Încărcăm partea curentă…

Unghiuri în triunghiuri · află x din imagine

Cele trei unghiuri interioare fac 180°

Triunghiul are trei colțuri, numite vârfuri: A, B și C. Unghiurile din interior, marcate la aceste vârfuri, au împreună 180°. În formule, A, B și C reprezintă măsurile unghiurilor din aceste vârfuri. Nu contează dacă triunghiul este rotit sau are laturi diferite.

Dacă știm două unghiuri, le adunăm. Scădem apoi această sumă din 180° pentru a afla al treilea. În pași păstrăm suma deja calculată, ca să știm de unde apare fiecare număr.

ABC54°68°x
Triunghiul ABC. Arcele marchează unghiurile, nu lungimile laturilor.

De ținut minte

A + B + C = 180°

Exemplu rezolvat, cu alte date

A = 54°, B = 68°. Află C = x.

ABC54°68°x
Triunghiul ABC. Arcele marchează unghiurile, nu lungimile laturilor.
  1. 154° + 68° = 122°.
  2. 2x = 180° − 122°.
  3. 3x = 58°. Verificare: 54° + 68° + 58° = 180°.

Greșeală frecventă

Greșit: Adunăm cele două măsuri și acesta este x.

De ce: Suma celor două este doar partea cunoscută; x completează până la 180°.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Unghiuri în triunghiuri · află x din imagine: teorie, exemple și exerciții rezolvate

De la suma de 180° la triunghiuri dreptunghice, isoscele, unghi exterior și bisectoare.

Cele trei unghiuri interioare fac 180°

Triunghiul are trei colțuri, numite vârfuri: A, B și C. Unghiurile din interior, marcate la aceste vârfuri, au împreună 180°. În formule, A, B și C reprezintă măsurile unghiurilor din aceste vârfuri. Nu contează dacă triunghiul este rotit sau are laturi diferite.

Dacă știm două unghiuri, le adunăm. Scădem apoi această sumă din 180° pentru a afla al treilea. În pași păstrăm suma deja calculată, ca să știm de unde apare fiecare număr.

  • A + B + C = 180°

Exemplu rezolvat, cu alte date

A = 54°, B = 68°. Află C = x.

  1. 54° + 68° = 122°.
  2. x = 180° − 122°.
  3. x = 58°. Verificare: 54° + 68° + 58° = 180°.

Greșeală frecventă: Adunăm cele două măsuri și acesta este x. Suma celor două este doar partea cunoscută; x completează până la 180°.

Triunghiul dreptunghic: rămân 90°

Un triunghi dreptunghic are un unghi de 90°. Cum toate trei au suma 180°, pentru celelalte două rămân 180° − 90° = 90°. Aceste două unghiuri sunt ascuțite și complementare.

În desenele de aici A este unghiul drept, scris explicit 90°. Dacă B este cunoscut, scădem B din 90° pentru a afla C. Nu scădem doar B din 180°; am uita de unghiul drept.

  • A = 90° ⇒ B + C = 90°

Exemplu rezolvat, cu alte date

A = 90° și B = 34°. Află C.

  1. Pentru B și C rămân 90°.
  2. C = 90° − 34°.
  3. C = 56°. Verificare: 90° + 34° + 56° = 180°.

Greșeală frecventă: C = 180° − 34°. Am omite unghiul drept; trebuie scăzute ambele unghiuri cunoscute.

Isoscel: unghiurile de la bază sunt egale

Isoscel înseamnă că două laturi sunt egale. În desenele noastre AC = BC; le marcăm cu aceeași liniuță. Baza este AB, iar unghiurile de la capetele bazei, A și B, sunt egale.

Dacă știm unghiul C din vârf, scădem C din 180°. Rezultatul este suma lui A și B, nu doar unul dintre ele. Împărțim această sumă la 2 pentru a obține un singur unghi de la bază.

  • AC = BC ⇒ A = B
  • A = B = (180° − C) : 2

Exemplu rezolvat, cu alte date

AC = BC și C = 52°. Află fiecare unghi de la bază.

  1. A + B = 180° − 52° = 128°.
  2. A = B, deci împărțim 128° la 2.
  3. A = B = 64°. Verificare: 64° + 64° + 52° = 180°.

Greșeală frecventă: Fiecare unghi de la bază are 128°. 128° este suma celor două unghiuri egale; trebuie împărțită la 2.

