Metode mixte și proprietăți · 25 de exerciții

Ultimul nivel cere să alegi metoda înainte de calcul și să folosești proprietățile când ele scurtează soluția.

Un rezultat exact și o justificare scurtă sunt mai valoroase decât un calcul zecimal lung.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

∫u dv = uv − ∫v du

f(x)dx = 0 pentru f impară

f = f + f

Alege metoda după forma integrandei.
Folosește simetria înainte să calculezi.
La inversarea capetelor schimbă semnul.

Model rezolvat

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați x·e^x dx.

1.Alegem primitiva F(x) = (x − 1)e^x.
2.F(1) − F(0) = 0 − (−1).
3.Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

Verifică-te singur · cu răspunsuri25 de integrale definite progresive · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x·e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x − 1)e^x] de la 0 la 1 = 0 − (−1) = 1
Ex. 2Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x·e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x − 1)e^x] de la 0 la 2 = e² + 1
Ex. 3Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați ln x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1
Ex. 4Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x·sin x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−x cos x + sin x] de la 0 la π = π
Ex. 5Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x·cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x sin x + cos x] de la 0 la π2 = π2 − 1
Ex. 6Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x²e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^x(x² − 2x + 2)] de la 0 la 1 = e − 2
Ex. 7Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați (x + 2)e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x + 1)e^x] de la 0 la 1 = 2e − 1
Ex. 8Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați x·cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x sin x + cos x] de la 0 la π = −1 − 1 = −2
Ex. 9Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați 1x² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−1x] de la 1 la 2 = 12
Ex. 10Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați 1x³ dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−12x²] de la 1 la 2 = −18 + 12 = 38
Ex. 11Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați 1x² + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
π4
Ex. 12Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați 2xx² + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(x² + 1)] de la 0 la 1 = ln 2
Ex. 13Nivel 4 · Metode mixteM1 · M2 · M3
Calculați 1(x + 1)(x + 2) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(x + 1x + 2)] de la 0 la 1 = ln(23) − ln(12) = ln(43)
Ex. 14Nivel 4 · SimetrieM1 · M2 · M3
Calculați x³ dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0 (funcție impară pe un interval simetric)
Ex. 15Nivel 4 · SimetrieM1 · M2 · M3
Calculați x⁴ dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x⁵5] de la −1 la 1 = 25
Ex. 16Nivel 4 · Orientarea intervaluluiM1 · M2 · M3
Calculați 3x² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−[x³] de la 0 la 2 = −8
Ex. 17Nivel 4 · AditivitateM1 · M2 · M3
Știind că f(x)dx = 2 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 + 5 = 7
Ex. 18Nivel 4 · LiniaritateM1 · M2 · M3
Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 4, calculați (2f − g)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 3 − 4 = 2
Ex. 19Nivel 4 · MonotonieM1 · M2 · M3
Dacă f(x) ≥ 0 pe [0, 3], ce putem spune sigur despre f(x)dx?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este mai mare sau egală cu 0.
Ex. 20Nivel 4 · Schimbarea capetelorM1 · M2 · M3
Știind că f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−6
Ex. 21Nivel 4 · Substituție mixtăM1 · M2 · M3
Calculați (2x + 1)e^(x² + x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(x² + x)] de la 0 la 1 = e² − 1
Ex. 22Nivel 4 · Substituție mixtăM1 · M2 · M3
Calculați ln xx dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(ln x)²2] de la 1 la e = 12
Ex. 23Nivel 4 · Substituție mixtăM1 · M2 · M3
Calculați 4x(x² + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x² + 1)²] de la 0 la 1 = 4 − 1 = 3
Ex. 24Nivel 4 · Substituție mixtăM1 · M2 · M3
Calculați 6x²(x³ + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x³ + 1)²] de la 0 la 1 = 4 − 1 = 3
Ex. 25Nivel 4 · Substituție mixtăM1 · M2 · M3
Calculați e^x/(e^x + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(e^x + 1)] de la 0 la ln 2 = ln 3 − ln 2 = ln(32)