Asimptote verticale, orizontale și oblice · nivel M1

Exerciții rezolvate din lecție (38)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte limite laterale sau la infinit cercetăm pentru asimptote?

   Vezi rezolvarea

   1. Cercetăm comportamentul la −∞, la 1 din stânga, la 1 din dreapta și la +∞.
   2. Sunt trei valori distincte de analizat: −∞, 1 și +∞, dar patru limite.
   3. La 1 calculăm două limite laterale, deoarece rezultatele pot diferi.
   4. Răspuns final: 4 limite; nu le confundăm cu trei valori distincte.

   Răspuns: 4

2. Exercițiul 2

   Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.

   Vezi rezolvarea

   1. Criteriul este simplu: apare asimptotă exact când punctul de acumulare și limita au naturi diferite.
   2. Aici punctul este −∞, adică infinit, iar limita este 3, adică un număr finit.
   3. Naturile fiind diferite, avem asimptotă.
   4. Răspuns final: da, iar ecuația ei este y = 3, asimptotă orizontală spre −∞.

   Răspuns: da

3. Exercițiul 3

   Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm limita la ±∞, unde raportul este dominat de termenii de grad maxim.
   2. lim (3x + 2)x − 1 = lim (3x)x = 3, atât spre +∞ cât și spre −∞.
   3. Punctul este infinit, limita este finită: naturi diferite, deci avem asimptotă.
   4. Răspuns final: y = 3, asimptotă orizontală în ambele direcții.

   Răspuns: y=3

4. Exercițiul 4

   Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Punctul suspect este cel care anulează numitorul: x = 1.
   2. La stânga: numărătorul tinde la 5, numitorul la 0 prin valori negative, deci limita este −∞.
   3. La dreapta: numitorul tinde la 0 prin valori pozitive, deci limita este +∞.
   4. Punct finit și limită infinită: naturi diferite. Răspuns final: x = 1.

   Răspuns: x=1

5. Exercițiul 5

   La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi rezolvarea

   1. Verificăm dacă x = 1 anulează și numărătorul: 3·1 + 2 = 5, diferit de 0.
   2. Cum numărătorul nu se anulează, fracția nu se simplifică.
   3. Deci limita chiar este infinită și asimptota verticală există.
   4. Răspuns final: nu. Dacă s-ar fi simplificat, în acel punct nu ar fi fost asimptotă.

   Răspuns: nu

6. Exercițiul 6

   Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

   Vezi rezolvarea

   1. La ±∞ raportul este dominat de termenii de grad maxim: −x la numărător și x la numitor.
   2. lim (10 − x)x − 2 = −xx = −1.
   3. Limita este finită într-un punct infinit, deci avem asimptotă.
   4. Răspuns final: y = −1.

   Răspuns: y=−1

7. Exercițiul 7

   Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează în x = 2.
   2. Numărătorul în acel punct este 10 − 2 = 8, diferit de zero, deci nu se simplifică.
   3. Limitele laterale sunt +∞ și −∞, deci de natură diferită față de punctul finit 2.
   4. Răspuns final: x = 2.

   Răspuns: x=2

8. Exercițiul 8

   Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi rezolvarea

   1. Într-un punct de acumulare, o funcție poate avea cel mult o asimptotă: dacă există una, este unică.
   2. Limita fiind infinită într-un punct infinit, naturile coincid, deci nu există asimptotă orizontală.
   3. Abia atunci are rost să căutăm oblică, cu formulele pentru m și n.
   4. Răspuns final: da. Dacă limita ar fi fost finită, oblica nici nu ar mai fi fost posibilă.

   Răspuns: da

9. Exercițiul 9

   Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.

   Vezi rezolvarea

   1. Panta se obține din raportul dintre funcție și x.
   2. f(x)x = x² + 3x + 2x² − x, un raport de polinoame de același grad.
   3. Limita este raportul coeficienților dominanți: 11.
   4. Răspuns final: m = 1. Fiind finit și nenul, continuăm cu al doilea pas.

   Răspuns: 1

10. Exercițiul 10

    Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).

