Încărcăm partea curentă…

Logaritmi M1 · transformări și condiții de existență

Rapoarte de logaritmi și simplificări permise

O fracție de logaritmi nu este logaritmul unei fracții. Pentru a simplifica, scriem logaritmii în aceeași bază și vedem factorii care se repetă.

Înainte de simplificare verificăm numitorul. Dacă el conține logaritmul lui x, atunci x=1 trebuie exclus: logaritmul lui 1 este zero.

De ținut minte

logpxlogqx = logpq, pentru x>0 și x≠1

Exemplu rezolvat cu alte date

Simplifică log3xlog7x.

  1. 1Condiții: x>0 și x≠1.
  2. 2În baza 7: log3x=log7xlog73.
  3. 3Raportul inițial devine log7xlog73log7x=1log73.
  4. 4Logaritmii reciproci dau rezultatul log37, nu log73.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmi M1 · transformări și condiții de existență: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lucrăm după lecțiile de bază și primul atelier M1. Înțelegem metoda înainte de calcule și păstrăm toate condițiile între pași.

Rapoarte de logaritmi și simplificări permise

O fracție de logaritmi nu este logaritmul unei fracții. Pentru a simplifica, scriem logaritmii în aceeași bază și vedem factorii care se repetă.

Înainte de simplificare verificăm numitorul. Dacă el conține logaritmul lui x, atunci x=1 trebuie exclus: logaritmul lui 1 este zero.

  • logpxlogqx = logpq, pentru x>0 și x≠1

Exemplu rezolvat cu alte date

Simplifică log3xlog7x.

  1. Condiții: x>0 și x≠1.
  2. În baza 7: log3x=log7xlog73.
  3. Raportul inițial devine log7xlog73log7x=1log73.
  4. Logaritmii reciproci dau rezultatul log37, nu log73.

Rezultatul se cere în funcție de a

Litera a reprezintă o valoare cunoscută, nu baza tuturor logaritmilor. Dacă a=log53, înlocuim exact log53 cu a oriunde apare.

Alegem baza din definiția lui a. Descompunem numerele în produse și puteri, apoi schimbăm baza înainte de a înlocui.

  • logr(sk) = k·logrs; logr(rs)=1+logrs

Exemplu rezolvat cu alte date

a=log23. Exprimă log69 în funcție de a.

  1. Schimbăm în baza 2: log69=log29log26.
  2. 9=32 dă log29=2a. Deoarece 6=2·3, log26=1+a.
  3. Rezultatul este 2a1+a. Numitorul e pozitiv deoarece a>0.

Două schimbări de bază cu o necunoscută auxiliară

Uneori a nu este direct logaritmul de care avem nevoie. Notăm acel logaritm cu t, îl aflăm din relația dată și abia apoi îl folosim în cerință.

La final înlocuim t în fracția întreagă. Scriem numitorul comun și păstrăm toate parantezele, ca să nu pierdem un factor.

  • a=q1+pt ⇒ t=q−apa

Exemplu rezolvat cu alte date

a=log188. Exprimă log69 în funcție de a.

  1. Notăm t=log23. Deoarece 18=2·32, a=31+2t.
  2. a+2at=3, deci t=3−a2a.
  3. log69=2t1+t. Înlocuim t și simplificăm: 2(3−a)3+a.
  4. a este pozitiv; împărțirile folosite sunt permise.

Condiții cu bază fracționară și argument de gradul doi

Pentru logB A trebuie simultan B>0, B≠1 și A>0. Dacă B este fracție, nu studiem doar numitorul nenul: baza trebuie și pozitivă.

Pentru argumentul (x−u)(x−v), cu u<v, desenăm mental trei zone: înainte de u, între rădăcini și după v. Produsul este pozitiv în exterior. Intersectăm apoi cu condițiile bazei.

  • B>0; B≠1; A>0

Exemplu rezolvat cu alte date

B=2x−1, A=(x−2)(x−4). Află domeniul lui logB A.

  1. B>0 dă x>1. B≠1 elimină x=3.
  2. A>0 dă x<2 sau x>4; x=2 și x=4 sunt excluse.
  3. Intersecția este (1;2)∪(4;+∞). x=3 nu era în această mulțime, deci nu mai avem nimic de eliminat.

Logaritmul unei rădăcini de ordin impar

ln este logaritmul în baza e. Chiar dacă rădăcina de ordin 3 există și dintr-un număr negativ, ln cere ca rădăcina obținută să fie strict pozitivă.

Rădăcina cubică are același semn ca numărul de sub ea. Pentru ln al unei rădăcini cubice dintr-o fracție, studiem unde fracția este strict pozitivă, cu numitor nenul.

