Test final mixt 1 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 1 · Calculați limx→1+ 1x − 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este +∞.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: +∞

2. Exercițiul 2

   Itemul 2 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 5. Rezolvați ecuația 0 ∘ x = 12.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 7.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 7

3. Exercițiul 3

   Itemul 3 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (3,4).

   Vezi rezolvarea

   1. u = 35, 45.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 4 · Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = −x² + 4x în punctul de abscisă 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Tangenta este y = 2x + 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

5. Exercițiul 5

   Itemul 5 · Fie P(x) = (x + 2)(x − 0)(x − 5). Arătați că x − 5 divide P(x).

   Vezi rezolvarea

   1. P(5) = 0, deci x − 5 divide P.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

6. Exercițiul 6

   Itemul 6 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

   Vezi rezolvarea

   1. Sunt 22 cazuri favorabile din 90; P = 1145.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1145

7. Exercițiul 7

   Itemul 7 · Într-o progresie aritmetică, a₂ = 11, a₅ = 26. Calculați a₁₀.

   Vezi rezolvarea

   1. r = 5, iar a₁₀ = 51.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 51

8. Exercițiul 8

   Itemul 8 · Calculați (2 + i) + (1 − 3i).

   Vezi rezolvarea

   1. Rezultatul este 3 − 2i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

9. Exercițiul 9

   Itemul 9 · Rezolvați ecuația 4(x − 1) = 2x + 6.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5

10. Exercițiul 10

    Itemul 10 · Fie A = 1301. Calculați A².

    Vezi rezolvarea

    1. A² = 1601.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

11. Exercițiul 11

    Itemul 11 · Într-o progresie geometrică, b₂ = -4, b₅ = 32. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q³ = b₅b₂ = -8, deci q = -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

12. Exercițiul 12

    Itemul 12 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 817. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea

    1. cos α = 1517.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1517

13. Exercițiul 13

    Itemul 13 · Împărțiți P(x) = x³ − 3x² + 6x − 8 la x − 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Câtul este x² − x + 4, restul 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 14 · Într-o progresie geometrică, b₂ = 10, b₅ = 80. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q³ = b₅b₂ = 8, deci q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

15. Exercițiul 15

    Itemul 15 · Fie A = 1-201. Determinați A⁻¹.

    Vezi rezolvarea

    1. A⁻¹ = 1201.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 16 · Calculați limx→3− 1x − 3.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este −∞.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −∞

17. Exercițiul 17

    Itemul 17 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea

    1. Elementul neutru este e = -3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -3

18. Exercițiul 18

    Itemul 18 · Determinați ecuația dreptei de pantă 3 care trece prin A(2,-1).

    Vezi rezolvarea

    1. y = 3x − 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

19. Exercițiul 19

    Itemul 19 · Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 8.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 5 cazuri favorabile din 36; P = 536.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 536

20. Exercițiul 20

    Itemul 20 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 817, cos α = 1517. Calculați sin 2α.

    Vezi rezolvarea

    1. sin 2α = 240289.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 240289

21. Exercițiul 21

    Itemul 21 · Rezolvați în ℂ ecuația z² = 25.

    Vezi rezolvarea

    1. z ∈ {−5, 5}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 22 · Într-o progresie aritmetică, a₂ = 8, a₅ = -1. Calculați a₁₀.

    Vezi rezolvarea

    1. r = −3, iar a₁₀ = −16.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −16

23. Exercițiul 23

    Itemul 23 · Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 1)² + 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Valoarea maximă este f(1) = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

24. Exercițiul 24

    Itemul 24 · Rezolvați ecuația 3(x − 2) = x + 8.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

25. Exercițiul 25

    Itemul 25 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(-2,1) și este paralelă cu dreapta 3x + y + 7 = 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Ecuația este 3x + y + 5 = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

26. Exercițiul 26

    Itemul 26 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 5. Calculați 0 ∘ -4.

    Vezi rezolvarea

    1. 0 ∘ -4 = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

27. Exercițiul 27

    Itemul 27 · Calculați i²⁰²⁶.

    Vezi rezolvarea

    1. i²⁰²⁶ = −1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −1

28. Exercițiul 28

    Itemul 28 · Determinați x dacă det x421 = 10.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 18.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 18

29. Exercițiul 29

    Itemul 29 · Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² − 5x + 6 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi rezolvarea

    1. x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

30. Exercițiul 30

    Itemul 30 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = 2. Calculați b₄.

    Vezi rezolvarea

    1. b₄ = b₁·q³ = 24.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 24

31. Exercițiul 31

    Itemul 31 · În progresia aritmetică cu a₁ = -1, r = 4, determinați n dacă a_n = 23.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

32. Exercițiul 32

    Itemul 32 · Calculați limx→0 (5x − 2).

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

Itemii testului 1 (32)

1. 1. Limite · 1p

   Calculați limx→1+ 1x − 1.

