Fermat, Rolle, Lagrange, șirul lui Rolle și derivata a doua · nivel M1

Exerciții rezolvate din lecție (56)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi rezolvarea

   1. Derivata a doua înseamnă derivarea de două ori la rând.
   2. Prima derivată: f′(x) = 3x² − 10x + 3.
   3. Derivăm încă o dată: f″(x) = 6x − 10.
   4. Răspuns final: 6x − 10. Semnul ei va decide convexitatea.

   Răspuns: 6x−10

2. Exercițiul 2

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^3x.

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată, prin regula lanțului: f′(x) = 3·e^3x.
   2. Derivăm din nou, factorul 3 rămânând în față: f″(x) = 3·3·e^3x.
   3. Fiecare derivare aduce încă un factor 3.
   4. Răspuns final: 9e^3x.

   Răspuns: 9e^3x

3. Exercițiul 3

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată: f′(x) = 22x + 1, din regula lanțului.
   2. Scriem f′(x) = 2·(2x + 1)⁻¹ și derivăm: 2·(−1)·(2x + 1)⁻²·2.
   3. Obținem −4(2x + 1)².
   4. Răspuns final: −4(2x + 1)². Fiind mereu negativă, funcția este concavă pe tot domeniul.

   Răspuns: −4(2x+1)²

4. Exercițiul 4

   Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată: f′(x) = 1 − 2x.
   2. A doua derivată: f″(x) = 2x².
   3. Pe (0, ∞) numitorul x² este strict pozitiv, deci f″ > 0 peste tot.
   4. Răspuns final: da, funcția este convexă pe tot domeniul.

   Răspuns: da

5. Exercițiul 5

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi rezolvarea

   1. Punctele de inflexiune se caută printre soluțiile ecuației f″(x) = 0.
   2. Am calculat f″(x) = 6x − 10, deci 6x − 10 = 0 dă x = 53.
   3. Verificăm schimbarea de semn: pentru x < 53 avem f″ < 0, iar pentru x > 53 avem f″ > 0.
   4. Semnul se schimbă, deci este într-adevăr punct de inflexiune. Răspuns final: x = 53.

   Răspuns: 53

6. Exercițiul 6

   Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm f″(x) = 12x², care se anulează într-adevăr în 0.
   2. Dar condiția pentru inflexiune nu este anularea, ci schimbarea de semn a lui f″.
   3. Aici 12x² ≥ 0 pentru orice x, deci semnul rămâne pozitiv de ambele părți.
   4. Răspuns final: nu. Funcția este convexă pe tot ℝ, iar în 0 doar se aplatizează.

   Răspuns: nu

7. Exercițiul 7

   Funcția f(x) = √x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată: f′(x) = x√x² + 4.
   2. A doua derivată, după calcul: f″(x) = 4(x² + 4)√x² + 4.
   3. Numărătorul este 4, iar numitorul strict pozitiv pentru orice x real.
   4. Deci f″ > 0 peste tot. Răspuns final: da.

   Răspuns: da

8. Exercițiul 8

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.

   Vezi rezolvarea

   1. Derivăm produsul: f′(x) = e^x + (x − 5)e^x = (x − 4)e^x.
   2. Derivăm din nou: f″(x) = e^x + (x − 4)e^x = (x − 3)e^x.
   3. Cum e^x > 0 mereu, semnul lui f″ este dat de x − 3, care își schimbă semnul în 3.
   4. Răspuns final: x = 3.

   Răspuns: 3

9. Exercițiul 9

   Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x² − 5x + 6)e^x?

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată: f′(x) = (2x − 5)e^x + (x² − 5x + 6)e^x = (x² − 3x + 1)e^x.
   2. A doua derivată: f″(x) = (2x − 3)e^x + (x² − 3x + 1)e^x = (x² − x − 2)e^x.
   3. Descompunem: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1), cu rădăcinile −1 și 2.
   4. În ambele semnul se schimbă, deci sunt două puncte de inflexiune. Răspuns final: 2.

   Răspuns: 2

10. Exercițiul 10

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Prima derivată: f′(x) = −3(x − 1)², calculată cu regula câtului.
    2. A doua derivată: f″(x) = 6(x − 1)³.
    3. Pe (1, ∞) avem x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv, iar f″ > 0.
    4. Răspuns final: da. Pe (−∞, 1) semnul se inversează și funcția devine concavă.

