Încărcăm partea curentă…

Numere complexe · strict programa M3

1. Ce este un număr complex?

Pătratul unui număr real nu poate fi negativ. Pentru a putea rezolva și ecuația z2 = −1, introducem un număr nou, notat i, pentru care i2 = −1. Numerele reale împreună cu numerele construite folosind i formează mulțimea ℂ a numerelor complexe.

Forma algebrică este z = a + bi, unde a și b sunt reale. Re vine de la «real»: Re(z) se citește «partea reală a lui z» și este a, numărul fără i. Im vine de la «imaginar»: Im(z) se citește «partea imaginară a lui z» și este b, coeficientul lui i cu tot cu semn, nu întregul termen bi. În «Im» este I mare, nu l mic; (z) ne spune despre ce număr vorbim.

De exemplu, pentru z=4−3i avem Re(z)=4 și Im(z)=−3, nu −3i. Două numere complexe sunt egale când au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare.

De ținut minte

z = a + bi, a, b ∈ ℝ
Re(z) = a; Im(z) = b
a + bi = c + di ⇔ a = c și b = d
  • Greșeală frecventă: pentru 4 − 3i, partea imaginară este −3, nu 3 și nici −3i.
  • Un număr real, de exemplu 5, se scrie 5 + 0i. Numărul i se scrie 0 + 1i.

Citim forma algebrică

Identifică părțile numărului z = −2 + 5i și află t dacă −2 + ti = z.

  1. 1Comparăm −2 + 5i cu a + bi: a = −2 și b = 5.
  2. 2Rezultă Re(z) = −2 și Im(z) = 5.
  3. 3În egalitatea −2 + ti = −2 + 5i, coeficienții lui i trebuie să fie egali: t = 5.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere complexe · strict programa M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citești o idee simplă, vezi un exemplu cu alte date, apoi o exersezi. Aceeași explicație poate fi redeschisă la fiecare problemă.

1. Ce este un număr complex?

Pătratul unui număr real nu poate fi negativ. Pentru a putea rezolva și ecuația z2 = −1, introducem un număr nou, notat i, pentru care i2 = −1. Numerele reale împreună cu numerele construite folosind i formează mulțimea ℂ a numerelor complexe.

Forma algebrică este z = a + bi, unde a și b sunt reale. Re vine de la «real»: Re(z) se citește «partea reală a lui z» și este a, numărul fără i. Im vine de la «imaginar»: Im(z) se citește «partea imaginară a lui z» și este b, coeficientul lui i cu tot cu semn, nu întregul termen bi. În «Im» este I mare, nu l mic; (z) ne spune despre ce număr vorbim.

De exemplu, pentru z=4−3i avem Re(z)=4 și Im(z)=−3, nu −3i. Două numere complexe sunt egale când au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare.

  • z = a + bi, a, b ∈ ℝ
  • Re(z) = a; Im(z) = b
  • a + bi = c + di ⇔ a = c și b = d
  • Greșeală frecventă: pentru 4 − 3i, partea imaginară este −3, nu 3 și nici −3i.
  • Un număr real, de exemplu 5, se scrie 5 + 0i. Numărul i se scrie 0 + 1i.

Citim forma algebrică

Identifică părțile numărului z = −2 + 5i și află t dacă −2 + ti = z.

  1. Comparăm −2 + 5i cu a + bi: a = −2 și b = 5.
  2. Rezultă Re(z) = −2 și Im(z) = 5.
  3. În egalitatea −2 + ti = −2 + 5i, coeficienții lui i trebuie să fie egali: t = 5.

2. Conjugatul: schimbăm un singur semn

Conjugatul lui z, notat z̄, păstrează partea reală și schimbă semnul părții imaginare. Dacă termenul cu i era negativ, în conjugat devine pozitiv.

Adunând un număr cu conjugatul său, termenii cu i se anulează. Înmulțindu-le, obținem tot un număr real; această proprietate ne va ajuta la împărțire.

  • z = a + bi ⇒ z̄ = a − bi
  • z + z̄ = 2a
  • z · z̄ = a2 + b2
  • Greșeală frecventă: conjugatul nu este opusul. Opusul schimbă ambele semne; conjugatul schimbă numai semnul termenului cu i.

Un număr și conjugatul său

Pentru z = 3 − 2i, calculează z̄ și z + z̄.

  1. Partea reală este 3, iar coeficientul lui i este −2.
  2. Schimbăm numai −2 în 2: z̄ = 3 + 2i.
  3. Adunăm: z + z̄ = (3 − 2i) + (3 + 2i) = 6; termenii cu i se anulează.

3. Adunarea și scăderea: grupăm termenii asemenea

Adunăm părțile reale între ele și coeficienții lui i între ei, ca atunci când adunăm termeni asemenea într-o expresie algebrică. Nu putem reduce 3 + 2i la un singur număr real.

La scădere, minusul din fața unei paranteze schimbă semnul fiecărui termen din paranteză. Scrie mai întâi expresia fără paranteze, ca să nu pierzi un semn. Dacă se cere Re(z), dăm doar numărul fără i; Im(z) este coeficientul lui i, cu semn.

