Test final mixt 9 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 257 · Rezolvați ecuația 7x + 2 = 44.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 6.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 6

2. Exercițiul 2

   Itemul 258 · Pentru z = 5 + 12i, calculați |z| și conjugatul lui z.

   Vezi rezolvarea

   1. |z| = 13, iar conjugatul este 5 − 12i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

3. Exercițiul 3

   Itemul 259 · Într-o progresie aritmetică, a₂ = -1 și a₈ = 17. Calculați a₅.

   Vezi rezolvarea

   1. a₅ = a₂+a₈2 = 8.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 8

4. Exercițiul 4

   Itemul 260 · Fie P(x) = x³ − 2x + 1. Determinați restul împărțirii la x − 2.

   Vezi rezolvarea

   1. Restul este P(2) = 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5

5. Exercițiul 5

   Itemul 261 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

   Vezi rezolvarea

   1. Sunt 6 cazuri favorabile; P = 310.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 310

6. Exercițiul 6

   Itemul 262 · Calculați limx→3 (−4x + 7).

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este -5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -5

7. Exercițiul 7

   Itemul 263 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = -2. Calculați b₄.

   Vezi rezolvarea

   1. b₄ = -24.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -24

8. Exercițiul 8

   Itemul 264 · Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x + 2)² + 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Valoarea maximă este f(-2) = 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1

9. Exercițiul 9

   Itemul 265 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați mijlocul segmentului AB.

   Vezi rezolvarea

   1. M(1,2).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 266 · Rezolvați ecuația 3^x−2 = 9.

    Vezi rezolvarea

    1. Egalând exponenții: x = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

11. Exercițiul 11

    Itemul 267 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra zecilor să fie 5.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 10 cazuri favorabile din 90; P = 19.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 19

12. Exercițiul 12

    Itemul 268 · Calculați cos 30°.

    Vezi rezolvarea

    1. cos 30° = √32.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 269 · Fie P(x) = (x − 1)(x − 1)(x − 4). Arătați că x − 4 divide P(x).

    Vezi rezolvarea

    1. P(4) = 0, deci x − 4 divide P.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 270 · Fie A = 1031. Determinați A⁻¹.

    Vezi rezolvarea

    1. A⁻¹ = 10-31.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 271 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -3.

    Vezi rezolvarea

    1. a = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

16. Exercițiul 16

    Itemul 272 · Calculați limx→0 sin(5x)x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

17. Exercițiul 17

    Itemul 273 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 10, a₇ = -8. Determinați r.

    Vezi rezolvarea

    1. r = a₇ − a₁6 = −3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −3

18. Exercițiul 18

    Itemul 274 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 4, q = -1. Calculați b₉.

    Vezi rezolvarea

    1. b₉ = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

19. Exercițiul 19

    Itemul 275 · Pentru z = 3 − 4i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea

    1. |z| = 5, iar conjugatul este 3 + 4i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

20. Exercițiul 20

    Itemul 276 · Fie f(x) = e^x(2x² + x ). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = e^x(2x² + 5x + 1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

21. Exercițiul 21

    Itemul 277 · Pentru z = 8 + 15i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea

    1. |z| = 17, iar conjugatul este 8 − 15i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 278 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 7 cazuri favorabile; P = 730.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 730

23. Exercițiul 23

    Itemul 279 · Într-o progresie geometrică, b₂ = 6, b₅ = 48. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q³ = b₅b₂ = 8, deci q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

24. Exercițiul 24

    Itemul 280 · Rezolvați ecuația log₁₀ x = 3.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 1000.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1000

25. Exercițiul 25

    Itemul 281 · Calculați limx→0 sin(2x)x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

26. Exercițiul 26

    Itemul 282 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 283 · Fie P(x) = (x − 1)²(x + 1). Arătați că 1 este rădăcină dublă.

    Vezi rezolvarea

    1. P(1) = 0 și P′1 = 0; rădăcina este dublă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

28. Exercițiul 28

    Itemul 284 · Rezolvați ecuația sin x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ {π6, 5π6}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

29. Exercițiul 29

    Itemul 285 · Introduceți 5 medii aritmetice între 10 și 40.

    Vezi rezolvarea

    1. Rația este 5; mediile sunt 15, 20, 25, 30, 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

30. Exercițiul 30

    Itemul 286 · Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 3)² + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Valoarea maximă este f(3) = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

31. Exercițiul 31

    Itemul 287 · Determinați x dacă det x3-11 = 7.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

32. Exercițiul 32

    Itemul 288 · În reperul xOy, A(1,1) și B(4,5). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

Itemii testului 9 (32)

1. 257. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația 7x + 2 = 44.

