M3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni de 15 min
M3·z

Teorie înainte de exerciții

Numere complexe · strict programa M3

Pornim de la i2 = −1 și învățăm să calculăm cu numere de forma a + bi. La fiecare pas separăm numerele reale de termenii care îl conțin pe i.

Lucrează cu creionul: deschide parantezele, înlocuiește i2 cu −1 și abia apoi adună termenii asemenea.
1

1. Ce este un număr complex?

Pătratul unui număr real nu poate fi negativ. Pentru a putea rezolva și ecuația z2 = −1, introducem un număr nou, notat i, pentru care i2 = −1. Numerele reale împreună cu numerele construite folosind i formează mulțimea ℂ a numerelor complexe.

Forma algebrică este z = a + bi, unde a și b sunt reale. a este partea reală, iar b este partea imaginară: partea imaginară este coeficientul lui i, nu întregul termen bi. Două numere complexe sunt egale când au aceleași două părți.

z = a + bi, a, b ∈ ℝ
Re(z) = a; Im(z) = b
a + bi = c + di ⇔ a = c și b = d
  • Greșeală frecventă: pentru 4 − 3i, partea imaginară este −3, nu 3 și nici −3i.
  • Un număr real, de exemplu 5, se scrie 5 + 0i. Numărul i se scrie 0 + 1i.

Citim forma algebrică

Identifică părțile numărului z = −2 + 5i și află t dacă −2 + ti = z.

  1. 1.Comparăm −2 + 5i cu a + bi: a = −2 și b = 5.
  2. 2.Rezultă Re(z) = −2 și Im(z) = 5.
  3. 3.În egalitatea −2 + ti = −2 + 5i, coeficienții lui i trebuie să fie egali: t = 5.
2

2. Conjugatul: schimbăm un singur semn

Conjugatul lui z, notat z̄, păstrează partea reală și schimbă semnul părții imaginare. Dacă termenul cu i era negativ, în conjugat devine pozitiv.

Adunând un număr cu conjugatul său, termenii cu i se anulează. Înmulțindu-le, obținem tot un număr real; această proprietate ne va ajuta la împărțire.

z = a + bi ⇒ z̄ = a − bi
z + z̄ = 2a
z · z̄ = a2 + b2
  • Greșeală frecventă: conjugatul nu este opusul. Opusul schimbă ambele semne; conjugatul schimbă numai semnul termenului cu i.

Un număr și conjugatul său

Pentru z = 3 − 2i, calculează z̄ și z + z̄.

  1. 1.Partea reală este 3, iar coeficientul lui i este −2.
  2. 2.Schimbăm numai −2 în 2: z̄ = 3 + 2i.
  3. 3.Adunăm: z + z̄ = (3 − 2i) + (3 + 2i) = 6; termenii cu i se anulează.
3

3. Adunarea și scăderea: grupăm termenii asemenea

Adunăm părțile reale între ele și coeficienții lui i între ei, ca atunci când adunăm termeni asemenea într-o expresie algebrică. Nu putem reduce 3 + 2i la un singur număr real.

La scădere, minusul din fața unei paranteze schimbă semnul fiecărui termen din paranteză. Scrie mai întâi expresia fără paranteze, ca să nu pierzi un semn.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
  • Greșeală frecventă: −(2 − 3i) devine −2 + 3i, nu −2 − 3i.

Scădere cu două semne minus

Calculează (5 + i) − (2 − 3i).

  1. 1.Deschidem parantezele: 5 + i − 2 + 3i.
  2. 2.Grupăm: (5 − 2) + (1 + 3)i.
  3. 3.Rezultatul în forma algebrică este 3 + 4i.
4

4. Înmulțirea și puterile lui i

La înmulțire, fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua. După dezvoltare apare i2, pe care îl înlocuim cu −1.

Puterile lui i se repetă din patru în patru: i, −1, −i, 1. Pentru un exponent natural mare, îl împărțim la 4 și folosim restul. Resturile 0, 1, 2 și 3 corespund, în această ordine, valorilor 1, i, −1 și −i.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i; i4 = 1
  • Greșeală frecventă: −i2 = −(−1) = 1. Nu confunda i2 = −1 cu i = −1.

Produs și putere mare

Calculează (1 + 2i)(3 − i) și i17.

  1. 1.Dezvoltăm produsul: 3 − i + 6i − 2i2.
  2. 2.Înlocuim i2 = −1: 3 + 5i + 2 = 5 + 5i.
  3. 3.17 = 4 · 4 + 1, deci i17 = (i4)4 · i = 1 · i = i.
5

5. Împărțirea: scăpăm de i din numitor

Putem împărți la un număr complex numai dacă acesta este nenul. Ca să scriem rezultatul în forma a + bi, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu conjugatul numitorului. Valoarea fracției nu se schimbă.