    Răspuns: da

11. Exercițiul 11

    Exercițiul 11 semi-ghidat · Înainte de a aplica regula lui l'Hospital, ce verificăm?

    Vezi rezolvarea

    1. Regula lui l'Hospital se aplică numai la nedeterminările 00 și ∞∞.
    2. Dacă limita se calculează direct, aplicarea regulii duce la un rezultat fals.
    3. De exemplu la limx→0 x + 1x + 2 răspunsul corect este 12, dar l'Hospital ar da 1.
    4. Deci primul pas este întotdeauna verificarea cazului.

    Răspuns: Că avem un caz nedeterminat, 00 sau ∞∞

12. Exercițiul 12

    Calculați limx→0 e^x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Verificăm cazul: numărătorul e⁰ − 1 = 0 și numitorul 0, deci 00 ✓.
    2. Derivăm separat numărătorul și numitorul, nu raportul: e^x1.
    3. Calculăm limita noului raport în 0: e⁰ = 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

13. Exercițiul 13

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi rezolvarea

    1. La infinit atât numărătorul cât și numitorul tind la +∞, deci avem cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x)′ = 1.
    3. Noua limită este lim (1)x = 0.
    4. Răspuns final: 0. Rezultatul arată că x crește mai repede decât ln x.

    Răspuns: 0

14. Exercițiul 14

    Calculați limx→∞ xe^x.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambii termeni tind la +∞, deci suntem în cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (x)′ = 1 și (e^x)′ = e^x.
    3. Noua limită este lim (1)e^x = 0, pentru că numitorul crește nemărginit.
    4. Răspuns final: 0. Exponențiala învinge orice putere a lui x.

    Răspuns: 0

15. Exercițiul 15

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Regula se aplică numai la cazurile nedeterminate 00 și ∞∞.
    2. Aici numărătorul tinde la 1, iar numitorul la 2, deci limita este direct 12.
    3. Nu există nedeterminare, deci nu avem ce rezolva cu l'Hospital.
    4. Răspuns final: nu. Aplicarea greșită ar da 11 = 1, un rezultat fals.

    Răspuns: nu

16. Exercițiul 16

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivata a doua măsoară cum se schimbă panta tangentei.
    2. Dacă f″ < 0, panta scade, deci graficul se curbează în jos.
    3. Aceasta este exact definiția concavității.
    4. Răspuns final: da. Reținere utilă: minus înseamnă concavă, plus înseamnă convexă.

    Răspuns: da

17. Exercițiul 17

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi rezolvarea

    1. Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă, iar panta dreptei date este −3.
    2. Panta tangentei în x este f′(x) = −3(x − 1)².
    3. Punem condiția −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1.
    4. Rezultă x − 1 = 1 sau x − 1 = −1, adică x = 2 sau x = 0. Cum lucrăm pe (1, ∞), răspunsul este x = 2.

    Răspuns: 2

18. Exercițiul 18

    Dacă f este derivabilă și are un punct de extrem în interiorul intervalului, atunci derivata se anulează acolo. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Aceasta este chiar teorema lui Fermat.
    2. Într-un punct de extrem interior, tangenta la grafic este orizontală.
    3. Condiția ca punctul să fie interior este esențială: la capătul unui interval extremul poate apărea fără ca derivata să se anuleze.
    4. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

19. Exercițiul 19

    Dacă f′(a) = 0, atunci a este obligatoriu punct de extrem? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Reciproca teoremei lui Fermat este falsă.
    2. Contraexemplul standard este f(x) = x³, cu f′(x) = 3x², deci f′(0) = 0.
    3. Dar funcția este strict crescătoare pe tot ℝ, deci 0 nu este nici maxim, nici minim.
    4. Răspuns final: nu. Punctele cu derivata nulă se numesc critice, nu neapărat de extrem.

    Răspuns: nu

20. Exercițiul 20

    Câte ipoteze cere teorema lui Rolle pe intervalul [a, b]?

    Vezi rezolvarea

    1. Prima: f continuă pe intervalul închis [a, b].
    2. A doua: f derivabilă pe intervalul deschis (a, b).
    3. A treia: valorile la capete să fie egale, f(a) = f(b).
    4. Răspuns final: 3 ipoteze. Concluzia este existența unui c în (a, b) cu f′(c) = 0.

