Test final mixt 8 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 225 · Pentru legea x ∘ y = x + y + 3, determinați simetricul lui x.

   Vezi rezolvarea

   1. Simetricul lui x este −x − 6.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 226 · Fie z = (-1 + 5i) − (3 + 2i). Determinați Re(z) și Im(z).

   Vezi rezolvarea

   1. Re(z) = -4, Im(z) = 3.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 3

3. Exercițiul 3

   Itemul 227 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = -2, r = 3. Calculați a₇.

   Vezi rezolvarea

   1. a₇ = a₁ + 6r = 16.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 16

4. Exercițiul 4

   Itemul 228 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 12.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 12

5. Exercițiul 5

   Itemul 229 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 5, q = -2. Calculați b₄.

   Vezi rezolvarea

   1. b₄ = b₁·q³ = -40.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -40

6. Exercițiul 6

   Itemul 230 · Fie f(x) = −4x + 12. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

   Vezi rezolvarea

   1. A(3,0).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 231 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 817, cos α = 1517. Calculați tg α.

   Vezi rezolvarea

   1. tg α = 815.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 815

8. Exercițiul 8

   Itemul 232 · Calculați limx→0 sin(3x)x.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 3.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 3

9. Exercițiul 9

   Itemul 233 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(0,4) și este paralelă cu dreapta x − 2y + 7 = 0.

   Vezi rezolvarea

   1. Ecuația este x − 2y + 8 = 0.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 0

10. Exercițiul 10

    Itemul 234 · Fie P(x) = (x − 0)(x − 1)(x − 2). Arătați că x − 1 divide P(x).

    Vezi rezolvarea

    1. P(1) = 0, deci x − 1 divide P.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

11. Exercițiul 11

    Itemul 235 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 3.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

12. Exercițiul 12

    Itemul 236 · Fie A = 1101. Determinați A⁻¹.

    Vezi rezolvarea

    1. A⁻¹ = 1-101.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 237 · Fie f(x) = 1x² + 4x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = −(2x + 4)(x² + 4x + 5)².
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 238 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 2; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 239 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = -3, a₆ = 17. Determinați r.

    Vezi rezolvarea

    1. r = a₆ − a₁5 = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

16. Exercițiul 16

    Itemul 240 · Calculați (1 + i)(2 − i).

    Vezi rezolvarea

    1. 3 + i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

17. Exercițiul 17

    Itemul 241 · Calculați limx→+∞ 9x² − 33x² + 7.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

18. Exercițiul 18

    Itemul 242 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 35. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea

    1. cos α = 45.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 45

19. Exercițiul 19

    Itemul 243 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = -2, r = 4. Calculați S₈.

    Vezi rezolvarea

    1. S₈ = 82[2·-2+7·4] = 96.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 96

20. Exercițiul 20

    Itemul 244 · Calculați (3 − i)(2 + 2i).

    Vezi rezolvarea

    1. 8 + 4i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

21. Exercițiul 21

    Itemul 245 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 18 cazuri favorabile din 90; P = 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

22. Exercițiul 22

    Itemul 246 · Într-o progresie geometrică, b₄ = -32, q = -2. Determinați b₁.

    Vezi rezolvarea

    1. b₁ = b₄q³ = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

23. Exercițiul 23

    Itemul 247 · În reperul xOy, A(0,0) și B(8,15). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 17.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 17

24. Exercițiul 24

    Itemul 248 · Fie P(x) = (x + 2)²(x + 1). Arătați că -2 este rădăcină dublă.

    Vezi rezolvarea

    1. P(-2) = 0 și P′-2 = 0; rădăcina este dublă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 249 · Determinați x și y dacă x + y00x − y = 300-1.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 1, y = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

26. Exercițiul 26

    Itemul 250 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 251 · Folosind derivate, demonstrați că x² + 1 ≥ 2x pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru g=x²−2x+1, g are minimul 0 la x=1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

28. Exercițiul 28

    Itemul 252 · Rezolvați inegalitatea (x + 2)(x − 3) ≤ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ [-2,3].
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

29. Exercițiul 29

    Itemul 253 · Fie A = 051-2. Calculați −A.

    Vezi rezolvarea

    1. −A = 0-5-12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

30. Exercițiul 30

    Itemul 254 · Pentru legea x ∘ y = x + y − 2, determinați simetricul lui x.

    Vezi rezolvarea

    1. Simetricul lui x este −x + 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

31. Exercițiul 31

    Itemul 255 · Rezolvați ecuația cos x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ {π3, 5π3}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

32. Exercițiul 32

    Itemul 256 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = (6,-2).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

Itemii testului 8 (32)

1. 225. Legi de compoziție · 3p

   Pentru legea x ∘ y = x + y + 3, determinați simetricul lui x.

