Test final mixt 11 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 321 · Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y − xy. Calculați 2 ∗ -3.

   Vezi rezolvarea

   1. 2 ∗ -3 = 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5

2. Exercițiul 2

   Itemul 322 · Fie P(x)=x² − x + 1 și Q(x)=x² + 4x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

   Vezi rezolvarea

   1. P(x) − Q(x) = -5x + 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

3. Exercițiul 3

   Itemul 323 · Calculați limx→0 ln(1 + 2x)x.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 2

4. Exercițiul 4

   Itemul 324 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 4, a₈ = 32. Determinați r.

   Vezi rezolvarea

   1. r = a₈ − a₁7 = 4.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 4

5. Exercițiul 5

   Itemul 325 · Calculați limx→0 √1 + 2x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Prin raționalizare, limita este 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1

6. Exercițiul 6

   Itemul 326 · Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este asociativă pe ℝ.

   Vezi rezolvarea

   1. Ambele asocieri sunt x + y + z − 4; legea este asociativă.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 327 · Fie A = 30-21. Calculați 4A.

   Vezi rezolvarea

   1. 4A = 120-84.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

8. Exercițiul 8

   Itemul 328 · Într-o progresie aritmetică, a₆ = 31, r = 5. Determinați a₁.

   Vezi rezolvarea

   1. a₁ = a₆ − 5r = 6.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 6

9. Exercițiul 9

   Itemul 329 · Rezolvați în ℂ ecuația z² = -9.

   Vezi rezolvarea

   1. z ∈ {−3i, 3i}.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 330 · Factorizați complet P(x) = x³ − x² − 10x − 8.

    Vezi rezolvarea

    1. P(x) = (x + 1) · (x + 2) · (x − 4).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

11. Exercițiul 11

    Itemul 331 · Într-o progresie geometrică, b₃ = -12, q = 2. Determinați b₁.

    Vezi rezolvarea

    1. b₁ = b₃q² = -3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -3

12. Exercițiul 12

    Itemul 332 · Rezolvați ecuația sin x = 0, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ {0, π, 2π}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 333 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (7,24).

    Vezi rezolvarea

    1. u = 725, 2425.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 334 · Rezolvați ecuația 3x − 5 = 7.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

15. Exercițiul 15

    Itemul 335 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = (x − 3)² + 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Funcția descrește pe (−∞,3), crește pe (3,+∞), minim 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 336 · Se alege la întâmplare x din {−4,−2,0,2,4}. Calculați probabilitatea ca |x| < 3.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

17. Exercițiul 17

    Itemul 337 · În progresia geometrică cu b₁ = 5, q = 2, determinați n dacă b_n = 160.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

18. Exercițiul 18

    Itemul 338 · Fie f(x) = 3x² − 4x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 6x − 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

19. Exercițiul 19

    Itemul 339 · Calculați limx→2 x² − 4x − 2.

    Vezi rezolvarea

    1. După factorizare, limita este 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

20. Exercițiul 20

    Itemul 340 · Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y + 3xy. Calculați 1 ∗ 2.

    Vezi rezolvarea

    1. 1 ∗ 2 = 9.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 9

21. Exercițiul 21

    Itemul 341 · Calculați (2 + 3i)(1 − 2i).

    Vezi rezolvarea

    1. 8 − i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 342 · Într-o progresie aritmetică, a₂ = -2, a₅ = 10. Calculați a₁₀.

    Vezi rezolvarea

    1. r = 4, iar a₁₀ = 30.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 30

23. Exercițiul 23

    Itemul 343 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,40}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 8 cazuri favorabile; P = 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

24. Exercițiul 24

    Itemul 344 · Fie P(x)=x² + 2x + 1 și Q(x)=x² + 3x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

    Vezi rezolvarea

    1. P(x) − Q(x) = -1x + 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 345 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 725, cos α = 2425. Calculați sin 2α.

    Vezi rezolvarea

    1. sin 2α = 336625.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 336625

26. Exercițiul 26

    Itemul 346 · Fie A = 1201 și B = 2013. Calculați AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 4613.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 347 · Rezolvați ecuația √x + 7 = 6.

    Vezi rezolvarea

    1. Condiția de existență este îndeplinită; x = 29.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 29

28. Exercițiul 28

    Itemul 348 · În reperul xOy, A(1,-1) și B(5,3). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. M(3,1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

29. Exercițiul 29

    Itemul 349 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 1. Rezolvați ecuația 2 ∘ x = 8.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

30. Exercițiul 30

    Itemul 350 · În progresia aritmetică cu a₁ = 4, r = 5, determinați n dacă a_n = 54.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 11.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 11

31. Exercițiul 31

    Itemul 351 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1,2) și este paralelă cu dreapta 2x − y + 7 = 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Ecuația este 2x − y = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

32. Exercițiul 32

    Itemul 352 · Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 5 și 12. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea

    1. Ipotenuza este 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

Itemii testului 11 (32)

1. 321. Legi de compoziție · 3p

   Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y − xy. Calculați 2 ∗ -3.