    Răspuns: 3

21. Exercițiul 21

    Exercițiul 28 semi-ghidat · Înainte de a aplica teorema lui Rolle pe [1, 3] pentru f(x) = x² − 4x + 3, ce verificăm?

    Vezi rezolvarea

    1. Teorema lui Rolle are trei ipoteze, toate necesare.
    2. Funcția fiind polinomială, continuitatea și derivabilitatea sunt automate.
    3. Rămâne de verificat doar egalitatea valorilor la capete: f(1) = 0 și f(3) = 0 ✓.
    4. Abia după aceste verificări putem folosi concluzia.

    Răspuns: Continuitatea pe [1, 3], derivabilitatea pe (1, 3) și egalitatea f(1) = f(3)

22. Exercițiul 22

    Acum determinați c din concluzia teoremei.

    Vezi rezolvarea

    1. Concluzia teoremei este existența unui c în (1, 3) cu f′(c) = 0.
    2. Calculăm derivata: f′(x) = 2x − 4.
    3. Rezolvăm 2c − 4 = 0, deci c = 2.
    4. Verificăm apartenența: 2 se află în intervalul deschis (1, 3) ✓. Răspuns final: c = 2.

    Răspuns: 2

23. Exercițiul 23

    Pentru f(x) = x² pe intervalul [0, 2], determinați valoarea c dată de teorema lui Lagrange.

    Vezi rezolvarea

    1. Teorema lui Lagrange spune că există c în (a, b) cu f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
    2. Calculăm membrul drept: f(2) − f(0)2 − 0 = 4 − 02 = 2.
    3. Cum f′(x) = 2x, rezolvăm 2c = 2.
    4. Răspuns final: c = 1. Geometric, tangenta în c este paralelă cu coarda care unește capetele graficului.

    Răspuns: 1

24. Exercițiul 24

    Teorema lui Lagrange spune că există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Raportul f(b) − f(a)b − a este chiar panta coardei dintre capete.
    2. Iar f′(c) este panta tangentei în punctul c.
    3. Egalitatea dintre ele înseamnă exact paralelism.
    4. Răspuns final: da. Teorema lui Rolle este cazul particular în care coarda este orizontală.

    Răspuns: da

25. Exercițiul 25

    Teorema lui Rolle este un caz particular al teoremei lui Lagrange? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. În teorema lui Lagrange, dacă adăugăm ipoteza f(a) = f(b), numărătorul devine 0.
    2. Atunci concluzia f′(c) = f(b) − f(a)b − a devine f′(c) = 0.
    3. Aceasta este exact concluzia teoremei lui Rolle.
    4. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

26. Exercițiul 26

    Pentru f(x) = x³ − 3x − 5 punctele critice sunt −1 și 1, cu f(−1) = −3 și f(1) = −7. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. Alcătuim șirul valorilor remarcabile, incluzând limitele la capete: la −∞ valoarea tinde la −∞, apoi f(−1) = −3, apoi f(1) = −7, iar la +∞ tinde la +∞.
    2. Șirul semnelor este deci minus, minus, minus, plus.
    3. O soluție apare exact acolo unde semnul se schimbă, iar aici schimbarea are loc o singură dată, între 1 și +∞.
    4. Răspuns final: o singură soluție reală, situată în intervalul (1, ∞).

    Răspuns: 1

27. Exercițiul 27

    Exercițiul 33 ghidat · Vrem numărul soluțiilor ecuației x³ − 3x² + 1 = 0. Pasul 1: cu ce începem?

    Vezi rezolvarea

    1. Șirul lui Rolle folosește valorile funcției în punctele critice și la capetele domeniului.
    2. Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x) = 0.
    3. Ele împart domeniul în intervale de monotonie.
    4. Rezolvarea directă a unei ecuații de gradul 3 este tocmai ce vrem să evităm.

    Răspuns: Calculăm f′ și îi aflăm rădăcinile, adică punctele critice

28. Exercițiul 28

    Pasul 2: calculați f′ și punctele critice.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm termen cu termen: f′(x) = 3x² − 6x.
    2. Dăm factor comun: 3x(x − 2).
    3. Produsul se anulează pentru x = 0 și x = 2.
    4. Acestea sunt punctele critice care intră în șir.

    Răspuns: f′(x) = 3x(x − 2), cu punctele critice 0 și 2

29. Exercițiul 29

    Pasul 3: alcătuiți șirul semnelor, incluzând limitele la ±∞.

