul este încadrat între două șiruri cu aceeași limită.

Monotonie, mărginire și proprietatea lui Weierstrass

Uneori nu se cere valoarea limitei, ci doar demonstrarea faptului că ea există. Atunci se folosește proprietatea lui Weierstrass: monotonie plus mărginire dau convergență. Abia după ce existența e stabilită se poate trece la limită într-o relație de recurență.

  • Șir mărginit: există m și M cu m ≤ an ≤ M pentru orice n
  • Monotonie: se studiază semnul diferenței an+1 − an
  • Weierstrass: șir monoton și mărginit ⇒ convergent
  • Convergent ⇒ mărginit, dar reciproca este falsă
  • Contraexemplu: an = (−1)n este mărginit și divergent
  • Ambele ipoteze sunt necesare: mărginirea singură nu ajunge.
  • Justifică existența limitei înainte de a trece la limită în recurență.
  • Monotonia se verifică cel mai simplu prin semnul diferenței a doi termeni consecutivi.

Algoritmul universal în 4 pași

  • Fă estimarea inițială, înlocuind n cu +∞.
  • Dacă nu apare nedeterminare, scrie direct rezultatul.
  • Dacă apare, alege transformarea: grade pentru rapoarte, conjugata pentru radicali, factor comun pentru diferențe.
  • Dacă se cere doar existența limitei, verifică monotonia și mărginirea și invocă Weierstrass.

Exerciții rezolvate din lecție (26)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Exercițiul 4 ghidat · Vrem limn→∞ n2 − n − 2n3 − 2n2 + 1. Pasul 1: care este estimarea inițială?

    Vezi rezolvarea
    1. Estimarea inițială înseamnă înlocuirea lui n cu punctul de acumulare, aici +∞.
    2. Numărătorul, dominat de n2, tinde la +∞.
    3. Numitorul, dominat de n3, tinde tot la +∞.
    4. Obținem ∞∞, unul dintre cele patru cazuri de nedeterminare.

    Răspuns: ∞∞, deci nedeterminare

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: comparați gradele numărătorului și numitorului.

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul dominant al numărătorului este n2, deci gradul 2.
    2. Termenul dominant al numitorului este n3, deci gradul 3.
    3. La infinit, n3 devine mult mai mare decât n2.
    4. Deci numitorul crește mai repede, iar raportul scade.

    Răspuns: Gradul 2 sus, gradul 3 jos, deci numitorul crește mai repede

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: cum arătăm formal acest lucru?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim ambii termeni la puterea cea mai mare care apare, adică n3.
    2. Numărătorul devine 1n − 1n2 − 2n3, care tinde la 0.
    3. Numitorul devine 1 − 2n + 1n3, care tinde la 1.
    4. Derivarea este pentru limite de funcții, cu regula lui l'Hospital, nu pentru șiruri.

    Răspuns: Împărțim numărătorul și numitorul la n3

  4. Exercițiul 4

    Pasul 4: scrieți valoarea limitei.

    Vezi rezolvarea
    1. După împărțire, raportul devine aproximativ 01.
    2. Un numărător care tinde la 0 și un numitor care tinde la 1 dau limita 0.
    3. Răspuns final: 0.
    4. Regula generală de reținut: dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este întotdeauna 0.

    Răspuns: 0

  5. Exercițiul 5

    Exercițiul 15 semi-ghidat · La limn→∞ (n + 1 − √n), de ce nu putem răspunde direct 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Ambii radicali tind la +∞ când n crește.
    2. Diferența a două cantități infinite este unul dintre cele patru cazuri de nedeterminare.
    3. Faptul că cei doi termeni sunt apropiați nu justifică singur rezultatul 0.
    4. Avem nevoie de o transformare care elimină nedeterminarea.

    Răspuns: Pentru că estimarea dă ∞ − ∞, adică nedeterminare

  6. Exercițiul 6

    Amplificați cu conjugata și scrieți valoarea limitei.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim și împărțim cu n + 1 + √n.
    2. La numărător apare (n + 1) − n = 1, iar nedeterminarea dispare.
    3. Expresia devine 1n + 1 + n, cu numitorul care crește nemărginit.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Exercițiul 10 semi-ghidat · Ce garantează proprietatea lui Weierstrass?

