Asimptote verticale, orizontale și oblice · nivel M1

Lecția M1 pornește de la criteriul naturilor diferite și ajunge la funcții cu radical, modul și parametri, unde direcțiile +∞ și −∞ pot da rezultate diferite.

Capcana cea mai frecventă la M1 este semnul modulului la scoaterea de sub radical: x² = |x|, deci spre −∞ apare −x.

Unde se caută asimptotele

Asimptotele nu se caută oriunde, ci doar la capetele intervalelor deschise din domeniul de definiție. Pentru o funcție definită pe ℝ fără un punct, asta înseamnă patru locuri: la −∞, în punctul scos din domeniu pe stânga, același punct pe dreapta, și la +∞. În fiecare dintre ele se calculează câte o limită.

Domeniu ℝ \ {a}: se cercetează −∞, a la stânga, a la dreapta și +∞

Domeniu [a, ∞): se cercetează doar +∞

Domeniu (0, ∞): se cercetează 0 la dreapta și +∞

Într-un punct de acumulare există cel mult o asimptotă

Scrie întâi domeniul; el îți spune exact câte limite ai de calculat.
Un punct finit se cercetează separat pe fiecare parte.
Capetele închise ale domeniului nu se cercetează.

Criteriul naturilor diferite

Există un singur criteriu de reținut, iar el înlocuiește memorarea a trei cazuri separate: o limită determină o asimptotă exact atunci când punctul de acumulare și limita sunt de naturi diferite — unul număr finit, celălalt infinit. Restul este doar citirea ecuației.

Punct infinit și limită finită ⇒ asimptotă orizontală y = limita

Punct finit și limită infinită ⇒ asimptotă verticală x = punctul

Punct infinit și limită infinită ⇒ nu există orizontală, se caută oblică

Punct finit și limită finită ⇒ nicio asimptotă

Compară natura punctului cu natura limitei: asta decide totul.
Înainte de a declara o verticală, verifică dacă fracția nu se simplifică.
Dacă limitele la +∞ și −∞ sunt egale, este o singură dreaptă, nu două.

Asimptota oblică

Formulele cu m și n se folosesc doar când asimptota orizontală a fost exclusă. Motivul este că într-un punct de acumulare asimptota este unică: dacă limita funcției este finită, avem orizontală și oblica nici nu mai are cum să existe. Se caută oblică exact când limita este infinită într-un punct infinit.

m = limx→±∞ f(x)x, care trebuie să fie finit și nenul

n = limx→±∞ (f(x) − mx), care trebuie să fie finit

Ecuația: y = mx + n

La funcții raționale, împărțirea cu rest arată direct asimptota oblică

Grad numărător = grad numitor + 1 ⇒ există oblică

Dacă m iese 0 sau infinit, oprește-te: nu există asimptotă oblică.
Dacă m este bun dar n iese infinit, tot nu există asimptotă.
Verifică ambele direcții: pantele pot diferi la funcțiile cu modul sau radical.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · toate asimptotele unei funcții raționale

Determinați asimptotele funcției f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = x² + 3x + 2x − 1.

1.Pasul 1 — domeniul este (−∞, 1) ∪ (1, ∞), deci cercetăm patru puncte: −∞, 1 la stânga, 1 la dreapta și +∞.
2.Pasul 2 — la −∞: limita este −∞, pentru că gradul numărătorului este mai mare. Punct infinit, limită infinită, aceeași natură, deci nu există orizontală.
3.Pasul 3 — fiind exclusă orizontala, căutăm oblică: m = lim x² + 3x + 2x² − x = 1, valoare finită și nenulă, deci continuăm.
4.Pasul 4 — calculăm n = lim [x² + 3x + 2x − 1 − x] = lim 4x + 2x − 1 = 4, valoare finită, deci asimptota se confirmă: y = x + 4 spre −∞.
5.Pasul 5 — în x = 1 verificăm întâi numărătorul: 1 + 3 + 2 = 6, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
6.Pasul 6 — la stânga lui 1 numitorul tinde la 0 prin valori negative, deci limita este −∞; la dreapta este +∞. Punct finit și limite infinite: avem asimptota verticală x = 1.
7.Pasul 7 — la +∞ repetăm calculul de la pașii 3 și 4 și obținem aceleași valori, deci y = x + 4 este asimptotă și spre +∞.
8.Concluzie: graficul are două asimptote distincte, verticala x = 1 și oblica y = x + 4.