    Vezi rezolvarea

    1. La −∞ polinomul de grad 3 cu coeficient pozitiv tinde la −∞, deci primul semn este minus.
    2. În punctul critic 0 valoarea este f(0) = 1, deci plus.
    3. În punctul critic 2 valoarea este f(2) = 8 − 12 + 1 = −3, deci minus.
    4. La +∞ tinde la +∞, deci plus. Șirul este minus, plus, minus, plus.

    Răspuns: minus, plus, minus, plus

30. Exercițiul 30

    Pasul 4: câte soluții reale are ecuația?

    Vezi rezolvarea

    1. Fiecare alternanță de semn din șir indică exact o soluție în intervalul respectiv.
    2. În șirul minus, plus, minus, plus avem trei treceri: minus la plus, plus la minus, minus la plus.
    3. Pe fiecare interval funcția este monotonă, deci soluția de acolo este unică.
    4. Răspuns final: 3 soluții reale.

    Răspuns: 3

31. Exercițiul 31

    Pentru f(x) = x² − 2ln x pe (0, ∞), punctul critic este 1, cu f(1) = 1, iar limitele la ambele capete sunt +∞. Câte soluții are ecuația f(x) = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. Șirul valorilor este: +∞ la capătul din stânga, apoi f(1) = 1, apoi +∞ la dreapta.
    2. Toate semnele sunt plus, deci nu apare nicio alternanță.
    3. Fără schimbare de semn, funcția nu trece prin valoarea 0.
    4. Răspuns final: 0 soluții. Ecuația f(x) = 3 ar avea însă două, pentru că 3 este mai mare decât minimul 1.

    Răspuns: 0

32. Exercițiul 32

    Dacă f′ = 0 pe tot un interval, atunci f este constantă pe acel interval. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea

    1. Luăm două puncte oarecare din interval și aplicăm teorema lui Lagrange între ele.
    2. Obținem f(y) − f(x) = f′(c)·(y − x), unde c este între ele.
    3. Cum f′(c) = 0, rezultă f(y) = f(x), pentru orice pereche de puncte.
    4. Răspuns final: da. Ipoteza că mulțimea este un interval este esențială: pe o reuniune de intervale funcția poate avea constante diferite.

    Răspuns: da

33. Exercițiul 33

    Fie f(x) = x³ + x − 1, strict crescătoare pe ℝ, cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. Semnele contrare la capete și continuitatea dau existența unei soluții în (0, 1), prin proprietatea lui Darboux.
    2. Prima derivată este f′(x) = 3x² + 1 > 0 pentru orice x, deci funcția este strict crescătoare pe tot ℝ.
    3. O funcție strict crescătoare ia fiecare valoare cel mult o dată, deci nu pot exista două soluții.
    4. Răspuns final: exact o soluție. Acesta este tiparul standard: Darboux pentru existență, monotonia pentru unicitate.

    Răspuns: 1

34. Exercițiul 34

    Pentru f(x)=x³−3x, câte puncte critice are funcția?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=3(x²−1)=0.
    2. x=−1 și x=1: două puncte critice.

    Răspuns: 2

35. Exercițiul 35

    Pentru f(x)=x³−3x, calculează f(−1).

    Vezi rezolvarea

    1. (−1)³−3(−1)=−1+3=2.
    2. Este valoarea maximului local.

    Răspuns: 2

36. Exercițiul 36

    Pentru f(x)=x³−3x, calculează f(1).

    Vezi rezolvarea

    1. 1−3=−2.
    2. Este valoarea minimului local.

    Răspuns: -2

37. Exercițiul 37

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=0?

    Vezi rezolvarea

    1. 0 este strict între extremele −2 și 2: câte o intersecție pe fiecare ramură.
    2. Verificare: x(x²−3)=0 dă 0,−√3,√3.

    Răspuns: 3

38. Exercițiul 38

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=2?

    Vezi rezolvarea

    1. La maximul local două ramuri se întâlnesc în x=−1.
    2. x³−3x−2=(x−2)(x+1)², deci soluțiile distincte sunt −1 și 2.

    Răspuns: 2

39. Exercițiul 39

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=3?

    Vezi rezolvarea

    1. 3 este deasupra maximului local 2.
    2. Numai ramura crescătoare din dreapta ajunge la această valoare.