Unghiul exterior: ce două unghiuri adunăm?

Prelungim latura AB dincolo de B. Unghiul dintre prelungire și BC, aflat în afara triunghiului, este un unghi exterior în B. El și unghiul interior B formează 180°.

Unghiul exterior în B este egal cu suma unghiurilor interioare A și C, cele care nu sunt lângă el. Îl aflăm fie adunând A și C, fie scăzând unghiul interior B din 180°. Nu adunăm și B încă o dată.

  • exterior în B = A + C
  • exterior în B + B = 180°

Exemplu rezolvat, cu alte date

A = 48°, C = 62°. Află unghiul exterior în B.

  1. Exteriorul în B este suma lui A și C.
  2. x = 48° + 62°.
  3. x = 110°. Verificare: interiorul B = 70°, iar 70° + 110° = 180°.

Greșeală frecventă: Exteriorul în B este A + B. Adunăm unghiurile neadiacente exteriorului: A și C, nu interiorul B de lângă el.

Două reguli în aceeași problemă: isoscel și bisectoare

Acum combinăm două reguli deja exersate. AC = BC ne spune că A și B sunt egale. CD este bisectoarea lui C și împarte unghiul C în două jumătăți egale, marcate x. ∠ACD înseamnă unghiul dintre CA și CD, cu vârful în C, litera din mijloc.

Cunoaștem A. Copiem aceeași măsură la B, adunăm A și B, apoi scădem suma din 180° pentru a afla întregul C. Abia la sfârșit împărțim C la 2. Nu împărțim unghiul de la bază.

  • A = B
  • C = 180° − (A + B)
  • x = C : 2

Exemplu rezolvat, cu alte date

AC = BC, A = 58°, iar CD este bisectoarea lui C. Află x = ∠ACD.

  1. B = A = 58°, deci A + B = 116°.
  2. C = 180° − 116° = 64°.
  3. CD împarte C în jumătăți: x = 64° : 2 = 32°.

Greșeală frecventă: x = 58° : 2. CD împarte unghiul C, nu unghiul A.

Exerciții rezolvate din lecție (20)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În triunghiul ABC, A = 40°, B = 60°. Cât este unghiul C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 100°.
    2. C = 180° − 100° = 80°.
    3. Verificare: 40° + 60° + 80° = 180°.

    Răspuns: 80°

  2. Exercițiul 2

    În triunghiul ABC, A = 55°, B = 70°. Cât este unghiul C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 125°.
    2. C = 180° − 125° = 55°.
    3. Verificare: 55° + 70° + 55° = 180°.

    Răspuns: 55°

  3. Exercițiul 3

    În triunghiul ABC, A = 35°, B = 85°. Cât este unghiul C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 120°.
    2. C = 180° − 120° = 60°.
    3. Verificare: 35° + 85° + 60° = 180°.

    Răspuns: 60°

  4. Exercițiul 4

    În triunghiul ABC, A = 72°, B = 48°. Cât este unghiul C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 120°.
    2. C = 180° − 120° = 60°.
    3. Verificare: 72° + 48° + 60° = 180°.

    Răspuns: 60°

  5. Exercițiul 5

    ABC este dreptunghic în A. B = 25°. Cât este C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. B + C = 180° − 90° = 90°.
    2. C = 90° − 25° = 65°.
    3. Verificare: 90° + 25° + 65° = 180°.

    Răspuns: 65°

  6. Exercițiul 6

    ABC este dreptunghic în A. B = 38°. Cât este C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. B + C = 180° − 90° = 90°.
    2. C = 90° − 38° = 52°.
    3. Verificare: 90° + 38° + 52° = 180°.

    Răspuns: 52°

  7. Exercițiul 7

    ABC este dreptunghic în A. B = 47°. Cât este C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. B + C = 180° − 90° = 90°.
    2. C = 90° − 47° = 43°.
    3. Verificare: 90° + 47° + 43° = 180°.

    Răspuns: 43°

  8. Exercițiul 8

    ABC este dreptunghic în A. B = 63°. Cât este C = x?