  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
  • Greșeală frecventă: −(2 − 3i) devine −2 + 3i, nu −2 − 3i.

Scădere cu două semne minus

Calculează (5 + i) − (2 − 3i).

  1. Deschidem parantezele: 5 + i − 2 + 3i.
  2. Grupăm: (5 − 2) + (1 + 3)i.
  3. Rezultatul în forma algebrică este 3 + 4i.

4. Înmulțirea și puterile lui i

La înmulțire, fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua. După dezvoltare apare i2, pe care îl înlocuim cu −1.

Puterile lui i se repetă din patru în patru: i, −1, −i, 1. Pentru un exponent natural mare, îl împărțim la 4 și folosim restul. Resturile 0, 1, 2 și 3 corespund, în această ordine, valorilor 1, i, −1 și −i.

  • (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
  • i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i; i4 = 1
  • Greșeală frecventă: −i2 = −(−1) = 1. Nu confunda i2 = −1 cu i = −1.

Produs și putere mare

Calculează (1 + 2i)(3 − i) și i17.

  1. Dezvoltăm produsul: 3 − i + 6i − 2i2.
  2. Înlocuim i2 = −1: 3 + 5i + 2 = 5 + 5i.
  3. 17 = 4 · 4 + 1, deci i17 = (i4)4 · i = 1 · i = i.

5. Împărțirea: scăpăm de i din numitor

Putem împărți la un număr complex numai dacă acesta este nenul. Ca să scriem rezultatul în forma a + bi, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu conjugatul numitorului. Valoarea fracției nu se schimbă.

Dacă numitorul este c + di, conjugatul lui este c − di, iar produsul lor este c2 + d2. Acest număr real este pozitiv când numitorul este nenul. La final împărțim ambele părți ale numărătorului la el. Dacă apoi se cere Im(z), scriem doar coeficientul lui i din rezultat, nu termenul care conține i.

  • a + bic + di = (a + bi)(c − di)c2 + d2, c + di ≠ 0
  • Greșeală frecventă: amplificăm și sus, și jos. Nu putem împărți separat a la c și b la d.

Împărțire până la forma algebrică

Calculează 3 + i1 − i.

  1. Conjugatul numitorului 1 − i este 1 + i; amplificăm fracția cu 1 + i.
  2. Sus: (3 + i)(1 + i) = 3 + 4i + i2 = 2 + 4i. Jos: (1 − i)(1 + i) = 1 − i2 = 2.
  3. Împărțim fiecare termen la 2: 2 + 4i2 = 1 + 2i.

6. Ecuația de gradul al doilea în ℂ

Pentru az2 + bz + c = 0, cu a, b, c reale și a ≠ 0, calculăm discriminantul Δ = b2 − 4ac. Dacă Δ > 0, avem două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, avem o soluție reală dublă. Numerele reale sunt și complexe.

Dacă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate. În formulă folosim i−Δ: numărul de sub radical, −Δ, este pozitiv. Împărțim întregul numărător la 2a.

  • Δ = b2 − 4ac
  • Δ ≥ 0: z1,2 = −b ± √Δ2a
  • Δ < 0: z1,2 = −b ± i−Δ2a
  • Greșeală frecventă: Δ < 0 înseamnă «fără soluții în ℝ», nu «fără soluții în ℂ».
  • Păstrează semnul lui b în calculul lui Δ, apoi schimbă-l pentru −b.

Două soluții conjugate

Rezolvă z2 − 2z + 5 = 0 în ℂ.

  1. Identificăm a = 1, b = −2, c = 5: Δ = (−2)2 − 4 · 1 · 5 = −16.
  2. −Δ = √16 = 4; z1,2 = 2 ± 4i2 = 1 ± 2i.
  3. Soluțiile sunt 1 + 2i și 1 − 2i. Verificăm prima: (1 + 2i)2 − 2(1 + 2i) + 5 = (−3 + 4i) − 2 − 4i + 5 = 0; pentru conjugată, semnele termenilor imaginari se inversează și se anulează din nou.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează (3 + 2i) + (4 − 5i).

    Vezi rezolvarea
    1. Partea reală: 3 + 4 = 7.
    2. Partea imaginară: 2i − 5i = −3i.
    3. Rezultatul este 7 − 3i.

    Răspuns: 7 − 3i

  2. Exercițiul 2

    Calculează (2 + i)(3 − i).

    Vezi rezolvarea
    1. (2 + i)(3 − i) = 6 − 2i + 3i − i2.
    2. Cum i2 = −1, avem −i2 = 1.
    3. Rezultatul este 7 + i.

    Răspuns: 7 + i

  3. Exercițiul 3

    Care este conjugatul numărului z = −2 + 5i?

    Vezi rezolvarea
    1. Conjugatul lui a + bi este a − bi.
    2. Partea reală rămâne −2.
    3. Rezultă z̄ = −2 − 5i.

    Răspuns: −2 − 5i

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă singur: 2z + (1 − i) = 7 + 3i. Scrie partea reală a lui z.

