M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
∫ₐᵇ

Încărcăm partea curentă…

Produse cu ln x · 3 ghidate + 2 directe

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Când apare ln x într-un produs

ln x este logaritmul natural al lui x și este definit numai pentru x>0. Înainte de a aplica părțile alegem ce derivăm ca integrala rămasă să devină mai ușoară. Alegem g(x)=ln x, deoarece g′(x)=1x: astfel putem elimina logaritmul din produsul rămas.

Dacă avem ln x singur, îl scriem ln x·1. Celălalt factor, 1, îl integrăm: găsim f(x)=x și verificăm f′(x)=1. Produsul din integrala rămasă este g′·f=(1x)·x=1, deci integrala aceasta este mult mai simplă.

Pentru x ln x alegem tot g(x)=ln x. Integrăm însă celălalt factor, x: o primitivă este f(x)=x22, cu f′(x)=x. Verificăm progresul înainte de formulă: g′·f=(1x)·(x22)=x2. Am eliminat logaritmul, iar x2 se integrează direct.

Aplicăm formula: produsul g·f la capete minus integrala lui g′·f. Scrierea înseamnă g(b)f(b)−g(a)f(a), unde a este numărul de jos și b cel de sus. Întâi consolidăm ln x singur; apoi lucrăm produsele x ln x, cu două probleme ghidate înaintea celei independente.

(ln x)′=1x, pentru x>0
g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
  • Justifică alegerea factorului derivat, apoi integrează celălalt factor înainte de formulă.
  • Verifică simplificarea lui g′·f: vrem o integrală mai ușoară, nu doar o altă integrală.
  • Verifică să fie pozitive capetele când folosești ln x.
  • Nu folosi părți dacă recunoști direct o primitivă.

Exemplu separat: produs cu ln x

Calculați ln x dx.

  1. 1.Pe [1,2] avem x>0, deci logaritmul este definit. Scriem ln x·1 și alegem g(x)=ln x: prin derivare obținem g′(x)=1x și eliminăm logaritmul din produsul rămas.
  2. 2.Integrăm celălalt factor, 1: alegem f(x)=x, cu f′(x)=1. Verificăm progresul: g′·f=(1x)·x=1, mai simplu decât ln x.
  3. 3.Abia acum aplicăm formula: ln x dx=−1 dx.
  4. 4.Punem x=2 și x=1 în produs: 2ln 2−1ln 1=2ln 2. Integrala rămasă este =2−1=1.
  5. 5.Scădem: 2ln 2−1. Verificare: derivata lui xln x−x este ln x.

Toată lecția pe o pagină

Produse cu ln x · 3 ghidate + 2 directe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Scriem ln x ca produs cu 1 sau cu x, justificăm ce factor derivăm și integrăm celălalt factor înainte de formulă.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

  • (ln x)′=1x, pentru x>0
  • g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
  • Pentru ln x·1 alegem primitiva x a lui 1.
  • Pentru x ln x alegem primitiva x22 a lui x.
  • După produsele x ln x nu revenim la un calcul de alt tip, mai simplu.

Când apare ln x într-un produs

ln x este logaritmul natural al lui x și este definit numai pentru x>0. Înainte de a aplica părțile alegem ce derivăm ca integrala rămasă să devină mai ușoară. Alegem g(x)=ln x, deoarece g′(x)=1x: astfel putem elimina logaritmul din produsul rămas.

Dacă avem ln x singur, îl scriem ln x·1. Celălalt factor, 1, îl integrăm: găsim f(x)=x și verificăm f′(x)=1. Produsul din integrala rămasă este g′·f=(1x)·x=1, deci integrala aceasta este mult mai simplă.

Pentru x ln x alegem tot g(x)=ln x. Integrăm însă celălalt factor, x: o primitivă este f(x)=x22, cu f′(x)=x. Verificăm progresul înainte de formulă: g′·f=(1x)·(x22)=x2. Am eliminat logaritmul, iar x2 se integrează direct.

Aplicăm formula: produsul g·f la capete minus integrala lui g′·f. Scrierea înseamnă g(b)f(b)−g(a)f(a), unde a este numărul de jos și b cel de sus. Întâi consolidăm ln x singur; apoi lucrăm produsele x ln x, cu două probleme ghidate înaintea celei independente.

