Încărcăm partea curentă…

Arii și volume de rotație

Aria este pozitivă, chiar dacă integrala nu este

O funcție sub axa Ox are integrală negativă, dar suprafața ei are arie pozitivă. Dacă graficul trece prin axă, împarte intervalul la punctul unde funcția este zero.

Găsește zerourile funcției, stabilește pe ce porțiuni este deasupra sau sub axă și adună valorile pozitive ale ariilor.

De ținut minte

Aria = |f(x)|dx
  • Dacă aduni integralele cu semn, ariile se pot anula greșit între ele.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați aria dintre f(x)=x−1 și axa Ox pe [0,2].

  1. 1Funcția este zero la x=1: negativă pe [0,1] și pozitivă pe [1,2].
  2. 2Cele două bucăți sunt triunghiuri de bază 1 și înălțime 1; fiecare are aria 12.
  3. 3Adunăm 12+12=1; nu lăsăm prima porțiune cu semn minus.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Arii și volume de rotație: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Aria este pozitivă, chiar dacă integrala nu este

O funcție sub axa Ox are integrală negativă, dar suprafața ei are arie pozitivă. Dacă graficul trece prin axă, împarte intervalul la punctul unde funcția este zero.

Găsește zerourile funcției, stabilește pe ce porțiuni este deasupra sau sub axă și adună valorile pozitive ale ariilor.

  • Aria = |f(x)|dx
  • Dacă aduni integralele cu semn, ariile se pot anula greșit între ele.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați aria dintre f(x)=x−1 și axa Ox pe [0,2].

  1. Funcția este zero la x=1: negativă pe [0,1] și pozitivă pe [1,2].
  2. Cele două bucăți sunt triunghiuri de bază 1 și înălțime 1; fiecare are aria 12.
  3. Adunăm 12+12=1; nu lăsăm prima porțiune cu semn minus.

Volumul: pătratul funcției și numărul π

Când rotim regiunea sub grafic în jurul axei Ox, o felie subțire devine un disc. Raza discului este |f(x)|, iar aria sa este π·f(x)2.

Ridică funcția la pătrat, integrează între capete și abia apoi înmulțește cu π.

  • V=πf(x)2dx
  • Nu integra f(x) în loc de f(x)2; nu uita π.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați volumul obținut din f(x)=x pe [0,1].

  1. Pătratul funcției este x2.
  2. Calculăm x2dx==13.
  3. Înmulțim cu π: V=π3.

Când numărul de sus este x, derivarea desface integrala

Dacă avem F(x)=∫axf(t)dt și f este continuă, derivata lui F se obține punând x în locul lui t. Nu trebuie să calculăm mai întâi integrala.

Verifică faptul că expresia de sub integrală este continuă. Înlocuiește apoi litera de integrare cu litera capătului de sus.

  • F(x)=∫axf(t)dt ⇒ F′(x)=f(x)
  • Regula aceasta este despre derivata unei integrale cu capăt variabil, nu despre aria unei regiuni.

Exemplu rezolvat cu alte date

Dacă H(x)=∫1x(t2+2)dt, calculați H′(x).

  1. t2+2 este continuă.
  2. Înlocuim t cu x în expresia de sub integrală.
  3. Rezultă H′(x)=x2+2, fără să calculăm integrala.

Aria sub grafic: verificăm semnul înainte de calcul

Dacă funcția este deasupra axei, aria este chiar integrala definită. Dacă funcția schimbă semnul, despărțim intervalul în rădăcini.

Întâi studiază semnul. Numai după aceea găsește primitiva, înlocuiește capetele și calculează aria.

  • f≥0 pe [a,b] ⇒ A=f(x)dx
  • Integrala cu semn și aria coincid numai după ce ai verificat semnul.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați aria pentru f(x)=2x pe [0,2].

  1. Pe [0,2], funcția 2x este nenegativă.
  2. Primitiva este F(x)=x2; F(2)=4 și F(0)=0.
  3. Aria este 4−0=4.

Aria cu exponențiale sau cu o derivată ascunsă

Funcția ex este mereu pozitivă. Dacă mai apare un factor precum 2x lângă ex2, acesta este derivata exponentului și putem folosi substituția.

Stabilește semnul, recunoaște tiparul, apoi găsește primitiva și calculează la cele două capete.

