Încărcăm partea curentă…

Logaritmarea expresiilor și ecuațiilor · M1

Logaritmarea unui produs și a unui cât

A logaritma o expresie pozitivă E în baza c înseamnă să scriem logc E și să folosim proprietățile pentru a o transforma. Nu înseamnă să rezolvăm automat o ecuație.

Lucrăm deocamdată cu a,b,x,y>0 și c>0, c≠1. Astfel fiecare logaritm care apare după desfacere există. La un cât, minusul se aplică tuturor termenilor proveniți din numitor.

De ținut minte

logc(UVW)=logcU+logcV−logcW

Exemplu rezolvat cu alte date

Logaritmează E=a3x2b4y, cu variabile pozitive.

  1. 1logcE=logc(a3x2)−logc(b4y).
  2. 2Desfacem produsele: (logca3+logcx2)−(logcb4+logcy).
  3. 3Coborâm exponenții: 3logca+2logcx−4logcb−logcy.
  4. 4Dacă nu am presupune variabilele pozitive, ar trebui să studiem domeniul și eventual module; nu aplicăm mecanic aceeași formă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmarea expresiilor și ecuațiilor · M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lucrăm după lecțiile de bază și primul atelier M1. Înțelegem metoda înainte de calcule și păstrăm toate condițiile între pași.

Logaritmarea unui produs și a unui cât

A logaritma o expresie pozitivă E în baza c înseamnă să scriem logc E și să folosim proprietățile pentru a o transforma. Nu înseamnă să rezolvăm automat o ecuație.

Lucrăm deocamdată cu a,b,x,y>0 și c>0, c≠1. Astfel fiecare logaritm care apare după desfacere există. La un cât, minusul se aplică tuturor termenilor proveniți din numitor.

  • logc(UVW)=logcU+logcV−logcW

Exemplu rezolvat cu alte date

Logaritmează E=a3x2b4y, cu variabile pozitive.

  1. logcE=logc(a3x2)−logc(b4y).
  2. Desfacem produsele: (logca3+logcx2)−(logcb4+logcy).
  3. Coborâm exponenții: 3logca+2logcx−4logcb−logcy.
  4. Dacă nu am presupune variabilele pozitive, ar trebui să studiem domeniul și eventual module; nu aplicăm mecanic aceeași formă.

Radicali, puteri fracționare și sume care rămân întregi

√a=a12, rădăcina de ordin 3 este a13, iar o rădăcină exterioară de ordin n înseamnă puterea 1n. Pentru produsele de puteri ale lui a adunăm exponenții.

Un exponent exterior înmulțește tot logaritmul. La numitor, 2+√a este o sumă: logc(2+√a) nu se poate desface în logc2+logc√a. Acesta este unul dintre locurile unde ne oprim cu transformarea.

  • logc(E1n)=(1n)logcE, E>0

Exemplu rezolvat cu alte date

E=[a2·√a·a133+√a]12. Logaritmează în baza c.

  1. Presupunem a>0 și c>0, c≠1. Numărătorul este a2+12+13=a176.
  2. Logaritmăm: logcE=(12)[(176)logca−logc(3+√a)].
  3. Distribuim 12: logcE=(1712)logca−(12)logc(3+√a).
  4. Logaritmul sumei 3+√a rămâne întreg.

De la o sumă de logaritmi înapoi la x

Când logbx este egal cu o combinație de numere și logaritmi, transformăm și numerele în logaritmi. De exemplu, 3=log28, nu log23.

Apoi unim tot membrul drept: plus înseamnă produs de argumente, minus înseamnă împărțire, iar un coeficient devine exponent. La final, logaritmii în aceeași bază se egalizează prin argumente.

  • h=logb(bh); k·logbv=logb(vk)

Exemplu rezolvat cu alte date

log3x=2−log34+2log32. Află x.

  1. Condiție: x>0. Scriem 2=log39 și 2log32=log34.
  2. Dreapta devine log39−log34+log34=log39.
  3. Egalăm argumentele: x=9, care este pozitiv.

Când logaritmul apare la exponent

Identitatea blogbu=u este definiția logaritmului citită invers. Funcționează pentru b>0, b≠1 și u>0.

