Convexitate, puncte de inflexiune și l'Hospital · nivel M2

Exerciții rezolvate din lecție (44)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Exercițiul 9 ghidat · Vrem punctele de inflexiune ale funcției f(x) = (x² − 5x + 6)e^x. Pasul 1: ce derivată ne trebuie?

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată dă monotonia și punctele de extrem.
   2. A doua derivată dă convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.
   3. Un punct de inflexiune este unde curbura își schimbă sensul.
   4. Deci trebuie să calculăm f″ și să îi studiem semnul.

   Răspuns: Derivata a doua, pentru că semnul ei dă convexitatea

2. Exercițiul 2

   Pasul 2: calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Derivata produsului: (u·v)′ = u′v + uv′, cu u = x² − 5x + 6 și v = e^x.
   2. Obținem (2x − 5)e^x + (x² − 5x + 6)e^x.
   3. Dăm factor comun e^x și adunăm parantezele: x² − 5x + 6 + 2x − 5 = x² − 3x + 1.
   4. Deci f′(x) = (x² − 3x + 1)e^x.

   Răspuns: (x² − 3x + 1)e^x

3. Exercițiul 3

   Pasul 3: calculați f″(x) și descompuneți paranteza.

   Vezi rezolvarea

   1. Derivăm din nou produsul: (2x − 3)e^x + (x² − 3x + 1)e^x.
   2. Adunăm parantezele: x² − 3x + 1 + 2x − 3 = x² − x − 2.
   3. Descompunem trinomul: rădăcinile sunt −1 și 2, deci x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
   4. Deci f″(x) = (x − 2)(x + 1)e^x.

   Răspuns: (x − 2)(x + 1)e^x

4. Exercițiul 4

   Pasul 4: câte puncte de inflexiune are funcția?

   Vezi rezolvarea

   1. Factorul e^x este mereu pozitiv, deci semnul lui f″ vine din trinom.
   2. Trinomul (x − 2)(x + 1) își schimbă semnul în fiecare dintre rădăcinile −1 și 2.
   3. Ambele schimbări sunt reale, deci ambele puncte sunt de inflexiune.
   4. Răspuns final: 2 puncte de inflexiune, în x = −1 și x = 2.

   Răspuns: 2

5. Exercițiul 5

   Exercițiul 5 semi-ghidat · Pentru a găsi punctele de inflexiune, ce condiție punem?

   Vezi rezolvarea

   1. Anularea singură nu este suficientă: la f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0, dar 0 nu este punct de inflexiune.
   2. Este nevoie ca semnul lui f″ să difere de o parte și de alta a punctului.
   3. Doar atunci curbura chiar își schimbă sensul.
   4. Deci se rezolvă f″(x) = 0 și apoi se studiază semnul în jurul soluțiilor.

   Răspuns: Ca f″ să se anuleze și să își schimbe semnul în acel punct

6. Exercițiul 6

   Pentru f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5, determinați abscisa punctului de inflexiune.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm f″(x) = 6x − 10.
   2. Rezolvăm 6x − 10 = 0, deci x = 53.
   3. Verificăm semnul: la stânga lui 53 avem f″ < 0, la dreapta f″ > 0.
   4. Semnul se schimbă, deci este punct de inflexiune. Răspuns final: 53.

   Răspuns: 53

7. Exercițiul 7

   Exercițiul 11 semi-ghidat · Înainte de a aplica regula lui l'Hospital, ce verificăm?

   Vezi rezolvarea

   1. Regula lui l'Hospital se aplică numai la nedeterminările 00 și ∞∞.
   2. Dacă limita se calculează direct, aplicarea regulii duce la un rezultat fals.
   3. De exemplu la limx→0 x + 1x + 2 răspunsul corect este 12, dar l'Hospital ar da 1.
   4. Deci primul pas este întotdeauna verificarea cazului.

   Răspuns: Că avem un caz nedeterminat, 00 sau ∞∞

8. Exercițiul 8

   Calculați limx→0 e^x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Verificăm cazul: numărătorul e⁰ − 1 = 0 și numitorul 0, deci 00 ✓.
   2. Derivăm separat numărătorul și numitorul, nu raportul: e^x1.
   3. Calculăm limita noului raport în 0: e⁰ = 1.
   4. Răspuns final: 1.

