Liceu · bazele algebrei⏱ 15–20 min
aₙ

Teorie înainte de exerciții

Șiruri de numere reale

Începem prin a citi și numerota termenii unui șir, apoi descoperim regula. Formulele apar numai după ce tiparul este clar.

Indicele mic arată poziția termenului. În șirul 0, 2, 4, 6 avem a1 = 0 și a4 = 6.
1

Un șir este o listă ordonată

Numerele unui șir se citesc de la stânga la dreapta. Primul se notează a1, al doilea a2, iar termenul aflat pe poziția n se notează an.

În șirul 0, 2, 4, 6, 8 regula este «adunăm 2». Această regulă ne permite să găsim următorii termeni fără să-i memorăm.

Termenii șirului, în ordine

Regula: +2
  1. a10
  2. a22
  3. a34
  4. a46
  5. a58

Următorul termen este a6 = 10, deoarece mai adăugăm încă o dată 2.

2

Progresie aritmetică sau geometrică?

  • Dacă adunăm sau scădem mereu același număr, avem o progresie aritmetică (P.A.).
  • Dacă înmulțim mereu cu același număr, avem o progresie geometrică (P.G.).
  • 1, 4, 7, 10 este P.A. cu r = 3.
  • 2, 6, 18, 54 este P.G. cu q = 3.
  • 1, 2, 4, 7 nu este nici P.A., nici P.G., deoarece regula nu rămâne constantă.
3

De la regulă la formule

Mai întâi identificăm tipul șirului. Apoi alegem formula potrivită și înlocuim indicele cerut.

De ținut minte

P.A.: an = a1 + (n − 1)r
P.G.: bn = b1·qn−1
  • În P.A., r este diferența dintre doi termeni consecutivi.
  • În P.G., q este raportul dintre doi termeni consecutivi nenuli.
  • De la primul termen până la termenul de rang n sunt n − 1 treceri.
Verifică-te singur · cu răspunsuriExerciții de recunoaștere și calcul · 4 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Descoperire

    Găsește regula șirului 0, 2, 4, 6, 8 și următorul termen.

    Vezi răspunsul

    Se adună 2 de fiecare dată; următorul termen este 10.

  2. Ex. 2Recunoaștere

    Decide care dintre șirurile 1, 4, 7, 10 și 2, 4, 8, 16 este P.A.

    Vezi răspunsul

    1, 4, 7, 10 este P.A. (rația 3); 2, 4, 8, 16 este progresie geometrică.

  3. Ex. 3Numerotare

    În șirul 5, 8, 11, 14 scrie valorile lui a1, a2, a3 și a4.

    Vezi răspunsul

    a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14

  4. Ex. 4Formulă

    Pentru a1 = 3 și r = 4, calculează a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = 3 + 4 · 4 = 19

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Șiruri de numere reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Începem prin a citi și numerota termenii unui șir, apoi descoperim regula. Formulele apar numai după ce tiparul este clar.

Un șir este o listă ordonată

Numerele unui șir se citesc de la stânga la dreapta. Primul se notează a1, al doilea a2, iar termenul aflat pe poziția n se notează an.

În șirul 0, 2, 4, 6, 8 regula este «adunăm 2». Această regulă ne permite să găsim următorii termeni fără să-i memorăm.

Progresie aritmetică sau geometrică?

  • Dacă adunăm sau scădem mereu același număr, avem o progresie aritmetică (P.A.).
  • Dacă înmulțim mereu cu același număr, avem o progresie geometrică (P.G.).
  • 1, 4, 7, 10 este P.A. cu r = 3.
  • 2, 6, 18, 54 este P.G. cu q = 3.
  • 1, 2, 4, 7 nu este nici P.A., nici P.G., deoarece regula nu rămâne constantă.

De la regulă la formule

Mai întâi identificăm tipul șirului. Apoi alegem formula potrivită și înlocuim indicele cerut.

  • P.A.: an = a1 + (n − 1)r
  • P.G.: bn = b1·qn−1
  • În P.A., r este diferența dintre doi termeni consecutivi.
  • În P.G., q este raportul dintre doi termeni consecutivi nenuli.
  • De la primul termen până la termenul de rang n sunt n − 1 treceri.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În șirul 0, 2, 4, 6, 8, care este regula și care este următorul termen?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 − 0 = 2 și 4 − 2 = 2.
    2. Adunăm mereu 2.
    3. După 8 urmează 8 + 2 = 10.

