Încărcăm partea curentă…

Integrarea prin părți · 3 ghidate + 2 independente

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm și ce integrăm

Când sub integrală vedem un produs, de exemplu un polinom înmulțit cu ex, sau vedem ln x, putem încerca integrarea prin părți. Acesta este un indiciu, nu o regulă că orice expresie cu ex se rezolvă astfel; uneori recunoaștem direct o primitivă.

Scopul metodei este să obținem o integrală mai ușoară. În formula de mai jos apare un produs calculat la capete, minus o altă integrală. Ne întrebăm: pe care dintre cei doi factori îl putem deriva astfel încât produsul din integrala rămasă să se simplifice?

Numim g(x) factorul pe care alegem să-l derivăm, iar g′(x) este derivata lui. La x·ex alegem g(x)=x: derivata lui x este 1. Dacă am deriva ex, ar rămâne tot ex; în acest produs nu am simplifica factorul exponențial.

Celălalt factor trebuie integrat înainte de a aplica formula: îi găsim o primitivă, pe care o numim f(x). O primitivă este o funcție care, derivată, dă factorul de la care am pornit. De aceea factorul rămas din integrala inițială se scrie f′(x). Nu îl derivăm încă o dată! Pentru ex alegem f(x)=ex și verificăm f′(x)=ex.

Acum integrala inițială conține g(x)·f′(x). Formula o transformă în produsul g(x)·f(x) calculat la capete, minus integrala lui g′(x)·f(x). Înainte de calcul, verificăm progresul: pentru x·ex, produsul rămas este 1·ex=ex, mai simplu decât x·ex.

În notație, a este numărul de jos și b este numărul de sus. înseamnă că punem x=b în produs, apoi x=a și scădem primul rezultat minus al doilea. Scrierea dx arată că lucrăm cu variabila x.

Pentru ln x singur, scriem ln x·1. Alegem g(x)=ln x, cu g′(x)=1x, și integrăm factorul 1: f(x)=x. Produsul din integrala rămasă este (1x)·x=1. Alegerea este bună fiindcă logaritmul a dispărut, iar integrala lui 1 este simplă.

De ținut minte

g(x)f′(x)dx = − g′(x)f(x)dx
= g(b)f(b) − g(a)f(a)
  • 1. Alegem factorul g pe care îl derivăm și explicăm de ce alegerea simplifică integrala.
  • 2. Integrăm celălalt factor: găsim f și verificăm că derivata lui este factorul inițial.
  • 3. Verificăm că g′·f este mai ușor de integrat; abia apoi aplicăm formula.
  • 4. Calculăm la capete și scădem, păstrând minusul și parantezele.
  • Dacă recunoști direct o primitivă, o poți verifica prin derivare fără să folosești părțile.

Exemplu separat: integrarea prin părți

Calculați (x + 1)ex dx.

  1. 1Vedem produsul (x+1)·ex. Ne întrebăm ce factor se simplifică dacă îl derivăm: (x+1)′=1, pe când (ex)′=ex. Alegem g(x)=x+1, deci g′(x)=1.
  2. 2Integrăm celălalt factor, ex. Găsim f(x)=ex și verificăm f′(x)=ex. Acum expresia inițială se scrie g(x)·f′(x).
  3. 3Verificăm progresul: g′(x)·f(x)=1·ex=ex. Integrala care va rămâne după minus este mai ușoară decât integrala inițială.
  4. 4Aplicăm formula prin părți: (x+1)exdx=−exdx.
  5. 5Punem x=2, apoi x=0 în produs: =3e2−1. Integrala rămasă este =e2−1.
  6. 6Scădem cu paranteze: (3e2−1)−(e2−1)=2e2.
  7. 7Verificăm rezultatul: o primitivă a expresiei inițiale este F(x)=xex, deoarece F′(x)=ex+xex=(x+1)ex. F(2)−F(0)=2e2.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Integrarea prin părți · 3 ghidate + 2 independente: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Învățăm o singură aplicare a formulei. Întâi exersăm cu un factor liniar și ex: două probleme ghidate, apoi una independentă. Continuăm cu ln x: o problemă ghidată, apoi una independentă. Integrarea repetată vine la nivelul următor.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