    Vezi rezolvarea

    1. Scădem mx din funcție și aducem la același numitor.
    2. x² + 3x + 2x − 1 − x = x² + 3x + 2 − x² + xx − 1 = 4x + 2x − 1.
    3. Limita acestui raport la infinit este 4.
    4. Răspuns final: n = 4. Fiind finit, asimptota oblică se confirmă.

    Răspuns: 4

11. Exercițiul 11

    Exercițiul 11 semi-ghidat · Pentru o funcție cu limita infinită la +∞, care este primul pas către asimptota oblică?

    Vezi rezolvarea

    1. Asimptota oblică are ecuația y = mx + n, deci avem nevoie de două numere.
    2. Panta se obține din raportul dintre funcție și x, la infinit.
    3. Dacă m iese 0 sau infinit, ne oprim: nu există asimptotă oblică.
    4. Abia dacă m este finit și nenul trecem la calculul lui n.

    Răspuns: Calculăm m = lim (f(x))x

12. Exercițiul 12

    Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − x), știind că m = 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Scădem x din funcție și aducem la același numitor.
    2. x² + 3x + 2x − 1 − x = x² + 3x + 2 − x² + xx − 1.
    3. Numărătorul devine 4x + 2, deci raportul este 4x + 2x − 1, cu limita 4.
    4. Răspuns final: n = 4, deci asimptota este y = x + 4.

    Răspuns: 4

13. Exercițiul 13

    La f(x) = x − 2x² − 4, de ce nu avem asimptotă verticală în x = 2?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se descompune: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. Numărătorul este chiar x − 2, deci se simplifică.
    3. Rămâne f(x) = 1x + 2, cu limita 14 în x = 2, valoare finită.
    4. Punct finit și limită finită înseamnă aceeași natură, deci nu există asimptotă.

    Răspuns: Pentru că fracția se simplifică și limita este finită

14. Exercițiul 14

    Atunci câte asimptote verticale are funcția f(x) = x − 2x² − 4?

    Vezi rezolvarea

    1. În x = 2 am arătat că limita este finită, deci nu avem asimptotă.
    2. În x = −2 numărătorul este −4, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
    3. Acolo limitele laterale sunt infinite, deci avem asimptotă verticală.
    4. Răspuns final: o singură asimptotă verticală, x = −2.

    Răspuns: 1

15. Exercițiul 15

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x²x + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. La ±∞ limita este infinită, deci nu există asimptotă orizontală și căutăm oblică.
    2. m = lim (4 − x²)x² + x = −1, raportul coeficienților dominanți.
    3. n = lim [4 − x²x + 1 + x] = lim (x + 4)x + 1 = 1.
    4. Răspuns final: y = −x + 1.

    Răspuns: y=−x+1

16. Exercițiul 16

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x² + 1x² − 4?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează unde x² = 4, adică în x = −2 și x = 2.
    2. Verificăm numărătorul în aceste puncte: 2·4 + 1 = 9, diferit de zero în ambele.
    3. Cum nu se simplifică nicăieri, ambele dau asimptote verticale.
    4. Răspuns final: 2 asimptote verticale, x = −2 și x = 2.

    Răspuns: 2

17. Exercițiul 17

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x² + 1x² − 4.

    Vezi rezolvarea

    1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la infinit este raportul coeficienților dominanți.
    2. lim (2x² + 1)x² − 4 = 21 = 2.
    3. Valoarea este aceeași spre +∞ și spre −∞.
    4. Răspuns final: y = 2.

    Răspuns: y=2

18. Exercițiul 18

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x² − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează în x = 1, deci acolo căutăm.
    2. Dar numărătorul se anulează și el: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
    3. Simplificăm: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, deci limita în 1 este 2, un număr finit.
    4. Punct finit și limită finită: aceeași natură, deci nu există asimptotă. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

19. Exercițiul 19

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x² + 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Împărțim termen cu termen: f(x) = x + 1x.
    2. La infinit termenul 1x tinde la 0, deci graficul se lipește de dreapta y = x.
    3. Formal: m = lim (f(x))x = 1, iar n = lim (f(x) − x) = lim (1)x = 0.
    4. Răspuns final: y = x.

