Încărcăm partea curentă…

Continuitate, operații și proprietatea lui Darboux · nivel M2

Funcții continue și valoarea în punct

Polinoamele sunt continue pe ℝ. Radicalii, logaritmii și fracțiile sunt continue în punctele domeniilor lor: verificăm condițiile înainte de a înlocui.

Suma, produsul și compunerea păstrează continuitatea unde operațiile au sens. Câtul o păstrează doar dacă numitorul nu este zero. Continuitatea pe [a, b] asigură existența unui minim și a unui maxim.

De ținut minte

la cât: numitor nenul
la ln u: u > 0
la √u: u ≥ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Este f(x) = x2 + 4x − 2 continuă în 0? Dar în 2?

  1. 1În 0 numitorul este −2, deci nu se anulează și funcția este continuă.
  2. 2Valoarea este f(0) = 4−2 = −2.
  3. 3În 2 formula nu este definită; nu putem spune că este continuă acolo. Pe domeniul ℝ fără 2 este continuă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Continuitate, operații și proprietatea lui Darboux · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

Funcții continue și valoarea în punct

Polinoamele sunt continue pe ℝ. Radicalii, logaritmii și fracțiile sunt continue în punctele domeniilor lor: verificăm condițiile înainte de a înlocui.

Suma, produsul și compunerea păstrează continuitatea unde operațiile au sens. Câtul o păstrează doar dacă numitorul nu este zero. Continuitatea pe [a, b] asigură existența unui minim și a unui maxim.

  • la cât: numitor nenul
  • la ln u: u > 0
  • la √u: u ≥ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Este f(x) = x2 + 4x − 2 continuă în 0? Dar în 2?

  1. În 0 numitorul este −2, deci nu se anulează și funcția este continuă.
  2. Valoarea este f(0) = 4−2 = −2.
  3. În 2 formula nu este definită; nu putem spune că este continuă acolo. Pe domeniul ℝ fără 2 este continuă.

Funcții continue și valoarea în punct · exersare 2

Polinoamele sunt continue pe ℝ. Radicalii, logaritmii și fracțiile sunt continue în punctele domeniilor lor: verificăm condițiile înainte de a înlocui.

Suma, produsul și compunerea păstrează continuitatea unde operațiile au sens. Câtul o păstrează doar dacă numitorul nu este zero. Continuitatea pe [a, b] asigură existența unui minim și a unui maxim.

  • la cât: numitor nenul
  • la ln u: u > 0
  • la √u: u ≥ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Este f(x) = x2 + 4x − 2 continuă în 0? Dar în 2?

  1. În 0 numitorul este −2, deci nu se anulează și funcția este continuă.
  2. Valoarea este f(0) = 4−2 = −2.
  3. În 2 formula nu este definită; nu putem spune că este continuă acolo. Pe domeniul ℝ fără 2 este continuă.

Continuitatea la lipirea a două formule

Într-un punct interior, continuitatea cere ca f(a) să existe, cele două limite laterale să fie finite și egale, iar valoarea lor să fie f(a). Alegem formula corectă pe fiecare parte.

La o funcție definită pe bucăți, semnul ≤ sau ≥ ne spune ce formulă dă f(a). Punem egalitatea limitelor și rezolvăm parametrul; apoi verificăm valoarea în punct.

  • limx→a− f(x) = f(a) = limx→a+ f(x)

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = 3x + b pentru x ≤ 2 și f(x) = x2 + 5 pentru x > 2. Află b pentru continuitate în 2.

  1. La stânga și în punct avem 6 + b.
  2. La dreapta limita este 22 + 5 = 9.
  3. 6 + b = 9 dă b = 3; ambele limite și f(2) sunt 9.

Continuitatea la lipirea a două formule · exersare 2

Într-un punct interior, continuitatea cere ca f(a) să existe, cele două limite laterale să fie finite și egale, iar valoarea lor să fie f(a). Alegem formula corectă pe fiecare parte.

La o funcție definită pe bucăți, semnul ≤ sau ≥ ne spune ce formulă dă f(a). Punem egalitatea limitelor și rezolvăm parametrul; apoi verificăm valoarea în punct.

  • limx→a− f(x) = f(a) = limx→a+ f(x)

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = 3x + b pentru x ≤ 2 și f(x) = x2 + 5 pentru x > 2. Află b pentru continuitate în 2.

  1. La stânga și în punct avem 6 + b.
  2. La dreapta limita este 22 + 5 = 9.
  3. 6 + b = 9 dă b = 3; ambele limite și f(2) sunt 9.