  • g(x)f′(x)dx = − g′(x)f(x)dx
  • Justifică factorul derivat și găsește o primitivă pentru celălalt factor.
  • Verifică să fie mai ușoară integrala rămasă după minus.
  • Treci la o cerință independentă numai după exercițiile ghidate de același tip.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm și ce integrăm

Când sub integrală vedem un produs, de exemplu un polinom înmulțit cu ex, sau vedem ln x, putem încerca integrarea prin părți. Acesta este un indiciu, nu o regulă că orice expresie cu ex se rezolvă astfel; uneori recunoaștem direct o primitivă.

Scopul metodei este să obținem o integrală mai ușoară. În formula de mai jos apare un produs calculat la capete, minus o altă integrală. Ne întrebăm: pe care dintre cei doi factori îl putem deriva astfel încât produsul din integrala rămasă să se simplifice?

Numim g(x) factorul pe care alegem să-l derivăm, iar g′(x) este derivata lui. La x·ex alegem g(x)=x: derivata lui x este 1. Dacă am deriva ex, ar rămâne tot ex; în acest produs nu am simplifica factorul exponențial.

Celălalt factor trebuie integrat înainte de a aplica formula: îi găsim o primitivă, pe care o numim f(x). O primitivă este o funcție care, derivată, dă factorul de la care am pornit. De aceea factorul rămas din integrala inițială se scrie f′(x). Nu îl derivăm încă o dată! Pentru ex alegem f(x)=ex și verificăm f′(x)=ex.

Acum integrala inițială conține g(x)·f′(x). Formula o transformă în produsul g(x)·f(x) calculat la capete, minus integrala lui g′(x)·f(x). Înainte de calcul, verificăm progresul: pentru x·ex, produsul rămas este 1·ex=ex, mai simplu decât x·ex.

În notație, a este numărul de jos și b este numărul de sus. înseamnă că punem x=b în produs, apoi x=a și scădem primul rezultat minus al doilea. Scrierea dx arată că lucrăm cu variabila x.

Pentru ln x singur, scriem ln x·1. Alegem g(x)=ln x, cu g′(x)=1x, și integrăm factorul 1: f(x)=x. Produsul din integrala rămasă este (1x)·x=1. Alegerea este bună fiindcă logaritmul a dispărut, iar integrala lui 1 este simplă.

  • g(x)f′(x)dx = − g′(x)f(x)dx
  • = g(b)f(b) − g(a)f(a)
  • 1. Alegem factorul g pe care îl derivăm și explicăm de ce alegerea simplifică integrala.
  • 2. Integrăm celălalt factor: găsim f și verificăm că derivata lui este factorul inițial.
  • 3. Verificăm că g′·f este mai ușor de integrat; abia apoi aplicăm formula.
  • 4. Calculăm la capete și scădem, păstrând minusul și parantezele.
  • Dacă recunoști direct o primitivă, o poți verifica prin derivare fără să folosești părțile.

Exemplu separat: integrarea prin părți

Calculați (x + 1)ex dx.

  1. Vedem produsul (x+1)·ex. Ne întrebăm ce factor se simplifică dacă îl derivăm: (x+1)′=1, pe când (ex)′=ex. Alegem g(x)=x+1, deci g′(x)=1.
  2. Integrăm celălalt factor, ex. Găsim f(x)=ex și verificăm f′(x)=ex. Acum expresia inițială se scrie g(x)·f′(x).
  3. Verificăm progresul: g′(x)·f(x)=1·ex=ex. Integrala care va rămâne după minus este mai ușoară decât integrala inițială.
  4. Aplicăm formula prin părți: (x+1)exdx=−exdx.
  5. Punem x=2, apoi x=0 în produs: =3e2−1. Integrala rămasă este =e2−1.
  6. Scădem cu paranteze: (3e2−1)−(e2−1)=2e2.
  7. Verificăm rezultatul: o primitivă a expresiei inițiale este F(x)=xex, deoarece F′(x)=ex+xex=(x+1)ex. F(2)−F(0)=2e2.