    Răspuns: 1

40. Exercițiul 40

    Câte soluții reale distincte are x³−3x=−1?

    Vezi rezolvarea

    1. −2<−1<2.
    2. Dreapta intersectează toate cele trei ramuri, o dată fiecare.

    Răspuns: 3

41. Exercițiul 41

    Pentru f(x)=x⁴−2x²=(x²−1)²−1, care este valoarea minimă?

    Vezi rezolvarea

    1. Pătratul (x²−1)² este nenegativ.
    2. Minimul −1 se atinge la x=−1 și x=1.

    Răspuns: -1

42. Exercițiul 42

    Câte soluții reale distincte are x⁴−2x²=−12?

    Vezi rezolvarea

    1. Notăm t=x²≥0: (t−1)²=12.
    2. Ambele valori t=1±√12 sunt pozitive.
    3. Fiecare dă două valori opuse ale lui x: patru soluții.

    Răspuns: 4

43. Exercițiul 43

    Câte soluții reale distincte are x⁴−2x²=0?

    Vezi rezolvarea

    1. Factorizăm x²(x²−2)=0.
    2. Soluțiile distincte sunt 0,−√2,√2. Rădăcina 0 se numără o dată: total 3.

    Răspuns: 3

44. Exercițiul 44

    Pentru f(x)=x³−3x, află punctul de inflexiune.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=3x²−3; f″(x)=6x. Derivăm de două ori; punctele critice ale lui f nu sunt automat puncte de inflexiune.
    2. f″<0 pentru x<0 și f″>0 pentru x>0. 6x are semnul lui x, deci convexitatea se schimbă la 0.
    3. I(0,0). f(0)=0. Continuitatea funcției și schimbarea convexitații confirmă punctul de inflexiune.

    Răspuns: I(0,0)

45. Exercițiul 45

    Tangenta la f(x) = 5x² în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 10x.
    2. m = f′(2) = 10·2.
    3. m = 20; punctul de contact este (2, 20).

    Răspuns: 20

46. Exercițiul 46

    Tangenta la f(x) = 6x² în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 12x.
    2. m = f′(2) = 12·2.
    3. m = 24; punctul de contact este (2, 24).

    Răspuns: 24

47. Exercițiul 47

    Câte extreme locale are f(x) = (x − 6)³ pe ℝ?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 3(x − 6)².
    2. Semnul este pozitiv înainte și după punctul critic.
    3. Nu există schimbare de monotonie: 0 extreme.

    Răspuns: 0

48. Exercițiul 48

    f(x) = x³ − 15x². Află abscisa punctului de inflexiune.

    Vezi rezolvarea

    1. f′ = 3x² − 30x.
    2. f″ = 6x − 30, negativă înainte de 5 și pozitivă după.
    3. Abscisa este 5.

    Răspuns: 5

49. Exercițiul 49

    f(x) = x³ − 18x². Află abscisa punctului de inflexiune.

    Vezi rezolvarea

    1. f′ = 3x² − 36x.
    2. f″ = 6x − 36, negativă înainte de 6 și pozitivă după.
    3. Abscisa este 6.

    Răspuns: 6

50. Exercițiul 50

    Aplică Lagrange pentru f(x) = x² pe [0, 12]. Află c.

    Vezi rezolvarea

    1. Polinomul satisface continuitatea și derivabilitatea cerute.
    2. Panta corzii este 14412 = 12; f′(c) = 2c.
    3. 2c = 12, deci c = 6, în intervalul deschis.

    Răspuns: 6

51. Exercițiul 51

    Calculează limx→0 e^5x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Forma este 00 și ipotezele regulii sunt îndeplinite.
    2. Raportul derivatelor este 5e^5x1.
    3. Limita este 5.

    Răspuns: 5

52. Exercițiul 52

    Calculează limx→0 e^6x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Forma este 00 și ipotezele regulii sunt îndeplinite.
    2. Raportul derivatelor este 6e^6x1.
    3. Limita este 6.

    Răspuns: 6

53. Exercițiul 53

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 6 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −6, iar f(6) = 216 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

54. Exercițiul 54

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 5 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −5, f(5) = 130 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

55. Exercițiul 55

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 7 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −7, f(7) = 350 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

56. Exercițiul 56

    Câte soluții reale distincte are x³ + 2x − 9 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −9, f(9) = 738 > 0, iar f este continuă.
    2. f′(x) = 3x² + 2 > 0: monotonie strictă pe ℝ.
    3. Există o rădăcină și nu pot exista două: o soluție.