Dacă baza puterii este bm, rescriem mai întâi acea bază. Folosim (bm)t=bmt=(bt)m și abia apoi identitatea. Nu transformăm exponentul într-un factor exterior.

  • (bm)logbu=um

Exemplu rezolvat cu alte date

Calculează 81log32.

  1. 81=34, deci expresia este (34)log32.
  2. Rearanjăm exponenții: (3log32)4.
  3. 3log32=2, astfel rezultatul este 24=16.

Logaritmarea unei ecuații exponențiale

Dacă ambele părți ale ecuației sunt pozitive, aplicăm același logaritm în ambele părți. Logaritmul este o funcție injectivă: valori diferite nu au același logaritm în aceeași bază, deci nu pierdem echivalența.

Alegem de obicei baza puterii care conține x. Astfel logb(bt)=t și rămâne o ecuație liniară. Rezultatul exact poate conține un logaritm; nu îl aproximăm dacă nu ni se cere.

  • bpx+q=A ⇒ px+q=logbA, A>0

Exemplu rezolvat cu alte date

Rezolvă 32x+1=7.

  1. Ambele părți sunt pozitive; aplicăm log3 ambelor părți.
  2. Obținem 2x+1=log37, deoarece log3(32x+1)=2x+1.
  3. Scădem 1 și împărțim la 2: x=log37−12.
  4. Verificare: exponentul devine log37 și 3log37=7.

Ecuații cu puteri în baze diferite

Înainte să logaritmăm, căutăm dacă putem reuni puterile. ax·bx=(ab)x, pentru baze pozitive. Dacă exponentul e x+h, separăm bx+h=bx·bh.

Izolăm puterea într-o singură bază, apoi logaritmăm. Avantajul este că păstrăm o singură expresie logaritmică și verificăm ușor în ecuația inițială.

  • ax·bx+h=bh·(ab)x

Exemplu rezolvat cu alte date

Rezolvă 2x·5x+1=3.

  1. Separăm 5x+1=5·5x, deci 5·10x=3.
  2. Împărțim la 5: 10x=35, un număr pozitiv.
  3. Aplicăm logaritmul în baza 10: x=log10(35).
  4. Verificare: 5·10x=5·(35)=3. Soluția este negativă, dar puterile rămân pozitive.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Logaritmează E=a2 · x4b3 · y în baza c, pentru a,b,x,y>0 și c>0, c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. logc(a2 · x4) − logc(b3 · y) — Expresia E este pozitivă fiindcă toate variabilele sunt pozitive. Aplicăm regula câtului; minusul se referă la tot logaritmul numitorului.
    2. 2logca + 4logcx − 3logcb − logcy — Mai întâi scriem (logca2+logcx4)−(logcb3+logcy). Exponenții devin coeficienți, apoi desfacem paranteza: 2logca + 4logcx − 3logcb − logcy.

    Răspuns: 2logca + 4logcx − 3logcb − logcy

  2. Exercițiul 2

    Logaritmează E=a3 · x2b2 · y5 în baza c, pentru a,b,x,y>0 și c>0, c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. logc(a3 · x2) − logc(b2 · y5) — Expresia E este pozitivă fiindcă toate variabilele sunt pozitive. Aplicăm regula câtului; minusul se referă la tot logaritmul numitorului.
    2. 3logca + 2logcx − 2logcb − 5logcy — Mai întâi scriem (logca3+logcx2)−(logcb2+logcy5). Exponenții devin coeficienți, apoi desfacem paranteza: 3logca + 2logcx − 2logcb − 5logcy.

    Răspuns: 3logca + 2logcx − 2logcb − 5logcy

  3. Exercițiul 3

    Logaritmează E=a4 · x3b5 · y2 în baza c, pentru a,b,x,y>0 și c>0, c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. logc(a4 · x3) − logc(b5 · y2) — Expresia E este pozitivă fiindcă toate variabilele sunt pozitive. Aplicăm regula câtului; minusul se referă la tot logaritmul numitorului.
    2. 4logca + 3logcx − 5logcb − 2logcy — Mai întâi scriem (logca4+logcx3)−(logcb5+logcy2). Exponenții devin coeficienți, apoi desfacem paranteza: 4logca + 3logcx − 5logcb − 2logcy.

