Fermat, Rolle, Lagrange, șirul lui Rolle și derivata a doua · nivel M1

Lecția M1 acoperă teoremele funcțiilor derivabile, corolarul lui Lagrange, șirul lui Rolle și rolul derivatei a doua.

Teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange apar numai în programa Mate-Info. Ordinea de lucru este mereu aceeași: verifici ipotezele, apoi scrii concluzia.

Derivata a doua, convexitate și inflexiune

Prima derivată spune dacă funcția urcă sau coboară. A doua spune cum se curbează: dacă panta crește, graficul se deschide în sus și funcția este convexă; dacă panta scade, funcția este concavă. Punctele unde curbura își schimbă sensul se numesc puncte de inflexiune.

f″ > 0 pe un interval ⇒ f convexă acolo

f″ < 0 pe un interval ⇒ f concavă acolo

Punct de inflexiune: f″ se anulează și își schimbă semnul

Anularea singură nu ajunge: la f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0 fără inflexiune

La produse cu e^x, factorul exponențial este mereu pozitiv: semnul vine din paranteză

Plus înseamnă convexă, minus înseamnă concavă.
Verifică întotdeauna schimbarea de semn, nu doar anularea.
La funcții raționale, semnul numitorului la putere impară contează.

Teoremele Fermat, Rolle și Lagrange

Cele trei teoreme leagă comportarea funcției de derivata ei și se folosesc mereu în aceeași ordine logică: verifici ipotezele, apoi scrii concluzia. Rolle este cazul particular al lui Lagrange în care coarda dintre capete este orizontală.

Fermat: f derivabilă, a punct de extrem interior ⇒ f′(a) = 0

Rolle: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b), f(a) = f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) cu f′(c) = 0

Lagrange: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) ⇒ ∃c cu f′(c) = f(b) − f(a)b − a

Interpretare geometrică: tangenta în c este paralelă cu coarda dintre capete

Corolar: f′ = 0 pe un interval ⇒ f constantă pe acel interval

Verifică ipotezele înainte de concluzie; fără ele teorema nu se aplică.
Reciproca lui Fermat este falsă: f(x) = x³ are f′(0) = 0 fără extrem în 0.
Corolarul cere ca mulțimea să fie interval, nu o reuniune de intervale.

Șirul lui Rolle

Metoda răspunde la întrebarea „câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?” fără să rezolve ecuația. Se calculează punctele critice, se scriu valorile funcției în ele împreună cu limitele la capete, iar apoi se citește succesiunea semnelor: fiecare alternanță înseamnă exact o soluție.

Pas 1: rezolvă f′(x) = 0 și află punctele critice

Pas 2: calculează f în punctele critice și limitele la capetele domeniului

Pas 3: scrie șirul semnelor acestor valori

Fiecare schimbare de semn ⇒ exact o soluție în intervalul respectiv

Fără schimbare de semn ⇒ nicio soluție în acel interval

Pe fiecare interval dintre puncte critice funcția este monotonă, deci soluția e unică.
Include întotdeauna limitele la capete în șir, nu doar valorile din punctele critice.
Dacă o valoare din șir este chiar 0, punctul critic însuși este soluție.

Regulile lui l'Hospital

Regula transformă o limită nedeterminată într-una mai simplă, derivând separat numărătorul și numitorul. Atenție: nu se derivează raportul ca un cât. Se aplică numai la cazurile 00 și ∞/∞, iar dacă nedeterminarea persistă, regula se poate repeta.

Cazuri admise: 00 și ∞/∞

lim fg = lim f′g′, dacă noua limită există

Se derivează separat sus și jos, nu cu regula câtului

Repetabilă: limx→0 e^x − x − 1x² cere două aplicări

Ierarhia creșterilor: ln x mai lent decât x, iar x mai lent decât e^x

Verifică întâi cazul: fără nedeterminare, regula dă rezultate false.
Dacă după derivare tot ai nedeterminare, aplică din nou.
Uneori o simplificare algebrică este mai rapidă decât regula.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · numărul soluțiilor prin șirul lui Rolle

Arătați că ecuația x³ − 3x − 5 = 0 are soluție reală unică.

1.Pasul 1 — notăm f(x) = x³ − 3x − 5, funcție polinomială, deci continuă și derivabilă pe tot ℝ.
2.Pasul 2 — calculăm derivata: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1), care se anulează pentru x = −1 și x = 1.
3.Pasul 3 — acestea sunt punctele critice; ele împart ℝ în trei intervale de monotonie.
4.Pasul 4 — calculăm valorile în punctele critice: f(−1) = −1 + 3 − 5 = −3 și f(1) = 1 − 3 − 5 = −7.
5.Pasul 5 — adăugăm limitele la capete: la −∞ funcția tinde la −∞, iar la +∞ tinde la +∞.
6.Pasul 6 — scriem șirul semnelor: minus, minus, minus, plus.
7.Pasul 7 — există o singură alternanță, între ultimele două valori, deci o singură soluție, situată în (1, ∞).
8.Pasul 8 — pe acel interval funcția este strict crescătoare, ceea ce confirmă unicitatea. Fără șirul lui Rolle ar fi trebuit să rezolvăm efectiv o ecuație de gradul 3.

