Test final mixt 12 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 353 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = -2(x)² + 4.

   Vezi rezolvarea

   1. Funcția crește pe (−∞,0), descrește pe (0,+∞), maxim 4.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 354 · O urnă conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 712.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 712

3. Exercițiul 3

   Itemul 355 · Într-o progresie geometrică, b₂ = 12, b₅ = 324. Determinați q.

   Vezi rezolvarea

   1. q³ = b₅b₂ = 27, deci q = 3.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 3

4. Exercițiul 4

   Itemul 356 · Calculați (-1 + 6i) + (4 − 2i).

   Vezi rezolvarea

   1. Rezultatul este 3 + 4i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

5. Exercițiul 5

   Itemul 357 · Calculați limx→0 e^−2x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este -2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -2

6. Exercițiul 6

   Itemul 358 · Rezolvați ecuația 5x + 7 = 22.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 3.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 3

7. Exercițiul 7

   Itemul 359 · Fie P(x) = x³ + 2x² − 3. Determinați restul împărțirii la x + 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Restul este P(-1) = -2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -2

8. Exercițiul 8

   Itemul 360 · Fie A = 1-120. Calculați 3A.

   Vezi rezolvarea

   1. 3A = 3-360.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

9. Exercițiul 9

   Itemul 361 · Calculați limx→+∞ 6x² + 53x² − 2.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 2

10. Exercițiul 10

    Itemul 362 · Determinați x și y dacă x + y00x − y = 10004.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 7, y = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

11. Exercițiul 11

    Itemul 363 · Într-o progresie aritmetică, a₂ = 5, a₅ = 14. Calculați a₁₀.

    Vezi rezolvarea

    1. r = 3, iar a₁₀ = 29.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 29

12. Exercițiul 12

    Itemul 364 · Numerele pozitive 9, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi rezolvarea

    1. x² = 225, deci x = 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

13. Exercițiul 13

    Itemul 365 · Rezolvați ecuația (3 + i)z + (-2 + 2i) = 3 + 7i.

    Vezi rezolvarea

    1. z = 2 + i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 366 · Folosind derivate, demonstrați că ln(1+x) ≤ x pentru orice x > −1.

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru g=x−ln(1+x), minimul este 0 la x=0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

15. Exercițiul 15

    Itemul 367 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor să fie 5.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 5 cazuri favorabile din 90; P = 118.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 118

16. Exercițiul 16

    Itemul 368 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -1.

    Vezi rezolvarea

    1. a = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

17. Exercițiul 17

    Itemul 369 · Fie P(x) = (x − 4)²(x + 1). Arătați că 4 este rădăcină dublă.

    Vezi rezolvarea

    1. P(4) = 0 și P′4 = 0; rădăcina este dublă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

18. Exercițiul 18

    Itemul 370 · Simplificați (x − 3)² − (x + 3)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia este -12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -12

19. Exercițiul 19

    Itemul 371 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 513, cos α = 1213. Calculați sin 2α.

    Vezi rezolvarea

    1. sin 2α = 120169.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 120169

20. Exercițiul 20

    Itemul 372 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(3,-1) și este paralelă cu dreapta 2x + 3y + 7 = 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Ecuația este 2x + 3y − 3 = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

21. Exercițiul 21

    Itemul 373 · Fie f(x) = 3x − 6. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

    Vezi rezolvarea

    1. A(2,0).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 374 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 3, r = 2. Calculați a₄.

    Vezi rezolvarea

    1. a₄ = a₁ + 3r = 9.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 9

23. Exercițiul 23

    Itemul 375 · Fie f(x) = e^x(x² + 3x + 2). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = e^x(x² + 5x + 5).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

24. Exercițiul 24

    Itemul 376 · Determinați ecuația dreptei de pantă -1 care trece prin A(0,4).

    Vezi rezolvarea

    1. y = −x + 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 377 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 1, b₅ = 16. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

26. Exercițiul 26

    Itemul 378 · Fie A = 2110 și B = 1321. Calculați AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 4713.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 379 · Pentru z = 7 − 24i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea

    1. |z| = 25, iar conjugatul este 7 + 24i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

28. Exercițiul 28

    Itemul 380 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 45 cazuri favorabile din 90; P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

29. Exercițiul 29

    Itemul 381 · Calculați limx→0 sin(x)x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

30. Exercițiul 30

    Itemul 382 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 7 și 14, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 49.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 49

31. Exercițiul 31

    Itemul 383 · Împărțiți P(x) = x³ + 4x² + 5x + 2 la x + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Câtul este x² + 3x + 2, restul 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

32. Exercițiul 32

    Itemul 384 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 3. Rezolvați ecuația -1 ∘ x = 7.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

Itemii testului 12 (32)

1. 353. Derivate · 3p

   Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = -2(x)² + 4.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = −4x: crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, +∞); maximul este f(0) = 4.