  • ∫u′eudx=eu+C; A=F(b)−F(a) dacă f≥0
  • Nu înmulți din nou cu derivata exponentului; ea este deja în integrandă.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați aria sub f(x)=3e3x pe [0,1].

  1. Funcția este pozitivă și 3 este derivata exponentului 3x.
  2. O primitivă este F(x)=e3x.
  3. Aria este F(1)−F(0)=e3−1.

Aria dintre două grafice

Când ai două funcții f și g, aria dintre grafice se obține din diferența lor pozitivă: funcția de sus minus funcția de jos.

Calculează f−g și vezi dacă este pozitivă pe interval. Dacă nu este, împarte intervalul unde cele două grafice se întâlnesc.

  • A=|f(x)−g(x)|dx
  • Nu integra separat cele două funcții înainte să verifici care este deasupra.

Exemplu rezolvat cu alte date

Pe [0,1], calculați aria dintre f(x)=x+2 și g(x)=x.

  1. Diferența este f−g=(x+2)−x=2, pozitivă pe tot intervalul.
  2. Integrăm 2dx=.
  3. Aria este 2−0=2.

Volum cu radical: pătratul îl elimină

La volum, funcția apare la pătrat. Dacă f(x) este un radical, pătratul poate transforma problema într-o integrală de polinom.

Scrie formula V=π∫f2, calculează f2 în paranteze, apoi integrează funcția mai simplă.

  • (√u)2=u; V=πf2dx
  • Radicalul dispare abia după ce ridici întreaga funcție la pătrat.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați volumul pentru f(x)=x+1 pe [0,1].

  1. f2(x)=x+1.
  2. Calculăm (x+1)dx==32.
  3. Volumul este 3π2.

Volum cu expresii mai lungi

Dacă f este o sumă sau diferență, ridicăm întreaga expresie la pătrat. Termenul din mijloc apare de două ori și nu trebuie uitat.

Dezvoltă f2, integrează termen cu termen și calculează valorile la capete înainte de a înmulți cu π.

  • (a−b)2=a2−2ab+b2; V=πf2dx
  • La pătratul unei sume nu dispar termenii din mijloc.

Exemplu rezolvat cu alte date

Pentru f(x)=x+1 pe [0,1], calculați volumul de rotație.

  1. Ridicăm toată suma la pătrat: (x+1)2=x2+2x+1.
  2. Integrăm: =13+1+1=73.
  3. Volumul este 7π3.

Derivata unei integrale, apoi înlocuirea unui număr

Mai întâi derivăm integrală cu capăt variabil: înlocuim litera din interior cu cea de la capăt. Dacă se cere derivata într-un punct, punem apoi numărul dat.

Nu încerca să găsești o primitivă complicată când întrebarea cere doar derivata.

  • G(t)=∫atf(x)dx ⇒ G′(t)=f(t)
  • Calculează derivata, nu integrala inițială.

Exemplu rezolvat cu alte date

Dacă G(t)=∫0t cos(x2)dx, calculați G′(0).

  1. Prin regula integralei cu capăt variabil, G′(t)=cos(t2).
  2. Înlocuim t cu 0: G′(0)=cos(02).
  3. cos 0=1, deci răspunsul este 1.

Aria unei regiuni aflate sub axă

Dacă toată funcția este sub axa Ox, integrala definită este negativă, dar aria o obții luând opusul acelui număr.

Verifică semnul pe interval, calculează integrala și schimbă semnul rezultatului dacă este negativ.

  • f≤0 pe [a,b] ⇒ A=−f(x)dx
  • Aria nu poate avea semnul minus.

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculați aria dintre f(x)=x−1 și axa Ox pe [0,1].

  1. Pe [0,1], x−1≤0.
  2. Integrala este =−12.
  3. Aria este opusul: 12.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Exercițiul 3 ghidat · Vrem aria dintre graficul lui f(x) = x2 − 4x + 3, axa Ox și dreptele x = 1, x = 5. Pasul 1: de ce nu integrăm direct pe [1, 5]?

    Vezi rezolvarea
    1. Integrala definită adună porțiunile de sub axă cu semnul minus.
    2. Aria, în schimb, este o mărime pozitivă, deci porțiunile negative trebuie luate în modul.
    3. Dacă funcția ar păstra semnul, cele două ar coincide.
    4. Deci primul pas este studiul semnului.