    Răspuns: y=x

20. Exercițiul 20

    Funcția f : [1, ∞) → ℝ, f(x) = x + √x − 1 admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Domeniul fiind [1, ∞), singurul capăt de cercetat este +∞.
    2. Limita este +∞, deci nu există orizontală și trecem la oblică.
    3. m = lim (x + √x − 1)x = 1, valoare finită și nenulă, deci continuăm.
    4. n = lim (f(x) − x) = lim √x − 1 = +∞, care nu este finit. Răspuns final: nu există asimptotă oblică.

    Răspuns: nu

21. Exercițiul 21

    Câte asimptote orizontale are funcția f(x) = |x|x + 1?

    Vezi rezolvarea

    1. Modulul se comportă diferit în cele două direcții, deci limitele nu coincid.
    2. Spre +∞: |x| = x, deci limita este 1.
    3. Spre −∞: |x| = −x, deci limita este −1.
    4. Răspuns final: 2 asimptote orizontale distincte, y = 1 și y = −1.

    Răspuns: 2

22. Exercițiul 22

    Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = x√x² + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Spre −∞ avem x < 0, deci la scoaterea de sub radical apare √x² = |x| = −x.
    2. Împărțim: x|x|·√1 + 1x² = x−x·√1 + 1x².
    3. Simplificăm și obținem −1√1 + 0 = −1.
    4. Răspuns final: y = −1. Semnul modulului este capcana clasică aici.

    Răspuns: y=−1

23. Exercițiul 23

    Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = e^x + 2e^x + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Spre −∞ avem e^x → 0, deci ambii termeni exponențiali dispar.
    2. Numărătorul tinde la 0 + 2 = 2, iar numitorul la 0 + 1 = 1.
    3. Limita raportului este 2.
    4. Răspuns final: y = 2. Spre +∞ raportul tinde la 1, deci acolo asimptota este y = 1.

    Răspuns: y=2

24. Exercițiul 24

    Funcția f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = x + ln x admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita la +∞ este +∞, deci trecem la formulele pentru oblică.
    2. m = lim (x + ln x)x = 1 + lim (ln x)x = 1 + 0 = 1, valoare bună.
    3. n = lim (f(x) − x) = lim ln x = +∞, care nu este finit.
    4. Răspuns final: nu. Graficul se depărtează de orice dreaptă, chiar dacă panta se stabilizează.

    Răspuns: nu

25. Exercițiul 25

    Poate o funcție să aibă, în același punct de acumulare, și asimptotă orizontală, și oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Într-un punct de acumulare asimptota, dacă există, este unică.
    2. Orizontala apare când limita este finită, oblica exact când limita este infinită.
    3. Cele două situații se exclud reciproc.
    4. Răspuns final: nu. De aceea oblica se caută numai după ce orizontala a fost exclusă.

    Răspuns: nu

26. Exercițiul 26

    Determinați a real pentru care f(x) = ax + 1x − 2 are asimptota orizontală y = 3.

    Vezi rezolvarea

    1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la infinit este raportul coeficienților dominanți.
    2. Acest raport este a1 = a.
    3. Punem condiția a = 3.
    4. Răspuns final: a = 3. Verificare: 3x + 1x − 2 tinde într-adevăr la 3.

    Răspuns: 3

27. Exercițiul 27

    Determinați b real pentru care f(x) = x + 1x − b are asimptota verticală x = 5.

    Vezi rezolvarea

    1. Asimptota verticală apare unde se anulează numitorul, adică în x = b.
    2. Condiția din enunț cere ca acest punct să fie 5.
    3. Verificăm și că numărătorul nu se anulează acolo: 5 + 1 = 6, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
    4. Răspuns final: b = 5.