Dacă numitorul este c + di, conjugatul lui este c − di, iar produsul lor este c2 + d2. Acest număr real este pozitiv când numitorul este nenul. La final împărțim ambele părți ale numărătorului la el.

a + bic + di = (a + bi)(c − di)c2 + d2, c + di ≠ 0
  • Greșeală frecventă: amplificăm și sus, și jos. Nu putem împărți separat a la c și b la d.

Împărțire până la forma algebrică

Calculează 3 + i1 − i.

  1. 1.Conjugatul numitorului 1 − i este 1 + i; amplificăm fracția cu 1 + i.
  2. 2.Sus: (3 + i)(1 + i) = 3 + 4i + i2 = 2 + 4i. Jos: (1 − i)(1 + i) = 1 − i2 = 2.
  3. 3.Împărțim fiecare termen la 2: 2 + 4i2 = 1 + 2i.
6

6. Ecuația de gradul al doilea în ℂ

Pentru az2 + bz + c = 0, cu a, b, c reale și a ≠ 0, calculăm discriminantul Δ = b2 − 4ac. Dacă Δ > 0, avem două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, avem o soluție reală dublă. Numerele reale sunt și complexe.

Dacă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate. În formulă folosim i−Δ: numărul de sub radical, −Δ, este pozitiv. Împărțim întregul numărător la 2a.

Δ = b2 − 4ac
Δ ≥ 0: z1,2 = −b ± √Δ2a
Δ < 0: z1,2 = −b ± i−Δ2a
  • Greșeală frecventă: Δ < 0 înseamnă «fără soluții în ℝ», nu «fără soluții în ℂ».
  • Păstrează semnul lui b în calculul lui Δ, apoi schimbă-l pentru −b.

Două soluții conjugate

Rezolvă z2 − 2z + 5 = 0 în ℂ.

  1. 1.Identificăm a = 1, b = −2, c = 5: Δ = (−2)2 − 4 · 1 · 5 = −16.
  2. 2.−Δ = √16 = 4; z1,2 = 2 ± 4i2 = 1 ± 2i.
  3. 3.Soluțiile sunt 1 + 2i și 1 − 2i. Verificăm prima: (1 + 2i)2 − 2(1 + 2i) + 5 = (−3 + 4i) − 2 − 4i + 5 = 0; pentru conjugată, semnele termenilor imaginari se inversează și se anulează din nou.
Verifică-te singur · cu răspunsuriExerciții M3 · calcul algebric · 10 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1GhidatM3

    Pentru z = 4 − 7i, scrie Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    Re(z) = 4 și Im(z) = −7; partea imaginară este coeficientul lui i.

  2. Ex. 2GhidatM3

    Determină conjugatul numărului z = −3 − 2i.

    Vezi răspunsul

    z̄ = −3 + 2i; schimbăm numai semnul termenului cu i.

  3. Ex. 3StandardM3

    Calculează (2 + 5i) + (−4 − 3i).

    Vezi răspunsul

    (2 − 4) + (5 − 3)i = −2 + 2i.

  4. Ex. 4StandardM3

    Calculează (6 − i) − (2 − 4i).

    Vezi răspunsul

    6 − i − 2 + 4i = 4 + 3i.

  5. Ex. 5StandardM3

    Calculează (1 + 3i)(2 − i).

    Vezi răspunsul

    2 − i + 6i − 3i2 = 2 + 5i + 3 = 5 + 5i.

  6. Ex. 6StandardM3

    Calculează i23 și i24.

    Vezi răspunsul

    23 = 4 · 5 + 3, deci i23 = i3 = −i. 24 = 4 · 6, deci i24 = 1.

  7. Ex. 7StandardM3

    Pentru z = 2 − 3i, calculează z · z̄.

    Vezi răspunsul

    z̄ = 2 + 3i, deci z · z̄ = 4 − 9i2 = 13.

  8. Ex. 8IndependentM3

    Scrie 5 + i1 + i în forma algebrică.

    Vezi răspunsul

    Amplificăm cu 1 − i: numărătorul devine 5 − 5i + i − i2 = 6 − 4i, iar numitorul este 2. Rezultatul este 3 − 2i.

  9. Ex. 9IndependentM3

    Rezolvă în ℂ ecuația z2 + 4z + 8 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 32 = −16. z1,2 = −4 ± 4i2 = −2 ± 2i.

  10. Ex. 10ConsolidareM3

    Rezolvă în ℂ ecuația 2z2 − 4z + 10 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 80 = −64. z1,2 = 4 ± 8i4 = 1 ± 2i.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.