    Răspuns: Pentru că funcția schimbă semnul pe interval, iar aria trebuie să fie pozitivă

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: determinați rădăcinile lui f și spuneți unde este funcția negativă pe [1, 5].

    Vezi rezolvarea
    1. Rezolvăm ecuația: discriminantul este 16 − 12 = 4, deci rădăcinile sunt 1 și 3.
    2. Coeficientul lui x2 este pozitiv, deci parabola are ramurile în sus.
    3. O astfel de funcție este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor.
    4. Pe [1, 5] avem deci f ≤ 0 pe [1, 3] și f ≥ 0 pe [3, 5].

    Răspuns: Rădăcinile sunt 1 și 3, iar f este negativă pe (1, 3)

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: calculați f(x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim primitiva F(x) = x33 − 2x2 + 3x.
    2. La capătul 3: 9 − 18 + 9 = 0.
    3. La capătul 1: 13 − 2 + 3 = 43.
    4. Scădem: 0 − 43 = −43. Valoarea negativă confirmă că porțiunea este sub axă.

    Răspuns: −43

  4. Exercițiul 4

    Pasul 4: știind că f(x) dx = 203, calculați aria totală.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima porțiune este sub axă, deci contribuie cu modulul: |−43| = 43.
    2. A doua porțiune este deasupra axei și contribuie direct cu 203.
    3. Adunăm: 43 + 203 = 243.
    4. Răspuns final: 8. Dacă am fi integrat direct pe [1, 5] am fi obținut 163, care nu este aria.

    Răspuns: 8

  5. Exercițiul 5

    Exercițiul 7 semi-ghidat · La volumul corpului de rotație, ce se integrează?

    Vezi rezolvarea
    1. Rotind graficul în jurul axei Ox, fiecare secțiune perpendiculară este un disc de rază f(x).
    2. Aria discului este π·f2(x).
    3. Adunând aceste arii de-a lungul intervalului obținem V = π· f2(x) dx.
    4. De aceea radicalii sunt convenabili aici: dispar la ridicarea la pătrat.

    Răspuns: Pătratul funcției, înmulțit cu π

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = 2x − x2 pe [0, 2], calculați f2(x) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Ridicăm la pătrat: (2x − x2)2 = 4x2 − 4x3 + x4.
    2. O primitivă este 4x33 − x4 + x55.
    3. La capătul 2: 323 − 16 + 325. La capătul 0: totul se anulează.
    4. Aducem la numitor comun 15: 160 − 240 + 9615 = 1615. Volumul este deci 16π15.

    Răspuns: 1615

  7. Exercițiul 7

    Exercițiul 12 semi-ghidat · Pentru F(x) = ∫0x t7·et dt, ce condiție permite derivarea directă?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema fundamentală a calculului cere ca integrandul să fie continuu pe interval.
    2. Atunci funcția definită prin integrală cu capăt variabil este derivabilă.
    3. Aici t7·et este produs de funcții continue, deci este continuu pe ℝ.
    4. Capătul de jos poate fi orice constantă: el afectează doar constanta aditivă, nu derivata.

    Răspuns: Integrandul este continuu, deci admite primitive

  8. Exercițiul 8

    Acum calculați F′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata integralei cu capăt variabil este integrandul evaluat în acel capăt.
    2. Înlocuim t cu x în expresia t7·et.
    3. Nu este nevoie să calculăm efectiv integrala, care ar cere șapte integrări prin părți.
    4. Răspuns final: F′(x) = x7·ex.

    Răspuns: x7ex

  9. Exercițiul 9

    Calculați aria subgraficului funcției f : [1, e] → ℝ, f(x) = x·ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe [1, e] funcția este pozitivă, pentru că x > 0 și ln x ≥ 0, deci aria este chiar integrala.
    2. Integrăm prin părți: ∫ x·ln x dx = x22·ln x − x24.
    3. La capătul e: e22 − e24 = e24. La capătul 1: −14.
    4. Răspuns final: e24 + 14 = e2 + 14.

    Răspuns: e2+14

  10. Exercițiul 10

    Pentru f(x) = x2 − 4x + 3, câte intervale de semn constant apar pe [1, 5]?

