M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
∫ₐᵇ

Teorie înainte de exerciții

Exponențiale, logaritmi și substituție · 25 de exerciții

Adăugăm funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice și primele integrale cu derivată ascunsă.

Păstrăm valori exacte precum ln 2, e − 1 și π4; nu le transformăm în zecimale.
1

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

De ținut minte

exdx =
1x dx =
Pentru o compunere, căutăm derivata expresiei din interior
  • Verifică domeniul logaritmului.
  • Folosește valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice.
  • La substituție poți reveni la x înainte de evaluarea capetelor.
2

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Căutăm și verificăm prin derivare o primitivă potrivită, apoi o calculăm la cele două numere și scădem în ordine.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați (ex + 2x) dx.

  1. 1O primitivă este F(x) = ex + x2.
  2. 2Înlocuim x cu 1: F(1) = e + 1. Înlocuim x cu 0: F(0) = 1.
  3. 3Scădem: (e + 1) − 1 = e.
Verifică-te singur · cu răspunsuri25 de integrale definite progresive · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    e − 1

  2. Ex. 2Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    eln 2 − 1 = 1

  3. Ex. 3Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați e2x dx.

    Vezi răspunsul

    [e2x/2] de la 0 la 1 = e2 − 12

  4. Ex. 4Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2e2x dx.

    Vezi răspunsul

    [e2x] de la 0 la 1 = e2 − 1

  5. Ex. 5Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    1 − 1e

  6. Ex. 6Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    eln 3 − 1 = 2

  7. Ex. 7Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 3e3x dx.

    Vezi răspunsul

    [e3x] de la 0 la 1 = e3 − 1

  8. Ex. 8Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [2xln 2] de la 0 la 1 = 1ln 2

  9. Ex. 9Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 3x dx.

    Vezi răspunsul

    [3xln 3] de la 0 la 2 = 8ln 3

  10. Ex. 10Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați e−x dx.

    Vezi răspunsul

    [−e−x] de la 0 la 1 = 1 − 1e

  11. Ex. 11Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 1x dx.

    Vezi răspunsul

    [ln x] de la 1 la e = 1

  12. Ex. 12Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ln 2

  13. Ex. 13Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 12x dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln 4 = ln 2

  14. Ex. 14Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(x + 1)] de la 0 la 1 = ln 2

  15. Ex. 15Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 22x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(2x + 1)] de la 0 la 1 = ln 3

  16. Ex. 16Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [sin x] de la 0 la π2 = 1

  17. Ex. 17Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați sin x dx.

    Vezi răspunsul

    [−cos x] de la 0 la π = 2

  18. Ex. 18Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [sin x] de la 0 la π = 0

  19. Ex. 19Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați sin x dx.

    Vezi răspunsul

    0 (funcție impară pe un interval simetric)

  20. Ex. 20Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [2 sin x] de la 0 la π2 = 2

  21. Ex. 21Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi răspunsul

    [(x2 + 1)33] de la 0 la 1 = 83 − 13 = 73

  22. Ex. 22Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2xx2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(x2 + 1)] de la 0 la 1 = ln 2

  23. Ex. 23Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 3x2ex3 dx.

    Vezi răspunsul

    [ex3] de la 0 la 1 = e − 1

  24. Ex. 24Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați cos x·esin x dx.

    Vezi răspunsul

    [esin x] de la 0 la π2 = e − 1

  25. Ex. 25Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3

    Calculați 2x(x2 + 4)2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−1x2 + 4] de la 0 la 1 = −15 + 14 = 120

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Exponențiale, logaritmi și substituție · 25 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Adăugăm funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice și primele integrale cu derivată ascunsă.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

  • exdx =
  • 1x dx =
  • Pentru o compunere, căutăm derivata expresiei din interior
  • Verifică domeniul logaritmului.
  • Folosește valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice.
  • La substituție poți reveni la x înainte de evaluarea capetelor.

Model rezolvat

În scrierea f(x)dx, a este numărul de jos, b este numărul de sus, iar f(x) este expresia de sub semnul integralei. Litera F notează o primitivă: derivata lui F este f.

Căutăm și verificăm prin derivare o primitivă potrivită, apoi o calculăm la cele două numere și scădem în ordine.

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați (ex + 2x) dx.

  1. O primitivă este F(x) = ex + x2.
  2. Înlocuim x cu 1: F(1) = e + 1. Înlocuim x cu 0: F(0) = 1.
  3. Scădem: (e + 1) − 1 = e.

Exerciții rezolvate din lecție (25)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ex.
    2. F(1) − F(0) = e − 1.
    3. Răspuns final: e − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e − 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ex.
    2. F(ln 2) − F(0) = 2 − 1.
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  3. Exercițiul 3

    Calculați e2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = e2x2.
    2. F(1) − F(0) = e22 − 12.
    3. Răspuns final: e2 − 12. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e2 − 12

  4. Exercițiul 4

    Calculați 2e2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = e2x.
    2. F(1) − F(0) = e2 − 1.
    3. Răspuns final: e2 − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e2 − 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ex.
    2. F(0) − F(−1) = 1 − 1e.
    3. Răspuns final: e − 1e. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e − 1e

  6. Exercițiul 6

    Calculați ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ex.
    2. F(ln 3) − F(0) = 3 − 1.
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    Calculați 3e3x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = e3x.
    2. F(1) − F(0) = e3 − 1.
    3. Răspuns final: e3 − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e3 − 1

  8. Exercițiul 8

    Calculați 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2xln 2.
    2. F(1) − F(0) = 2ln 2 − 1ln 2.
    3. Răspuns final: 1ln 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1ln 2

