Continuitate, Darboux și existența soluțiilor · nivel M1

Lecția M1 pornește de la definiția cu limite laterale și ajunge la Darboux, Weierstrass și tiparul existență plus unicitate.

La M1 apare des tiparul complet: Darboux dă existența soluției, iar stricta monotonie dă unicitatea. Cele două se folosesc împreună.

Continuitatea într-un punct

O funcție este continuă într-un punct dacă graficul ei nu se rupe acolo. Formal, sunt trei mărimi care trebuie să coincidă: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în punct. La funcțiile definite pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei, iar valoarea în punct se ia din ramura care conține semnul egal.

f continuă în a ⇔ limx→a, x < a f(x) = limx→a, x > a f(x) = f(a)

Dacă limitele laterale diferă, limita nu există și funcția nu e continuă

Discontinuitate de prima speță: limitele laterale există, finite, dar diferă

Discontinuitate de a doua speță: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există

Prelungire prin continuitate: se alege f(a) egal cu limita

Continuitatea se discută numai în puncte ale domeniului de definiție.
Un punct scos din domeniu nu dă discontinuitate, ci eventual asimptotă.
Un colț în grafic nu strică continuitatea: |x| este continuă în 0.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · parametru și existența unei soluții

Fie f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x² pentru x ≥ 2. Determinați m pentru care f este continuă în 2, apoi studiați dacă ecuația f(x) = 3 are soluție în intervalul (2, 3).

1.Pasul 1 — punctul studiat este 2, iar semnul egal se află la a doua ramură, deci f(2) = 2² = 4.
2.Pasul 2 — limita la stânga se calculează cu prima ramură: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
3.Pasul 3 — limita la dreapta se calculează cu a doua ramură: limx→2, x > 2 x² = 4.
4.Pasul 4 — condiția de continuitate cere ca toate trei să coincidă: 2 + m = 4, deci m = 2.
5.Pasul 5 — verificăm: ramura stângă devine x + 2, iar în 2 dă 4, exact cât f(2) ✓.
6.Pasul 6 — pentru a doua cerință lucrăm pe [2, 3], unde funcția este x², continuă.
7.Pasul 7 — notăm g(x) = x² − 3 și calculăm la capete: g(2) = 1 și g(3) = 6.
8.Pasul 8 — ambele valori sunt pozitive, deci criteriul cu semne contrare nu se aplică. Mai mult, pe (2, 3) avem x² > 4 > 3, deci ecuația chiar nu are soluție acolo.
9.Concluzie: m = 2, iar ecuația f(x) = 3 nu are soluție în (2, 3). Verificarea semnelor la capete este primul lucru de făcut: ea îți spune dacă are rost să inviți Darboux.

Operații cu funcții continue

Continuitatea se păstrează prin toate operațiile obișnuite, ceea ce înseamnă că funcțiile întâlnite la examen sunt continue pe domeniul lor fără să fie nevoie de verificări. Singura atenție este la cât, unde numitorul nu are voie să se anuleze.

f, g continue în a ⇒ f + g, f − g, f·g continue în a

f, g continue în a și g(a) ≠ 0 ⇒ fg continuă în a

Compunerea a două funcții continue este continuă

Funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiție

f continuă ⇒ |f| continuă, dar reciproca este falsă

Polinoamele, radicalii, exponențialele și logaritmii sunt continue pe domeniu.
Verificările au sens doar în punctele de legătură ale funcțiilor pe ramuri.
La cât, verifică întâi dacă numitorul se anulează în punctul studiat.

Proprietatea lui Darboux și semnul

O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre oricare două valori pe care le atinge. Consecința practică este metoda standard de la examen: dacă la capetele unui interval funcția are semne contrare, atunci ecuația f(x) = 0 are soluție în interior.

f continuă pe interval ⇒ f are proprietatea lui Darboux

f continuă pe [a, b] cu f(a)·f(b) < 0 ⇒ ecuația f(x) = 0 are soluție în (a, b)

f continuă și fără zerouri pe un interval ⇒ f păstrează semn constant

Existență din Darboux, unicitate din stricta monotonie

Weierstrass: f continuă pe [a, b] este mărginită și își atinge marginile

Darboux dă existența, nu numărul soluțiilor.
Pentru unicitate ai nevoie, în plus, de monotonie strictă.
Reciproca este falsă: există funcții cu proprietatea Darboux care nu sunt continue.