   Vezi răspunsul

   7x = 42, deci x = 6.

2. 258. Numere complexe · 5p

   Pentru z = 5 + 12i, calculați |z| și conjugatul lui z.

   Vezi răspunsul

   |z| = √25 + 144 = 13; z̄ = 5 − 12i.

3. 259. Progresii aritmetice · 3p

   Într-o progresie aritmetică, a₂ = -1 și a₈ = 17. Calculați a₅.

   Vezi răspunsul

   a₅ = (a₂ + a₈) : 2 = 8

4. 260. Polinoame · 5p

   Fie P(x) = x³ − 2x + 1. Determinați restul împărțirii la x − 2.

   Vezi răspunsul

   Restul este P(2) = 8 − 4 + 1 = 5.

5. 261. Probabilități · 4p

   Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

   Vezi răspunsul

   620 = 310 (3, 6, …, 18)

6. 262. Limite · 5p

   Calculați limx→3 (−4x + 7).

   Vezi răspunsul

   −12 + 7 = −5

7. 263. Progresii geometrice · 2p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = -2. Calculați b₄.

   Vezi răspunsul

   b₄ = 3 · (−2)³ = −24

8. 264. Derivate · 3p

   Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x + 2)² + 1.

   Vezi răspunsul

   Numitorul este minim, 1, pentru x = −2; valoarea maximă este 1.

9. 265. Geometrie analitică și vectori · 5p

   În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați mijlocul segmentului AB.

   Vezi răspunsul

   M(1, 2)

10. 266. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 3^x−2 = 9.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 2, deci x = 4.

11. 267. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra zecilor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    1090 = 19 (50, 51, …, 59)

12. 268. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Calculați cos 30°.

    Vezi răspunsul

    √32

13. 269. Polinoame · 5p

    Fie P(x) = (x − 1)(x − 1)(x − 4). Arătați că x − 4 divide P(x).

    Vezi răspunsul

    P(4) = 3 · 3 · 0 = 0, deci x − 4 divide P(x).

14. 270. Matrice · 3p

    Fie A = 1031. Determinați A⁻¹.

    Vezi răspunsul

    A⁻¹ = 10−31

15. 271. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -3.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −3, deci a = 3.

16. 272. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(5x)x.

    Vezi răspunsul

    5

17. 273. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 10, a₇ = -8. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = −8 − 10 = −18, deci r = −3.

18. 274. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 4, q = -1. Calculați b₉.

    Vezi răspunsul

    b₉ = 4 · (−1)⁸ = 4

19. 275. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 3 − 4i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 5; z̄ = 3 + 4i.

20. 276. Derivate · 4p

    Fie f(x) = e^x(2x² + x ). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = e^x(2x² + x) + e^x(4x + 1) = e^x(2x² + 5x + 1)

21. 277. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 8 + 15i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = √64 + 225 = 17; z̄ = 8 − 15i.

22. 278. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

    Vezi răspunsul

    730 (4, 8, …, 28)

23. 279. Progresii geometrice · 3p

    Într-o progresie geometrică, b₂ = 6, b₅ = 48. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q³ = 48 : 6 = 8, deci q = 2.

24. 280. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația log₁₀ x = 3.

    Vezi răspunsul

    x = 10³ = 1.000

25. 281. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(2x)x.

    Vezi răspunsul

    2

26. 282. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 1 = y + x + 1 = y ∘ x

27. 283. Polinoame · 2p

    Fie P(x) = (x − 1)²(x + 1). Arătați că 1 este rădăcină dublă.

    Vezi răspunsul

    P(x) conține factorul (x − 1)², iar x + 1 nu se anulează în 1 (dă 2), deci 1 este rădăcină dublă.

28. 284. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația sin x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π6, 5π6}

29. 285. Progresii aritmetice · 2p

    Introduceți 5 medii aritmetice între 10 și 40.

    Vezi răspunsul

    r = (40 − 10) : 6 = 5, deci mediile sunt 15, 20, 25, 30, 35.

30. 286. Derivate · 3p

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 3)² + 1.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 1, pentru x = 3; valoarea maximă este 1.

31. 287. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det x3-11 = 7.

    Vezi răspunsul

    x + 3 = 7, deci x = 4.

32. 288. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(1,1) și B(4,5). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    √9 + 16 = 5