Exponențiale, logaritmi și substituție · 25 de exerciții

Adăugăm funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice și primele integrale cu derivată ascunsă.

Păstrăm valori exacte precum ln 2, e − 1 și π4; nu le transformăm în zecimale.

Algoritmul folosit la fiecare exercițiu

e^xdx = [e^x]_a^b

1x dx = [ln|x|]_a^b

u = g(x), du = g′(x)dx

Verifică domeniul logaritmului.
Folosește valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice.
La substituție poți reveni la x înainte de evaluarea capetelor.

Model rezolvat

De la primitivă la valoarea integralei

Calculați e^x dx.

1.Alegem primitiva F(x) = e^x.
2.F(1) − F(0) = e − 1.
3.Răspuns final: e − 1. Nu adăugăm + C la o integrală definită.

Verifică-te singur · cu răspunsuri25 de integrale definite progresive · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e − 1
Ex. 2Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^(ln 2) − 1 = 1
Ex. 3Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^(2x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^2x2] de la 0 la 1 = e² − 12
Ex. 4Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2e^(2x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(2x)] de la 0 la 1 = e² − 1
Ex. 5Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 1e
Ex. 6Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^(ln 3) − 1 = 2
Ex. 7Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 3e^(3x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(3x)] de la 0 la 1 = e³ − 1
Ex. 8Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[2^x/ln 2] de la 0 la 1 = 1/ln 2
Ex. 9Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 3^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[3^x/ln 3] de la 0 la 2 = 8/ln 3
Ex. 10Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați e^(−x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−e^(−x)] de la 0 la 1 = 1 − 1e
Ex. 11Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 1x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln x] de la 1 la e = 1
Ex. 12Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 1x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln 2
Ex. 13Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 12x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12) ln 4 = ln 2
Ex. 14Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 1x + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(x + 1)] de la 0 la 1 = ln 2
Ex. 15Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 22x + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(2x + 1)] de la 0 la 1 = ln 3
Ex. 16Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[sin x] de la 0 la π2 = 1
Ex. 17Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați sin x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−cos x] de la 0 la π = 2
Ex. 18Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[sin x] de la 0 la π = 0
Ex. 19Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați sin x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0 (funcție impară pe un interval simetric)
Ex. 20Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2cos x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[2 sin x] de la 0 la π2 = 2
Ex. 21Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2x(x² + 1)² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(x² + 1)³3] de la 0 la 1 = 83 − 13 = 73
Ex. 22Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2xx² + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[ln(x² + 1)] de la 0 la 1 = ln 2
Ex. 23Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 3x²e^(x³) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(x³)] de la 0 la 1 = e − 1
Ex. 24Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați cos x·e^(sin x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(sin x)] de la 0 la π2 = e − 1
Ex. 25Nivel 3 · Funcții uzuale și substituțieM1 · M2 · M3
Calculați 2x(x² + 4)² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−1x² + 4] de la 0 la 1 = −15 + 14 = 120