Test final mixt 10 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 289 · Fie f(x)=ln(x²+1). Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x)=2xx²+1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 290 · Calculați limx→0 √1 + x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Prin raționalizare, limita este 12.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 12

3. Exercițiul 3

   Itemul 291 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (8,15).

   Vezi rezolvarea

   1. u = 817, 1517.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 292 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 8, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

   Vezi rezolvarea

   1. Prin teorema cosinusului, latura este 7.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 7

5. Exercițiul 5

   Itemul 293 · Calculați i²⁰³².

   Vezi rezolvarea

   1. i²⁰³² = 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1

6. Exercițiul 6

   Itemul 294 · Pentru legea x ∘ y = x + y + 1, determinați simetricul lui x.

   Vezi rezolvarea

   1. Simetricul lui x este −x − 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 295 · Rezolvați ecuația log₅ x = 2.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 25.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 25

8. Exercițiul 8

   Itemul 296 · Determinați m astfel încât x − 2 să dividă P(x) = x² + 3x + m.

   Vezi rezolvarea

   1. P(2) = 0, deci m = -10.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -10

9. Exercițiul 9

   Itemul 297 · Introduceți 2 medii aritmetice între 3 și 21.

   Vezi rezolvarea

   1. Rația este 6; mediile sunt 9, 15.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 298 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 30 cazuri favorabile din 90; P = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

11. Exercițiul 11

    Itemul 299 · Într-o progresie geometrică, b₄ = 54, q = 3. Determinați b₁.

    Vezi rezolvarea

    1. b₁ = b₄q³ = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

12. Exercițiul 12

    Itemul 300 · Fie A = 01-10 și B = 2134. Calculați AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 34-2-1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 301 · Rezolvați ecuația (2 − i)z + (1 + 3i) = 5 + 6i.

    Vezi rezolvarea

    1. z = 1 + 2i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 302 · Rezolvați ecuația cos x = −1, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ {π}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 303 · Fie f(x) = 13x² + 2x + 6. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = −(6x + 2)(3x² + 2x + 6)².
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 304 · O urnă conține 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

17. Exercițiul 17

    Itemul 305 · Calculați limx→0 e^3x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

18. Exercițiul 18

    Itemul 306 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 5, b₃ = 45. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

19. Exercițiul 19

    Itemul 307 · Simplificați (x − 2)² − (x + 2)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia este -8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -8

20. Exercițiul 20

    Itemul 308 · Fie A = 03-21 și B = 512-4. Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea

    1. A + B = 540-3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

21. Exercițiul 21

    Itemul 309 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 2, a₇ = 20. Determinați r.

    Vezi rezolvarea

    1. r = a₇ − a₁6 = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

22. Exercițiul 22

    Itemul 310 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea

    1. Elementul neutru este e = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

23. Exercițiul 23

    Itemul 311 · Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² − 7x + 10 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi rezolvarea

    1. x₁ + x₂ = 7, x₁x₂ = 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 10

24. Exercițiul 24

    Itemul 312 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(3,15). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

25. Exercițiul 25

    Itemul 313 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 3 și 5, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi rezolvarea

    1. Prin teorema cosinusului, latura este √19.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

26. Exercițiul 26

    Itemul 314 · Fie f(x) = 12x² − 2x + 3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = −(4x − 2)(2x² − 2x + 3)².
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 315 · Pentru dreapta d: 5x − 2y + 1 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi rezolvarea

    1. n = (5,-2), v = (2,5).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

28. Exercițiul 28

    Itemul 316 · În progresia geometrică cu b₁ = 2, q = 2, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

29. Exercițiul 29

    Itemul 317 · Fie z = (6 + i) − (-2 − 4i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi rezolvarea

    1. Re(z) = 8, Im(z) = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

30. Exercițiul 30

    Itemul 318 · Determinați x și y dacă x + y00x − y = 5001.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 3, y = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

31. Exercițiul 31

    Itemul 319 · Se alege la întâmplare x din {−5,−3,−1,1,3,5}. Calculați probabilitatea ca |x| < 4.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 23.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 23

32. Exercițiul 32

    Itemul 320 · Rezolvați ecuația 2^x−1 = 32.