Continuitatea la lipirea a două formule · exersare 3

Într-un punct interior, continuitatea cere ca f(a) să existe, cele două limite laterale să fie finite și egale, iar valoarea lor să fie f(a). Alegem formula corectă pe fiecare parte.

La o funcție definită pe bucăți, semnul ≤ sau ≥ ne spune ce formulă dă f(a). Punem egalitatea limitelor și rezolvăm parametrul; apoi verificăm valoarea în punct.

  • limx→a− f(x) = f(a) = limx→a+ f(x)

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = 3x + b pentru x ≤ 2 și f(x) = x2 + 5 pentru x > 2. Află b pentru continuitate în 2.

  1. La stânga și în punct avem 6 + b.
  2. La dreapta limita este 22 + 5 = 9.
  3. 6 + b = 9 dă b = 3; ambele limite și f(2) sunt 9.

O gaură și prelungirea prin continuitate

O formulă poate să nu aibă sens în a, dar să aibă limită finită acolo. Definim f(a) egal cu acea limită și obținem o prelungire continuă.

Simplificarea unui factor este valabilă numai unde factorul nu este zero. Nu șterge automat punctul exclus din domeniul formulei inițiale.

  • prelungire: f(a) = limita în a

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru x ≠ 3, f(x) = x2 − 9x − 3. Ce valoare alegem pentru f(3)?

  1. Factorizăm x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
  2. Pentru x ≠ 3, f(x) = x + 3, cu limita 6 în 3.
  3. Definim f(3) = 6. Gaura se închide fără să schimbăm celelalte valori.

Existență și unicitate sunt două argumente

Continuitatea și două valori de semne opuse asigură cel puțin o rădăcină între ele. Monotonia strictă asigură cel mult una. Punem cele două concluzii împreună pentru exact una.

Dacă numărăm mai multe rădăcini, împărțim domeniul în intervale de monotonie, evaluăm extremele și folosim și limitele la capete. Nu numărăm de două ori o rădăcină aflată la un capăt comun.

  • existență: continuitate și schimbare de semn
  • unicitate: monotonie strictă

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că x3 + 2x − 4 = 0 are exact o soluție reală.

  1. f este polinom, deci continuă; f(0) = −4 și f(2) = 8: există o rădăcină în (0, 2).
  2. f′(x) = 3x2 + 2 > 0 pe ℝ, deci f este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină.
  3. Există cel puțin una și cel mult una: ecuația are exact o soluție reală.

Existență și unicitate sunt două argumente · exersare 2

Continuitatea și două valori de semne opuse asigură cel puțin o rădăcină între ele. Monotonia strictă asigură cel mult una. Punem cele două concluzii împreună pentru exact una.

Dacă numărăm mai multe rădăcini, împărțim domeniul în intervale de monotonie, evaluăm extremele și folosim și limitele la capete. Nu numărăm de două ori o rădăcină aflată la un capăt comun.

  • existență: continuitate și schimbare de semn
  • unicitate: monotonie strictă

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că x3 + 2x − 4 = 0 are exact o soluție reală.

  1. f este polinom, deci continuă; f(0) = −4 și f(2) = 8: există o rădăcină în (0, 2).
  2. f′(x) = 3x2 + 2 > 0 pe ℝ, deci f este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină.
  3. Există cel puțin una și cel mult una: ecuația are exact o soluție reală.

Exerciții rezolvate din lecție (29)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Exercițiul 4 ghidat · Vrem a astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1. Pasul 1: ce trebuie să verificăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Continuitatea într-un punct înseamnă că limita există și coincide cu valoarea funcției.
    2. Limita există doar dacă cele două limite laterale sunt egale.
    3. Deci avem trei mărimi de comparat, iar toate trebuie să fie egale.
    4. La funcțiile pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei.

    Răspuns: Limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(1) trebuie să fie egale

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: calculați limita la stânga și valoarea f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția x ≤ 1 include punctul 1, deci prima ramură dă și limita la stânga, și valoarea în punct.
    2. Înlocuim: a·1 + 5 = a + 5.
    3. Prin urmare limita la stânga este a + 5, la fel ca f(1).
    4. Când semnul egal este la prima ramură, cele două coincid automat.

    Răspuns: Ambele sunt a + 5

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: calculați limita la dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x > 1 funcția este x2 + 2.
    2. Limita este valoarea acestei expresii în 1, funcția fiind polinomială și deci continuă.
    3. Calculăm 12 + 2 = 3.
    4. Limita la dreapta este 3, independentă de a.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pasul 4: determinați a.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem egalitatea dintre limita la stânga și cea la dreapta: a + 5 = 3.
    2. Rezultă a = −2.
    3. Verificăm și a treia mărime: f(1) = −2 + 5 = 3, egală cu limita ✓.
    4. Răspuns final: a = −2.