    Vezi rezolvarea
    1. 2z = 7 + 3i − 1 + i = 6 + 4i.
    2. z = 6 + 4i2 = 3 + 2i.
    3. Partea reală este 3.

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Care sunt soluțiile ecuației z2 − 4z + 13 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = (−4)2 − 4 · 1 · 13 = −36.
    2. √Δ = 6i.
    3. z = 4 ± 6i2 = 2 ± 3i.

    Răspuns: 2 ± 3i

  6. Exercițiul 6

    Care este partea imaginară a numărului z = 6 − 4i?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem z = 6 + (−4)i.
    2. În forma a + bi avem a = 6 și b = −4.
    3. Partea imaginară este b = −4.

    Răspuns: −4

  7. Exercițiul 7

    Calculează (4 − 2i) − (1 + 3i).

    Vezi rezolvarea
    1. Deschidem parantezele: 4 − 2i − 1 − 3i.
    2. Partea reală este 4 − 1 = 3; coeficientul lui i este −2 − 3 = −5.
    3. Rezultatul este 3 − 5i.

    Răspuns: 3 − 5i

  8. Exercițiul 8

    Cât este i27?

    Vezi rezolvarea
    1. 27 = 4 · 6 + 3, deci restul este 3.
    2. i27 = (i4)6 · i3 = i3, deoarece i4 = 1.
    3. i3 = i2 · i = −i, deci i27 = −i.

    Răspuns: −i

  9. Exercițiul 9

    Pentru z = 1 − 4i, cât este z · z̄?

    Vezi rezolvarea
    1. Conjugatul este z̄ = 1 + 4i.
    2. z · z̄ = (1 − 4i)(1 + 4i) = 1 − 16i2.
    3. Înlocuim i2 = −1: 1 + 16 = 17.

    Răspuns: 17

  10. Exercițiul 10

    Scrie 4 + 2i1 + i în forma algebrică.

    Vezi rezolvarea
    1. Amplificăm cu 1 − i: (4 + 2i)(1 − i)(1 + i)(1 − i).
    2. Numărătorul este 4 − 4i + 2i − 2i2 = 6 − 2i; numitorul este 1 − i2 = 2.
    3. 6 − 2i2 = 3 − i.

    Răspuns: 3 − i

  11. Exercițiul 11

    Care sunt soluțiile în ℂ ale ecuației z2 + 6z + 13 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1, b = 6, c = 13: Δ = 36 − 52 = −16.
    2. −Δ = 4, deci z1,2 = −6 ± 4i2.
    3. Împărțim ambele părți la 2: z1 = −3 + 2i și z2 = −3 − 2i.

    Răspuns: −3 ± 2i

  12. Exercițiul 12

    Pentru z = 7 + i2 − i, calculează Im(z). Scrie doar un număr.

    Vezi rezolvarea
    1. Amplificăm cu 2 + i: sus obținem (7 + i)(2 + i) = 14 + 9i + i2 = 13 + 9i.
    2. Jos obținem (2 − i)(2 + i) = 4 − i2 = 5, deci z = 135 + (95)i.
    3. Partea imaginară este 95 = 1,8.

    Răspuns: 95

Exerciții M3 · calcul algebric (10)

  1. 1. Ghidat

    Pentru z = 4 − 7i, scrie Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    Re(z) = 4 și Im(z) = −7; partea imaginară este coeficientul lui i.

  2. 2. Ghidat

    Determină conjugatul numărului z = −3 − 2i.

    Vezi răspunsul

    z̄ = −3 + 2i; schimbăm numai semnul termenului cu i.

  3. 3. Standard

    Calculează (2 + 5i) + (−4 − 3i).

    Vezi răspunsul

    (2 − 4) + (5 − 3)i = −2 + 2i.

  4. 4. Standard

    Calculează (6 − i) − (2 − 4i).

    Vezi răspunsul

    6 − i − 2 + 4i = 4 + 3i.

  5. 5. Standard

    Calculează (1 + 3i)(2 − i).

    Vezi răspunsul

    2 − i + 6i − 3i2 = 2 + 5i + 3 = 5 + 5i.

  6. 6. Standard

    Calculează i23 și i24.

    Vezi răspunsul

    23 = 4 · 5 + 3, deci i23 = i3 = −i. 24 = 4 · 6, deci i24 = 1.

  7. 7. Standard

    Pentru z = 2 − 3i, calculează z · z̄.

    Vezi răspunsul

    z̄ = 2 + 3i, deci z · z̄ = 4 − 9i2 = 13.

  8. 8. Independent

    Scrie 5 + i1 + i în forma algebrică.

    Vezi răspunsul

    Amplificăm cu 1 − i: numărătorul devine 5 − 5i + i − i2 = 6 − 4i, iar numitorul este 2. Rezultatul este 3 − 2i.

  9. 9. Independent

    Rezolvă în ℂ ecuația z2 + 4z + 8 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 32 = −16. z1,2 = −4 ± 4i2 = −2 ± 2i.

  10. 10. Consolidare

    Rezolvă în ℂ ecuația 2z2 − 4z + 10 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 80 = −64. z1,2 = 4 ± 8i4 = 1 ± 2i.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.