M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

∫ₐᵇ

Încărcăm partea curentă…

Produse cu eˣ · 3 ghidate + 2 directe

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Când un polinom este înmulțit cu eˣ

Ne uităm la cei doi factori și alegem ce derivăm ca să simplificăm integrala. Un polinom ca x+2 devine constanta 1; x² devine 2x, un polinom de grad mai mic. e^x derivat rămâne e^x. De aceea, pentru aceste produse, alegem polinomul drept g(x). Notăm derivata lui cu g′(x).

Celălalt factor, e^x, îl integrăm. Găsim primitiva f(x)=e^x și verificăm că f′(x)=e^x. Astfel integrala inițială este a produsului g·f′, nu a produsului a două primitive.

În formula prin părți scădem integrala lui g′·f. Verificăm că este mai ușoară: pentru (x+2)e^x rămâne e^x; pentru x²e^x rămâne 2xe^x, la care repetăm metoda. Derivăm 2x la 2 și integrăm din nou e^x la e^x: acum rămâne 2e^x, care se integrează direct.

Produsul înseamnă g(b)f(b)−g(a)f(a), cu a numărul de jos și b numărul de sus. Întâi exersăm factorii liniari, ghidat și independent. Abia apoi trecem la x², care cere integrarea prin părți de două ori.

g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx

f′(x)=e^x, f(x)=e^x ⇒ g(x)e^xdx=− g′(x)e^xdx

Mai întâi justificăm alegerea lui g, apoi găsim primitiva f a celuilalt factor.
La fiecare aplicare trebuie să progresăm: x² → 2x → 2.
Verifică primitiva finală prin derivare.

Exemplu separat: produs cu eˣ

Calculați (3x+2)e^x dx.

1.Alegem să derivăm g(x)=3x+2, fiindcă g′(x)=3 este o constantă. Dacă am deriva e^x, ar rămâne tot e^x, fără să simplificăm acest factor.
2.Integrăm factorul e^x și găsim f(x)=e^x, cu f′(x)=e^x. Verificăm integrala rămasă: g′·f=3e^x, care se integrează direct.
3.Aplicăm formula: (3x+2)e^xdx=−3e^xdx.
4.Produsul la capete este 5e−2. Integrala rămasă este =3(e−1).
5.Scădem: (5e−2)−3(e−1)=2e+1. Verificare: derivata lui (3x−1)e^x este (3x+2)e^x.

Toată lecția pe o pagină

Produse cu eˣ · 3 ghidate + 2 directe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Alegem factorul care se simplifică prin derivare, integrăm celălalt factor și verificăm că integrala rămasă este mai ușoară. Abia apoi aplicăm formula.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
f(x)dx=F(b)−F(a)

Alege factorul a cărui derivată se simplifică.
La x² aplicăm părțile de două ori.
Nu pierde semnul minus la a doua aplicare.

Când un polinom este înmulțit cu e^x

Ne uităm la cei doi factori și alegem ce derivăm ca să simplificăm integrala. Un polinom ca x+2 devine constanta 1; x² devine 2x, un polinom de grad mai mic. e^x derivat rămâne e^x. De aceea, pentru aceste produse, alegem polinomul drept g(x). Notăm derivata lui cu g′(x).

Celălalt factor, e^x, îl integrăm. Găsim primitiva f(x)=e^x și verificăm că f′(x)=e^x. Astfel integrala inițială este a produsului g·f′, nu a produsului a două primitive.

În formula prin părți scădem integrala lui g′·f. Verificăm că este mai ușoară: pentru (x+2)e^x rămâne e^x; pentru x²e^x rămâne 2xe^x, la care repetăm metoda. Derivăm 2x la 2 și integrăm din nou e^x la e^x: acum rămâne 2e^x, care se integrează direct.

Produsul înseamnă g(b)f(b)−g(a)f(a), cu a numărul de jos și b numărul de sus. Întâi exersăm factorii liniari, ghidat și independent. Abia apoi trecem la x², care cere integrarea prin părți de două ori.

g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
f′(x)=e^x, f(x)=e^x ⇒ g(x)e^xdx=− g′(x)e^xdx

Mai întâi justificăm alegerea lui g, apoi găsim primitiva f a celuilalt factor.
La fiecare aplicare trebuie să progresăm: x² → 2x → 2.
Verifică primitiva finală prin derivare.

