M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
∫ₐᵇ

Teorie înainte de exerciții

Constante și funcții liniare · 25 de exerciții

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

1

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Începem cu o constantă: dacă sub integrală este 3, o primitivă este F(x)=3x. Calculăm F la numărul de sus, apoi la numărul de jos și scădem.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați 3 dx.

  1. 1O primitivă a constantei 3 este F(x) = 3x: derivata lui 3x este 3.
  2. 2Înlocuim x cu 2: F(2) = 3·2 = 6. Înlocuim x cu 0: F(0) = 0.
  3. 3Scădem în această ordine: F(2) − F(0) = 6 − 0 = 6.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Constante și funcții liniare · 25 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pornim cu integrale care se pot vedea și ca arii de dreptunghi sau triunghi. La fiecare exercițiu scriem primitiva și efectuăm scăderea în ordinea corectă.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

  • f(x)dx = F(b) − F(a)
  • c dx = c(b − a)
  • x dx =
  • Nu scrie + C.
  • Pune paranteze când capătul de jos este negativ.
  • Verifică semnul rezultatului.

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Începem cu o constantă: dacă sub integrală este 3, o primitivă este F(x)=3x. Calculăm F la numărul de sus, apoi la numărul de jos și scădem.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați 3 dx.

  1. O primitivă a constantei 3 este F(x) = 3x: derivata lui 3x este 3.
  2. Înlocuim x cu 2: F(2) = 3·2 = 6. Înlocuim x cu 0: F(0) = 0.
  3. Scădem în această ordine: F(2) − F(0) = 6 − 0 = 6.

Când sub integrală apare x sau 2x

O primitivă este o funcție a cărei derivată ne dă expresia de sub semnul integralei. Pentru x folosim F(x)=x22, iar pentru 2x folosim F(x)=x2.

Punem pe rând numărul de sus și numărul de jos în F, apoi scădem cele două rezultate. După trei exerciții ghidate, exersezi aceeași regulă cu mai puțin ajutor.

Altă problemă: integrăm o funcție cu x

Calculați 4x dx.

  1. O primitivă este F(x)=2x2, deoarece derivata lui 2x2 este 4x.
  2. Punem x=2: F(2)=2·22=8. Punem x=0: F(0)=0.
  3. Scădem în ordine: F(2)−F(0)=8−0=8.

Exerciții rezolvate din lecție (25)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x.
    2. F(3) − F(0) = 3 − 0.
    3. Răspuns final: 3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 3

  2. Exercițiul 2

    Calculați 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x.
    2. F(5) − F(1) = 5 − 1.
    3. Răspuns final: 4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4

  3. Exercițiul 3

    Calculați 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x.
    2. F(2) − F(−2) = 2 − (−2).
    3. Răspuns final: 4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4

  4. Exercițiul 4

    Calculați 2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2x.
    2. F(4) − F(0) = 8 − 0.
    3. Răspuns final: 8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8

  5. Exercițiul 5

    Calculați 3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 3x.
    2. F(3) − F(1) = 9 − 3.
    3. Răspuns final: 6. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 6

  6. Exercițiul 6

    Calculați 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 5x.
    2. F(2) − F(−1) = 10 − (−5).
    3. Răspuns final: 15. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 15

  7. Exercițiul 7

    Calculați (−2) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −2x.
    2. F(6) − F(2) = −12 − (−4).
    3. Răspuns final: −8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −8

  8. Exercițiul 8

    Calculați (12) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2.
    2. F(5) − F(0) = 52 − 0.
    3. Răspuns final: 52. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 52

  9. Exercițiul 9

    Calculați 4 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 4x.
    2. F(1) − F(−3) = 4 − (−12).
    3. Răspuns final: 16. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 16

  10. Exercițiul 10

    Calculați (−3) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −3x.
    2. F(4) − F(1) = −12 − (−3).
    3. Răspuns final: −9. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −9

  11. Exercițiul 11

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x22.
    2. F(2) − F(0) = 42 − 0.
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Calculați 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2.
    2. F(3) − F(0) = 9 − 0.
    3. Răspuns final: 9. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 9