   Răspuns: 1

9. Exercițiul 9

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi rezolvarea

   1. Derivata a doua înseamnă derivarea de două ori la rând.
   2. Prima derivată: f′(x) = 3x² − 10x + 3.
   3. Derivăm încă o dată: f″(x) = 6x − 10.
   4. Răspuns final: 6x − 10. Semnul ei va decide convexitatea.

   Răspuns: 6x−10

10. Exercițiul 10

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^3x.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată, prin regula lanțului: f′(x) = 3·e^3x.
    2. Derivăm din nou, factorul 3 rămânând în față: f″(x) = 3·3·e^3x.
    3. Fiecare derivare aduce încă un factor 3.
    4. Răspuns final: 9e^3x.

    Răspuns: 9e^3x

11. Exercițiul 11

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = 22x + 1, din regula lanțului.
    2. Scriem f′(x) = 2·(2x + 1)⁻¹ și derivăm: 2·(−1)·(2x + 1)⁻²·2.
    3. Obținem −4(2x + 1)².
    4. Răspuns final: −4(2x + 1)². Fiind mereu negativă, funcția este concavă pe tot domeniul.

    Răspuns: −4(2x+1)²

12. Exercițiul 12

    Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = 1 − 2x.
    2. A doua derivată: f″(x) = 2x².
    3. Pe (0, ∞) numitorul x² este strict pozitiv, deci f″ > 0 peste tot.
    4. Răspuns final: da, funcția este convexă pe tot domeniul.

    Răspuns: da

13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Calculăm f″(x) = 12x², care se anulează într-adevăr în 0.
    2. Dar condiția pentru inflexiune nu este anularea, ci schimbarea de semn a lui f″.
    3. Aici 12x² ≥ 0 pentru orice x, deci semnul rămâne pozitiv de ambele părți.
    4. Răspuns final: nu. Funcția este convexă pe tot ℝ, iar în 0 doar se aplatizează.

    Răspuns: nu

14. Exercițiul 14

    Funcția f(x) = √x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = x√x² + 4.
    2. A doua derivată, după calcul: f″(x) = 4(x² + 4)√x² + 4.
    3. Numărătorul este 4, iar numitorul strict pozitiv pentru orice x real.
    4. Deci f″ > 0 peste tot. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

15. Exercițiul 15

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm produsul: f′(x) = e^x + (x − 5)e^x = (x − 4)e^x.
    2. Derivăm din nou: f″(x) = e^x + (x − 4)e^x = (x − 3)e^x.
    3. Cum e^x > 0 mereu, semnul lui f″ este dat de x − 3, care își schimbă semnul în 3.
    4. Răspuns final: x = 3.

    Răspuns: 3

16. Exercițiul 16

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = −3(x − 1)², calculată cu regula câtului.
    2. A doua derivată: f″(x) = 6(x − 1)³.
    3. Pe (1, ∞) avem x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv, iar f″ > 0.
    4. Răspuns final: da. Pe (−∞, 1) semnul se inversează și funcția devine concavă.

    Răspuns: da

17. Exercițiul 17

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi rezolvarea

    1. La infinit atât numărătorul cât și numitorul tind la +∞, deci avem cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x)′ = 1.
    3. Noua limită este lim (1)x = 0.
    4. Răspuns final: 0. Rezultatul arată că x crește mai repede decât ln x.

    Răspuns: 0

18. Exercițiul 18

    Calculați limx→∞ xe^x.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambii termeni tind la +∞, deci suntem în cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (x)′ = 1 și (e^x)′ = e^x.
    3. Noua limită este lim (1)e^x = 0, pentru că numitorul crește nemărginit.
    4. Răspuns final: 0. Exponențiala învinge orice putere a lui x.

    Răspuns: 0

19. Exercițiul 19

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Regula se aplică numai la cazurile nedeterminate 00 și ∞∞.
    2. Aici numărătorul tinde la 1, iar numitorul la 2, deci limita este direct 12.
    3. Nu există nedeterminare, deci nu avem ce rezolva cu l'Hospital.
    4. Răspuns final: nu. Aplicarea greșită ar da 11 = 1, un rezultat fals.

    Răspuns: nu

20. Exercițiul 20

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivata a doua măsoară cum se schimbă panta tangentei.
    2. Dacă f″ < 0, panta scade, deci graficul se curbează în jos.
    3. Aceasta este exact definiția concavității.
    4. Răspuns final: da. Reținere utilă: minus înseamnă concavă, plus înseamnă convexă.

