Continuitate, Darboux și existența soluțiilor · nivel M1

Exerciții rezolvate din lecție (35)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Exercițiul 4 ghidat · Vrem a astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1. Pasul 1: ce trebuie să verificăm?

   Vezi rezolvarea

   1. Continuitatea într-un punct înseamnă că limita există și coincide cu valoarea funcției.
   2. Limita există doar dacă cele două limite laterale sunt egale.
   3. Deci avem trei mărimi de comparat, iar toate trebuie să fie egale.
   4. La funcțiile pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei.

   Răspuns: Limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(1) trebuie să fie egale

2. Exercițiul 2

   Pasul 2: calculați limita la stânga și valoarea f(1).

   Vezi rezolvarea

   1. Condiția x ≤ 1 include punctul 1, deci prima ramură dă și limita la stânga, și valoarea în punct.
   2. Înlocuim: a·1 + 5 = a + 5.
   3. Prin urmare limita la stânga este a + 5, la fel ca f(1).
   4. Când semnul egal este la prima ramură, cele două coincid automat.

   Răspuns: Ambele sunt a + 5

3. Exercițiul 3

   Pasul 3: calculați limita la dreapta.

   Vezi rezolvarea

   1. Pentru x > 1 funcția este x² + 2.
   2. Limita este valoarea acestei expresii în 1, funcția fiind polinomială și deci continuă.
   3. Calculăm 1² + 2 = 3.
   4. Limita la dreapta este 3, independentă de a.

   Răspuns: 3

4. Exercițiul 4

   Pasul 4: determinați a.

   Vezi rezolvarea

   1. Punem egalitatea dintre limita la stânga și cea la dreapta: a + 5 = 3.
   2. Rezultă a = −2.
   3. Verificăm și a treia mărime: f(1) = −2 + 5 = 3, egală cu limita ✓.
   4. Răspuns final: a = −2.

   Răspuns: −2

5. Exercițiul 5

   Exercițiul 11 semi-ghidat · Vrem să arătăm că x³ + x − 1 = 0 are soluție în (0, 1). Ce teoremă folosim?

   Vezi rezolvarea

   1. Proprietatea lui Darboux spune că o funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre două valori atinse.
   2. Dacă la capete valorile au semne contrare, atunci valoarea 0 este între ele, deci este atinsă.
   3. Rolle și Lagrange sunt teoreme despre derivate, nu despre continuitate.
   4. Weierstrass se referă la mărginire și la atingerea marginilor.

   Răspuns: Proprietatea lui Darboux, pentru funcții continue pe interval

6. Exercițiul 6

   Calculați f(0) și f(1) pentru f(x) = x³ + x − 1, apoi scrieți valoarea lui f(1).

   Vezi rezolvarea

   1. La capătul 0: f(0) = 0 + 0 − 1 = −1, valoare negativă.
   2. La capătul 1: f(1) = 1 + 1 − 1 = 1, valoare pozitivă.
   3. Semnele fiind contrare, condiția din teoremă este îndeplinită.
   4. Răspuns final: f(1) = 1, deci ecuația are cel puțin o soluție în (0, 1).

   Răspuns: 1

7. Exercițiul 7

   Exercițiul 14 semi-ghidat · La f(x) = x² − 1x − 1 pentru x ≠ 1, care este limita în x = 1?

   Vezi rezolvarea

   1. În 1 atât numărătorul cât și numitorul se anulează, deci avem forma nedeterminată 00.
   2. Descompunem numărătorul: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
   3. Simplificăm cu x − 1, permis pentru x ≠ 1, și rămâne x + 1.
   4. Limita este 1 + 1 = 2, aceeași din ambele părți.

   Răspuns: 2, după simplificarea cu x − 1

8. Exercițiul 8

   Ce valoare trebuie să aibă f(1) ca funcția să fie continuă în 1?

   Vezi rezolvarea

   1. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
   2. Limita calculată este 2.
   3. Deci singura alegere care face funcția continuă este f(1) = 2.
   4. Răspuns final: 2. Dacă valoarea impusă ar fi alta, de exemplu 5, funcția ar rămâne discontinuă.

   Răspuns: 2

9. Exercițiul 9

   Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

   Vezi rezolvarea

   1. Prima: să existe limita la stânga în acel punct.
   2. A doua: să existe limita la dreapta și să fie egală cu cea la stânga.
   3. A treia: valoarea comună a limitelor să fie chiar f(a), valoarea funcției în punct.
   4. Răspuns final: 3 condiții. Pe scurt, limita laterală stângă = limita laterală dreaptă = f(a).