    Vezi rezolvarea

    1. Egalând exponenții: x = 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

Itemii testului 10 (32)

1. 289. Derivate · 3p

   Fie f(x)=ln(x²+1). Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2xx² + 1

2. 290. Limite · 3p

   Calculați limx→0 √1 + x − 1x.

   Vezi răspunsul

   12

3. 291. Geometrie analitică și vectori · 3p

   Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (8,15).

   Vezi răspunsul

   (817, 1517) (|v| = 17)

4. 292. Trigonometrie și geometrie · 3p

   Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 8, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

   Vezi răspunsul

   c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 49, deci c = 7.

5. 293. Numere complexe · 5p

   Calculați i²⁰³².

   Vezi răspunsul

   2032 = 4 · 508, deci i²⁰³² = 1.

6. 294. Legi de compoziție · 3p

   Pentru legea x ∘ y = x + y + 1, determinați simetricul lui x.

   Vezi răspunsul

   Neutrul este −1, iar x + x′ + 1 = −1 dă x′ = −x − 2.

7. 295. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația log₅ x = 2.

   Vezi răspunsul

   x = 5² = 25

8. 296. Polinoame · 4p

   Determinați m astfel încât x − 2 să dividă P(x) = x² + 3x + m.

   Vezi răspunsul

   P(2) = 4 + 6 + m = 0, deci m = −10.

9. 297. Progresii aritmetice · 2p

   Introduceți 2 medii aritmetice între 3 și 21.

   Vezi răspunsul

   r = (21 − 3) : 3 = 6, deci mediile sunt 9 și 15.

10. 298. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    3090 = 13 (12, 15, …, 99)

11. 299. Progresii geometrice · 4p

    Într-o progresie geometrică, b₄ = 54, q = 3. Determinați b₁.

    Vezi răspunsul

    b₁ = 54 : 3³ = 2

12. 300. Matrice · 4p

    Fie A = 01-10 și B = 2134. Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 34−2−1

13. 301. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (2 − i)z + (1 + 3i) = 5 + 6i.

    Vezi răspunsul

    (2 − i)z = 4 + 3i, deci z = (4 + 3i)2 + i5 = 1 + 2i.

14. 302. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația cos x = −1, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x = π

15. 303. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 13x² + 2x + 6. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −6x + 2(3x² + 2x + 6)²

16. 304. Probabilități · 4p

    O urnă conține 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    35

17. 305. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e^3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    3

18. 306. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 5, b₃ = 45. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q² = 45 : 5 = 9, iar q > 0, deci q = 3.

19. 307. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 2)² − (x + 2)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)² − (x + 2)² = −8x, deci expresia este −8.

20. 308. Matrice · 5p

    Fie A = 03-21 și B = 512-4. Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B = 540−3

21. 309. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 2, a₇ = 20. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = 20 − 2 = 18, deci r = 3.

22. 310. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = 2

23. 311. Polinoame · 3p

    Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² − 7x + 10 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi răspunsul

    x₁ + x₂ = 7, x₁x₂ = 10

24. 312. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(3,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    √25 + 144 = 13

25. 313. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 3 și 5, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 12 = 19, deci c = √19.

26. 314. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 12x² − 2x + 3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −4x − 2(2x² − 2x + 3)²

27. 315. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Pentru dreapta d: 5x − 2y + 1 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (5, −2); director: u = (2, 5).

28. 316. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b₁ = 2, q = 2, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi răspunsul

    2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ = 256, deci n = 8.

29. 317. Numere complexe · 3p

    Fie z = (6 + i) − (-2 − 4i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    z = 8 + 5i: Re(z) = 8, Im(z) = 5.

30. 318. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă x + y00x − y = 5001.

    Vezi răspunsul

    x + y = 5 și x − y = 1, deci x = 3, y = 2.

31. 319. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−5,−3,−1,1,3,5}. Calculați probabilitatea ca |x| < 4.

    Vezi răspunsul

    46 = 23: x ∈ {−3, −1, 1, 3}.

32. 320. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 2^x−1 = 32.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 5, deci x = 6.