Asimptote verticale, orizontale și oblice · nivel M2

Lecția M2 exersează cele trei tipuri de asimptote pe funcții raționale, cu accent pe împărțirea cu rest și pe verificarea simplificărilor.

Înainte de a declara o asimptotă verticală, verifică întotdeauna dacă numărătorul nu se anulează în același punct.

Unde se caută asimptotele

Asimptotele nu se caută oriunde, ci doar la capetele intervalelor deschise din domeniul de definiție. Pentru o funcție definită pe ℝ fără un punct, asta înseamnă patru locuri: la −∞, în punctul scos din domeniu pe stânga, același punct pe dreapta, și la +∞. În fiecare dintre ele se calculează câte o limită.

Domeniu ℝ \ {a}: se cercetează −∞, a la stânga, a la dreapta și +∞

Domeniu [a, ∞): se cercetează doar +∞

Domeniu (0, ∞): se cercetează 0 la dreapta și +∞

Într-un punct de acumulare există cel mult o asimptotă

Scrie întâi domeniul; el îți spune exact câte limite ai de calculat.
Un punct finit se cercetează separat pe fiecare parte.
Capetele închise ale domeniului nu se cercetează.

Criteriul naturilor diferite

Există un singur criteriu de reținut, iar el înlocuiește memorarea a trei cazuri separate: o limită determină o asimptotă exact atunci când punctul de acumulare și limita sunt de naturi diferite — unul număr finit, celălalt infinit. Restul este doar citirea ecuației.

Punct infinit și limită finită ⇒ asimptotă orizontală y = limita

Punct finit și limită infinită ⇒ asimptotă verticală x = punctul

Punct infinit și limită infinită ⇒ nu există orizontală, se caută oblică

Punct finit și limită finită ⇒ nicio asimptotă

Compară natura punctului cu natura limitei: asta decide totul.
Înainte de a declara o verticală, verifică dacă fracția nu se simplifică.
Dacă limitele la +∞ și −∞ sunt egale, este o singură dreaptă, nu două.

Asimptota oblică

Formulele cu m și n se folosesc doar când asimptota orizontală a fost exclusă. Motivul este că într-un punct de acumulare asimptota este unică: dacă limita funcției este finită, avem orizontală și oblica nici nu mai are cum să existe. Se caută oblică exact când limita este infinită într-un punct infinit.

m = limx→±∞ f(x)x, care trebuie să fie finit și nenul

n = limx→±∞ (f(x) − mx), care trebuie să fie finit

Ecuația: y = mx + n

La funcții raționale, împărțirea cu rest arată direct asimptota oblică

Grad numărător = grad numitor + 1 ⇒ există oblică

Dacă m iese 0 sau infinit, oprește-te: nu există asimptotă oblică.
Dacă m este bun dar n iese infinit, tot nu există asimptotă.
Verifică ambele direcții: pantele pot diferi la funcțiile cu modul sau radical.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · toate asimptotele unei funcții raționale

Determinați asimptotele funcției f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = x² + 3x + 2x − 1.

1.Pasul 1 — domeniul este (−∞, 1) ∪ (1, ∞), deci cercetăm patru puncte: −∞, 1 la stânga, 1 la dreapta și +∞.
2.Pasul 2 — la −∞: limita este −∞, pentru că gradul numărătorului este mai mare. Punct infinit, limită infinită, aceeași natură, deci nu există orizontală.
3.Pasul 3 — fiind exclusă orizontala, căutăm oblică: m = lim x² + 3x + 2x² − x = 1, valoare finită și nenulă, deci continuăm.
4.Pasul 4 — calculăm n = lim [x² + 3x + 2x − 1 − x] = lim 4x + 2x − 1 = 4, valoare finită, deci asimptota se confirmă: y = x + 4 spre −∞.
5.Pasul 5 — în x = 1 verificăm întâi numărătorul: 1 + 3 + 2 = 6, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
6.Pasul 6 — la stânga lui 1 numitorul tinde la 0 prin valori negative, deci limita este −∞; la dreapta este +∞. Punct finit și limite infinite: avem asimptota verticală x = 1.
7.Pasul 7 — la +∞ repetăm calculul de la pașii 3 și 4 și obținem aceleași valori, deci y = x + 4 este asimptotă și spre +∞.
8.Concluzie: graficul are două asimptote distincte, verticala x = 1 și oblica y = x + 4.