    Răspuns: 5

28. Exercițiul 28

    Funcția f(x) = x³ + 1x admite asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Împărțim termen cu termen: f(x) = x² + 1x.
    2. Calculăm panta: m = lim (f(x))x = lim (x + 1x²) = +∞, care nu este finit.
    3. Condiția pentru oblică cere ca m să fie un număr finit și nenul.
    4. Răspuns final: nu. Când gradul numărătorului depășește cu 2 sau mai mult gradul numitorului, nu există asimptotă oblică.

    Răspuns: nu

29. Exercițiul 29

    Exercițiul 42 ghidat · Vrem toate asimptotele funcției f(x) = x² + 1x² − 1. Pasul 1: unde căutăm?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează în x = −1 și x = 1, deci acestea ies din domeniu.
    2. Domeniul devine (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).
    3. Asimptotele se caută doar la capetele intervalelor deschise.
    4. Punctele finite se cercetează pe fiecare parte separat.

    Răspuns: La capetele intervalelor deschise din domeniu: −∞, −1, 1 și +∞

30. Exercițiul 30

    Pasul 2: calculați limita la +∞ și spuneți ce fel de asimptotă obțineți.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele polinoame au gradul 2, deci limita este raportul coeficienților dominanți.
    2. lim (x² + 1)x² − 1 = 11 = 1.
    3. Punctul este infinit, limita este finită: naturi diferite, deci avem asimptotă.
    4. Ecuația este y = 1, iar valoarea fiind aceeași spre −∞, este o singură dreaptă.

    Răspuns: Limita este 1, deci asimptotă orizontală y = 1

31. Exercițiul 31

    Pasul 3: verificați dacă în x = 1 fracția se simplifică.

    Vezi rezolvarea

    1. Numărătorul în x = 1 este 1² + 1 = 2.
    2. Numitorul se anulează, dar numărătorul nu, deci fracția nu se poate simplifica.
    3. Prin urmare limitele laterale sunt infinite.
    4. La fel se întâmplă și în x = −1, unde numărătorul este tot 2.

    Răspuns: Nu se simplifică: numărătorul este 2, diferit de zero

32. Exercițiul 32

    Pasul 4: câte asimptote distincte are graficul în total?

    Vezi rezolvarea

    1. Verticalele sunt x = −1 și x = 1, două drepte.
    2. Orizontala y = 1 este aceeași în ambele direcții, deci se numără o singură dată.
    3. Oblica este exclusă: acolo unde există orizontală, oblica nu poate exista.
    4. Răspuns final: 3 asimptote distincte.

    Răspuns: 3

33. Exercițiul 33

    Află asimptota oblică la +∞ a lui f(x)=x²+1x−1.

    Vezi rezolvarea

    1. f(x)=x+1+2x−1. (x−1)(x+1)=x²−1, deci restul este 2.
    2. f(x)−(x+1)=2x−1→0. Numărătorul rămâne constant, iar numitorul crește nemărginit.
    3. y=x+1. O dreaptă este asimptotă oblică dacă diferența dintre funcție și expresia ei tinde la zero.

    Răspuns: y=x+1

34. Exercițiul 34

    f(x) = 5x + 2x − 1. Asimptota orizontală este y = L. Cât este L?

    Vezi rezolvarea

    1. Împărțim la x.
    2. Limita raportului 5 + 2x1 − 1x este 5.
    3. Asimptota este y = 5.

    Răspuns: 5

35. Exercițiul 35

    f(x) = 6x + 2x − 1. Asimptota orizontală este y = L. Cât este L?

    Vezi rezolvarea

    1. Împărțim la x.
    2. Limita raportului 6 + 2x1 − 1x este 6.
    3. Asimptota este y = 6.

    Răspuns: 6

36. Exercițiul 36

    f(x) = 1x − 5. Asimptota verticală este x = a. Cât este a?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează la x = 5.
    2. Numărătorul nu se anulează; raportul tinde la infinit în limitele laterale.
    3. Asimptota este x = 5.

    Răspuns: 5

37. Exercițiul 37

    f(x) = 1x − 6. Asimptota verticală este x = a. Cât este a?

