Convexitate, puncte de inflexiune și l'Hospital · nivel M2

Lecția M2 exersează rolul derivatei de ordinul al doilea în studiul funcțiilor și regulile lui l'Hospital.

La profilul Științe programa cere derivata a doua și l'Hospital, dar nu și teoremele lui Fermat, Rolle sau Lagrange.

Derivata a doua, convexitate și inflexiune

Prima derivată spune dacă funcția urcă sau coboară. A doua spune cum se curbează: dacă panta crește, graficul se deschide în sus și funcția este convexă; dacă panta scade, funcția este concavă. Punctele unde curbura își schimbă sensul se numesc puncte de inflexiune.

f″ > 0 pe un interval ⇒ f convexă acolo

f″ < 0 pe un interval ⇒ f concavă acolo

Punct de inflexiune: f″ se anulează și își schimbă semnul

Anularea singură nu ajunge: la f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0 fără inflexiune

La produse cu e^x, factorul exponențial este mereu pozitiv: semnul vine din paranteză

Plus înseamnă convexă, minus înseamnă concavă.
Verifică întotdeauna schimbarea de semn, nu doar anularea.
La funcții raționale, semnul numitorului la putere impară contează.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · convexitate și punct de inflexiune

Studiați convexitatea funcției f : (1, ∞) → ℝ, f(x) = x + 2x − 1 și arătați că nu are puncte de inflexiune pe acest interval.

1.Pasul 1 — rescriem funcția ca să derivăm mai ușor: x + 2x − 1 = 1 + 3x − 1.
2.Pasul 2 — derivăm: f′(x) = 3·(−1)·(x − 1)⁻² = −3(x − 1)².
3.Pasul 3 — derivăm din nou: f″(x) = −3·(−2)·(x − 1)⁻³ = 6(x − 1)³.
4.Pasul 4 — studiem semnul pe (1, ∞): acolo x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv.
5.Pasul 5 — rezultă f″(x) > 0 pe tot intervalul, deci funcția este convexă.
6.Pasul 6 — pentru inflexiune ar trebui ca f″ să se anuleze. Dar numărătorul este constant 6, deci f″ nu se anulează niciodată.
7.Pasul 7 — prin urmare nu există puncte de inflexiune pe (1, ∞).
8.Observație: pe (−∞, 1) cubul devine negativ, deci acolo funcția este concavă. Schimbarea are loc în x = 1, care însă nu aparține domeniului, deci nu este punct de inflexiune.

Regulile lui l'Hospital

Regula transformă o limită nedeterminată într-una mai simplă, derivând separat numărătorul și numitorul. Atenție: nu se derivează raportul ca un cât. Se aplică numai la cazurile 00 și ∞/∞, iar dacă nedeterminarea persistă, regula se poate repeta.

Cazuri admise: 00 și ∞/∞

lim fg = lim f′g′, dacă noua limită există

Se derivează separat sus și jos, nu cu regula câtului

Repetabilă: limx→0 e^x − x − 1x² cere două aplicări

Ierarhia creșterilor: ln x mai lent decât x, iar x mai lent decât e^x

Verifică întâi cazul: fără nedeterminare, regula dă rezultate false.
Dacă după derivare tot ai nedeterminare, aplică din nou.
Uneori o simplificare algebrică este mai rapidă decât regula.

Algoritmul universal în 5 pași

Citește ce se cere: monotonie, convexitate, o valoare c dintr-o teoremă sau numărul de soluții.
Pentru convexitate și inflexiune, calculează f″ și studiază-i semnul, nu doar zerourile.
Pentru teoreme, verifică întâi ipotezele, apoi scrie concluzia și rezolvă ecuația din ea.
Pentru numărul de soluții, alcătuiește șirul semnelor și numără alternanțele.
Verifică dacă valoarea găsită aparține intervalului cerut.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Derivata a douaM2 · Științe
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x² − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10
Ex. 2ExponențialăM2 · Științe
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^(3x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f″(x) = 9e^(3x)
Ex. 3Logaritm compusM2 · Științe
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)²
Ex. 4ConvexitateM2 · Științe
Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 2x² > 0.
Ex. 5Punct de inflexiuneM2 · Științe
Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).
Ex. 6Capcana derivatei nuleM2 · Științe
Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: f″(x) = 12x² ≥ 0 nu își schimbă semnul.
Ex. 7RadicalM2 · Științe
Funcția f(x) = x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 4x² + 4^(32) > 0.
Ex. 8Produs cu exponențialăM2 · Științe
Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f″(x) = (x − 3)e^x, deci x = 3.
Ex. 9Două puncte de inflexiuneM2 · Științe
Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x² − 5x + 6)e^x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: f″(x) = (x² − x − 2)e^x = (x − 2)(x + 1)e^x se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.
Ex. 10Funcție raționalăM2 · Științe
Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 6(x − 1)³ > 0 pe (1, ∞).
Ex. 11l'Hospital, cazul 0/0M2 · Științe
Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim e^x/1 = 1
Ex. 12l'Hospital cu logaritmM2 · Științe
Calculați limx→∞ ln xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1x1 = 0
Ex. 13l'Hospital cu exponențialăM2 · Științe
Calculați limx→∞ xe^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/e^x = 0
Ex. 14Condiția de aplicareM2 · Științe
Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).
Ex. 15Semnul derivatei a douaM2 · Științe
Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 16Tangentă paralelăM2 · Științe
Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1 și x = 2.
Ex. 21Derivata a doua cu radicalM2 · Științe
Funcția f(x) = x² − 3x + 4 are derivata a doua pozitivă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 74(x² − 3x + 4)^(32) > 0.
Ex. 22ConcavitateM2 · Științe
Funcția f(x) = ln x, definită pe (0, ∞), este concavă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = −1x² < 0.
Ex. 23l'Hospital aplicat de două oriM2 · Științe
Calculați limx→0 e^x − x − 1x².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
l'Hospital de două ori: lim e^x − 12x = lim e^x/2 = 12
Ex. 24Inflexiune cu exponențialăM2 · Științe
Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x − 1e^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f″(x) = (x − 3)e^−x, deci x = 3.