    Vezi rezolvarea
    1. Rezolvăm f(x) = 0: rădăcinile sunt x = 1 și x = 3.
    2. Pe [1, 5] singura rădăcină interioară este 3.
    3. Coeficientul lui x2 fiind pozitiv, funcția este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor.
    4. Deci pe [1, 3] avem f ≤ 0, iar pe [3, 5] avem f ≥ 0: două intervale. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = ex + e−x, axa Ox și dreptele x = −1 și x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția este suma a două exponențiale, deci strict pozitivă peste tot: aria este integrala.
    2. O primitivă este ex − e−x.
    3. La capătul 2: e2 − e−2. La capătul −1: e−1 − e.
    4. Răspuns final: (e2 − e−2) − (e−1 − e) = e2 + e − 1e2 − 1e.

    Răspuns: e2+e−1e2−1e

  12. Exercițiul 12

    Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = 2x·ex2, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe [0, 1] avem x ≥ 0 și exponențiala pozitivă, deci f ≥ 0 și aria este integrala.
    2. Recunoaștem tiparul u′·eu cu u = x2, pentru că (x2)′ = 2x.
    3. O primitivă este ex2.
    4. La capete: e1 − e0 = e − 1. Răspuns final: e − 1.

    Răspuns: e−1

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x2 − 8x + 1 și g(x) = −x2 + 4x − 17, calculați aria dintre graficele lor, între x = −1 și x = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria dintre două grafice este integrala din diferența lor, luată în ordinea care dă rezultat pozitiv.
    2. Calculăm f(x) − g(x) = 2x2 − 12x + 18 = 2(x − 3)2, care este ≥ 0 pentru orice x real.
    3. Integrăm: 2(x − 3)2 dx = 23·[(x − 3)3] între −1 și 0 = 23·(−27 + 64).
    4. Răspuns final: 23·37 = 743.

    Răspuns: 743

  14. Exercițiul 14

    Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = x2 + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici radicalul este un avantaj: la ridicarea la pătrat dispare complet.
    2. f2(x) = x2 + 3, un simplu polinom.
    3. (x2 + 3) dx = 13 + 3 = 103.
    4. Răspuns final: V = 10π3.

    Răspuns: 10π3

  15. Exercițiul 15

    Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = ex + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Ridicăm la pătrat: (ex + 1)2 = e2x + 2ex + 1.
    2. O primitivă este e2x2 + 2ex + x.
    3. La capătul 1: e22 + 2e + 1. La capătul 0: 12 + 2 + 0.
    4. Răspuns final: V = π(e22 + 2e − 32).

    Răspuns: π(e22+2e−32)

  16. Exercițiul 16

    Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției f : [0, 1] → ℝ, f(x) = ex − 2x este π(3e2 − 19)6. Precizați valoarea integralei f2(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Ridicăm la pătrat: (ex − 2x)2 = e2x − 4x·ex + 4x2.
    2. Integrăm termen cu termen; la mijloc folosim părțile: ∫ x·ex dx = (x − 1)ex.
    3. Obținem primitiva e2x2 − 4(x − 1)ex + 4x33.
    4. La capătul 1: e22 + 0 + 43. La capătul 0: 12 + 4 + 0. Diferența este e22 + 43 − 92 = 3e2 − 196.

    Răspuns: 3e2−196

  17. Exercițiul 17

    Rotind graficul funcției f : [−r, r] → ℝ, f(x) = r2 − x2, obținem o sferă de rază r. Calculați volumul ei.

    Vezi rezolvarea
    1. Graficul funcției este semicercul superior de rază r, iar prin rotire în jurul axei Ox se obține sfera.
    2. Ridicăm la pătrat: f2(x) = r2 − x2.
    3. ∫−rr (r2 − x2) dx = [r2x − x33] între −r și r = (r3 − r33) − (−r3 + r33) = 4r33.
    4. Răspuns final: V = 4πr33, formula clasică a volumului sferei, obținută aici prin calcul integral.