    Răspuns: −2

  5. Exercițiul 5

    Exercițiul 11 semi-ghidat · Vrem să arătăm că x3 + x − 1 = 0 are soluție în (0, 1). Ce teoremă folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Proprietatea lui Darboux spune că o funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre două valori atinse.
    2. Dacă la capete valorile au semne contrare, atunci valoarea 0 este între ele, deci este atinsă.
    3. Rolle și Lagrange sunt teoreme despre derivate, nu despre continuitate.
    4. Weierstrass se referă la mărginire și la atingerea marginilor.

    Răspuns: Proprietatea lui Darboux, pentru funcții continue pe interval

  6. Exercițiul 6

    Calculați f(0) și f(1) pentru f(x) = x3 + x − 1, apoi scrieți valoarea lui f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. La capătul 0: f(0) = 0 + 0 − 1 = −1, valoare negativă.
    2. La capătul 1: f(1) = 1 + 1 − 1 = 1, valoare pozitivă.
    3. Semnele fiind contrare, condiția din teoremă este îndeplinită.
    4. Răspuns final: f(1) = 1, deci ecuația are cel puțin o soluție în (0, 1).

    Răspuns: 1

  7. Exercițiul 7

    Exercițiul 14 semi-ghidat · La f(x) = x2 − 1x − 1 pentru x ≠ 1, care este limita în x = 1?

    Vezi rezolvarea
    1. În 1 atât numărătorul cât și numitorul se anulează, deci avem forma nedeterminată 00.
    2. Descompunem numărătorul: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
    3. Simplificăm cu x − 1, permis pentru x ≠ 1, și rămâne x + 1.
    4. Limita este 1 + 1 = 2, aceeași din ambele părți.

    Răspuns: 2, după simplificarea cu x − 1

  8. Exercițiul 8

    Ce valoare trebuie să aibă f(1) ca funcția să fie continuă în 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    2. Limita calculată este 2.
    3. Deci singura alegere care face funcția continuă este f(1) = 2.
    4. Răspuns final: 2. Dacă valoarea impusă ar fi alta, de exemplu 5, funcția ar rămâne discontinuă.

    Răspuns: 2

  9. Exercițiul 9

    Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima: să existe limita la stânga în acel punct.
    2. A doua: să existe limita la dreapta și să fie egală cu cea la stânga.
    3. A treia: valoarea comună a limitelor să fie chiar f(a), valoarea funcției în punct.
    4. Răspuns final: 3 condiții. Pe scurt, limita laterală stângă = limita laterală dreaptă = f(a).

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga folosește prima ramură: limx→1, x < 1 (2x + 1) = 3.
    2. Limita la dreapta folosește a doua ramură: limx→1, x > 1 (x2 + 2) = 1 + 2 = 3.
    3. Valoarea funcției se ia din ramura care conține semnul egal: f(1) = 2·1 + 1 = 3.
    4. Toate trei coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga: lim (x + 1) = 1, iar f(0) = 1.
    2. Limita la dreapta: lim (x + 3) = 3.
    3. Cele două limite laterale sunt diferite, 1 față de 3, deci limita în punct nici nu există.
    4. Răspuns final: nu. Graficul are un salt de 2 unități în origine.

    Răspuns: nu

  12. Exercițiul 12

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
    2. Limita la dreapta și valoarea în punct: f(2) = 22 = 4, pentru că semnul egal este la a doua ramură.
    3. Condiția de continuitate cere 2 + m = 4.
    4. Răspuns final: m = 2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    Este funcția f(x) = x3 − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcțiile polinomiale sunt continue pe tot domeniul lor de definiție.
    2. Domeniul unui polinom este întreg ℝ.
    3. Deci în orice punct limita coincide cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. La fel sunt continue pe domeniul lor și funcțiile raționale, radicalii, exponențialele și logaritmii.

    Răspuns: da

  14. Exercițiul 14

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita unei sume este suma limitelor, atunci când ambele există.
    2. Din continuitate avem lim f = f(a) și lim g = g(a).
    3. Deci lim (f + g) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).
    4. Răspuns final: da. La fel se comportă diferența, produsul, iar câtul acolo unde numitorul nu se anulează.

    Răspuns: da

  15. Exercițiul 15

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula pentru cât cere o condiție suplimentară: numitorul să nu se anuleze în punct.
    2. Dacă g(a) = 0, raportul nici nu este definit în a, deci nu se poate pune problema continuității.
    3. Formularea corectă este: fg este continuă în a dacă g(a) ≠ 0.
    4. Răspuns final: nu, afirmația generală este falsă fără această condiție.