  • (ln x)′=1x, pentru x>0
  • g(x)f′(x)dx=− g′(x)f(x)dx
  • Justifică alegerea factorului derivat, apoi integrează celălalt factor înainte de formulă.
  • Verifică simplificarea lui g′·f: vrem o integrală mai ușoară, nu doar o altă integrală.
  • Verifică să fie pozitive capetele când folosești ln x.
  • Nu folosi părți dacă recunoști direct o primitivă.

Exemplu separat: produs cu ln x

Calculați ln x dx.

  1. Pe [1,2] avem x>0, deci logaritmul este definit. Scriem ln x·1 și alegem g(x)=ln x: prin derivare obținem g′(x)=1x și eliminăm logaritmul din produsul rămas.
  2. Integrăm celălalt factor, 1: alegem f(x)=x, cu f′(x)=1. Verificăm progresul: g′·f=(1x)·x=1, mai simplu decât ln x.
  3. Abia acum aplicăm formula: ln x dx=−1 dx.
  4. Punem x=2 și x=1 în produs: 2ln 2−1ln 1=2ln 2. Integrala rămasă este =2−1=1.
  5. Scădem: 2ln 2−1. Verificare: derivata lui xln x−x este ln x.

Produsul x ln x: integrăm x, nu logaritmul

La x ln x alegem g(x)=ln x, deoarece g′(x)=1x elimină logaritmul din integrala rămasă. Integrăm factorul x și găsim f(x)=x22, cu f′(x)=x. Produsul g′·f=(1x)·(x22)=x2 se integrează direct.

Aplicăm produsul la capete minus integrala lui x2. O primitivă a lui x2 este x24. Calculăm ambele expresii la numărul de sus și la cel de jos, apoi scădem cu paranteze. Primele două probleme de acest tip sunt ghidate; ultima este independentă.

  • x ln x dx=−x2 dx, pentru 0<a<b

Exemplu separat: produs cu x ln x

Calculați x ln x dx.

  1. Alegem g=ln x, cu g′=1x, și integrăm x: f=x22, cu f′=x. Produsul rămas este x2, mai simplu decât x ln x.
  2. Prin părți: x ln x dx=−x2 dx.
  3. Produsul la capete este (252)ln 5, fiindcă ln 1=0. Integrala rămasă este =254−14=6.
  4. Scădem: x ln x dx=(252)ln 5−6.

Exerciții rezolvate din lecție (5)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = xln x − x.
    2. F(e2) − F(1) = e2 − (−1).
    3. Răspuns final: e2 + 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e2 + 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați x ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2ln x/2 − x24.
    2. F(2) − F(1) = (2ln 2 − 1) − (−14).
    3. Răspuns final: 2ln 2 − 34. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2ln 2 − 34

  3. Exercițiul 3

    Calculați x ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2ln x/2 − x24.
    2. F(e) − F(1) = e24 − (−14).
    3. Răspuns final: e2 + 14. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e2 + 14

  4. Exercițiul 4

    Calculați ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = xln x − x.
    2. F(4) − F(1) = (4ln 4 − 4) − (−1).
    3. Răspuns final: 4ln 4 − 3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4ln 4 − 3

  5. Exercițiul 5

    Calculați x ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem g(x)=ln x și calculăm g′(x)=1x. Integrăm factorul x: f(x)=x22, cu f′(x)=x.
    2. Verificăm progresul: g′·f=(1x)·(x22)=x2, mai simplu decât x ln x.
    3. Aplicăm formula: x ln x dx=−x2 dx.
    4. Produsul la capete este (92)ln 3, deoarece ln 1=0. Integrala rămasă este =94−14=2.
    5. Scădem: x ln x dx=(92)ln 3−2.

    Răspuns: (92)ln 3 − 2

5 de integrale definite progresive (5)

  1. 1. Nivel 6 · Produse cu ln x

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [xln x−x] de la 1 la e2 = e2+1

  2. 2. Nivel 6 · Produse cu ln x

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [xln x−x] de la 1 la 4 = 4ln 4−3

  3. 3. Nivel 6 · Produse cu ln x

    Calculați x ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2ln x/2−x24] de la 1 la 2 = 2ln 2−34

  4. 4. Nivel 6 · Produse cu ln x

    Calculați x ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2ln x/2−x24] de la 1 la e = e2+14

  5. 5. Nivel 6 · Produs cu ln x: practică independentă

    Calculați x ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2ln x/2−x24] de la 1 la 3 = (92)ln 3−2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.