Arii și volume de rotație

Lecția arată la ce folosește integrala definită dincolo de calcul: măsurarea ariilor, a volumelor de rotație și studiul funcțiilor definite printr-o integrală.

Ariile și volumele de rotație sunt conținut oficial pentru M1, M2 și M3. Secțiunea despre derivata unei integrale cu capăt variabil este o extensie utilă pentru legătura dintre derivare și integrare.

Aria unei suprafețe plane

Integrala definită și aria nu sunt același lucru. Integrala adună porțiunile de sub axă cu semnul minus, în timp ce aria este mereu pozitivă. De aceea primul pas este întotdeauna studiul semnului funcției pe intervalul dat, iar dacă semnul se schimbă, intervalul se rupe în bucăți.

Dacă f ≥ 0 pe [a, b]: aria = f(x)dx

Dacă f ≤ 0 pe [a, b]: aria = − f(x)dx

Dacă f schimbă semnul: se rupe intervalul în rădăcini și se adună modulele

Aria dintre două grafice: |f(x) − g(x)|dx

Studiază semnul înainte de orice calcul: e pasul care decide totul.
Integrala poate fi negativă, aria niciodată.
La aria dintre două grafice, verifică întâi care funcție este deasupra.

Volumul corpului de rotație

Rotind graficul unei funcții în jurul axei Ox se obține un corp ale cărui secțiuni perpendiculare pe axă sunt discuri de rază f(x). Adunând ariile acestor discuri de-a lungul intervalului obținem volumul. Reține că se integrează pătratul funcției, nu funcția.

V = π· f²(x)dx

Radicalul dispare la ridicarea la pătrat: pentru f = u rămâne ∫ u dx

Sfera de rază r: rotind r² − x² pe [−r, r] se obține 4πr³3

Nu uita π în față și nu uita pătratul sub integrală.
Semnul funcției nu contează la volum: pătratul îl elimină oricum.
Funcțiile cu radical sunt cele mai comode aici.

Derivata unei integrale cu capăt variabil

Când capătul de sus al unei integrale este variabil, expresia devine o funcție de acel capăt. Teorema fundamentală a calculului spune că derivarea desface integrala: nu trebuie calculată efectiv, ci doar înlocuită variabila de integrare cu capătul.

Dacă F(x) = ∫_a^x f(t)dt, cu f continuă, atunci F′(x) = f(x)

F(a) = 0, pentru că integrala pe un interval degenerat este nulă

Capătul de jos schimbă doar constanta, nu derivata

Verifică întâi continuitatea integrandului: fără ea teorema nu se aplică.
Nu calcula integrala dacă ți se cere doar derivata ei.
Combinată cu definiția derivatei, teorema rezolvă multe limite de forma 00.

Algoritmul în 4 pași

Citește ce se cere: arie, volum sau derivată de integrală.
Pentru arie, studiază semnul și rupe intervalul în rădăcini.
Pentru volum, ridică funcția la pătrat și nu uita factorul π.
Verifică rezultatul: aria și volumul trebuie să iasă pozitive.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · aplicații ale integralei definite · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Aria subgraficuluiM1 · M2 · M3
Calculați aria subgraficului funcției f : [1, e] → ℝ, f(x) = x·ln x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f ≥ 0 pe [1, e], deci aria = x ln x dx = e² + 14.
Ex. 2Semnul funcțieiM1 · M2 · M3
Pentru f(x) = x² − 4x + 3, câte intervale de semn constant apar pe [1, 5]?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: f < 0 pe (1, 3) și f > 0 pe (3, 5).
Ex. 3Arie cu schimbare de semnM1 · M2 · M3
Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f(x) = x² − 4x + 3, axa Ox și dreptele x = 1 și x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu F(x) = x³3 − 2x² + 3x: aria = −(F(3) − F(1)) + (F(5) − F(3)) = 43 + 203 = 8.
Ex. 4Arie cu exponențialeM1 · M2 · M3
Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = e^x + e^(−x), axa Ox și dreptele x = −1 și x = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f > 0, deci aria = [e^x − e^(−x)] de la −1 la 2 = e² − e⁻² + e − e⁻¹.
Ex. 5Arie cu substituțieM1 · M2 · M3
Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = 2x·e^(x²), axa Ox și dreptele x = 0 și x = 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[e^(x²)] de la 0 la 1 = e − 1
Ex. 6Aria dintre două graficeM1 · M2 · M3
Pentru f(x) = x² − 8x + 1 și g(x) = −x² + 4x − 17, calculați aria dintre graficele lor, între x = −1 și x = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) − g(x) = 2(x − 3)² ≥ 0, deci aria = [2(x − 3)³3] de la −1 la 0 = −18 + 1283 = 743.
Ex. 7Volum de rotațieM1 · M2 · M3
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției f : [0, 2] → ℝ, f(x) = 2x − x².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = π (2x − x²)² dx = π[4x³3 − x⁴ + x⁵5] de la 0 la 2 = 16π15
Ex. 8Volum cu radicalM1 · M2 · M3
Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = x² + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = π (x² + 3) dx = π(13 + 3) = 10π3
Ex. 9Volum cu exponențialăM1 · M2 · M3
Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = e^x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = π (e^(2x) + 2e^x + 1) dx = π(e² + 4e − 3)2
Ex. 10Volum de demonstratM1 · M2 · M3
Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției f : [0, 1] → ℝ, f(x) = e^x − 2x este π(3e² − 19)6. Precizați valoarea integralei f²(x)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(e^(2x) − 4xe^x + 4x²) dx = e² − 12 − 4 + 43 = 3e² − 196, deci V = π(3e² − 19)6.
Ex. 11Volumul sfereiM1 · M2 · M3
Rotind graficul funcției f : [−r, r] → ℝ, f(x) = r² − x², obținem o sferă de rază r. Calculați volumul ei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = π∫ (r² − x²) dx de la −r la r = 4πr³3
Ex. 12Derivata unei integraleM1 · M2 · M3
Fie F : ℝ → ℝ, F(x) = ∫₀^x t⁷·e^t dt. Calculați F′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F′(x) = x⁷e^x
Ex. 13Derivata în origineM1 · M2 · M3
Fie g(t) = ∫₀^t sin(x²) dx. Calculați g′(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
g′(0) = sin 0 = 0
Ex. 14Aria unei porțiuni negativeM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x − 2. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul lui f, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f ≤ 0 pe [0, 2], deci aria = (2 − x) dx = 2.