    Răspuns: 4logca + 3logcx − 5logcb − 2logcy

  4. Exercițiul 4

    E=[a · a · a132 + a]14. Logaritmează E în baza c, cu a>0, c>0 și c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. 116 — Numărătorul este a1+12+13=a116. Nu adunăm indicii radicalilor.
    2. (14) · [116 · logca − logc(2 + a)] — Coborâm exponentul exterior 14, apoi aplicăm regula câtului. Termenul logc(2+√a) rămâne întreg: în interior este o sumă.
    3. 1124 · logca − 14 · logc(2 + a) — (116)·(14)=1124. Rezultatul este 1124 · logca − 14 · logc(2 + a). Toate expresiile logaritmate sunt pozitive pentru a>0.

    Răspuns: 1124 · logca − 14 · logc(2 + a)

  5. Exercițiul 5

    E=[a2 · a · a131 + a]13. Logaritmează E în baza c, cu a>0, c>0 și c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. 176 — Numărătorul este a2+12+13=a176. Nu adunăm indicii radicalilor.
    2. (13) · [176 · logca − logc(1 + a)] — Coborâm exponentul exterior 13, apoi aplicăm regula câtului. Termenul logc(1+√a) rămâne întreg: în interior este o sumă.
    3. 1718 · logca − 13 · logc(1 + a) — (176)·(13)=1718. Rezultatul este 1718 · logca − 13 · logc(1 + a). Toate expresiile logaritmate sunt pozitive pentru a>0.

    Răspuns: 1718 · logca − 13 · logc(1 + a)

  6. Exercițiul 6

    E=[a3 · a · a134 + a]12. Logaritmează E în baza c, cu a>0, c>0 și c≠1.

    Vezi rezolvarea
    1. 236 — Numărătorul este a3+12+13=a236. Nu adunăm indicii radicalilor.
    2. (12) · [236 · logca − logc(4 + a)] — Coborâm exponentul exterior 12, apoi aplicăm regula câtului. Termenul logc(4+√a) rămâne întreg: în interior este o sumă.
    3. 2312 · logca − 12 · logc(4 + a) — (236)·(12)=2312. Rezultatul este 2312 · logca − 12 · logc(4 + a). Toate expresiile logaritmate sunt pozitive pentru a>0.

    Răspuns: 2312 · logca − 12 · logc(4 + a)

  7. Exercițiul 7

    Află x din log2(x)=3 − log2(3) + 3·log2(5).

    Vezi rezolvarea
    1. log2(x) = log2(8) − log2(3) + log2(125) — 3=log2(8), iar 3·log2(5)=log2(125). Păstrăm semnul minus din fața logaritmului lui 3.
    2. 8 · 1253 — Dreapta este log2(8 · 1253). Toți factorii și numitorul sunt pozitivi.
    3. x = 10003 — Obținem x=8 · 1253=10003>0. Înlocuit în logaritmul inițial, acest produs/cât reproduce exact suma dată.

    Răspuns: x = 10003

  8. Exercițiul 8

    Află x din log3(x)=2 − log3(2) + 2·log3(4).

    Vezi rezolvarea
    1. log3(x) = log3(9) − log3(2) + log3(16) — 2=log3(9), iar 2·log3(4)=log3(16). Păstrăm semnul minus din fața logaritmului lui 2.
    2. 9 · 162 — Dreapta este log3(9 · 162). Toți factorii și numitorul sunt pozitivi.
    3. x = 72 — Obținem x=9 · 162=72>0. Înlocuit în logaritmul inițial, acest produs/cât reproduce exact suma dată.

    Răspuns: x = 72

  9. Exercițiul 9

    Află x din log5(x)=2 − log5(3) + 3·log5(2).

    Vezi rezolvarea
    1. log5(x) = log5(25) − log5(3) + log5(8) — 2=log5(25), iar 3·log5(2)=log5(8). Păstrăm semnul minus din fața logaritmului lui 3.
    2. 25 · 83 — Dreapta este log5(25 · 83). Toți factorii și numitorul sunt pozitivi.
    3. x = 2003 — Obținem x=25 · 83=2003>0. Înlocuit în logaritmul inițial, acest produs/cât reproduce exact suma dată.