Algoritmul universal în 5 pași

Scrie domeniul și listează capetele intervalelor deschise.
Calculează limita în fiecare dintre aceste puncte, luând separat stânga și dreapta.
Compară natura punctului cu natura limitei și decide dacă există asimptotă.
Dacă într-un punct infinit limita este tot infinită, calculează m, apoi n.
Numără la final dreptele distincte, nu limitele calculate.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Unde căutămM2 · Științe
Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte puncte de acumulare trebuie cercetate pentru asimptote?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: −∞, +∞ și punctul 1.
Ex. 2Criteriul naturilorM2 · Științe
Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: y = 3 este asimptotă orizontală spre −∞.
Ex. 3Asimptotă orizontalăM2 · Științe
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 3
Ex. 4Asimptotă verticalăM2 · Științe
Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 1
Ex. 5Verificarea numărătoruluiM2 · Științe
La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: numărătorul în 1 este 5 ≠ 0.
Ex. 6Orizontală negativăM2 · Științe
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = −1
Ex. 7VerticalăM2 · Științe
Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2
Ex. 8Când căutăm oblicaM2 · Științe
Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 9Panta asimptotei obliceM2 · Științe
Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 1
Ex. 10Ordonata asimptotei obliceM2 · Științe
Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = lim 4x + 2x − 1 = 4
Ex. 11Ecuația obliceiM2 · Științe
Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x² + 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x + 4
Ex. 12Oblică cu pantă negativăM2 · Științe
Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x²x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = −1, iar n = lim x + 4x + 1 = 1: asimptota oblică este y = −x + 1.
Ex. 13Funcție cu două verticaleM2 · Științe
Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x² + 1x² − 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: x = −2 și x = 2.
Ex. 14Orizontală la grade egaleM2 · Științe
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x² + 1x² − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 2
Ex. 15SimplificareM2 · Științe
Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x² − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, iar limita în 1 este 2, finită.
Ex. 16Oblică simplăM2 · Științe
Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x² + 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x
Ex. 25Oblică cu restM2 · Științe
Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x² + x + 1x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 1, iar n = lim 1/(x + 1) = 0: asimptota oblică este y = x.
Ex. 26Verticală și oblicăM2 · Științe
Câte asimptote în total are graficul funcției f(x) = x² + x + 1x + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: verticala x = −1 și oblica y = x (aceeași spre ±∞).
Ex. 27Exponențială la numitorM2 · Științe
Determinați asimptota orizontală spre +∞ a funcției f(x) = xe^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 0
Ex. 28Fracție cu radicalM2 · Științe
Determinați asimptota orizontală spre +∞ a funcției f(x) = xx² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 1
Ex. 29Puncte scoase din domeniuM2 · Științe
Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x − 2x² − 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1: pentru x ≠ 2, f(x) = 1x + 2; rămâne doar x = −2.
Ex. 30Panta nulăM2 · Științe
Dacă m = limx→∞ f(x)x = 0 și limx→∞ f(x) = ∞, există asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: m = 0 ar da o asimptotă orizontală, dar limita lui f este infinită.
Ex. 31Ambele direcțiiM2 · Științe
Funcția f(x) = 2x + 1x − 3 are aceeași asimptotă orizontală spre +∞ și spre −∞? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: y = 2 în ambele direcții.
Ex. 32Asimptotă și continuitateM2 · Științe
O funcție continuă pe tot ℝ poate avea asimptotă verticală? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: asimptota verticală apare doar unde funcția are limită infinită, iar o funcție continuă pe ℝ are limite finite în orice punct.