    Răspuns: da

21. Exercițiul 21

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi rezolvarea

    1. Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă, iar panta dreptei date este −3.
    2. Panta tangentei în x este f′(x) = −3(x − 1)².
    3. Punem condiția −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1.
    4. Rezultă x − 1 = 1 sau x − 1 = −1, adică x = 2 sau x = 0. Cum lucrăm pe (1, ∞), răspunsul este x = 2.

    Răspuns: 2

22. Exercițiul 22

    Funcția f(x) = √x² − 3x + 4 are derivata a doua pozitivă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia de sub radical are discriminantul 9 − 16 = −7 < 0, deci este mereu strict pozitivă și funcția e definită pe tot ℝ.
    2. Pentru funcții de forma √ax² + bx + c cu discriminant negativ, derivata a doua păstrează semnul lui a împărțit la o cantitate pozitivă.
    3. Aici a = 1 > 0, deci f″ > 0 peste tot.
    4. Răspuns final: da, funcția este convexă pe ℝ.

    Răspuns: da

23. Exercițiul 23

    Funcția f(x) = ln x, definită pe (0, ∞), este concavă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = 1x.
    2. A doua derivată: f″(x) = −1x².
    3. Pe (0, ∞) numitorul x² este pozitiv, deci f″ < 0 peste tot.
    4. Răspuns final: da, logaritmul este concav pe tot domeniul său.

    Răspuns: da

24. Exercițiul 24

    Calculați limx→0 e^x − x − 1x².

    Vezi rezolvarea

    1. La x = 0: numărătorul este 1 − 0 − 1 = 0, iar numitorul 0, deci avem 00.
    2. Aplicăm o dată: raportul devine e^x − 12x, tot 00 în 0.
    3. Aplicăm încă o dată: e^x2, care în 0 dă 12.
    4. Răspuns final: 12. Regula se poate repeta cât timp nedeterminarea persistă.

    Răspuns: 12

25. Exercițiul 25

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x − 1e^x.

    Vezi rezolvarea

    1. Scriem f(x) = (x − 1)e^−x și derivăm produsul: f′(x) = e^−x − (x − 1)e^−x = (2 − x)e^−x.
    2. Derivăm din nou: f″(x) = −e^−x − (2 − x)e^−x = (x − 3)e^−x.
    3. Cum e^−x > 0, semnul lui f″ este dat de x − 3.
    4. Răspuns final: x = 3.

    Răspuns: 3

26. Exercițiul 26

    Pentru f(x)=x³−3x, câte puncte critice are funcția?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=3(x²−1)=0.
    2. x=−1 și x=1: două puncte critice.

    Răspuns: 2

27. Exercițiul 27

    Pentru f(x)=x³−3x, calculează f(−1).

    Vezi rezolvarea

    1. (−1)³−3(−1)=−1+3=2.
    2. Este valoarea maximului local.

    Răspuns: 2

28. Exercițiul 28

    Pentru f(x)=x³−3x, calculează f(1).

    Vezi rezolvarea

    1. 1−3=−2.
    2. Este valoarea minimului local.

    Răspuns: -2

29. Exercițiul 29

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=0?

    Vezi rezolvarea

    1. 0 este strict între extremele −2 și 2: câte o intersecție pe fiecare ramură.
    2. Verificare: x(x²−3)=0 dă 0,−√3,√3.

    Răspuns: 3

30. Exercițiul 30

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=2?

    Vezi rezolvarea

    1. La maximul local două ramuri se întâlnesc în x=−1.
    2. x³−3x−2=(x−2)(x+1)², deci soluțiile distincte sunt −1 și 2.

    Răspuns: 2

31. Exercițiul 31

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=3?

    Vezi rezolvarea

    1. 3 este deasupra maximului local 2.
    2. Numai ramura crescătoare din dreapta ajunge la această valoare.

    Răspuns: 1

32. Exercițiul 32

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=−1?

    Vezi rezolvarea

    1. −2<−1<2.
    2. Dreapta intersectează toate cele trei ramuri, o dată fiecare.

    Răspuns: 3

33. Exercițiul 33

    Pentru f(x)=x⁴−2x²=(x²−1)²−1, care este valoarea minimă?

    Vezi rezolvarea

    1. Pătratul (x²−1)² este nenegativ.
    2. Minimul −1 se atinge la x=−1 și x=1.

    Răspuns: -1

34. Exercițiul 34

    Câte soluții reale distincte are x⁴−2x²=−12?

