Încărcăm partea curentă…

P.G. aplicată · nivel M3

De la înmulțire la termenul căutat

Într-o progresie geometrică înmulțim mereu cu aceeași rație q. O aflăm împărțind doi termeni vecini, dacă termenul de jos este nenul. De la b1 la bn sunt n−1 înmulțiri. Dacă q este o fracție sub 1, termenii pozitivi se micșorează.

De ținut minte

bn=b1·qn−1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=4 și q=2, află b4.

  1. 1Sunt trei treceri până la poziția 4.
  2. 2b4=4·23=4·8.
  3. 3b4=32; verificăm șirul 4,8,16,32.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

P.G. aplicată · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citești o idee și un exemplu cu alte date, apoi rezolvi câteva exerciții. Poți redeschide aceeași teorie oricând.

De la înmulțire la termenul căutat

Într-o progresie geometrică înmulțim mereu cu aceeași rație q. O aflăm împărțind doi termeni vecini, dacă termenul de jos este nenul. De la b1 la bn sunt n−1 înmulțiri. Dacă q este o fracție sub 1, termenii pozitivi se micșorează.

  • bn=b1·qn−1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=4 și q=2, află b4.

  1. Sunt trei treceri până la poziția 4.
  2. b4=4·23=4·8.
  3. b4=32; verificăm șirul 4,8,16,32.

Doi termeni: aflăm rația

Scriem fiecare termen ca b1 înmulțit cu o putere a lui q. Împărțim relațiile: b1 se simplifică, iar diferența pozițiilor devine exponentul lui q. Dacă exponentul este par, verificăm dacă enunțul impune un anumit semn; altfel pot exista două rații.

  • bjbi = qʲ−i

Exemplu cu alte date

Dacă b2=12 și b5=96, află q și b1.

  1. b5b2=q3=9612=8.
  2. q=2, pentru că 23=8.
  3. b2=b1q dă b1=122=6.

Trei termeni consecutivi și semnul

Pentru trei termeni nenuli x, y, z ai unei P.G., termenul central la pătrat este produsul vecinilor. Ecuația poate da două valori opuse. Păstrăm numai ce permite enunțul: «pozitiv» sau «crescător» nu trebuie ignorate.

  • y2=xz

Exemplu cu alte date

Găsește y>0 dacă 3, y, 27 sunt consecutivi într-o P.G.

  1. y2=3·27=81.
  2. Din ecuație avem y=9 sau y=−9.
  3. Condiția y>0 lasă y=9; rapoartele sunt 93=279=3.

Suma primilor termeni

Sn înseamnă că adunăm primii n termeni, nu că aflăm doar termenul n. Putem scrie termenii și îi adunăm. Formula scurtă se folosește doar când q≠1; dacă q=1, toți termenii sunt egali și avem Sn=n·b1.

  • Sn=b1(qn−1)q−1, q≠1; Sn=nb1, q=1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=3 și q=2, află S4.

  1. Termenii sunt 3,6,12,24.
  2. Adunăm: S4=3+6+12+24=45.
  3. Formula verifică: 3(24−1)2−1=45.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Se dau b2 = 6 și b5 = 162. Pasul 1: cum scriem cei doi termeni în funcție de b1 și q?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru n = 2: b2 = b1q1 = b1q.
    2. Pentru n = 5: b5 = b1q4.
    3. Împărțind ecuațiile vom elimina b1 la pasul următor.

    Răspuns: b2 = b1q și b5 = b1q4

  2. Exercițiul 2

    Se dau b2 = 6 și b5 = 162, cu q > 0. Pasul 2: cât este q?

    Vezi rezolvarea
    1. b5b2 = q3.
    2. 1626 = 27, deci q3 = 27.
    3. Din q > 0 rezultă q = 3.

    Răspuns: 3

  3. Exercițiul 3

    Dacă b2 = 6 și q = 3, pasul 3: cât este b1?

    Vezi rezolvarea
    1. b2 = b1q.
    2. 6 = 3b1.
    3. Rezultă b1 = 2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă singur: într-o P.G. pozitivă, b3 = 12 și b6 = 96. Determină b7.

    Vezi rezolvarea
    1. b6b3 = q3, deci 9612 = 8 și q3 = 8.
    2. Progresia este pozitivă, deci q = 2.
    3. b7 = b6·q = 96 · 2 = 192.

    Răspuns: 192

  5. Exercițiul 5

    O cantitate este 5 unități la prima etapă și se dublează la fiecare etapă. Cât este la etapa a 6-a?

    Vezi rezolvarea
    1. b1 = 5 și q = 2.
    2. b6 = 5 · 25.
    3. b6 = 5 · 32 = 160.

    Răspuns: 160

  6. Exercițiul 6

    În P.G. 3, 6, 12, …, află al cincilea termen.

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 63 = 2.
    2. De la primul la al cincilea termen sunt 4 înmulțiri: b5 = 3 · 24.
    3. b5 = 3 · 16 = 48.

    Răspuns: 48

  7. Exercițiul 7

    O cultură are 5 celule și își triplează numărul la fiecare oră. Câte celule are după 3 ore?

    Vezi rezolvarea
    1. După fiecare oră înmulțim cantitatea cu 3.
    2. După 3 ore avem 5 · 33 = 5 · 27.
    3. Numărul celulelor este 135.

    Răspuns: 135

  8. Exercițiul 8

    Într-o P.G., b2 = 6 și b4 = 54, iar rația este pozitivă. Află rația.

    Vezi rezolvarea
    1. b4 = b2q2, deci 54 = 6q2.
    2. q2 = 9 dă q = ±3.
    3. Rația este pozitivă, deci q = 3.

    Răspuns: 3

  9. Exercițiul 9

    În P.G. 2, 6, 18, …, află suma primilor 4 termeni.

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 3, deci b4 = 18 · 3 = 54.
    2. Suma este 2 + 6 + 18 + 54.
    3. Obținem 80.

    Răspuns: 80

  10. Exercițiul 10

    Un obiect valorează 800 lei. Valoarea scade la jumătate în fiecare an. Cât valorează după 3 ani?

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 12.
    2. 800 · (12)3 = 8008.
    3. Valoarea finală este 100 lei.

    Răspuns: 100

  11. Exercițiul 11

    Trei termeni consecutivi ai unei P.G. pozitive sunt 4, x, 36. Află x.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 = 4 · 36 = 144.
    2. Soluțiile algebrice sunt ±12.
    3. Termenii sunt pozitivi, deci x = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    O P.G. are b1 = 7 și q = 1. Află suma primilor 6 termeni.

    Vezi rezolvarea
    1. Toți cei 6 termeni sunt egali cu 7.
    2. Pentru q = 1 adunăm direct: S6 = 6 · 7.
    3. S6 = 42; nu folosim formula cu numitor q − 1.

    Răspuns: 42

Exerciții M3 · multiplicare și aplicații (1)

  1. 1. Ghidat

    Scrie b5 în funcție de b1 și q.

    Vezi răspunsul

    b5 = b1 · q4

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.