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt necesare ambele ipoteze: monotonia și mărginirea.
    2. Doar mărginirea nu ajunge: an = (−1)n este mărginit, dar nu converge.
    3. Doar monotonia nu ajunge: an = n este crescător, dar tinde la +∞.
    4. Împreună însă garantează existența unei limite finite.

    Răspuns: Că un șir monoton și mărginit are limită finită

  8. Exercițiul 8

    Un șir crescător, mărginit superior de 3, cu limita verificând L = L + 32. Determinați L.

    Vezi rezolvarea
    1. Weierstrass garantează că limita L există și este finită, deci putem trece la limită în relație.
    2. Ecuația devine L = L + 32, adică 2L = L + 3.
    3. Rezultă L = 3, valoare compatibilă cu marginea superioară dată.
    4. Răspuns final: L = 3.

    Răspuns: 3

  9. Exercițiul 9

    Câte cazuri de nedeterminare există la operațiile din ℝ extins?

    Vezi rezolvarea
    1. În ℝ extins, adică ℝ împreună cu −∞ și +∞, aproape orice combinație are rezultat cert.
    2. Excepțiile sunt: ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 și ∞∞.
    3. Restul configurațiilor primesc un rezultat, de exemplu ∞ + 1 = ∞ sau ∞2 = ∞.
    4. Răspuns final: 4 cazuri de nedeterminare.

    Răspuns: 4

  10. Exercițiul 10

    Cât este ∞2 în ℝ extins?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțirea unei cantități infinite la un număr finit nenul nu este nedeterminare.
    2. Împărțind la 2 doar înjumătățim, ceea ce nu poate transforma infinitul într-un număr finit.
    3. Rezultatul rămâne infinit, cu același semn.
    4. Răspuns final: +∞.

    Răspuns: +∞

  11. Exercițiul 11

    Calculați limn→∞ (n2 − n − 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Estimarea inițială dă ∞ − ∞ − 2, deci pare nedeterminare.
    2. Comparăm însă puterile: primul infinit vine dintr-un termen de gradul 2, al doilea dintr-unul de gradul 1.
    3. Termenul de grad mai mare crește mult mai repede, deci el impune rezultatul.
    4. Răspuns final: +∞. Formal, am da factor comun n2: n2(1 − 1n − 2n2) → ∞·1.

    Răspuns: +∞

  12. Exercițiul 12

    Calculați limn→∞ 3n2 + 12n2 − n.

    Vezi rezolvarea
    1. Avem din nou ∞∞.
    2. Gradele fiind egale, limita este raportul coeficienților termenilor dominanți.
    3. Coeficientul lui n2 este 3 sus și 2 jos.
    4. Răspuns final: 32.

    Răspuns: 32

  13. Exercițiul 13

    Calculați limn→∞ n3 + 1n2 + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Nedeterminare ∞∞.
    2. Numărătorul are gradul 3, numitorul gradul 2, deci numărătorul crește mai repede.
    3. Raportul se comportă ca n, care crește nemărginit.
    4. Răspuns final: +∞.

    Răspuns: +∞

  14. Exercițiul 14

    Este șirul an = 1n, cu n ≥ 1, mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Un șir este mărginit dacă toți termenii se află între două numere fixe.
    2. Pentru n ≥ 1 avem 0 < 1n ≤ 1.
    3. Deci 0 este o margine inferioară, iar 1 una superioară.
    4. Răspuns final: da, șirul este mărginit.

    Răspuns: da

  15. Exercițiul 15

    Este șirul an = nn + 1 crescător? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Comparăm doi termeni consecutivi, calculând diferența an+1 − an.
    2. n + 1n + 2 − nn + 1 = (n + 1)2 − n(n + 2)(n + 2)(n + 1).
    3. Numărătorul devine n2 + 2n + 1 − n2 − 2n = 1, deci diferența este pozitivă.
    4. Răspuns final: da, șirul este strict crescător. Primii termeni sunt 12, 23, 34.

