M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
∫ₐᵇ

Teorie înainte de exerciții

Puteri și polinoame · 25 de exerciții

Creștem treptat gradul puterilor și apoi combinăm mai mulți termeni într-un polinom.

Integrează fiecare termen înainte să înlocuiești capetele.
1

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

De ținut minte

xndx =
= F(b) − F(a)
  • Calculează puterile numerelor negative cu atenție.
  • Pe interval simetric, funcțiile impare au integrală zero.
  • Păstrează fracțiile exacte.
2

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Căutăm și verificăm prin derivare o primitivă potrivită, apoi o calculăm la cele două numere și scădem în ordine.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați (3x2 + 4x) dx.

  1. 1Integrăm fiecare termen: o primitivă este F(x) = x3 + 2x2.
  2. 2Înlocuim x cu 1: F(1) = 1 + 2 = 3. Înlocuim x cu 0: F(0) = 0.
  3. 3Rezultatul este F(1) − F(0) = 3 − 0 = 3.
Verifică-te singur · cu răspunsuri25 de integrale definite progresive · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    13

  2. Ex. 2Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 0 la 2 = 8

  3. Ex. 3Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 1 la 2 = 8 − 1 = 7

  4. Ex. 4Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x33] de la −1 la 1 = 23

  5. Ex. 5Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x44] de la 0 la 2 = 4

  6. Ex. 6Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 2x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x42] de la 0 la 2 = 8

  7. Ex. 7Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați x3 dx.

    Vezi răspunsul

    0 (funcție impară pe un interval simetric)

  8. Ex. 8Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 4x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x4] de la 1 la 3 = 81 − 1 = 80

  9. Ex. 9Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi răspunsul

    [x5] de la 0 la 2 = 32

  10. Ex. 10Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi răspunsul

    [x6] de la 0 la 1 = 1

  11. Ex. 11Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi răspunsul

    [x6] de la 1 la 2 = 64 − 1 = 63

  12. Ex. 12Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x33] de la 0 la 3 = 9

  13. Ex. 13Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la −2 la 0 = 0 − (−8) = 8

  14. Ex. 14Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi răspunsul

    [x5] de la −1 la 1 = 2

  15. Ex. 15Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați 7x6 dx.

    Vezi răspunsul

    [x7] de la 0 la 2 = 128

  16. Ex. 16Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 0 la 1 = 2

  17. Ex. 17Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (3x2 + 2) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 + 2x] de la 0 la 2 = 8 + 4 = 12

  18. Ex. 18Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (2x + 3) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + 3x] de la 1 la 2 = 10 − 4 = 6

  19. Ex. 19Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (x2 + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x] de la −1 la 1 = 83

  20. Ex. 20Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (4x3 − 2x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x4 − x2] de la 0 la 1 = 0

  21. Ex. 21Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (6x2 − 4x + 3) dx.

    Vezi răspunsul

    [2x3 − 2x2 + 3x] de la 0 la 2 = 16 − 8 + 6 = 14

  22. Ex. 22Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (3x2 − 2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + x] de la −1 la 2 = 6 − (−3) = 9

  23. Ex. 23Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (x2 + x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x22] de la 1 la 3 = 272 − 56 = 383

  24. Ex. 24Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (x3 + 2x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x44 + x2] de la 0 la 2 = 4 + 4 = 8

  25. Ex. 25Nivel 2 · Puteri și polinoameM1 · M2 · M3

    Calculați (x2 + x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x22 + x] de la −2 la 2 = 283

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Puteri și polinoame · 25 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Creștem treptat gradul puterilor și apoi combinăm mai mulți termeni într-un polinom.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

  • xndx =
  • = F(b) − F(a)
  • Calculează puterile numerelor negative cu atenție.
  • Pe interval simetric, funcțiile impare au integrală zero.
  • Păstrează fracțiile exacte.

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Căutăm și verificăm prin derivare o primitivă potrivită, apoi o calculăm la cele două numere și scădem în ordine.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați (3x2 + 4x) dx.

  1. Integrăm fiecare termen: o primitivă este F(x) = x3 + 2x2.
  2. Înlocuim x cu 1: F(1) = 1 + 2 = 3. Înlocuim x cu 0: F(0) = 0.
  3. Rezultatul este F(1) − F(0) = 3 − 0 = 3.

Exerciții rezolvate din lecție (25)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33.
    2. F(1) − F(0) = 13 − 0.
    3. Răspuns final: 13. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 13

  2. Exercițiul 2

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x3.
    2. F(2) − F(0) = 8 − 0.
    3. Răspuns final: 8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8

  3. Exercițiul 3

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x3.
    2. F(2) − F(1) = 8 − 1.
    3. Răspuns final: 7. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 7

  4. Exercițiul 4

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33.
    2. F(1) − F(−1) = 13 − (−13).
    3. Răspuns final: 23. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 23

  5. Exercițiul 5

    Calculați x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x44.
    2. F(2) − F(0) = 164 − 0.
    3. Răspuns final: 4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4

  6. Exercițiul 6

    Calculați 2x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x42.
    2. F(2) − F(0) = 162 − 0.
    3. Răspuns final: 8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8

  7. Exercițiul 7

    Calculați x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x44.
    2. F(1) − F(−1) = 14 − 14.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Calculați 4x3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x4.
    2. F(3) − F(1) = 81 − 1.
    3. Răspuns final: 80. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 80