Algoritmul universal în 5 pași

Identifică punctul studiat și verifică dacă aparține domeniului.
Calculează limita la stânga, folosind ramura pentru valori mai mici.
Calculează limita la dreapta, folosind ramura pentru valori mai mari.
Citește f(a) din ramura care conține semnul egal.
Compară cele trei mărimi; dacă apare un parametru, egalitatea lor îl determină.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Definiția continuitățiiM1 · Mate-Info
Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trei: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(a) trebuie să existe și să fie egale.
Ex. 2Funcție continuă pe ramuriM1 · Mate-Info
Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: ls = 2 · 1 + 1 = 3, ld = 1 + 2 = 3 și f(1) = 3.
Ex. 3Funcție discontinuăM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: ls = 1, iar ld = 3.
Ex. 4Parametru pentru continuitateM1 · Mate-Info
Determinați a real astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x² + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + 5 = 1 + 2, deci a = −2.
Ex. 5Parametru cu inegalitate strictăM1 · Mate-Info
Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x² pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 + m = 4, deci m = 2.
Ex. 6Funcții elementareM1 · Mate-Info
Este funcția f(x) = x³ − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da (funcție polinomială).
Ex. 7Operații cu funcții continueM1 · Mate-Info
Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 8Câtul a două funcții continueM1 · Mate-Info
Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, dacă g(a) ≠ 0.
Ex. 9Punct în afara domeniuluiM1 · Mate-Info
Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 0 nu aparține domeniului, iar în rest funcția este continuă.
Ex. 10Proprietatea lui DarbouxM1 · Mate-Info
Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da (proprietatea lui Darboux).
Ex. 11Existența unei soluțiiM1 · Mate-Info
Are ecuația x³ + x − 1 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, iar f este continuă.
Ex. 12Ecuație cu exponențialăM1 · Mate-Info
Are ecuația e^x + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f(−1) = e⁻¹ − 1 < 0 și f(0) = 1 > 0.
Ex. 13Semnul unei funcții continueM1 · Mate-Info
O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 14Valoarea din punct conteazăM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 1x − 1 pentru x ≠ 1 și f(1) = 5. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: limita în 1 este 2, dar f(1) = 5.
Ex. 15Prelungire prin continuitateM1 · Mate-Info
Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x² − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(1) = 2 (limita lui x + 1 în 1)
Ex. 16Radical pe ramuriM1 · Mate-Info
Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√4 = 2 = 1 + a, deci a = 1.
Ex. 29Darboux fără continuitateM1 · Mate-Info
O funcție cu proprietatea lui Darboux este obligatoriu continuă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu.
Ex. 30Consecință a lui DarbouxM1 · Mate-Info
Poate o funcție continuă pe un interval să treacă de la valori negative la valori pozitive fără să se anuleze? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu (proprietatea lui Darboux).
Ex. 31Număr de soluțiiM1 · Mate-Info
Funcția f(x) = x³ + x − 1 este strict crescătoare pe ℝ, iar f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 32Parametru cu limite lateraleM1 · Mate-Info
Determinați a real astfel încât f(x) = sin xx pentru x ≠ 0 și f(0) = a să fie continuă în x = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 1 (lim sin x/x = 1)
Ex. 33Funcție mărginită pe compactM1 · Mate-Info
O funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da (teorema lui Weierstrass).
Ex. 34Continuitate și modulM1 · Mate-Info
Dacă f este continuă, este |f| continuă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 35Separarea rădăcinilorM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x³ − 3x. Știind că f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2 și f(2) = 2, câte schimbări de semn se observă pe [−2, 2]?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 schimbări de semn, deci 3 rădăcini (−√3, 0, √3).
Ex. 36Continuitate pe ramuri cu radicalM1 · Mate-Info
Determinați m real astfel încât f(x) = x² + m pentru x ≤ 2 și f(x) = x + 1 pentru x > 2 să fie continuă în x = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + m = 3, deci m = 5.