Exemplu separat: produs cu e^x

Calculați (3x+2)e^x dx.

Alegem să derivăm g(x)=3x+2, fiindcă g′(x)=3 este o constantă. Dacă am deriva e^x, ar rămâne tot e^x, fără să simplificăm acest factor.
Integrăm factorul e^x și găsim f(x)=e^x, cu f′(x)=e^x. Verificăm integrala rămasă: g′·f=3e^x, care se integrează direct.
Aplicăm formula: (3x+2)e^xdx=−3e^xdx.
Produsul la capete este 5e−2. Integrala rămasă este =3(e−1).
Scădem: (5e−2)−3(e−1)=2e+1. Verificare: derivata lui (3x−1)e^x este (3x+2)e^x.

Integrare prin părți repetată: de la x² la 2x și apoi la 2

La x²e^x derivăm g(x)=x² și obținem g′(x)=2x. Integrăm celălalt factor: f(x)=e^x, cu f′(x)=e^x. Integrala rămasă conține 2xe^x, un produs mai simplu, dar care cere încă o aplicare a metodei.

Pentru această a doua integrală alegem g(x)=2x, cu g′(x)=2, și integrăm din nou e^x. Acum rămâne 2e^x, care se integrează direct. Păstrăm paranteze când înlocuim a doua rezolvare în prima: minusul exterior schimbă semnele din interior.

x²e^xdx=−2xe^xdx
2xe^xdx=−2e^xdx

Exemplu separat: două aplicări ale formulei

Calculați x²e^x dx.

Alegem g=x², cu g′=2x, și integrăm e^x: f=e^x. Prin părți, x²e^xdx=−2xe^xdx=e−2xe^xdx.
Repetăm pentru integrala rămasă: g=2x, g′=2, f=e^x. Obținem 2xe^xdx=−2e^xdx=2e−2(e−1)=2.
Revenim la prima relație și scădem: x²e^xdx=e−2. Am progresat de la x² la 2x și apoi la constanta 2.

Exerciții rezolvate din lecție (5)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculați (x + 2)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Alegem primitiva F(x) = (x + 1)e^x.
2. F(2) − F(0) = 3e² − 1.
3. Răspuns final: 3e² − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.
Răspuns: 3e² − 1
Exercițiul 2
Calculați (2x + 1)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Alegem primitiva F(x) = (2x − 1)e^x.
2. F(1) − F(0) = e − (−1).
3. Răspuns final: e + 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.
Răspuns: e + 1
Exercițiul 3
Calculați x²e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Alegem primitiva F(x) = (x² − 2x + 2)e^x.
2. F(2) − F(0) = 2e² − 2.
3. Răspuns final: 2e² − 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.
Răspuns: 2e² − 2
Exercițiul 4
Calculați (x + 3)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Alegem primitiva F(x) = (x + 2)e^x.
2. F(1) − F(0) = 3e − 2.
3. Răspuns final: 3e − 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.
Răspuns: 3e − 2
Exercițiul 5
Calculați (2x + 1)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Alegem primitiva F(x) = (2x − 1)e^x.
2. F(2) − F(0) = 3e² − (−1).
3. Răspuns final: 3e² + 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.
Răspuns: 3e² + 1

5 de integrale definite progresive (5)

1. Nivel 5 · Produse cu eˣ
Calculați (x + 2)e^x dx.
Vezi răspunsul
[(x+1)e^x] de la 0 la 2 = 3e²−1
2. Nivel 5 · Produse cu eˣ
Calculați (2x + 1)e^x dx.
Vezi răspunsul
[(2x−1)e^x] de la 0 la 1 = e+1
3. Nivel 5 · Produse cu eˣ
Calculați (x + 3)e^x dx.
Vezi răspunsul
[(x+2)e^x] de la 0 la 1 = 3e−2
4. Nivel 5 · Produse cu eˣ
Calculați (2x + 1)e^x dx.
Vezi răspunsul
[(2x−1)e^x] de la 0 la 2 = 3e²+1
5. Nivel 5 · Produse cu eˣ
Calculați x²e^x dx.
Vezi răspunsul
[(x²−2x+2)e^x] de la 0 la 2 = 2e²−2