Algoritmul universal în 5 pași

Scrie domeniul și listează capetele intervalelor deschise.
Calculează limita în fiecare dintre aceste puncte, luând separat stânga și dreapta.
Compară natura punctului cu natura limitei și decide dacă există asimptotă.
Dacă într-un punct infinit limita este tot infinită, calculează m, apoi n.
Numără la final dreptele distincte, nu limitele calculate.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Unde căutămM1 · Mate-Info
Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte puncte de acumulare trebuie cercetate pentru asimptote?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: −∞, +∞ și punctul 1.
Ex. 2Criteriul naturilorM1 · Mate-Info
Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: y = 3 este asimptotă orizontală spre −∞.
Ex. 3Asimptotă orizontalăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 3
Ex. 4Asimptotă verticalăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 1
Ex. 5Verificarea numărătoruluiM1 · Mate-Info
La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: numărătorul în 1 este 5 ≠ 0.
Ex. 6Orizontală negativăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = −1
Ex. 7VerticalăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2
Ex. 8Când căutăm oblicaM1 · Mate-Info
Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 9Panta asimptotei obliceM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 1
Ex. 10Ordonata asimptotei obliceM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x² + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = lim 4x + 2x − 1 = 4
Ex. 11Ecuația obliceiM1 · Mate-Info
Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x² + 3x + 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x + 4
Ex. 12Oblică cu pantă negativăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x²x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = −1, iar n = lim x + 4x + 1 = 1: asimptota oblică este y = −x + 1.
Ex. 13Funcție cu două verticaleM1 · Mate-Info
Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x² + 1x² − 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: x = −2 și x = 2.
Ex. 14Orizontală la grade egaleM1 · Mate-Info
Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x² + 1x² − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 2
Ex. 15SimplificareM1 · Mate-Info
Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x² − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, iar limita în 1 este 2, finită.
Ex. 16Oblică simplăM1 · Mate-Info
Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x² + 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x
Ex. 33Radical și oblicăM1 · Mate-Info
Funcția f : [1, ∞) → ℝ, f(x) = x + x − 1 admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: m = 1, dar n = lim x − 1 = +∞.
Ex. 34ModulM1 · Mate-Info
Câte asimptote orizontale are funcția f(x) = |x|x + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: y = 1 spre +∞ și y = −1 spre −∞.
Ex. 35Radical cu două direcțiiM1 · Mate-Info
Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = xx² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = −1
Ex. 36Exponențială cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați asimptota orizontală spre −∞ a funcției f(x) = e^x + 2e^x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 2 (e^x → 0 când x → −∞)
Ex. 37Logaritm și oblicăM1 · Mate-Info
Funcția f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = x + ln x admite asimptotă oblică spre +∞? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: m = 1, dar n = lim ln x = +∞.
Ex. 38Asimptotă unicăM1 · Mate-Info
Poate o funcție să aibă, în același punct de acumulare, și asimptotă orizontală, și oblică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu.
Ex. 39Funcție cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați a real pentru care f(x) = ax + 1x − 2 are asimptota orizontală y = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 3
Ex. 40Verticală cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați b real pentru care f(x) = x + 1x − b are asimptota verticală x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 5
Ex. 41Grad cu doi mai mareM1 · Mate-Info
Funcția f(x) = x³ + 1x admite asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: m = lim x³ + 1x² = +∞.
Ex. 42Numărul totalM1 · Mate-Info
Câte asimptote în total are graficul funcției f(x) = x² + 1x² − 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: verticalele x = −1 și x = 1, plus orizontala y = 1 (aceeași spre ±∞).