    Răspuns: da

  16. Exercițiul 16

    Calculați limn→∞ nn + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, ambele 1.
    2. Limita este raportul coeficienților dominanți: 11.
    3. Se vede și direct: nn + 1 = 1 − 1n + 1, iar ultimul termen tinde la 0.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  17. Exercițiul 17

    Orice șir convergent este mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă termenii se apropie de o limită finită, de la un rang încolo ei stau într-un interval mic în jurul ei.
    2. Termenii dinaintea acelui rang sunt în număr finit, deci și ei sunt mărginiți.
    3. Reunind cele două, întregul șir este mărginit.
    4. Răspuns final: da. Reciproca este falsă: an = (−1)n este mărginit, dar nu converge.

    Răspuns: da

  18. Exercițiul 18

    Este șirul an = (−1)n convergent? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Termenii sunt alternativ −1 și 1, deci șirul este mărginit.
    2. Dar subșirul termenilor de rang par tinde la 1, iar cel de rang impar la −1.
    3. Două subșiruri cu limite diferite fac imposibilă existența unei limite unice.
    4. Răspuns final: nu. Exemplul arată că mărginirea singură nu asigură convergența; mai trebuie monotonia.

    Răspuns: nu

  19. Exercițiul 19

    Calculați limn→∞ (1 + 1n)n.

    Vezi rezolvarea
    1. Estimarea inițială dă 1^∞, o formă care pare a fi 1, dar nu este.
    2. Baza se apropie de 1, însă exponentul crește nemărginit, iar cele două efecte se echilibrează.
    3. Rezultatul este numărul e ≈ 2,718, definit chiar prin această limită.
    4. Răspuns final: e. Este una dintre limitele fundamentale de memorat.

    Răspuns: e

  20. Exercițiul 20

    Calculați limn→∞ qn pentru q = 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru un șir geometric limita depinde de raportul q.
    2. Aici |q| = 12 < 1, deci puterile devin tot mai mici.
    3. Într-adevăr, 12, 14, 18 se apropie de zero.
    4. Răspuns final: 0. Regulă: |q| < 1 dă limita 0, q > 1 dă +∞, iar q ≤ −1 nu are limită.

    Răspuns: 0

  21. Exercițiul 21

    Știind că 0 ≤ an ≤ 1n pentru orice n ≥ 1, calculați limn→∞ an.

    Vezi rezolvarea
    1. Șirul este încadrat între două șiruri cu aceeași limită.
    2. Șirul din stânga este constant 0, iar cel din dreapta, 1n, tinde tot la 0.
    3. Teorema cleștelui spune că șirul dintre ele are aceeași limită.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  22. Exercițiul 22

    Este 0 · ∞ un caz de nedeterminare? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Intuitiv, unul dintre factori împinge spre 0, celălalt spre infinit, iar rezultatul depinde de viteze.
    2. De exemplu 1n·n = 1, dar 1n2·n = 1n → 0, iar 1n·n2 = n → ∞.
    3. Aceleași forme dau rezultate diferite, deci nu se poate atribui o valoare.
    4. Răspuns final: da, este nedeterminare.

    Răspuns: da

  23. Exercițiul 23

    Calculați limn→∞ 2n3n.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem raportul ca o singură putere: 2n3n = (23)n.
    2. Raportul 23 este subunitar, deci puterile lui tind la 0.
    3. Răspuns final: 0. Când baza este subunitară, puterile scad către zero.

    Răspuns: 0

  24. Exercițiul 24

    Calculați limn→∞ 2n + 35n − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Avem ∞∞, cu grade egale, ambele 1.
    2. Limita este raportul coeficienților dominanți: 2 sus și 5 jos.
    3. Termenii liberi 3 și −1 devin neglijabili la infinit.
    4. Răspuns final: 25.