    Răspuns: nu

  16. Exercițiul 16

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul de definiție este ℝ \ {0}, deci punctul 0 nici nu face parte din el.
    2. Continuitatea se discută numai în punctele domeniului.
    3. În orice punct a nenul, limita este 1a, egală cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. În 0 nu vorbim de discontinuitate, ci de asimptotă verticală.

    Răspuns: da

  17. Exercițiul 17

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția este continuă pe un interval, deci are proprietatea lui Darboux: ia toate valorile intermediare.
    2. Valorile de la capete au semne contrare, deci 0 se află între f(0) și f(1).
    3. Prin urmare există cel puțin un punct interior unde funcția ia valoarea 0.
    4. Răspuns final: da. Nu putem spune însă câte astfel de puncte sunt, ci doar că există măcar unul.

    Răspuns: da

  18. Exercițiul 18

    Are ecuația ex + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm f(x) = ex + x, sumă de funcții continue, deci continuă pe [−1, 0].
    2. La capătul −1: f(−1) = 1e − 1, iar cum e > 1 avem 1e < 1, deci valoarea este negativă.
    3. La capătul 0: f(0) = 1 + 0 = 1, pozitivă.
    4. Semnele fiind contrare, ecuația are soluție în interior. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  19. Exercițiul 19

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Presupunem prin absurd că ar lua și valori pozitive, și negative.
    2. Fiind continuă pe interval, ar avea proprietatea lui Darboux, deci ar trebui să ia și valoarea 0 undeva între ele.
    3. Asta contrazice ipoteza că nu se anulează nicăieri.
    4. Răspuns final: da. Pe această idee se bazează tabelul de semn: rădăcinile împart intervalul în zone de semn constant.

    Răspuns: da

  20. Exercițiul 20

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x2 − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x ≠ 1 simplificăm: f(x) = x + 1.
    2. Limita în 1 este 2, aceeași din ambele părți.
    3. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    4. Răspuns final: f(1) = 2. Operația se numește prelungire prin continuitate.

    Răspuns: 2

  21. Exercițiul 21

    Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga și valoarea în punct: f(1) = 1 + 3 = √4 = 2.
    2. Limita la dreapta: limx→1, x > 1 (x + a) = 1 + a.
    3. Condiția de continuitate cere 1 + a = 2.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Determinați a real astfel încât f(x) = ex + a pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 2 pentru x > 0 să fie continuă în x = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga și valoarea în punct: f(0) = e0 + a = 1 + a.
    2. Limita la dreapta: 0 + 2 = 2.
    3. Condiția de continuitate: 1 + a = 2.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: 1

  23. Exercițiul 23

    Fie f(x) = ax + b pentru x < 1 și f(x) = 5 pentru x ≥ 1. Știind că f este continuă în 1 și că a = 2, determinați b.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la dreapta și valoarea în punct sunt 5, pentru că a doua ramură conține semnul egal.
    2. Limita la stânga: limx→1, x < 1 (ax + b) = a + b.
    3. Continuitatea cere a + b = 5, iar din ipoteză a = 2.
    4. Rezultă b = 5 − 2. Răspuns final: b = 3.

    Răspuns: 3

  24. Exercițiul 24

    Fie f(x) = 1x pentru x > 0 și f(0) = 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Studiem limita la dreapta: limx→0, x > 0 1x = +∞.
    2. Limita fiind infinită, ea nu poate fi egală cu valoarea finită f(0) = 0.
    3. Nicio valoare aleasă pentru f(0) nu ar putea repara asta.
    4. Răspuns final: nu. Este o discontinuitate de speța a doua, spre deosebire de saltul finit.

    Răspuns: nu

  25. Exercițiul 25

    Dacă f și g sunt continue, este compunerea f ∘ g continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Continuitatea se transmite prin compunere, atunci când compunerea este bine definită.
    2. Intuitiv: dacă x se apropie de a, atunci g(x) se apropie de g(a), iar f duce puncte apropiate în puncte apropiate.
    3. Formal, lim f(g(x)) = f(lim g(x)) = f(g(a)).
    4. Răspuns final: da. De exemplu esin x este continuă, fiind compunerea a două funcții continue.

    Răspuns: da

  26. Exercițiul 26

    Funcția continuă f(x) = x2 − 4 nu se anulează pe (−2, 2). Câte zone de semn constant determină rădăcinile ei pe ℝ?