   Vezi răspunsul

   Neutrul este −3, iar x + x′ + 3 = −3 dă x′ = −x − 6.

2. 226. Numere complexe · 3p

   Fie z = (-1 + 5i) − (3 + 2i). Determinați Re(z) și Im(z).

   Vezi răspunsul

   z = −4 + 3i: Re(z) = −4, Im(z) = 3.

3. 227. Progresii aritmetice · 5p

   Într-o progresie aritmetică, a₁ = -2, r = 3. Calculați a₇.

   Vezi răspunsul

   a₇ = −2 + 6 · 3 = 16

4. 228. Probabilități · 5p

   Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

   Vezi răspunsul

   1020 = 12

5. 229. Progresii geometrice · 5p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 5, q = -2. Calculați b₄.

   Vezi răspunsul

   b₄ = 5 · (−2)³ = −40

6. 230. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Fie f(x) = −4x + 12. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

   Vezi răspunsul

   −4x + 12 = 0, deci punctul (3, 0).

7. 231. Trigonometrie și geometrie · 4p

   Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 817, cos α = 1517. Calculați tg α.

   Vezi răspunsul

   tg α = 815

8. 232. Limite · 3p

   Calculați limx→0 sin(3x)x.

   Vezi răspunsul

   3

9. 233. Geometrie analitică și vectori · 4p

   Determinați ecuația dreptei care trece prin A(0,4) și este paralelă cu dreapta x − 2y + 7 = 0.

   Vezi răspunsul

   Panta dreptei date este 12: y = x2 + 4, adică x − 2y + 8 = 0.

10. 234. Polinoame · 5p

    Fie P(x) = (x − 0)(x − 1)(x − 2). Arătați că x − 1 divide P(x).

    Vezi răspunsul

    P(1) = 1 · 0 · (−1) = 0, deci x − 1 divide P(x).

11. 235. Probabilități · 5p

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 3.

    Vezi răspunsul

    36 = 12

12. 236. Matrice · 3p

    Fie A = 1101. Determinați A⁻¹.

    Vezi răspunsul

    A⁻¹ = 1−101

13. 237. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 1x² + 4x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x + 4(x² + 4x + 5)²

14. 238. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 2 = x ∘ (y ∘ z)

15. 239. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = -3, a₆ = 17. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    5r = 17 − (−3) = 20, deci r = 4.

16. 240. Numere complexe · 4p

    Calculați (1 + i)(2 − i).

    Vezi răspunsul

    2 − i + 2i − i² = 3 + i

17. 241. Limite · 4p

    Calculați limx→+∞ 9x² − 33x² + 7.

    Vezi răspunsul

    3

18. 242. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 35. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 45

19. 243. Progresii aritmetice · 2p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = -2, r = 4. Calculați S₈.

    Vezi răspunsul

    S₈ = 8 · (2 · (−2) + 7 · 4) : 2 = 96

20. 244. Numere complexe · 4p

    Calculați (3 − i)(2 + 2i).

    Vezi răspunsul

    6 + 6i − 2i − 2i² = 8 + 4i

21. 245. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    1890 = 15

22. 246. Progresii geometrice · 4p

    Într-o progresie geometrică, b₄ = -32, q = -2. Determinați b₁.

    Vezi răspunsul

    b₁ = b₄ : q³ = −32 : (−8) = 4

23. 247. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,0) și B(8,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    √64 + 225 = 17

24. 248. Polinoame · 2p

    Fie P(x) = (x + 2)²(x + 1). Arătați că -2 este rădăcină dublă.

    Vezi răspunsul

    P(x) conține factorul (x + 2)², iar x + 1 nu se anulează în −2 (dă −1), deci −2 este rădăcină dublă.

25. 249. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă x + y00x − y = 300-1.

    Vezi răspunsul

    x + y = 3 și x − y = −1, deci x = 1, y = 2.

26. 250. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 5 = y + x + 5 = y ∘ x

27. 251. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că x² + 1 ≥ 2x pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x² − 2x + 1 are g′(x) = 2x − 2, deci minimul este g(1) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică x² + 1 ≥ 2x.

28. 252. Calcule, funcții și ecuații · 4p

    Rezolvați inegalitatea (x + 2)(x − 3) ≤ 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ [−2, 3]

29. 253. Matrice · 5p

    Fie A = 051-2. Calculați −A.

    Vezi răspunsul

    −A = 0−5−12

30. 254. Legi de compoziție · 3p

    Pentru legea x ∘ y = x + y − 2, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este 2, iar x + x′ − 2 = 2 dă x′ = 4 − x.

31. 255. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația cos x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π3, 5π3}

32. 256. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (6, −2)