   Răspuns: 3

10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la stânga folosește prima ramură: limx→1, x < 1 (2x + 1) = 3.
    2. Limita la dreapta folosește a doua ramură: limx→1, x > 1 (x² + 2) = 1 + 2 = 3.
    3. Valoarea funcției se ia din ramura care conține semnul egal: f(1) = 2·1 + 1 = 3.
    4. Toate trei coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la stânga: lim (x + 1) = 1, iar f(0) = 1.
    2. Limita la dreapta: lim (x + 3) = 3.
    3. Cele două limite laterale sunt diferite, 1 față de 3, deci limita în punct nici nu există.
    4. Răspuns final: nu. Graficul are un salt de 2 unități în origine.

    Răspuns: nu

12. Exercițiul 12

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x² pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la stânga: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
    2. Limita la dreapta și valoarea în punct: f(2) = 2² = 4, pentru că semnul egal este la a doua ramură.
    3. Condiția de continuitate cere 2 + m = 4.
    4. Răspuns final: m = 2.

    Răspuns: 2

13. Exercițiul 13

    Este funcția f(x) = x³ − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Funcțiile polinomiale sunt continue pe tot domeniul lor de definiție.
    2. Domeniul unui polinom este întreg ℝ.
    3. Deci în orice punct limita coincide cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. La fel sunt continue pe domeniul lor și funcțiile raționale, radicalii, exponențialele și logaritmii.

    Răspuns: da

14. Exercițiul 14

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita unei sume este suma limitelor, atunci când ambele există.
    2. Din continuitate avem lim f = f(a) și lim g = g(a).
    3. Deci lim (f + g) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).
    4. Răspuns final: da. La fel se comportă diferența, produsul, iar câtul acolo unde numitorul nu se anulează.

    Răspuns: da

15. Exercițiul 15

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Regula pentru cât cere o condiție suplimentară: numitorul să nu se anuleze în punct.
    2. Dacă g(a) = 0, raportul nici nu este definit în a, deci nu se poate pune problema continuității.
    3. Formularea corectă este: fg este continuă în a dacă g(a) ≠ 0.
    4. Răspuns final: nu, afirmația generală este falsă fără această condiție.

    Răspuns: nu

16. Exercițiul 16

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Domeniul de definiție este ℝ \ {0}, deci punctul 0 nici nu face parte din el.
    2. Continuitatea se discută numai în punctele domeniului.
    3. În orice punct a nenul, limita este 1a, egală cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. În 0 nu vorbim de discontinuitate, ci de asimptotă verticală.

    Răspuns: da

17. Exercițiul 17

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Funcția este continuă pe un interval, deci are proprietatea lui Darboux: ia toate valorile intermediare.
    2. Valorile de la capete au semne contrare, deci 0 se află între f(0) și f(1).
    3. Prin urmare există cel puțin un punct interior unde funcția ia valoarea 0.
    4. Răspuns final: da. Nu putem spune însă câte astfel de puncte sunt, ci doar că există măcar unul.

    Răspuns: da

18. Exercițiul 18

    Are ecuația e^x + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Notăm f(x) = e^x + x, sumă de funcții continue, deci continuă pe [−1, 0].
    2. La capătul −1: f(−1) = 1e − 1, iar cum e > 1 avem 1e < 1, deci valoarea este negativă.
    3. La capătul 0: f(0) = 1 + 0 = 1, pozitivă.
    4. Semnele fiind contrare, ecuația are soluție în interior. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

19. Exercițiul 19

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Presupunem prin absurd că ar lua și valori pozitive, și negative.
    2. Fiind continuă pe interval, ar avea proprietatea lui Darboux, deci ar trebui să ia și valoarea 0 undeva între ele.
    3. Asta contrazice ipoteza că nu se anulează nicăieri.
    4. Răspuns final: da. Pe această idee se bazează tabelul de semn: rădăcinile împart intervalul în zone de semn constant.

    Răspuns: da

20. Exercițiul 20

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x² − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru x ≠ 1 simplificăm: f(x) = x + 1.
    2. Limita în 1 este 2, aceeași din ambele părți.
    3. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    4. Răspuns final: f(1) = 2. Operația se numește prelungire prin continuitate.

