Șiruri convergente, limite și proprietatea lui Weierstrass · nivel M1

Lecția pornește de la cele patru cazuri de nedeterminare și ajunge la convergența șirurilor monotone și mărginite, cu limite calculate prin compararea termenilor dominanți.

Programa cere șirurile convergente, mărginirea, monotonia și proprietatea lui Weierstrass numai la profilul Mate-Info. La celelalte profiluri apar doar progresiile aritmetice și geometrice.

Dreapta reală încheiată și cazurile de nedeterminare

Analiza lucrează pe ℝ împreună cu −∞ și +∞. Adăugarea celor două elemente rezolvă unele probleme, dar aduce altele: apar patru configurații cărora nu li se poate atribui un rezultat. Orice altă combinație are răspuns cert, deci merită reținute exact excepțiile.

Cazuri de nedeterminare: ∞ − ∞, 0 · ∞, 00, ∞∞

Rezultate certe: ∞ + 1 = ∞, ∞2 = ∞, ∞ · (−∞) = −∞

a0 = ±∞ pentru a ≠ 0, semnul rezultând din analiza semnelor

Estimarea inițială: înlocuiește n cu +∞ și vezi ce formă apare

Fă întotdeauna estimarea inițială înainte de orice calcul.
Dacă nu apare nedeterminare, ai deja răspunsul.
Nu toate infiniturile cresc la fel de repede: gradul contează.

Limite de șiruri: reguli practice

Aproape toate limitele de la examen se rezolvă comparând termenii dominanți. La rapoarte de polinoame decizia se ia din grade, iar la radicali se amplifică cu conjugata. Nu se folosește regula lui l'Hospital: ea este pentru funcții, nu pentru șiruri.

grad numărător < grad numitor ⇒ limita 0

grad numărător = grad numitor ⇒ raportul coeficienților dominanți

grad numărător > grad numitor ⇒ ±∞, după semne

qⁿ → 0 pentru |q| < 1, qⁿ → +∞ pentru q > 1

(1 + 1n)ⁿ → e

∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata

La rapoarte de polinoame, gradele decid înaintea oricărui calcul.
Termenii de grad mai mic devin neglijabili la infinit.
Teorema cleștelui rezolvă cazurile în care șirul este încadrat între două șiruri cu aceeași limită.

Monotonie, mărginire și proprietatea lui Weierstrass

Uneori nu se cere valoarea limitei, ci doar demonstrarea faptului că ea există. Atunci se folosește proprietatea lui Weierstrass: monotonie plus mărginire dau convergență. Abia după ce existența e stabilită se poate trece la limită într-o relație de recurență.

Șir mărginit: există m și M cu m ≤ a_n ≤ M pentru orice n

Monotonie: se studiază semnul diferenței a_n+1 − a_n

Weierstrass: șir monoton și mărginit ⇒ convergent

Convergent ⇒ mărginit, dar reciproca este falsă

Contraexemplu: a_n = (−1)ⁿ este mărginit și divergent

Ambele ipoteze sunt necesare: mărginirea singură nu ajunge.
Justifică existența limitei înainte de a trece la limită în recurență.
Monotonia se verifică cel mai simplu prin semnul diferenței a doi termeni consecutivi.

Algoritmul universal în 4 pași

Fă estimarea inițială, înlocuind n cu +∞.
Dacă nu apare nedeterminare, scrie direct rezultatul.
Dacă apare, alege transformarea: grade pentru rapoarte, conjugata pentru radicali, factor comun pentru diferențe.
Dacă se cere doar existența limitei, verifică monotonia și mărginirea și invocă Weierstrass.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · șiruri convergente și limite · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Cazuri de nedeterminareM1 · Mate-Info
Câte cazuri de nedeterminare există la operațiile din ℝ extins?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7: ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 00, 1^∞, ∞⁰ și 0⁰.
Ex. 2Rezultat certM1 · Mate-Info
Cât este ∞2 în ℝ extins?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 3Estimarea inițialăM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ (n² − n − 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 4Grad mai mic la numărătorM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ n² − n − 2n³ − 2n² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0 (gradul numărătorului este mai mic)
Ex. 5Grade egaleM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ 3n² + 12n² − n.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
32 (raportul coeficienților dominanți)
Ex. 6Grad mai mare la numărătorM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ n³ + 1n² + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 7Șir mărginitM1 · Mate-Info
Este șirul a_n = 1n, cu n ≥ 1, mărginit? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 0 < a_n ≤ 1.
Ex. 8MonotonieM1 · Mate-Info
Este șirul a_n = nn + 1 crescător? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: a_n+1 − a_n = 1(n + 1)(n + 2) > 0.
Ex. 9Limita unui șir monotonM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ nn + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 10Proprietatea lui WeierstrassM1 · Mate-Info
Un șir monoton și mărginit este convergent? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 11Convergent implică mărginitM1 · Mate-Info
Orice șir convergent este mărginit? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 12Mărginit fără limităM1 · Mate-Info
Este șirul a_n = (−1)ⁿ convergent? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: termenii alternează între −1 și 1.
Ex. 13Limita fundamentală eM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ (1 + 1n)ⁿ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e
Ex. 14Șir geometricM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ qⁿ pentru q = 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 15RaționalizareM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ (n + 1 − n).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(n + 1 + √n) = 0
Ex. 16Teorema cleșteluiM1 · Mate-Info
Știind că 0 ≤ a_n ≤ 1n pentru orice n ≥ 1, calculați limn→∞ a_n.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0 (teorema cleștelui)
Ex. 17Nedeterminare cu produsM1 · Mate-Info
Este 0 · ∞ un caz de nedeterminare? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 18Limita unei progresii geometriceM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ 2ⁿ3ⁿ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (23)ⁿ = 0
Ex. 19Sumă de rapoarteM1 · Mate-Info
Calculați limn→∞ 2n + 35n − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25
Ex. 20Șir definit prin recurențăM1 · Mate-Info
Șirul a_n este crescător și mărginit superior de 3, iar limita lui verifică ecuația L = L + 32. Determinați L.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2L = L + 3, deci L = 3.