Algoritmul universal în 5 pași

Citește ce se cere: monotonie, convexitate, o valoare c dintr-o teoremă sau numărul de soluții.
Pentru convexitate și inflexiune, calculează f″ și studiază-i semnul, nu doar zerourile.
Pentru teoreme, verifică întâi ipotezele, apoi scrie concluzia și rezolvă ecuația din ea.
Pentru numărul de soluții, alcătuiește șirul semnelor și numără alternanțele.
Verifică dacă valoarea găsită aparține intervalului cerut.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 28 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Derivata a douaM1 · Mate-Info
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x² − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10
Ex. 2ExponențialăM1 · Mate-Info
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e^(3x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f″(x) = 9e^(3x)
Ex. 3Logaritm compusM1 · Mate-Info
Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)²
Ex. 4ConvexitateM1 · Mate-Info
Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 2x² > 0.
Ex. 5Punct de inflexiuneM1 · Mate-Info
Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x³ − 5x² + 3x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).
Ex. 6Capcana derivatei nuleM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: f″(x) = 12x² ≥ 0 nu își schimbă semnul.
Ex. 7RadicalM1 · Mate-Info
Funcția f(x) = x² + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 4x² + 4^(32) > 0.
Ex. 8Produs cu exponențialăM1 · Mate-Info
Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)e^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f″(x) = (x − 3)e^x, deci x = 3.
Ex. 9Două puncte de inflexiuneM1 · Mate-Info
Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x² − 5x + 6)e^x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: f″(x) = (x² − x − 2)e^x = (x − 2)(x + 1)e^x se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.
Ex. 10Funcție raționalăM1 · Mate-Info
Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f″(x) = 6(x − 1)³ > 0 pe (1, ∞).
Ex. 11l'Hospital, cazul 0/0M1 · Mate-Info
Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim e^x/1 = 1
Ex. 12l'Hospital cu logaritmM1 · Mate-Info
Calculați limx→∞ ln xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1x1 = 0
Ex. 13l'Hospital cu exponențialăM1 · Mate-Info
Calculați limx→∞ xe^x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/e^x = 0
Ex. 14Condiția de aplicareM1 · Mate-Info
Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).
Ex. 15Semnul derivatei a douaM1 · Mate-Info
Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 16Tangentă paralelăM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −3(x − 1)² = −3, deci (x − 1)² = 1 și x = 2.
Ex. 25Teorema lui FermatM1 · Mate-Info
Dacă f este derivabilă și are un punct de extrem în interiorul intervalului, atunci derivata se anulează acolo. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 26Reciproca lui FermatM1 · Mate-Info
Dacă f′(a) = 0, atunci a este obligatoriu punct de extrem? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: de exemplu, f(x) = x³ are f′(0) = 0, dar 0 nu este punct de extrem.
Ex. 27Ipotezele teoremei lui RolleM1 · Mate-Info
Câte ipoteze cere teorema lui Rolle pe intervalul [a, b]?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) și f(a) = f(b).
Ex. 28Rolle aplicatM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x² − 4x + 3 pe intervalul [1, 3], determinați valoarea c dată de teorema lui Rolle.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(c) = 2c − 4 = 0, deci c = 2.
Ex. 29Teorema lui LagrangeM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x² pe intervalul [0, 2], determinați valoarea c dată de teorema lui Lagrange.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(2) − f(0)2 = 2 = f′(c) = 2c, deci c = 1.
Ex. 30Interpretarea geometricăM1 · Mate-Info
Teorema lui Lagrange spune că există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 31Rolle ca și caz particularM1 · Mate-Info
Teorema lui Rolle este un caz particular al teoremei lui Lagrange? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da (cazul f(a) = f(b)).
Ex. 32Șirul lui Rolle, o soluțieM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x³ − 3x − 5 punctele critice sunt −1 și 1, cu f(−1) = −3 și f(1) = −7. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1: șirul semnelor −, −, −, + are o singură schimbare.
Ex. 33Șirul lui Rolle, trei soluțiiM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x³ − 3x² + 1 punctele critice sunt 0 și 2, cu f(0) = 1 și f(2) = −3. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: șirul semnelor −, +, −, + are trei schimbări.
Ex. 34Fără soluțiiM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x² − 2ln x pe (0, ∞), punctul critic este 1, cu f(1) = 1, iar limitele la ambele capete sunt +∞. Câte soluții are ecuația f(x) = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: minimul funcției este 1 > 0.
Ex. 35Corolarul lui LagrangeM1 · Mate-Info
Dacă f′ = 0 pe tot un interval, atunci f este constantă pe acel interval. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 36Existență și unicitateM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x³ + x − 1, strict crescătoare pe ℝ, cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Câte soluții reale are ecuația f(x) = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1