  13. Exercițiul 13

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x22.
    2. F(3) − F(1) = 92 − 12.
    3. Răspuns final: 4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4

  14. Exercițiul 14

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x22.
    2. F(1) − F(−1) = 12 − 12.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  15. Exercițiul 15

    Calculați 3x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 3x22.
    2. F(2) − F(−2) = 6 − 6.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  16. Exercițiul 16

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x24.
    2. F(4) − F(0) = 164 − 0.
    3. Răspuns final: 4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Calculați 4x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2x2.
    2. F(2) − F(1) = 8 − 2.
    3. Răspuns final: 6. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 6

  18. Exercițiul 18

    Calculați 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2.
    2. F(2) − F(−1) = 4 − 1.
    3. Răspuns final: 3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 3

  19. Exercițiul 19

    Calculați (−6x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −3x2.
    2. F(1) − F(0) = −3 − 0.
    3. Răspuns final: −3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −3

  20. Exercițiul 20

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x22.
    2. F(4) − F(2) = 8 − 2.
    3. Răspuns final: 6. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 6

  21. Exercițiul 21

    Calculați x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x22.
    2. F(0) − F(−2) = 0 − 2.
    3. Răspuns final: −2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −2

  22. Exercițiul 22

    Calculați x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x24.
    2. F(5) − F(1) = 254 − 14.
    3. Răspuns final: 6. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 6

  23. Exercițiul 23

    Calculați 4x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2x2.
    2. F(3) − F(0) = 18 − 0.
    3. Răspuns final: 18. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 18

  24. Exercițiul 24

    Calculați 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = x2.
    2. F(−1) − F(−3) = 1 − 9.
    3. Răspuns final: −8. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −8

  25. Exercițiul 25

    Calculați (−x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −x22.
    2. F(3) − F(−1) = −92 − (−12).
    3. Răspuns final: −4. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: −4

25 de integrale definite progresive (25)

  1. 1. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 1 dx.

    Vezi răspunsul

    3

  2. 2. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 1 dx.

    Vezi răspunsul

    4

  3. 3. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 1 dx.

    Vezi răspunsul

    4

  4. 4. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 2 dx.

    Vezi răspunsul

    2 · 4 = 8

  5. 5. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 3 dx.

    Vezi răspunsul

    3 · 2 = 6

  6. 6. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 5 dx.

    Vezi răspunsul

    5 · 3 = 15

  7. 7. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați (−2) dx.

    Vezi răspunsul

    −2 · 4 = −8

  8. 8. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați (12) dx.

    Vezi răspunsul

    (12) · 5 = 52

  9. 9. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 4 dx.

    Vezi răspunsul

    4 · 4 = 16

  10. 10. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați (−3) dx.

    Vezi răspunsul

    −3 · 3 = −9

  11. 11. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    [x22] de la 0 la 2 = 2

  12. 12. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2] de la 0 la 3 = 9

  13. 13. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    [x22] de la 1 la 3 = 92 − 12 = 4

  14. 14. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    0

  15. 15. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 3x dx.

    Vezi răspunsul

    0 (funcție impară pe un interval simetric)

  16. 16. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x24] de la 0 la 4 = 4

  17. 17. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 4x dx.

    Vezi răspunsul

    [2x2] de la 1 la 2 = 8 − 2 = 6

  18. 18. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2] de la −1 la 2 = 4 − 1 = 3

  19. 19. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați (−6x) dx.

    Vezi răspunsul

    [−3x2] de la 0 la 1 = −3

  20. 20. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    [x22] de la 2 la 4 = 8 − 2 = 6

  21. 21. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x dx.

    Vezi răspunsul

    [x22] de la −2 la 0 = −2

  22. 22. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [x24] de la 1 la 5 = 254 − 14 = 6

  23. 23. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 4x dx.

    Vezi răspunsul

    [2x2] de la 0 la 3 = 18

  24. 24. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [x2] de la −3 la −1 = 1 − 9 = −8

  25. 25. Nivel 1 · Constante și funcții liniare

    Calculați (−x) dx.

    Vezi răspunsul

    [−x22] de la −1 la 3 = −92 + 12 = −4

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.