    Răspuns: 2

21. Exercițiul 21

    Determinați a real astfel încât f(x) = √x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la stânga și valoarea în punct: f(1) = √1 + 3 = √4 = 2.
    2. Limita la dreapta: limx→1, x > 1 (x + a) = 1 + a.
    3. Condiția de continuitate cere 1 + a = 2.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: 1

22. Exercițiul 22

    O funcție cu proprietatea lui Darboux este obligatoriu continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Implicația merge într-un singur sens: orice funcție continuă pe interval are proprietatea lui Darboux.
    2. Reciproca este falsă, iar exemplul clasic este f(x) = sin (1)x pentru x ≠ 0, cu f(0) = 0.
    3. Această funcție ia toate valorile intermediare lângă 0, dar nu este continuă acolo, pentru că limita nu există.
    4. Răspuns final: nu.

    Răspuns: nu

23. Exercițiul 23

    Poate o funcție continuă pe un interval să treacă de la valori negative la valori pozitive fără să se anuleze? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Proprietatea lui Darboux spune că funcția ia toate valorile dintre două valori atinse.
    2. Dacă ia o valoare negativă și una pozitivă, atunci ia și valoarea 0, aflată între ele.
    3. Deci trecerea de la minus la plus obligă anularea undeva.
    4. Răspuns final: nu. Exact pe asta se bazează metoda separării rădăcinilor.

    Răspuns: nu

24. Exercițiul 24

    Funcția f(x) = x³ + x − 1 este strict crescătoare pe ℝ, iar f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. Din semnele contrare la capete și continuitate rezultă că există cel puțin o soluție în (0, 1).
    2. Stricta monotonie asigură unicitatea: o funcție strict crescătoare ia fiecare valoare cel mult o dată.
    3. Combinând existența cu unicitatea, obținem exact o soluție.
    4. Răspuns final: 1. Acesta este tiparul standard: Darboux pentru existență, monotonia pentru unicitate.

    Răspuns: 1

25. Exercițiul 25

    Determinați a real astfel încât f(x) = sin xx pentru x ≠ 0 și f(0) = a să fie continuă în x = 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    2. Limita fundamentală limx→0 sin xx = 1 este aceeași din ambele părți.
    3. Deci trebuie ca a să fie egal cu 1.
    4. Răspuns final: a = 1. Funcția astfel prelungită este continuă pe tot ℝ.

    Răspuns: 1

26. Exercițiul 26

    O funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Aceasta este teorema lui Weierstrass pentru funcții continue.
    2. Pe un interval de forma [a, b], o funcție continuă este mărginită și își atinge marginile.
    3. Ipoteza ca intervalul să fie închis este esențială: f(x) = 1x pe (0, 1] este continuă, dar nemărginită.
    4. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

27. Exercițiul 27

    Dacă f este continuă, este |f| continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Modulul este el însuși o funcție continuă pe ℝ.
    2. Compunerea a două funcții continue este continuă, iar |f| este exact compunerea modulului cu f.
    3. Deci |f| este continuă oriunde este f.
    4. Răspuns final: da. Reciproca este falsă: f(x) = 1 pentru x ≥ 0 și −1 pentru x < 0 este discontinuă, dar |f| = 1 este continuă.

    Răspuns: da

28. Exercițiul 28

    Fie f(x) = x³ − 3x. Știind că f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2 și f(2) = 2, câte schimbări de semn se observă pe [−2, 2]?

    Vezi rezolvarea

    1. Urmărim semnele valorilor în ordine: minus, plus, minus, plus.
    2. Între −2 și −1 semnul se schimbă o dată.
    3. Între −1 și 1 se schimbă a doua oară, iar între 1 și 2 a treia oară.
    4. Răspuns final: 3 schimbări de semn, deci ecuația f(x) = 0 are cel puțin trei rădăcini în [−2, 2].

    Răspuns: 3

29. Exercițiul 29

    Determinați m real astfel încât f(x) = √x² + m pentru x ≤ 2 și f(x) = x + 1 pentru x > 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la dreapta: limx→2, x > 2 (x + 1) = 3.
    2. Limita la stânga și valoarea în punct: f(2) = √4 + m.
    3. Condiția de continuitate: √4 + m = 3, deci 4 + m = 9.
    4. Răspuns final: m = 5. Verificăm și că expresia de sub radical rămâne pozitivă pe ramura ei ✓.

    Răspuns: 5

30. Exercițiul 30

    Pentru x≠1, f(x)=x²−1x−1, iar f(1)=a. Află a pentru continuitate în 1.

    Vezi rezolvarea

    1. f(x)=x+1. x²−1=(x−1)(x+1). Valoarea în 1 rămâne cea definită separat.
    2. limx→1 f(x)=2. x+1 tinde la 2 din ambele părți.
    3. a=2. Continuitatea cere f(1)=limx→1f(x), deci a=2.