   Vezi răspunsul

   +∞

2. 2. Legi de compoziție · 5p

   Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 5. Rezolvați ecuația 0 ∘ x = 12.

   Vezi răspunsul

   0 ∘ x = x + 5 = 12, deci x = 7.

3. 3. Geometrie analitică și vectori · 3p

   Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (3,4).

   Vezi răspunsul

   (35, 45) (|v| = 5)

4. 4. Derivate · 4p

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = −x² + 4x în punctul de abscisă 1.

   Vezi răspunsul

   f(1) = 3, f′(x) = −2x + 4, f′(1) = 2: y = 2x + 1.

5. 5. Polinoame · 5p

   Fie P(x) = (x + 2)(x − 0)(x − 5). Arătați că x − 5 divide P(x).

   Vezi răspunsul

   P(5) = 7 · 5 · 0 = 0, deci x − 5 divide P(x) (teorema lui Bézout).

6. 6. Probabilități · 3p

   Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

   Vezi răspunsul

   2290 = 1145 (multiplii de 4 de două cifre sunt 12, 16, …, 96)

7. 7. Progresii aritmetice · 3p

   Într-o progresie aritmetică, a₂ = 11, a₅ = 26. Calculați a₁₀.

   Vezi răspunsul

   3r = 26 − 11 = 15, deci r = 5 și a₁ = 6; a₁₀ = 6 + 9 · 5 = 51.

8. 8. Numere complexe · 5p

   Calculați (2 + i) + (1 − 3i).

   Vezi răspunsul

   3 − 2i

9. 9. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația 4(x − 1) = 2x + 6.

   Vezi răspunsul

   4x − 4 = 2x + 6, deci x = 5.

10. 10. Matrice · 2p

    Fie A = 1301. Calculați A².

    Vezi răspunsul

    A² = 1601

11. 11. Progresii geometrice · 3p

    Într-o progresie geometrică, b₂ = -4, b₅ = 32. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q³ = 32 : (−4) = −8, deci q = −2.

12. 12. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 817. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = √1 − 64289 = 1517

13. 13. Polinoame · 3p

    Împărțiți P(x) = x³ − 3x² + 6x − 8 la x − 2.

    Vezi răspunsul

    Câtul este x² − x + 4, iar restul este 0 (Horner: 1, −1, 4, 0).

14. 14. Progresii geometrice · 3p

    Într-o progresie geometrică, b₂ = 10, b₅ = 80. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q³ = 80 : 10 = 8, deci q = 2.

15. 15. Matrice · 3p

    Fie A = 1-201. Determinați A⁻¹.

    Vezi răspunsul

    A⁻¹ = 1201

16. 16. Limite · 1p

    Calculați limx→3− 1x − 3.

    Vezi răspunsul

    −∞

17. 17. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    x + e + 3 = x, deci e = −3.

18. 18. Geometrie analitică și vectori · 5p

    Determinați ecuația dreptei de pantă 3 care trece prin A(2,-1).

    Vezi răspunsul

    y + 1 = 3(x − 2), adică y = 3x − 7.

19. 19. Probabilități · 2p

    Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 8.

    Vezi răspunsul

    536: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

20. 20. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 817, cos α = 1517. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (817) · (1517) = 240289

21. 21. Numere complexe · 2p

    Rezolvați în ℂ ecuația z² = 25.

    Vezi răspunsul

    z = 5 sau z = −5

22. 22. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₂ = 8, a₅ = -1. Calculați a₁₀.

    Vezi răspunsul

    3r = −1 − 8 = −9, deci r = −3 și a₁ = 11; a₁₀ = 11 − 27 = −16.

23. 23. Derivate · 3p

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 1)² + 2.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 2, pentru x = 1; valoarea maximă este 12.

24. 24. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 3(x − 2) = x + 8.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 = x + 8, deci x = 7.

25. 25. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(-2,1) și este paralelă cu dreapta 3x + y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Paralela are panta −3: y − 1 = −3(x + 2), adică 3x + y + 5 = 0.

26. 26. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 5. Calculați 0 ∘ -4.

    Vezi răspunsul

    0 + (−4) + 5 = 1

27. 27. Numere complexe · 5p

    Calculați i²⁰²⁶.

    Vezi răspunsul

    2026 = 4 · 506 + 2, deci i²⁰²⁶ = i² = −1.

28. 28. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det x421 = 10.

    Vezi răspunsul

    x · 1 − 4 · 2 = 10, deci x = 18.

29. 29. Polinoame · 3p

    Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² − 5x + 6 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi răspunsul

    x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 6

30. 30. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = 2. Calculați b₄.

    Vezi răspunsul

    b₄ = 3 · 2³ = 24

31. 31. Progresii aritmetice · 4p

    În progresia aritmetică cu a₁ = -1, r = 4, determinați n dacă a_n = 23.

    Vezi răspunsul

    −1 + 4(n − 1) = 23, deci n = 7.

32. 32. Limite · 5p

    Calculați limx→0 (5x − 2).

    Vezi răspunsul

    −2