  • ln(R) există numai pentru R>0

Exemplu rezolvat cu alte date

Domeniul lui ln(R), unde R3=x2−416−x2.

  1. Cerem x2−416−x2>0.
  2. Ambii termeni pozitivi dau 4<x2<16. Ambii negativi ar cere x2<4 și x2>16, imposibil.
  3. Rezultă 2<|x|<4, deci domeniul este (−4;−2)∪(2;4).
  4. La ±2 argumentul ar fi zero; la ±4 numitorul ar fi zero. Niciun capăt nu este inclus.

Sume lungi care se simplifică prin produs

Notația k=2,3,…,n spune că scriem câte un termen pentru fiecare întreg de la 2 la n. De exemplu, pentru n=4 avem trei termeni, cu k=2, k=3 și k=4.

Transformăm suma de logaritmi în logaritmul unui produs. Un produs telescopic are factori care se simplifică succesiv. Scrie primele fracții și ultima: nu trebuie să calculezi fiecare logaritm aproximativ.

  • Σ logb Ak = logb(A2·A3·…·An), Ak>0

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculează log2(1−12)+log2(1−13)+log2(1−14).

  1. Factorii din interior sunt 12, 23 și 34, toți pozitivi.
  2. Suma este log2[(12)·(23)·(34)].
  3. Produsul se simplifică la 14, deci suma este log2(14)=−2.
  4. Pentru 1−1k2 folosim (k−1)k+1k2 și două produse telescopice.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Simplifică log5(x)log4(x). Precizează și condițiile asupra lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 0 și x ≠ 1 — Cerem x>0 pentru ambii logaritmi. În plus, logaritmul din numitor nu poate fi zero: eliminăm x=1.
    2. log4(x)log4(5)log4(x) — log5(x)=log4(x)log4(5). Întreaga fracție se împarte apoi la log4(x).
    3. log5(4) — Raportul este 1log4(5) = log5(4). Putem simplifica logaritmul lui x deoarece x≠1. Rezultatul nu mai depinde de x.

    Răspuns: log5(4)

  2. Exercițiul 2

    Simplifică log2(x)log7(x). Precizează și condițiile asupra lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 0 și x ≠ 1 — Cerem x>0 pentru ambii logaritmi. În plus, logaritmul din numitor nu poate fi zero: eliminăm x=1.
    2. log7(x)log7(2)log7(x) — log2(x)=log7(x)log7(2). Întreaga fracție se împarte apoi la log7(x).
    3. log2(7) — Raportul este 1log7(2) = log2(7). Putem simplifica logaritmul lui x deoarece x≠1. Rezultatul nu mai depinde de x.

    Răspuns: log2(7)

  3. Exercițiul 3

    Simplifică log3(x)log5(x). Precizează și condițiile asupra lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 0 și x ≠ 1 — Cerem x>0 pentru ambii logaritmi. În plus, logaritmul din numitor nu poate fi zero: eliminăm x=1.
    2. log5(x)log5(3)log5(x) — log3(x)=log5(x)log5(3). Întreaga fracție se împarte apoi la log5(x).
    3. log3(5) — Raportul este 1log5(3) = log3(5). Putem simplifica logaritmul lui x deoarece x≠1. Rezultatul nu mai depinde de x.

    Răspuns: log3(5)

  4. Exercițiul 4

    Se știe a=log5(3). Exprimă log15(27) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · log5(3)log5(5) + log5(3) — Scriem 15=5·3 și 27=33. În baza 5, numărătorul este 3·log5(3), iar numitorul log5(5)+log5(3).
    2. 3a1 + a — log5(3)=a și log5(5)=1. Rezultatul este 3a1 + a. Deoarece 3>1 și 5>1, avem a>0, deci numitorul este nenul.

    Răspuns: 3a1 + a

  5. Exercițiul 5

    Se știe a=log2(7). Exprimă log14(49) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · log2(7)log2(2) + log2(7) — Scriem 14=2·7 și 49=72. În baza 2, numărătorul este 2·log2(7), iar numitorul log2(2)+log2(7).
    2. 2a1 + a — log2(7)=a și log2(2)=1. Rezultatul este 2a1 + a. Deoarece 7>1 și 2>1, avem a>0, deci numitorul este nenul.

    Răspuns: 2a1 + a

  6. Exercițiul 6

    Se știe a=log3(2). Exprimă log6(16) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 · log3(2)log3(3) + log3(2) — Scriem 6=3·2 și 16=24. În baza 3, numărătorul este 4·log3(2), iar numitorul log3(3)+log3(2).
    2. 4a1 + a — log3(2)=a și log3(3)=1. Rezultatul este 4a1 + a. Deoarece 2>1 și 3>1, avem a>0, deci numitorul este nenul.