    Răspuns: 1

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (28)

1. 1. Derivata a doua

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 3x² − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10

2. 2. Exponențială

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^3x.

   Vezi răspunsul

   f″(x) = 9e^3x

3. 3. Logaritm compus

   Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)²

4. 4. Convexitate

   Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: f″(x) = 2x² > 0.

5. 5. Punct de inflexiune

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.

   Vezi răspunsul

   6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).

6. 6. Capcana derivatei nule

   Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Nu: f″(x) = 12x² ≥ 0 nu își schimbă semnul.

7. 7. Radical

   Funcția f(x) = √x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

   Vezi răspunsul

   Da: f″(x) = 4x² + 4^(32) > 0.

8. 8. Produs cu exponențială

   Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.

   Vezi răspunsul

   f″(x) = (x − 3)e^x, deci x = 3.

9. 9. Două puncte de inflexiune

   Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x² − 5x + 6)e^x?

   Vezi răspunsul

   2: f″(x) = (x² − x − 2)e^x = (x − 2)(x + 1)e^x se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.

10. 10. Funcție rațională

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 6(x − 1)³ > 0 pe (1, ∞).

11. 11. l'Hospital, cazul 0/0

    Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 e^x − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim e^x1 = 1

12. 12. l'Hospital cu logaritm

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi răspunsul

    lim (1x)1 = 0

13. 13. l'Hospital cu exponențială

    Calculați limx→∞ xe^x.

    Vezi răspunsul

    lim 1e^x = 0

14. 14. Condiția de aplicare

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).

15. 15. Semnul derivatei a doua

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

16. 16. Tangentă paralelă

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1 și x = 2.

17. 25. Teorema lui Fermat

    Dacă f este derivabilă și are un punct de extrem în interiorul intervalului, atunci derivata se anulează acolo. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

18. 26. Reciproca lui Fermat

    Dacă f′(a) = 0, atunci a este obligatoriu punct de extrem? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: de exemplu, f(x) = x³ are f′(0) = 0, dar 0 nu este punct de extrem.

19. 27. Ipotezele teoremei lui Rolle

    Câte ipoteze cere teorema lui Rolle pe intervalul [a, b]?

    Vezi răspunsul

    3: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) și f(a) = f(b).

20. 28. Rolle aplicat

    Pentru f(x) = x² − 4x + 3 pe intervalul [1, 3], determinați valoarea c dată de teorema lui Rolle.

    Vezi răspunsul

    f′(c) = 2c − 4 = 0, deci c = 2.

21. 29. Teorema lui Lagrange

    Pentru f(x) = x² pe intervalul [0, 2], determinați valoarea c dată de teorema lui Lagrange.

    Vezi răspunsul

    f(2) − f(0)2 = 2 = f′(c) = 2c, deci c = 1.

22. 30. Interpretarea geometrică

    Teorema lui Lagrange spune că există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

23. 31. Rolle ca și caz particular

    Teorema lui Rolle este un caz particular al teoremei lui Lagrange? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (cazul f(a) = f(b)).

24. 32. Șirul lui Rolle, o soluție

    Pentru f(x) = x³ − 3x − 5 punctele critice sunt −1 și 1, cu f(−1) = −3 și f(1) = −7. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi răspunsul

    1: șirul semnelor −, −, −, + are o singură schimbare.

25. 33. Șirul lui Rolle, trei soluții

    Pentru f(x) = x³ − 3x² + 1 punctele critice sunt 0 și 2, cu f(0) = 1 și f(2) = −3. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi răspunsul

    3: șirul semnelor −, +, −, + are trei schimbări.

26. 34. Fără soluții

    Pentru f(x) = x² − 2ln x pe (0, ∞), punctul critic este 1, cu f(1) = 1, iar limitele la ambele capete sunt +∞. Câte soluții are ecuația f(x) = 0?

    Vezi răspunsul

    0: minimul funcției este 1 > 0.

27. 35. Corolarul lui Lagrange

    Dacă f′ = 0 pe tot un interval, atunci f este constantă pe acel interval. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

28. 36. Existență și unicitate

    Fie f(x) = x³ + x − 1, strict crescătoare pe ℝ, cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?

    Vezi răspunsul

    1