  9. Exercițiul 9

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x5.
    2. F(2) − F(0) = 32 − 0.
    3. Răspuns final: 32. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 32

  10. Exercițiul 10

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x6.
    2. F(1) − F(0) = 1 − 0.
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  11. Exercițiul 11

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x6.
    2. F(2) − F(1) = 64 − 1.
    3. Răspuns final: 63. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 63

  12. Exercițiul 12

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33.
    2. F(3) − F(0) = 273 − 0.
    3. Răspuns final: 9. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 9

  13. Exercițiul 13

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x3.
    2. F(0) − F(−2) = 0 − (−8).
    3. Răspuns final: 8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8

  14. Exercițiul 14

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x5.
    2. F(1) − F(−1) = 1 − (−1).
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  15. Exercițiul 15

    Calculați 7x6 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x7.
    2. F(2) − F(0) = 128 − 0.
    3. Răspuns final: 128. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 128

  16. Exercițiul 16

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2 + x.
    2. F(1) − F(0) = 2 − 0.
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  17. Exercițiul 17

    Calculați (3x2 + 2) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x3 + 2x.
    2. F(2) − F(0) = 12 − 0.
    3. Răspuns final: 12. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 12

  18. Exercițiul 18

    Calculați (2x + 3) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2 + 3x.
    2. F(2) − F(1) = 10 − 4.
    3. Răspuns final: 6. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 6

  19. Exercițiul 19

    Calculați (x2 + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33 + x.
    2. F(1) − F(−1) = 43 − (−43).
    3. Răspuns final: 83. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 83

  20. Exercițiul 20

    Calculați (4x3 − 2x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x4 − x2.
    2. F(1) − F(0) = 0 − 0.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  21. Exercițiul 21

    Calculați (6x2 − 4x + 3) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2x3 − 2x2 + 3x.
    2. F(2) − F(0) = 16 − 8 + 6.
    3. Răspuns final: 14. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 14

  22. Exercițiul 22

    Calculați (3x2 − 2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x3 − x2 + x.
    2. F(2) − F(−1) = 6 − (−3).
    3. Răspuns final: 9. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 9

  23. Exercițiul 23

    Calculați (x2 + x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33 + x22.
    2. F(3) − F(1) = 273 + 92 − (13 + 12).
    3. Răspuns final: 383. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 383

  24. Exercițiul 24

    Calculați (x3 + 2x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x44 + x2.
    2. F(2) − F(0) = 4 + 4 − 0.
    3. Răspuns final: 8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8

  25. Exercițiul 25

    Calculați (x2 + x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x33 + x22 + x.
    2. Termenul impar x se anulează, iar 2·(x2 + 1)dx = 2·(83 + 2).
    3. Răspuns final: 283. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 283

25 de integrale definite progresive (25)

  1. 1. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    13

  2. 2. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 0 la 2 = 8

  3. 3. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la 1 la 2 = 8 − 1 = 7

  4. 4. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x33] de la −1 la 1 = 23

  5. 5. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x44] de la 0 la 2 = 4

  6. 6. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 2x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x42] de la 0 la 2 = 8

  7. 7. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați x3 dx.

    Vezi răspunsul

    0 (funcție impară pe un interval simetric)

  8. 8. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 4x3 dx.

    Vezi răspunsul

    [x4] de la 1 la 3 = 81 − 1 = 80

  9. 9. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi răspunsul

    [x5] de la 0 la 2 = 32

  10. 10. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi răspunsul

    [x6] de la 0 la 1 = 1

  11. 11. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 6x5 dx.

    Vezi răspunsul

    [x6] de la 1 la 2 = 64 − 1 = 63

  12. 12. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x33] de la 0 la 3 = 9

  13. 13. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 3x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x3] de la −2 la 0 = 0 − (−8) = 8

  14. 14. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 5x4 dx.

    Vezi răspunsul

    [x5] de la −1 la 1 = 2

  15. 15. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați 7x6 dx.

    Vezi răspunsul

    [x7] de la 0 la 2 = 128

  16. 16. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 0 la 1 = 2

  17. 17. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (3x2 + 2) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 + 2x] de la 0 la 2 = 8 + 4 = 12

  18. 18. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (2x + 3) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + 3x] de la 1 la 2 = 10 − 4 = 6

  19. 19. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (x2 + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x] de la −1 la 1 = 83

  20. 20. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (4x3 − 2x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x4 − x2] de la 0 la 1 = 0

  21. 21. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (6x2 − 4x + 3) dx.

    Vezi răspunsul

    [2x3 − 2x2 + 3x] de la 0 la 2 = 16 − 8 + 6 = 14

  22. 22. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (3x2 − 2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + x] de la −1 la 2 = 6 − (−3) = 9

  23. 23. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (x2 + x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x22] de la 1 la 3 = 272 − 56 = 383

  24. 24. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (x3 + 2x) dx.

    Vezi răspunsul

    [x44 + x2] de la 0 la 2 = 4 + 4 = 8

  25. 25. Nivel 2 · Puteri și polinoame

    Calculați (x2 + x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x33 + x22 + x] de la −2 la 2 = 283

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.