    Răspuns: 4πr33

  18. Exercițiul 18

    Fie g(t) = ∫0t sin(x2) dx. Calculați g′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. Integrandul sin(x2) este continuu pe ℝ, deci se aplică teorema fundamentală.
    2. Rezultă g′(t) = sin(t2).
    3. În t = 0: g′(0) = sin(02) = sin 0.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  19. Exercițiul 19

    Fie f(x) = x − 2. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul lui f, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe [0, 2] funcția este negativă, pentru că x − 2 ≤ 0.
    2. Integrala (x − 2) dx = [x22 − 2x] între 0 și 2 = 2 − 4 = −2.
    3. Aria nu poate fi negativă, deci luăm modulul valorii obținute.
    4. Răspuns final: 2. Reține: integrala poate fi negativă, aria niciodată.

    Răspuns: 2

Fișa integrală · aplicații ale integralei definite (14)

  1. 1. Aria subgraficului

    Calculați aria subgraficului funcției f : [1, e] → ℝ, f(x) = x·ln x.

    Vezi răspunsul

    f ≥ 0 pe [1, e], deci aria = x ln x dx = e2 + 14.

  2. 2. Semnul funcției

    Pentru f(x) = x2 − 4x + 3, câte intervale de semn constant apar pe [1, 5]?

    Vezi răspunsul

    2: f < 0 pe (1, 3) și f > 0 pe (3, 5).

  3. 3. Arie cu schimbare de semn

    Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f(x) = x2 − 4x + 3, axa Ox și dreptele x = 1 și x = 5.

    Vezi răspunsul

    Cu F(x) = x33 − 2x2 + 3x: aria = −(F(3) − F(1)) + (F(5) − F(3)) = 43 + 203 = 8.

  4. 4. Arie cu exponențiale

    Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = ex + e−x, axa Ox și dreptele x = −1 și x = 2.

    Vezi răspunsul

    f > 0, deci aria = [ex − e−x] de la −1 la 2 = e2 − e−2 + e − e−1.

  5. 5. Arie cu substituție

    Calculați aria suprafeței limitate de graficul funcției f(x) = 2x·ex2, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 1.

    Vezi răspunsul

    [ex2] de la 0 la 1 = e − 1

  6. 6. Aria dintre două grafice

    Pentru f(x) = x2 − 8x + 1 și g(x) = −x2 + 4x − 17, calculați aria dintre graficele lor, între x = −1 și x = 0.

    Vezi răspunsul

    f(x) − g(x) = 2(x − 3)2 ≥ 0, deci aria = [2(x − 3)33] de la −1 la 0 = −18 + 1283 = 743.

  7. 7. Volum de rotație

    Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției f : [0, 2] → ℝ, f(x) = 2x − x2.

    Vezi răspunsul

    V = π (2x − x2)2 dx = π[4x33 − x4 + x55] de la 0 la 2 = 16π15

  8. 8. Volum cu radical

    Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = x2 + 3.

    Vezi răspunsul

    V = π (x2 + 3) dx = π(13 + 3) = 10π3

  9. 9. Volum cu exponențială

    Calculați volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, 1] → ℝ, f(x) = ex + 1.

    Vezi răspunsul

    V = π (e2x + 2ex + 1) dx = π(e2 + 4e − 3)2

  10. 10. Volum de demonstrat

    Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției f : [0, 1] → ℝ, f(x) = ex − 2x este π(3e2 − 19)6. Precizați valoarea integralei f2(x)dx.

    Vezi răspunsul

    (e2x − 4xex + 4x2) dx = e2 − 12 − 4 + 43 = 3e2 − 196, deci V = π(3e2 − 19)6.

  11. 11. Volumul sferei

    Rotind graficul funcției f : [−r, r] → ℝ, f(x) = r2 − x2, obținem o sferă de rază r. Calculați volumul ei.

    Vezi răspunsul

    V = π∫ (r2 − x2) dx de la −r la r = 4πr33

  12. 12. Derivata unei integrale

    Fie F : ℝ → ℝ, F(x) = ∫0x t7·et dt. Calculați F′(x).

    Vezi răspunsul

    F′(x) = x7ex

  13. 13. Derivata în origine

    Fie g(t) = ∫0t sin(x2) dx. Calculați g′(0).

    Vezi răspunsul

    g′(0) = sin 0 = 0

  14. 14. Aria unei porțiuni negative

    Fie f(x) = x − 2. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul lui f, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.

    Vezi răspunsul

    f ≤ 0 pe [0, 2], deci aria = (2 − x) dx = 2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.