    Vezi rezolvarea

    1. Notăm t=x²≥0: (t−1)²=12.
    2. Ambele valori t=1±√12 sunt pozitive.
    3. Fiecare dă două valori opuse ale lui x: patru soluții.

    Răspuns: 4

35. Exercițiul 35

    Câte soluții reale distincte are x⁴−2x²=0?

    Vezi rezolvarea

    1. Factorizăm x²(x²−2)=0.
    2. Soluțiile distincte sunt 0,−√2,√2. Rădăcina 0 se numără o dată: total 3.

    Răspuns: 3

36. Exercițiul 36

    Pentru f(x)=x³−3x, află punctul de inflexiune.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=3x²−3; f″(x)=6x. Derivăm de două ori; punctele critice ale lui f nu sunt automat puncte de inflexiune.
    2. f″<0 pentru x<0 și f″>0 pentru x>0. 6x are semnul lui x, deci convexitatea se schimbă la 0.
    3. I(0,0). f(0)=0. Continuitatea funcției și schimbarea convexitații confirmă punctul de inflexiune.

    Răspuns: I(0,0)

37. Exercițiul 37

    Tangenta la f(x) = 5x² în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 10x.
    2. m = f′(2) = 10·2.
    3. m = 20; punctul de contact este (2, 20).

    Răspuns: 20

38. Exercițiul 38

    Tangenta la f(x) = 6x² în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 12x.
    2. m = f′(2) = 12·2.
    3. m = 24; punctul de contact este (2, 24).

    Răspuns: 24

39. Exercițiul 39

    Calculează limx→0 e^6x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Forma este 00 și ipotezele regulii sunt îndeplinite.
    2. Raportul derivatelor este 6e^6x1.
    3. Limita este 6.

    Răspuns: 6

40. Exercițiul 40

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 5 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −5, iar f(5) = 125 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

41. Exercițiul 41

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 6 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −6, iar f(6) = 216 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

42. Exercițiul 42

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 5 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −5, f(5) = 130 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

43. Exercițiul 43

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 7 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −7, f(7) = 350 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

44. Exercițiul 44

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 9 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −9, f(9) = 738 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (20)

1. 1. Derivata a doua

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 3x² − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10

2. 2. Exponențială

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^3x.

   Vezi răspunsul

   f″(x) = 9e^3x

3. 3. Logaritm compus

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)²

4. 4. Convexitate

   Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: f″(x) = 2x² > 0.

5. 5. Punct de inflexiune

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi răspunsul

   6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).

6. 6. Capcana derivatei nule

   Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Nu: f″(x) = 12x² ≥ 0 nu își schimbă semnul.

7. 7. Radical

   Funcția f(x) = √x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: f″(x) = 4x² + 4^(32) > 0.

8. 8. Produs cu exponențială

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.

   Vezi răspunsul

   f″(x) = (x − 3)e^x, deci x = 3.

9. 9. Două puncte de inflexiune

   Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x² − 5x + 6)e^x?

   Vezi răspunsul

   2: f″(x) = (x² − x − 2)e^x = (x − 2)(x + 1)e^x se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.

10. 10. Funcție rațională

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 6(x − 1)³ > 0 pe (1, ∞).

11. 11. l'Hospital, cazul 0/0

    Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 e^x − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim e^x1 = 1

12. 12. l'Hospital cu logaritm

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi răspunsul

    lim (1x)1 = 0

13. 13. l'Hospital cu exponențială

    Calculați limx→∞ xe^x.

    Vezi răspunsul

    lim 1e^x = 0

14. 14. Condiția de aplicare

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).

15. 15. Semnul derivatei a doua

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

16. 16. Tangentă paralelă

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1 și x = 2.

17. 21. Derivata a doua cu radical

    Funcția f(x) = √x² − 3x + 4 are derivata a doua pozitivă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 74(x² − 3x + 4)³² > 0.

18. 22. Concavitate

    Funcția f(x) = ln x, definită pe (0, ∞), este concavă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = −1x² < 0.

19. 23. l'Hospital aplicat de două ori

    Calculați limx→0 e^x − x − 1x².

    Vezi răspunsul

    l'Hospital de două ori: lim (e^x − 1)2x = lim e^x2 = 12

20. 24. Inflexiune cu exponențială

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x − 1e^x.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = (x − 3)e^−x, deci x = 3.