   Vezi răspunsul

   2 + (−3) − 2 · (−3) = 5

2. 322. Polinoame · 3p

   Fie P(x)=x² − x + 1 și Q(x)=x² + 4x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

   Vezi răspunsul

   P(x) − Q(x) = −5x + 2

3. 323. Limite · 2p

   Calculați limx→0 ln(1 + 2x)x.

   Vezi răspunsul

   2

4. 324. Progresii aritmetice · 4p

   Într-o progresie aritmetică, a₁ = 4, a₈ = 32. Determinați r.

   Vezi răspunsul

   7r = 32 − 4 = 28, deci r = 4.

5. 325. Limite · 3p

   Calculați limx→0 √1 + 2x − 1x.

   Vezi răspunsul

   1

6. 326. Legi de compoziție · 2p

   Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este asociativă pe ℝ.

   Vezi răspunsul

   (x ∘ y) ∘ z = x + y + z − 4 = x ∘ (y ∘ z)

7. 327. Matrice · 5p

   Fie A = 30-21. Calculați 4A.

   Vezi răspunsul

   4A = 120−84

8. 328. Progresii aritmetice · 4p

   Într-o progresie aritmetică, a₆ = 31, r = 5. Determinați a₁.

   Vezi răspunsul

   a₁ = 31 − 5 · 5 = 6

9. 329. Numere complexe · 2p

   Rezolvați în ℂ ecuația z² = -9.

   Vezi răspunsul

   z = 3i sau z = −3i

10. 330. Polinoame · 4p

    Factorizați complet P(x) = x³ − x² − 10x − 8.

    Vezi răspunsul

    P(−1) = 0, iar câtul la x + 1 este x² − 2x − 8, deci P(x) = (x + 1)(x + 2)(x − 4).

11. 331. Progresii geometrice · 4p

    Într-o progresie geometrică, b₃ = -12, q = 2. Determinați b₁.

    Vezi răspunsul

    b₁ = −12 : 2² = −3

12. 332. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația sin x = 0, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {0, π, 2π}

13. 333. Geometrie analitică și vectori · 3p

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (7,24).

    Vezi răspunsul

    (725, 2425) (|v| = 25)

14. 334. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 3x − 5 = 7.

    Vezi răspunsul

    3x = 12, deci x = 4.

15. 335. Derivate · 3p

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = (x − 3)² + 2.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2(x − 3): descrescătoare pe (−∞, 3], crescătoare pe [3, +∞); minimul este f(3) = 2.

16. 336. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−4,−2,0,2,4}. Calculați probabilitatea ca |x| < 3.

    Vezi răspunsul

    35: x ∈ {−2, 0, 2}.

17. 337. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b₁ = 5, q = 2, determinați n dacă b_n = 160.

    Vezi răspunsul

    5 · 2ⁿ⁻¹ = 160, deci 2ⁿ⁻¹ = 32 și n = 6.

18. 338. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 3x² − 4x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 6x − 4

19. 339. Limite · 5p

    Calculați limx→2 x² − 4x − 2.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 2) = 4

20. 340. Legi de compoziție · 3p

    Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y + 3xy. Calculați 1 ∗ 2.

    Vezi răspunsul

    1 + 2 + 3 · 1 · 2 = 9

21. 341. Numere complexe · 4p

    Calculați (2 + 3i)(1 − 2i).

    Vezi răspunsul

    2 − 4i + 3i − 6i² = 8 − i

22. 342. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₂ = -2, a₅ = 10. Calculați a₁₀.

    Vezi răspunsul

    3r = 12, deci r = 4 și a₁ = −6; a₁₀ = −6 + 36 = 30.

23. 343. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,40}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    840 = 15

24. 344. Polinoame · 3p

    Fie P(x)=x² + 2x + 1 și Q(x)=x² + 3x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

    Vezi răspunsul

    P(x) − Q(x) = −x + 2

25. 345. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 725, cos α = 2425. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (725) · (2425) = 336625

26. 346. Matrice · 4p

    Fie A = 1201 și B = 2013. Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 4613

27. 347. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația √x + 7 = 6.

    Vezi răspunsul

    x + 7 = 36, deci x = 29.

28. 348. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(1,-1) și B(5,3). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(3, 1)

29. 349. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 1. Rezolvați ecuația 2 ∘ x = 8.

    Vezi răspunsul

    2 + x + 1 = 8, deci x = 5.

30. 350. Progresii aritmetice · 4p

    În progresia aritmetică cu a₁ = 4, r = 5, determinați n dacă a_n = 54.

    Vezi răspunsul

    4 + 5(n − 1) = 54, deci n = 11.

31. 351. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1,2) și este paralelă cu dreapta 2x − y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este 2: y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x (2x − y = 0).

32. 352. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 5 și 12. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    √25 + 144 = 13