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează la x = 6.
    2. Numărătorul nu se anulează; raportul tinde la infinit în limitele laterale.
    3. Asimptota este x = 6.

    Răspuns: 6

38. Exercițiul 38

    La f(x) = x² + 5x + 2x − 1, asimptota oblică este y = x + b. Află b.

    Vezi rezolvarea

    1. x² + 5x + 2 = (x − 1)(x + 6) + 8.
    2. Fracția 8x − 1 tinde la zero.
    3. b = 6.

    Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (26)

1. 1. Unde căutăm

   Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte limite laterale sau la infinit cercetăm pentru asimptote?

   Vezi răspunsul

   4 limite: la −∞, la 1 din stânga, la 1 din dreapta și la +∞. Sunt trei valori distincte, dar la 1 analizăm ambele părți.

2. 2. Criteriul naturilor

   Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.

   Vezi răspunsul

   Da: y = 3 este asimptotă orizontală spre −∞.

3. 3. Asimptotă orizontală

   Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

   Vezi răspunsul

   y = 3

4. 4. Asimptotă verticală

   Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

   Vezi răspunsul

   x = 1

5. 5. Verificarea numărătorului

   La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Nu: numărătorul în 1 este 5 ≠ 0.

6. 6. Orizontală negativă

   Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

   Vezi răspunsul

   y = −1

7. 7. Verticală

   Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

   Vezi răspunsul

   x = 2

8. 8. Când căutăm oblica

   Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da.

9. 9. Panta asimptotei oblice

   Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.

   Vezi răspunsul

   m = 1

10. 10. Ordonata asimptotei oblice

    Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).

    Vezi răspunsul

    n = lim (4x + 2)x − 1 = 4

11. 11. Ecuația oblicei

    Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x² + 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    y = x + 4

12. 12. Oblică cu pantă negativă

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x²x + 1.

    Vezi răspunsul

    m = −1, iar n = lim (x + 4)x + 1 = 1: asimptota oblică este y = −x + 1.

13. 13. Funcție cu două verticale

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x² + 1x² − 4?

    Vezi răspunsul

    2: x = −2 și x = 2.

14. 14. Orizontală la grade egale

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x² + 1x² − 4.

    Vezi răspunsul

    y = 2

15. 15. Simplificare

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x² − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?

    Vezi răspunsul

    0: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, iar limita în 1 este 2, finită.

16. 16. Oblică simplă

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x² + 1x.

    Vezi răspunsul

    y = x

17. 33. Radical și oblică

    Funcția f : [1, ∞) → ℝ, f(x) = x + √x − 1 admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: m = 1, dar n = lim √x − 1 = +∞.

18. 34. Modul

    Câte asimptote orizontale are funcția f(x) = |x|x + 1?

    Vezi răspunsul

    2: y = 1 spre +∞ și y = −1 spre −∞.

19. 35. Radical cu două direcții

    Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = x√x² + 1.

    Vezi răspunsul

    y = −1

20. 36. Exponențială cu parametru

    Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = e^x + 2e^x + 1.

    Vezi răspunsul

    y = 2 (e^x → 0 când x → −∞)

21. 37. Logaritm și oblică

    Funcția f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = x + ln x admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: m = 1, dar n = lim ln x = +∞.

22. 38. Asimptotă unică

    Poate o funcție să aibă, în același punct de acumulare, și asimptotă orizontală, și oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu.

23. 39. Funcție cu parametru

    Determinați a real pentru care f(x) = ax + 1x − 2 are asimptota orizontală y = 3.

    Vezi răspunsul

    a = 3

24. 40. Verticală cu parametru

    Determinați b real pentru care f(x) = x + 1x − b are asimptota verticală x = 5.

    Vezi răspunsul

    b = 5

25. 41. Grad cu doi mai mare

    Funcția f(x) = x³ + 1x admite asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: m = lim (x³ + 1)x² = +∞.

26. 42. Numărul total

    Câte asimptote în total are graficul funcției f(x) = x² + 1x² − 1?

    Vezi răspunsul

    3: verticalele x = −1 și x = 1, plus orizontala y = 1 (aceeași spre ±∞).