2. 354. Probabilități · 4p

   O urnă conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

   Vezi răspunsul

   712

3. 355. Progresii geometrice · 3p

   Într-o progresie geometrică, b₂ = 12, b₅ = 324. Determinați q.

   Vezi răspunsul

   q³ = 324 : 12 = 27, deci q = 3.

4. 356. Numere complexe · 5p

   Calculați (-1 + 6i) + (4 − 2i).

   Vezi răspunsul

   3 + 4i

5. 357. Limite · 3p

   Calculați limx→0 e^−2x − 1x.

   Vezi răspunsul

   −2

6. 358. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația 5x + 7 = 22.

   Vezi răspunsul

   5x = 15, deci x = 3.

7. 359. Polinoame · 5p

   Fie P(x) = x³ + 2x² − 3. Determinați restul împărțirii la x + 1.

   Vezi răspunsul

   Restul este P(−1) = −1 + 2 − 3 = −2.

8. 360. Matrice · 5p

   Fie A = 1-120. Calculați 3A.

   Vezi răspunsul

   3A = 3−360

9. 361. Limite · 4p

   Calculați limx→+∞ 6x² + 53x² − 2.

   Vezi răspunsul

   2

10. 362. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă x + y00x − y = 10004.

    Vezi răspunsul

    x + y = 10 și x − y = 4, deci x = 7, y = 3.

11. 363. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₂ = 5, a₅ = 14. Calculați a₁₀.

    Vezi răspunsul

    3r = 9, deci r = 3 și a₁ = 2; a₁₀ = 2 + 27 = 29.

12. 364. Progresii geometrice · 3p

    Numerele pozitive 9, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi răspunsul

    x² = 9 · 25 = 225, iar x > 0, deci x = 15.

13. 365. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (3 + i)z + (-2 + 2i) = 3 + 7i.

    Vezi răspunsul

    (3 + i)z = 5 + 5i, deci z = (5 + 5i)3 − i10 = 2 + i.

14. 366. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că ln(1+x) ≤ x pentru orice x > −1.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x − ln(1 + x) are g′(x) = x1 + x, deci minimul pe (−1, ∞) este g(0) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică ln(1 + x) ≤ x.

15. 367. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    590 = 118 (14, 23, 32, 41, 50)

16. 368. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -1.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −1, deci a = 1.

17. 369. Polinoame · 2p

    Fie P(x) = (x − 4)²(x + 1). Arătați că 4 este rădăcină dublă.

    Vezi răspunsul

    P(x) conține factorul (x − 4)², iar x + 1 nu se anulează în 4 (dă 5), deci 4 este rădăcină dublă.

18. 370. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 3)² − (x + 3)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)² − (x + 3)² = −12x, deci expresia este −12.

19. 371. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 513, cos α = 1213. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (513) · (1213) = 120169

20. 372. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(3,-1) și este paralelă cu dreapta 2x + 3y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este −23: y + 1 = −(23)(x − 3), adică 2x + 3y − 3 = 0.

21. 373. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Fie f(x) = 3x − 6. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 = 0, deci punctul (2, 0).

22. 374. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 3, r = 2. Calculați a₄.

    Vezi răspunsul

    a₄ = 3 + 3 · 2 = 9

23. 375. Derivate · 4p

    Fie f(x) = e^x(x² + 3x + 2). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = e^x(x² + 3x + 2) + e^x(2x + 3) = e^x(x² + 5x + 5)

24. 376. Geometrie analitică și vectori · 5p

    Determinați ecuația dreptei de pantă -1 care trece prin A(0,4).

    Vezi răspunsul

    y = −x + 4

25. 377. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 1, b₅ = 16. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q⁴ = 16, iar q > 0, deci q = 2.

26. 378. Matrice · 4p

    Fie A = 2110 și B = 1321. Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 4713

27. 379. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 7 − 24i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = √49 + 576 = 25; z̄ = 7 + 24i.

28. 380. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    4590 = 12

29. 381. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(x)x.

    Vezi răspunsul

    1

30. 382. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 7 și 14, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    7 · 14 : 2 = 49

31. 383. Polinoame · 3p

    Împărțiți P(x) = x³ + 4x² + 5x + 2 la x + 1.

    Vezi răspunsul

    Câtul este x² + 3x + 2, iar restul este 0 (Horner: 1, 3, 2, 0).

32. 384. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 3. Rezolvați ecuația -1 ∘ x = 7.

    Vezi răspunsul

    −1 + x + 3 = 7, deci x = 5.