Părți cu ln x: logaritmul dispare din integrala rămasă

Pentru x>0, scriem ln x ca produsul ln x·1. Alegem să derivăm g(x)=ln x: g′(x)=1x. Integrăm celălalt factor, 1, și găsim f(x)=x, cu f′(x)=1.

Verificăm progresul înainte de formulă: g′·f=(1x)·x=1. În integrala rămasă nu mai apare logaritmul. Aplicăm apoi produsul la capete minus integrala lui 1, păstrând aceeași ordine a capetelor.

  • g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
  • ln x dx=−1 dx, pentru 0<a<b
  • Întâi un exercițiu ghidat cu ln x; apoi aplici singur aceeași metodă cu alte capete.

Exemplu separat: ln x ca produs cu 1

Calculați ln x dx.

  1. Pe [1,2] avem x>0. Alegem g(x)=ln x, deoarece g′(x)=1x elimină logaritmul din produsul rămas.
  2. Integrăm 1: f(x)=x, cu f′(x)=1. Verificăm g′·f=(1x)·x=1, mai simplu decât ln x.
  3. Aplicăm formula: ln x dx=−1 dx.
  4. Produsul este 2ln 2−1ln 1=2ln 2; integrala rămasă este 2−1=1.
  5. Scădem: ln x dx=2ln 2−1.

Exerciții rezolvate din lecție (5)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați x·ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = (x − 1)ex.
    2. F(1) − F(0) = 0 − (−1).
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați x·ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = (x − 1)ex.
    2. F(2) − F(0) = e2 − (−1).
    3. Răspuns final: e2 + 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e2 + 1

  3. Exercițiul 3

    Calculați ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = xln x − x.
    2. F(e) − F(1) = 0 − (−1).
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  4. Exercițiul 4

    Calculați (x + 2)ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem g(x)=x+2, fiindcă g′(x)=1 simplifică factorul liniar. Derivarea lui ex l-ar lăsa neschimbat.
    2. Integrăm celălalt factor: f(x)=ex, cu f′(x)=ex. Produsul rămas este g′·f=ex, care se integrează direct.
    3. Prin părți: (x+2)exdx=−exdx.
    4. Produsul la capete este 3e−2, iar integrala rămasă este e−1.
    5. Scădem cu paranteze: (3e−2)−(e−1)=2e−1.

    Răspuns: 2e − 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem ln x·1 și alegem g(x)=ln x, cu g′(x)=1x; logaritmul dispare din produsul rămas.
    2. Integrăm factorul 1: f(x)=x, cu f′(x)=1. Verificăm g′·f=(1x)·x=1, mai simplu decât ln x.
    3. Aplicăm formula: ln x dx=−1 dx.
    4. Produsul la capete este 3ln 3−1ln 1=3ln 3. Integrala rămasă este 3−1=2.
    5. Scădem: ln x dx=3ln 3−2.

    Răspuns: 3ln 3 − 2

5 integrale prin părți · de la ghidat la independent (5)

  1. 1. Nivel 4 · Introducere în părți

    Calculați x·ex dx.

    Vezi răspunsul

    [(x − 1)ex] de la 0 la 1 = 0 − (−1) = 1

  2. 2. Nivel 4 · Introducere în părți

    Calculați x·ex dx.

    Vezi răspunsul

    [(x − 1)ex] de la 0 la 2 = e2 + 1

  3. 3. Nivel 4 · Părți: practică independentă

    Calculați (x + 2)ex dx.

    Vezi răspunsul

    [(x + 1)ex] de la 0 la 1 = 2e − 1

  4. 4. Nivel 4 · Introducere în părți

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1

  5. 5. Nivel 4 · Părți cu ln x: practică independentă

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [xln x−x] de la 1 la 3 = (3ln 3−3)−(−1) = 3ln 3−2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.