    Vezi rezolvarea
    1. Rădăcinile sunt −2 și 2, deci ele împart dreapta reală în trei intervale.
    2. Acestea sunt (−∞, −2), (−2, 2) și (2, ∞).
    3. Pe fiecare dintre ele funcția este continuă și nu se anulează, deci păstrează semn constant.
    4. Răspuns final: 3 zone. Semnele sunt plus, minus, plus.

    Răspuns: 3

  27. Exercițiul 27

    Are ecuația ln x + x − 1 = 0 soluția x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm direct, înlocuind x = 1 în ecuație.
    2. ln 1 = 0, pentru că e0 = 1.
    3. Rezultă 0 + 1 − 1 = 0, deci egalitatea este adevărată.
    4. Răspuns final: da, x = 1 este soluție exactă, verificabilă fără Darboux.

    Răspuns: da

  28. Exercițiul 28

    Pentru x≠1, f(x)=x2−1x−1, iar f(1)=a. Află a pentru continuitate în 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x)=x+1. x2−1=(x−1)(x+1). Valoarea în 1 rămâne cea definită separat.
    2. limx→1 f(x)=2. x+1 tinde la 2 din ambele părți.
    3. a=2. Continuitatea cere f(1)=limx→1f(x), deci a=2.

    Răspuns: a=2

  29. Exercițiul 29

    f(x) = 6x + 6 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + a pentru x > 0. Află a pentru continuitate în 0.

    Vezi rezolvarea
    1. La stânga și în 0 obținem 6.
    2. La dreapta limita este a.
    3. Egalitatea cere a = 6.

    Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (22)

  1. 1. Definiția continuității

    Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

    Vezi răspunsul

    Trei: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(a) trebuie să existe și să fie egale.

  2. 2. Funcție continuă pe ramuri

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ls = 2 · 1 + 1 = 3, ld = 1 + 2 = 3 și f(1) = 3.

  3. 3. Funcție discontinuă

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: ls = 1, iar ld = 3.

  4. 4. Parametru pentru continuitate

    Determinați a real astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    a + 5 = 1 + 2, deci a = −2.

  5. 5. Parametru cu inegalitate strictă

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi răspunsul

    2 + m = 4, deci m = 2.

  6. 6. Funcții elementare

    Este funcția f(x) = x3 − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (funcție polinomială).

  7. 7. Operații cu funcții continue

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  8. 8. Câtul a două funcții continue

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da, dacă g(a) ≠ 0.

  9. 9. Punct în afara domeniului

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 0 nu aparține domeniului, iar în rest funcția este continuă.

  10. 10. Proprietatea lui Darboux

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (proprietatea lui Darboux).

  11. 11. Existența unei soluții

    Are ecuația x3 + x − 1 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, iar f este continuă.

  12. 12. Ecuație cu exponențială

    Are ecuația ex + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(−1) = e−1 − 1 < 0 și f(0) = 1 > 0.

  13. 13. Semnul unei funcții continue

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  14. 14. Valoarea din punct contează

    Fie f(x) = x2 − 1x − 1 pentru x ≠ 1 și f(1) = 5. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: limita în 1 este 2, dar f(1) = 5.

  15. 15. Prelungire prin continuitate

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x2 − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi răspunsul

    f(1) = 2 (limita lui x + 1 în 1)

  16. 16. Radical pe ramuri

    Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    √4 = 2 = 1 + a, deci a = 1.

  17. 23. Parametru cu exponențială

    Determinați a real astfel încât f(x) = ex + a pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 2 pentru x > 0 să fie continuă în x = 0.

    Vezi răspunsul

    1 + a = 2, deci a = 1.

  18. 24. Doi parametri

    Fie f(x) = ax + b pentru x < 1 și f(x) = 5 pentru x ≥ 1. Știind că f este continuă în 1 și că a = 2, determinați b.

    Vezi răspunsul

    a + b = 5, deci b = 3.

  19. 25. Discontinuitate de speța a doua

    Fie f(x) = 1x pentru x > 0 și f(0) = 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: limita la dreapta în 0 este +∞.

  20. 26. Compunere

    Dacă f și g sunt continue, este compunerea f ∘ g continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  21. 27. Semnul pe intervale

    Funcția continuă f(x) = x2 − 4 nu se anulează pe (−2, 2). Câte zone de semn constant determină rădăcinile ei pe ℝ?

    Vezi răspunsul

    3: (−∞, −2), (−2, 2) și (2, +∞).

  22. 28. Ecuație cu logaritm

    Are ecuația ln x + x − 1 = 0 soluția x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ln 1 + 1 − 1 = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.