    Vezi rezolvarea
    1. B + C = 180° − 90° = 90°.
    2. C = 90° − 63° = 27°.
    3. Verificare: 90° + 63° + 27° = 180°.

    Răspuns: 27°

  9. Exercițiul 9

    AC = BC și C = 40°. Cele două unghiuri de la bază sunt x. Cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 180° − 40° = 140°.
    2. A = B = 140° : 2 = 70°.
    3. Verificare: 70° + 70° + 40° = 180°.

    Răspuns: 70°

  10. Exercițiul 10

    AC = BC și C = 70°. Cele două unghiuri de la bază sunt x. Cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 180° − 70° = 110°.
    2. A = B = 110° : 2 = 55°.
    3. Verificare: 55° + 55° + 70° = 180°.

    Răspuns: 55°

  11. Exercițiul 11

    AC = BC și C = 80°. Cele două unghiuri de la bază sunt x. Cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 180° − 80° = 100°.
    2. A = B = 100° : 2 = 50°.
    3. Verificare: 50° + 50° + 80° = 180°.

    Răspuns: 50°

  12. Exercițiul 12

    AC = BC și C = 100°. Cele două unghiuri de la bază sunt x. Cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = 180° − 100° = 80°.
    2. A = B = 80° : 2 = 40°.
    3. Verificare: 40° + 40° + 100° = 180°.

    Răspuns: 40°

  13. Exercițiul 13

    AB este prelungită dincolo de B. A = 35° și C = 65°. Cât are unghiul exterior x?

    Vezi rezolvarea
    1. x = A + C = 35° + 65° = 100°.
    2. Interiorul B = 180° − 100° = 80°.
    3. Verificare: 100° + 80° = 180°.

    Răspuns: 100°

  14. Exercițiul 14

    AB este prelungită dincolo de B. A = 48° și C = 72°. Cât are unghiul exterior x?

    Vezi rezolvarea
    1. x = A + C = 48° + 72° = 120°.
    2. Interiorul B = 180° − 120° = 60°.
    3. Verificare: 120° + 60° = 180°.

    Răspuns: 120°

  15. Exercițiul 15

    AB este prelungită dincolo de B. A = 60° și C = 50°. Cât are unghiul exterior x?

    Vezi rezolvarea
    1. x = A + C = 60° + 50° = 110°.
    2. Interiorul B = 180° − 110° = 70°.
    3. Verificare: 110° + 70° = 180°.

    Răspuns: 110°

  16. Exercițiul 16

    AB este prelungită dincolo de B. A = 42° și C = 83°. Cât are unghiul exterior x?

    Vezi rezolvarea
    1. x = A + C = 42° + 83° = 125°.
    2. Interiorul B = 180° − 125° = 55°.
    3. Verificare: 125° + 55° = 180°.

    Răspuns: 125°

  17. Exercițiul 17

    AC = BC, A = 50°. CD este bisectoarea lui C. Află x = ∠ACD.

    Vezi rezolvarea
    1. B = 50°, deci A + B = 100°.
    2. C = 180° − 100° = 80°.
    3. x = 80° : 2 = 40°. Verificare: cele două jumătăți refac unghiul C.

    Răspuns: 40°

  18. Exercițiul 18

    AC = BC, A = 56°. CD este bisectoarea lui C. Află x = ∠ACD.

    Vezi rezolvarea
    1. B = 56°, deci A + B = 112°.
    2. C = 180° − 112° = 68°.
    3. x = 68° : 2 = 34°. Verificare: cele două jumătăți refac unghiul C.

    Răspuns: 34°

  19. Exercițiul 19

    AC = BC, A = 64°. CD este bisectoarea lui C. Află x = ∠ACD.

    Vezi rezolvarea
    1. B = 64°, deci A + B = 128°.
    2. C = 180° − 128° = 52°.
    3. x = 52° : 2 = 26°. Verificare: cele două jumătăți refac unghiul C.

    Răspuns: 26°

  20. Exercițiul 20

    AC = BC, A = 72°. CD este bisectoarea lui C. Află x = ∠ACD.

    Vezi rezolvarea
    1. B = 72°, deci A + B = 144°.
    2. C = 180° − 144° = 36°.
    3. x = 36° : 2 = 18°. Verificare: cele două jumătăți refac unghiul C.

    Răspuns: 18°

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.