    Răspuns: 4a1 + a

  7. Exercițiul 7

    a=log12(27). Exprimă log6(16) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 31 + 2t — 12=3·22, iar 27=33. Schimbarea în baza 3 dă a=31+2t.
    2. t = 3 − a2a — a+2at=3, deci 2at=3−a. Avem a>0, astfel putem împărți la 2a.
    3. 4t1 + t — log6(16)=4·log3(2)log3(3)+log3(2)=4t1+t.
    4. 4(3 − a)3 + a — Înlocuim în 4t1+t. Numitorul este 2a+3−a2a=3+a2a. Simplificăm numitorul comun și obținem 4(3 − a)3 + a.

    Răspuns: 4(3 − a)3 + a

  8. Exercițiul 8

    a=log18(4). Exprimă log6(27) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 21 + 2t — 18=2·32, iar 4=22. Schimbarea în baza 2 dă a=21+2t.
    2. t = 2 − a2a — a+2at=2, deci 2at=2−a. Avem a>0, astfel putem împărți la 2a.
    3. 3t1 + t — log6(27)=3·log2(3)log2(2)+log2(3)=3t1+t.
    4. 3(2 − a)2 + a — Înlocuim în 3t1+t. Numitorul este 2a+2−a2a=2+a2a. Simplificăm numitorul comun și obținem 3(2 − a)2 + a.

    Răspuns: 3(2 − a)2 + a

  9. Exercițiul 9

    a=log40(25). Exprimă log10(4) în funcție de a.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 21 + 3t — 40=5·23, iar 25=52. Schimbarea în baza 5 dă a=21+3t.
    2. t = 2 − a3a — a+3at=2, deci 3at=2−a. Avem a>0, astfel putem împărți la 3a.
    3. 2t1 + t — log10(4)=2·log5(2)log5(5)+log5(2)=2t1+t.
    4. 2(2 − a)2 + 2a — Înlocuim în 2t1+t. Numitorul este 3a+2−a3a=2+2a3a. Simplificăm numitorul comun și obținem 2(2 − a)2 + 2a.

    Răspuns: 2(2 − a)2 + 2a

  10. Exercițiul 10

    Pentru ce x există logB A, dacă B=3x − 1 și A=(x − 2)(x − 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 și x ≠ 4 — 3x−1>0 dă x>1. Egalitatea bazei cu 1 apare când x−1=3, adică x=4, valoare exclusă.
    2. x < 2 sau x > 3 — Pentru x<2, ambii factori sunt negativi; pentru 2<x<3, unul este negativ; pentru x>3, ambii sunt pozitivi. Păstrăm exteriorul, fără capete.
    3. x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞), x ≠ 4 — Din x>1 și exteriorul rădăcinilor obținem (1;2)∪(3;+∞). Eliminăm și x=4, unde baza ar fi 1.

    Răspuns: x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞), x ≠ 4

  11. Exercițiul 11

    Pentru ce x există logB A, dacă B=5x și A=(x − 1)(x − 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. x > 0 și x ≠ 5 — 5x−0>0 dă x>0. Egalitatea bazei cu 1 apare când x−0=5, adică x=5, valoare exclusă.
    2. x < 1 sau x > 3 — Pentru x<1, ambii factori sunt negativi; pentru 1<x<3, unul este negativ; pentru x>3, ambii sunt pozitivi. Păstrăm exteriorul, fără capete.
    3. x ∈ (0; 1) ∪ (3; +∞), x ≠ 5 — Din x>0 și exteriorul rădăcinilor obținem (0;1)∪(3;+∞). Eliminăm și x=5, unde baza ar fi 1.

    Răspuns: x ∈ (0; 1) ∪ (3; +∞), x ≠ 5

  12. Exercițiul 12

    Pentru ce x există logB A, dacă B=7x − 2 și A=(x − 3)(x − 5)?

    Vezi rezolvarea
    1. x > 2 și x ≠ 9 — 7x−2>0 dă x>2. Egalitatea bazei cu 1 apare când x−2=7, adică x=9, valoare exclusă.
    2. x < 3 sau x > 5 — Pentru x<3, ambii factori sunt negativi; pentru 3<x<5, unul este negativ; pentru x>5, ambii sunt pozitivi. Păstrăm exteriorul, fără capete.
    3. x ∈ (2; 3) ∪ (5; +∞), x ≠ 9 — Din x>2 și exteriorul rădăcinilor obținem (2;3)∪(5;+∞). Eliminăm și x=9, unde baza ar fi 1.