    Răspuns: a=2

31. Exercițiul 31

    f(x) = x² + 6. Calculează limita în x = 0.

    Vezi rezolvarea

    1. f este un polinom, continuu în 0.
    2. Înlocuim: f(0) = 0² + 6.
    3. Limita este 6.

    Răspuns: 6

32. Exercițiul 32

    Pentru x ≠ 5, f(x) = x² − 25x − 5. Ce valoare f(5) asigură continuitatea?

    Vezi rezolvarea

    1. x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
    2. Pentru x ≠ 5, formula devine x + 5.
    3. Limita este 10, deci aceasta trebuie să fie f(5).

    Răspuns: 10

33. Exercițiul 33

    Pentru x ≠ 6, f(x) = x² − 36x − 6. Ce valoare f(6) asigură continuitatea?

    Vezi rezolvarea

    1. x² − 36 = (x − 6)(x + 6).
    2. Pentru x ≠ 6, formula devine x + 6.
    3. Limita este 12, deci aceasta trebuie să fie f(6).

    Răspuns: 12

34. Exercițiul 34

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 5 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −5, iar f(5) = 125 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

35. Exercițiul 35

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 6 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −6, iar f(6) = 216 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

1. 1. Definiția continuității

   Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

   Vezi răspunsul

   Trei: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(a) trebuie să existe și să fie egale.

2. 2. Funcție continuă pe ramuri

   Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: ls = 2 · 1 + 1 = 3, ld = 1 + 2 = 3 și f(1) = 3.

3. 3. Funcție discontinuă

   Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Nu: ls = 1, iar ld = 3.

4. 4. Parametru pentru continuitate

   Determinați a real astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

   Vezi răspunsul

   a + 5 = 1 + 2, deci a = −2.

5. 5. Parametru cu inegalitate strictă

   Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x² pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

   Vezi răspunsul

   2 + m = 4, deci m = 2.

6. 6. Funcții elementare

   Este funcția f(x) = x³ − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da (funcție polinomială).

7. 7. Operații cu funcții continue

   Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da.

8. 8. Câtul a două funcții continue

   Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da, dacă g(a) ≠ 0.

9. 9. Punct în afara domeniului

   Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: 0 nu aparține domeniului, iar în rest funcția este continuă.

10. 10. Proprietatea lui Darboux

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (proprietatea lui Darboux).

11. 11. Existența unei soluții

    Are ecuația x³ + x − 1 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, iar f este continuă.

12. 12. Ecuație cu exponențială

    Are ecuația e^x + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(−1) = e⁻¹ − 1 < 0 și f(0) = 1 > 0.

13. 13. Semnul unei funcții continue

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

14. 14. Valoarea din punct contează

    Fie f(x) = x² − 1x − 1 pentru x ≠ 1 și f(1) = 5. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: limita în 1 este 2, dar f(1) = 5.

15. 15. Prelungire prin continuitate

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x² − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi răspunsul

    f(1) = 2 (limita lui x + 1 în 1)

16. 16. Radical pe ramuri

    Determinați a real astfel încât f(x) = √x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    √4 = 2 = 1 + a, deci a = 1.

17. 29. Darboux fără continuitate

    O funcție cu proprietatea lui Darboux este obligatoriu continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu.

18. 30. Consecință a lui Darboux

    Poate o funcție continuă pe un interval să treacă de la valori negative la valori pozitive fără să se anuleze? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu (proprietatea lui Darboux).

19. 31. Număr de soluții

    Funcția f(x) = x³ + x − 1 este strict crescătoare pe ℝ, iar f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi răspunsul

    1

20. 32. Parametru cu limite laterale

    Determinați a real astfel încât f(x) = sin xx pentru x ≠ 0 și f(0) = a să fie continuă în x = 0.

    Vezi răspunsul

    a = 1 (lim sin xx = 1)

21. 33. Funcție mărginită pe compact

    O funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (teorema lui Weierstrass).

22. 34. Continuitate și modul

    Dacă f este continuă, este |f| continuă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

23. 35. Separarea rădăcinilor

    Fie f(x) = x³ − 3x. Știind că f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2 și f(2) = 2, câte schimbări de semn se observă pe [−2, 2]?

    Vezi răspunsul

    3 schimbări de semn, deci 3 rădăcini (−√3, 0, √3).

24. 36. Continuitate pe ramuri cu radical

    Determinați m real astfel încât f(x) = √x² + m pentru x ≤ 2 și f(x) = x + 1 pentru x > 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi răspunsul

    √4 + m = 3, deci m = 5.