    Răspuns: 25

  25. Exercițiul 25

    Șirul an este crescător și mărginit superior de 3, iar limita lui verifică ecuația L = L + 32. Determinați L.

    Vezi rezolvarea
    1. Fiind monoton și mărginit, șirul converge, deci limita L există — aceasta este proprietatea lui Weierstrass.
    2. Trecând la limită în relația de recurență, ambii membri tind la aceeași valoare L.
    3. Rezolvăm ecuația: 2L = L + 3, deci L = 3.
    4. Răspuns final: L = 3. Existența limitei trebuie justificată înainte de a trece la limită în recurență.

    Răspuns: 3

  26. Exercițiul 26

    Calculează limita șirului an=3n2+12n2−n.

    Vezi rezolvarea
    1. an=3+1n22−1n. Împărțim fiecare termen de la numărător și numitor la n2.
    2. 1n2→0 și 1n→0. Reciprocele puterilor pozitive ale lui n tind la zero.
    3. lim an=32. Numitorul tinde la 2≠0, deci limita raportului este raportul limitelor.

    Răspuns: lim an=32

Fișa integrală · șiruri convergente și limite (20)

  1. 1. Cazuri de nedeterminare

    Câte cazuri de nedeterminare există la operațiile din ℝ extins?

    Vezi răspunsul

    7: ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞∞, 00, 1^∞, ∞0 și 00.

  2. 2. Rezultat cert

    Cât este ∞2 în ℝ extins?

    Vezi răspunsul

    +∞

  3. 3. Estimarea inițială

    Calculați limn→∞ (n2 − n − 2).

    Vezi răspunsul

    +∞

  4. 4. Grad mai mic la numărător

    Calculați limn→∞ n2 − n − 2n3 − 2n2 + 1.

    Vezi răspunsul

    0 (gradul numărătorului este mai mic)

  5. 5. Grade egale

    Calculați limn→∞ 3n2 + 12n2 − n.

    Vezi răspunsul

    32 (raportul coeficienților dominanți)

  6. 6. Grad mai mare la numărător

    Calculați limn→∞ n3 + 1n2 + 2.

    Vezi răspunsul

    +∞

  7. 7. Șir mărginit

    Este șirul an = 1n, cu n ≥ 1, mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 0 < an ≤ 1.

  8. 8. Monotonie

    Este șirul an = nn + 1 crescător? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: an+1 − an = 1(n + 1)(n + 2) > 0.

  9. 9. Limita unui șir monoton

    Calculați limn→∞ nn + 1.

    Vezi răspunsul

    1

  10. 10. Proprietatea lui Weierstrass

    Un șir monoton și mărginit este convergent? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  11. 11. Convergent implică mărginit

    Orice șir convergent este mărginit? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  12. 12. Mărginit fără limită

    Este șirul an = (−1)n convergent? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: termenii alternează între −1 și 1.

  13. 13. Limita fundamentală e

    Calculați limn→∞ (1 + 1n)n.

    Vezi răspunsul

    e

  14. 14. Șir geometric

    Calculați limn→∞ qn pentru q = 12.

    Vezi răspunsul

    0

  15. 15. Raționalizare

    Calculați limn→∞ (n + 1 − n).

    Vezi răspunsul

    lim 1n + 1 + √n = 0

  16. 16. Teorema cleștelui

    Știind că 0 ≤ an ≤ 1n pentru orice n ≥ 1, calculați limn→∞ an.

    Vezi răspunsul

    0 (teorema cleștelui)

  17. 17. Nedeterminare cu produs

    Este 0 · ∞ un caz de nedeterminare? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  18. 18. Limita unei progresii geometrice

    Calculați limn→∞ 2n3n.

    Vezi răspunsul

    lim (23)n = 0

  19. 19. Sumă de rapoarte

    Calculați limn→∞ 2n + 35n − 1.

    Vezi răspunsul

    25

  20. 20. Șir definit prin recurență

    Șirul an este crescător și mărginit superior de 3, iar limita lui verifică ecuația L = L + 32. Determinați L.

    Vezi răspunsul

    2L = L + 3, deci L = 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.