    Răspuns: Adunăm 2; urmează 10

  2. Exercițiul 2

    Care dintre următoarele șiruri este o progresie aritmetică?

    Vezi rezolvarea
    1. 4 − 1 = 3.
    2. 7 − 4 = 3 și 10 − 7 = 3.
    3. Șirul este P.A. cu r = 3.

    Răspuns: 1, 4, 7, 10

  3. Exercițiul 3

    În șirul 5, 8, 11, 14, ce valoare are a3?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 5 și a2 = 8.
    2. Al treilea termen este 11.
    3. Așadar a3 = 11.

    Răspuns: 11

  4. Exercițiul 4

    Pentru șirul an = 2n + 1, termenul a10 este:

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim formula an = 2n + 1
    2. a10 = 2 · 10 + 1
    3. a10 = 21

    Răspuns: 21

  5. Exercițiul 5

    O progresie aritmetică are a1 = 3 și rația r = 4. Cât este a5?

    Vezi rezolvarea
    1. a5 = a1 + 4r
    2. a5 = 3 + 4 · 4
    3. a5 = 19

    Răspuns: 19

  6. Exercițiul 6

    O progresie geometrică are a1 = 2 și rația q = 3. Cât este a4?

    Vezi rezolvarea
    1. a4 = a1 · q3
    2. a4 = 2 · 33
    3. a4 = 2 · 27 = 54

    Răspuns: 54

  7. Exercițiul 7

    Șirul este definit prin a1 = 2 și an+1 = an + 3. Cât este a4?

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 2 + 3 = 5
    2. a3 = 5 + 3 = 8
    3. a4 = 8 + 3 = 11

    Răspuns: 11

  8. Exercițiul 8

    Suma primilor 5 termeni ai progresiei aritmetice cu a1 = 2 și r = 2 este:

    Vezi rezolvarea
    1. Primii cinci termeni sunt 2, 4, 6, 8 și 10
    2. S5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10
    3. S5 = 30

    Răspuns: 30

  9. Exercițiul 9

    Șirul are an = 2n2 − 1, pentru n ≥ 1. Află a3.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim n = 3: a3 = 2 · 32 − 1.
    2. Calculăm pătratul: 2 · 9 − 1.
    3. a3 = 17.

    Răspuns: 17

  10. Exercițiul 10

    Șirul are a1 = 4 și an+1 = an + 3. Află a4.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 4 + 3 = 7.
    2. a3 = 7 + 3 = 10.
    3. a4 = 10 + 3 = 13.

    Răspuns: 13

  11. Exercițiul 11

    Pentru an = 5n − 2, care este indicele termenului egal cu 23?

    Vezi rezolvarea
    1. 5n − 2 = 23.
    2. 5n = 25, deci n = 5.
    3. Indicele 5 este admis și a5 = 23.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Pentru an = 7 − 2n, calculează an+1 − an.

    Vezi rezolvarea
    1. an+1 = 7 − 2(n + 1) = 5 − 2n.
    2. Scădem: (5 − 2n) − (7 − 2n).
    3. Diferența este −2, deci șirul este strict descrescător.

    Răspuns: -2

Exerciții de recunoaștere și calcul (4)

  1. 1. Descoperire

    Găsește regula șirului 0, 2, 4, 6, 8 și următorul termen.

    Vezi răspunsul

    Se adună 2 de fiecare dată; următorul termen este 10.

  2. 2. Recunoaștere

    Decide care dintre șirurile 1, 4, 7, 10 și 2, 4, 8, 16 este P.A.

    Vezi răspunsul

    1, 4, 7, 10 este P.A. (rația 3); 2, 4, 8, 16 este progresie geometrică.

  3. 3. Numerotare

    În șirul 5, 8, 11, 14 scrie valorile lui a1, a2, a3 și a4.

    Vezi răspunsul

    a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14

  4. 4. Formulă

    Pentru a1 = 3 și r = 4, calculează a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = 3 + 4 · 4 = 19

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.