  9. Exercițiul 9

    Calculați 3x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 3xln 3.
    2. F(2) − F(0) = 9ln 3 − 1ln 3.
    3. Răspuns final: 8ln 3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 8ln 3

  10. Exercițiul 10

    Calculați e−x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −e−x.
    2. F(1) − F(0) = −1e − (−1).
    3. Răspuns final: e − 1e. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e − 1e

  11. Exercițiul 11

    Calculați 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln x.
    2. F(e) − F(1) = 1 − 0.
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Calculați 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln x.
    2. F(2) − F(1) = ln 2 − 0.
    3. Răspuns final: ln 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: ln 2

  13. Exercițiul 13

    Calculați 12x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln x2.
    2. F(4) − F(1) = ln 42 = ln 2.
    3. Răspuns final: ln 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: ln 2

  14. Exercițiul 14

    Calculați 1x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln(x + 1).
    2. F(1) − F(0) = ln 2 − ln 1.
    3. Răspuns final: ln 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: ln 2

  15. Exercițiul 15

    Calculați 22x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln(2x + 1).
    2. F(1) − F(0) = ln 3 − ln 1.
    3. Răspuns final: ln 3. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: ln 3

  16. Exercițiul 16

    Calculați cos x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = sin x.
    2. F(π2) − F(0) = 1 − 0.
    3. Răspuns final: 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 1

  17. Exercițiul 17

    Calculați sin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −cos x.
    2. F(π) − F(0) = 1 − (−1).
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  18. Exercițiul 18

    Calculați cos x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = sin x.
    2. F(π) − F(0) = 0 − 0.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  19. Exercițiul 19

    Calculați sin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −cos x.
    2. Funcția sin x este impară, iar intervalul este simetric.
    3. Răspuns final: 0. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 0

  20. Exercițiul 20

    Calculați 2cos x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = 2sin x.
    2. F(π2) − F(0) = 2 − 0.
    3. Răspuns final: 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 2

  21. Exercițiul 21

    Calculați 2x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = (x2 + 1)33.
    2. F(1) − F(0) = 83 − 13.
    3. Răspuns final: 73. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 73

  22. Exercițiul 22

    Calculați 2xx2 + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ln(x2 + 1).
    2. F(1) − F(0) = ln 2 − ln 1.
    3. Răspuns final: ln 2. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: ln 2

  23. Exercițiul 23

    Calculați 3x2ex3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = ex3.
    2. F(1) − F(0) = e − 1.
    3. Răspuns final: e − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e − 1

  24. Exercițiul 24

    Calculați cos x·esin x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = esin x.
    2. F(π2) − F(0) = e − 1.
    3. Răspuns final: e − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: e − 1

  25. Exercițiul 25

    Calculați 2x(x2 + 4)2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem primitiva F(x) = −1x2 + 4.
    2. F(1) − F(0) = −15 − (−14).
    3. Răspuns final: 120. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

    Răspuns: 120

25 de integrale definite progresive (25)

  1. 1. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    e − 1

  2. 2. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    eln 2 − 1 = 1

  3. 3. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați e2x dx.

    Vezi răspunsul

    [e2x/2] de la 0 la 1 = e2 − 12

  4. 4. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2e2x dx.

    Vezi răspunsul

    [e2x] de la 0 la 1 = e2 − 1

  5. 5. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    1 − 1e

  6. 6. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați ex dx.

    Vezi răspunsul

    eln 3 − 1 = 2

  7. 7. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 3e3x dx.

    Vezi răspunsul

    [e3x] de la 0 la 1 = e3 − 1

  8. 8. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2x dx.

    Vezi răspunsul

    [2xln 2] de la 0 la 1 = 1ln 2

  9. 9. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 3x dx.

    Vezi răspunsul

    [3xln 3] de la 0 la 2 = 8ln 3

  10. 10. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați e−x dx.

    Vezi răspunsul

    [−e−x] de la 0 la 1 = 1 − 1e

  11. 11. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 1x dx.

    Vezi răspunsul

    [ln x] de la 1 la e = 1

  12. 12. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ln 2

  13. 13. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 12x dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln 4 = ln 2

  14. 14. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(x + 1)] de la 0 la 1 = ln 2

  15. 15. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 22x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(2x + 1)] de la 0 la 1 = ln 3

  16. 16. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [sin x] de la 0 la π2 = 1

  17. 17. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați sin x dx.

    Vezi răspunsul

    [−cos x] de la 0 la π = 2

  18. 18. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [sin x] de la 0 la π = 0

  19. 19. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați sin x dx.

    Vezi răspunsul

    0 (funcție impară pe un interval simetric)

  20. 20. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2cos x dx.

    Vezi răspunsul

    [2 sin x] de la 0 la π2 = 2

  21. 21. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi răspunsul

    [(x2 + 1)33] de la 0 la 1 = 83 − 13 = 73

  22. 22. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2xx2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [ln(x2 + 1)] de la 0 la 1 = ln 2

  23. 23. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 3x2ex3 dx.

    Vezi răspunsul

    [ex3] de la 0 la 1 = e − 1

  24. 24. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați cos x·esin x dx.

    Vezi răspunsul

    [esin x] de la 0 la π2 = e − 1

  25. 25. Nivel 3 · Funcții uzuale și substituție

    Calculați 2x(x2 + 4)2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−1x2 + 4] de la 0 la 1 = −15 + 14 = 120

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.