    Răspuns: x ∈ (2; 3) ∪ (5; +∞), x ≠ 9

  13. Exercițiul 13

    Stabilește domeniul lui ln(R), unde R este rădăcina de ordin 3 a fracției x2 − 1 9 − x2.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 19 − x2 > 0 — Rădăcina de ordin 3 păstrează semnul numărului de sub radical. Ca ln(R) să existe, R trebuie pozitiv, deci și fracția trebuie strict pozitivă.
    2. x2 > 1 și x2 < 9 — Ambii pozitivi înseamnă 1<x2<9. Ambii negativi ar cere x2<1 și x2>9, imposibil.
    3. x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3) — 1<x2<9 înseamnă 1<|x|<3. Așadar x este între −3 și −1, sau între 1 și 3, cu toate capetele excluse.

    Răspuns: x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3)

  14. Exercițiul 14

    Stabilește domeniul lui ln(R), unde R este rădăcina de ordin 3 a fracției x2 − 4 25 − x2.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 425 − x2 > 0 — Rădăcina de ordin 3 păstrează semnul numărului de sub radical. Ca ln(R) să existe, R trebuie pozitiv, deci și fracția trebuie strict pozitivă.
    2. x2 > 4 și x2 < 25 — Ambii pozitivi înseamnă 4<x2<25. Ambii negativi ar cere x2<4 și x2>25, imposibil.
    3. x ∈ (−5; −2) ∪ (2; 5) — 4<x2<25 înseamnă 2<|x|<5. Așadar x este între −5 și −2, sau între 2 și 5, cu toate capetele excluse.

    Răspuns: x ∈ (−5; −2) ∪ (2; 5)

  15. Exercițiul 15

    Stabilește domeniul lui ln(R), unde R este rădăcina de ordin 3 a fracției x2 − 9 16 − x2.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 916 − x2 > 0 — Rădăcina de ordin 3 păstrează semnul numărului de sub radical. Ca ln(R) să existe, R trebuie pozitiv, deci și fracția trebuie strict pozitivă.
    2. x2 > 9 și x2 < 16 — Ambii pozitivi înseamnă 9<x2<16. Ambii negativi ar cere x2<9 și x2>16, imposibil.
    3. x ∈ (−4; −3) ∪ (3; 4) — 9<x2<16 înseamnă 3<|x|<4. Așadar x este între −4 și −3, sau între 3 și 4, cu toate capetele excluse.

    Răspuns: x ∈ (−4; −3) ∪ (3; 4)

  16. Exercițiul 16

    Calculează suma log3(1 − 1k) pentru numerele întregi k=2,3,…,5.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul factorilor 1 − 1k, pentru k de la 2 la 5 — Toți factorii sunt pozitivi pentru k≥2. Putem reuni logaritmii într-unul singur și apoi simplificăm produsul.
    2. 15 — Produsul este 12·23·34·…·45. Factorii intermediari se simplifică; rămâne 15.
    3. log3(15) — Suma cerută este log3(15), adică logaritmul produsului 15. Nu eliminăm logaritmul fără o regulă.

    Răspuns: log3(15)

  17. Exercițiul 17

    Calculează suma log2(1 − 1k2) pentru numerele întregi k=2,3,…,6.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul factorilor 1 − 1k2, pentru k de la 2 la 6 — Toți factorii sunt pozitivi pentru k≥2. Putem reuni logaritmii într-unul singur și apoi simplificăm produsul.
    2. 712 — Produsul se desparte în [12·23·…·56] și [32·43·…·76]. Primul este 16, al doilea 72. Produsul lor este 712.
    3. log2(712) — Suma cerută este log2(712), adică logaritmul produsului 712. Nu eliminăm logaritmul fără o regulă.

    Răspuns: log2(712)

  18. Exercițiul 18

    Calculează suma log5(1 − 1k2) pentru numerele întregi k=2,3,…,9.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul factorilor 1 − 1k2, pentru k de la 2 la 9 — Toți factorii sunt pozitivi pentru k≥2. Putem reuni logaritmii într-unul singur și apoi simplificăm produsul.
    2. 59 — Produsul se desparte în [12·23·…·89] și [32·43·…·109]. Primul este 19, al doilea 102. Produsul lor este 59.
    3. log5(59) — Suma cerută este log5(59), adică logaritmul produsului 1018. Nu eliminăm logaritmul fără o regulă.

    Răspuns: log5(59)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.