    Răspuns: x = 2003

  10. Exercițiul 10

    Calculează (1000)log10(2).

    Vezi rezolvarea
    1. 103 · log10(2) — 1000=103, deci (1000)log10(2)=103·log10(2).
    2. 8 — (10log10(2))3=23=8. Identitatea se aplică fiindcă 2>0 și baza 10 este pozitivă, diferită de 1.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Calculează (625)log5(3).

    Vezi rezolvarea
    1. 54 · log5(3) — 625=54, deci (625)log5(3)=54·log5(3).
    2. 81 — (5log5(3))4=34=81. Identitatea se aplică fiindcă 3>0 și baza 5 este pozitivă, diferită de 1.

    Răspuns: 81

  12. Exercițiul 12

    Calculează (32)log2(3).

    Vezi rezolvarea
    1. 25 · log2(3) — 32=25, deci (32)log2(3)=25·log2(3).
    2. 243 — (2log2(3))5=35=243. Identitatea se aplică fiindcă 3>0 și baza 2 este pozitivă, diferită de 1.

    Răspuns: 243

  13. Exercițiul 13

    Rezolvă 22x + 1 = 5. Dă valoarea exactă, fără aproximări zecimale.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 1 = log2(5) — Funcția logaritmică este injectivă, deci această operație păstrează echivalența. Logaritmul lui 22x+1 este exponentul 2x+1.
    2. x = log2(5) − 12 — 2x=log2(5)−1, astfel x = log2(5) − 12. Verificare: exponentul devine log2(5), iar 2log2(5)=5.

    Răspuns: x = log2(5) − 12

  14. Exercițiul 14

    Rezolvă 33x + 2 = 10. Dă valoarea exactă, fără aproximări zecimale.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x + 2 = log3(10) — Funcția logaritmică este injectivă, deci această operație păstrează echivalența. Logaritmul lui 33x+2 este exponentul 3x+2.
    2. x = log3(10) − 23 — 3x=log3(10)−2, astfel x = log3(10) − 23. Verificare: exponentul devine log3(10), iar 3log3(10)=10.

    Răspuns: x = log3(10) − 23

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă 52x + 3 = 7. Dă valoarea exactă, fără aproximări zecimale.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 3 = log5(7) — Funcția logaritmică este injectivă, deci această operație păstrează echivalența. Logaritmul lui 52x+3 este exponentul 2x+3.
    2. x = log5(7) − 32 — 2x=log5(7)−3, astfel x = log5(7) − 32. Verificare: exponentul devine log5(7), iar 5log5(7)=7.

    Răspuns: x = log5(7) − 32

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă 2x · 3x + 1 = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · 6x = 5 — 3x+1=3x·3=3x·3. Înmulțim puterile cu exponentul x: 2x·3x=6x.
    2. 6x = 53 — Împărțim la 3, care este pozitiv: 6x=53=53.
    3. x = log6(53) — 6x=53>0 dă x = log6(53). Înlocuirea reconstruiește produsul inițial: 3·(53)=5.

    Răspuns: x = log6(53)

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă 3x · 5x + 2 = 7.

    Vezi rezolvarea
    1. 25 · 15x = 7 — 5x+2=5x·52=5x·25. Înmulțim puterile cu exponentul x: 3x·5x=15x.
    2. 15x = 725 — Împărțim la 25, care este pozitiv: 15x=725=725.
    3. x = log15(725) — 15x=725>0 dă x = log15(725). Înlocuirea reconstruiește produsul inițial: 25·(725)=7.

    Răspuns: x = log15(725)

  18. Exercițiul 18

    Rezolvă 2x · 7x + 1 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. 7 · 14x = 3 — 7x+1=7x·7=7x·7. Înmulțim puterile cu exponentul x: 2x·7x=14x.
    2. 14x = 37 — Împărțim la 7, care este pozitiv: 14x=37=37.
    3. x = log14(37) — 14x=37>0 dă x = log14(37). Înlocuirea reconstruiește produsul inițial: 7·(37)=3.

    Răspuns: x = log14(37)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.