Triunghiuri

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Suma unghiurilor și unghiuri date prin expresii

În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interioare este 180°. De aceea, dacă știi două unghiuri, al treilea se află scăzând din 180°.

Când unghiurile sunt date prin expresii — de exemplu 3x, 4x și 5x — scrii că suma lor este 180°, reduci termenii asemenea și afli necunoscuta.

Pentru 3x + 4x + 5x = 180° obții 12x = 180°, deci x = 15°, iar unghiurile sunt 45°, 60° și 75°.

De ținut minte

m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°

3x + 4x + 5x = 180° ⇒ x = 15°

Verifică la final: suma unghiurilor găsite trebuie să dea exact 180°.
Cel mai mare unghi se află în fața celei mai lungi laturi.

Exemplu rezolvat

Unghiurile unui triunghi sunt x, 2x și 3x. Cât măsoară unghiul cel mai mare?

1Scriem suma: x + 2x + 3x = 180°, deci 6x = 180°.
2Împărțim la 6: x = 30°.
3Cel mai mare unghi este 3x = 90°, deci triunghiul este dreptunghic.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Triunghiuri: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pe lângă suma unghiurilor interioare, folosim teorema unghiului exterior și inegalitatea triunghiulară pentru a decide dacă trei segmente pot forma un triunghi.

Suma unghiurilor și unghiuri date prin expresii

În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interioare este 180°. De aceea, dacă știi două unghiuri, al treilea se află scăzând din 180°.

Când unghiurile sunt date prin expresii — de exemplu 3x, 4x și 5x — scrii că suma lor este 180°, reduci termenii asemenea și afli necunoscuta.

Pentru 3x + 4x + 5x = 180° obții 12x = 180°, deci x = 15°, iar unghiurile sunt 45°, 60° și 75°.

m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°
3x + 4x + 5x = 180° ⇒ x = 15°

Verifică la final: suma unghiurilor găsite trebuie să dea exact 180°.
Cel mai mare unghi se află în fața celei mai lungi laturi.

Exemplu rezolvat

Unghiurile unui triunghi sunt x, 2x și 3x. Cât măsoară unghiul cel mai mare?

Scriem suma: x + 2x + 3x = 180°, deci 6x = 180°.
Împărțim la 6: x = 30°.
Cel mai mare unghi este 3x = 90°, deci triunghiul este dreptunghic.

Unghiul exterior al unui triunghi

Un unghi exterior se formează prelungind o latură dincolo de un vârf. El este adiacent suplementar cu unghiul interior din același vârf, deci suma lor este 180°.

Teorema unghiului exterior spune că măsura unui unghi exterior este egală cu suma celorlalte două unghiuri interioare, cele neadiacente lui.

Demonstrația este scurtă: unghiurile interioare însumează 180°, iar unghiul exterior din C este 180° − m(∢C), adică exact m(∢A) + m(∢B).

exterior la C = m(∢A) + m(∢B)
exterior + interior adiacent = 180°

Unghiul exterior este întotdeauna mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente.
Din unghiul exterior poți afla imediat unghiul interior din același vârf, scăzând din 180°.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, unghiurile A și B au 50° și 70°. Cât măsoară unghiul exterior din C?

Teorema unghiului exterior spune că el este suma unghiurilor neadiacente.
Adunăm: 50° + 70° = 120°.
Verificare: unghiul interior din C are 60°, iar 60° + 120° = 180°.

Inegalitatea triunghiulară

Pentru ca trei segmente să formeze un triunghi, suma lungimilor oricăror două dintre ele trebuie să fie mai mare decât lungimea celei de-a treia: a + b > c, a + c > b și b + c > a.

Practic, verifici doar latura cea mai lungă: dacă suma celorlalte două o depășește, condiția este îndeplinită. Segmentele de 4, 5 și 8 cm formează triunghi, fiindcă 4 + 5 = 9 > 8.

Segmentele de 2, 3 și 7 cm nu formează triunghi: 2 + 3 = 5, mai puțin decât 7, deci capetele nu se întâlnesc.

De aici rezultă și în ce interval poate fi a treia latură: ea este mai mare decât diferența celorlalte două și mai mică decât suma lor.

a + b > c, a + c > b, b + c > a
|a − b| < c < a + b

E de ajuns să verifici latura cea mai mare.
Dacă suma este exact egală cu a treia latură, punctele sunt coliniare, deci nu există triunghi.

Exemplu rezolvat

Două laturi ale unui triunghi au 3 cm și 8 cm. Care este cea mai mică lungime întreagă posibilă pentru a treia latură?

A treia latură trebuie să fie mai mare decât diferența: 8 − 3 = 5 cm.
Trebuie totodată să fie mai mică decât suma: 8 + 3 = 11 cm.
Cea mai mică valoare întreagă strict mai mare decât 5 este 6 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Două unghiuri ale unui triunghi sunt 35° și 75°. Cât este al treilea?
Vezi rezolvarea
1. Într-un triunghi, unghiurile interioare însumează 180°, iar fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
2. Scădem din 180° măsurile celor două unghiuri cunoscute.
3. 180° − 35° − 75° = 70°.
Răspuns: 70
Exercițiul 2
Pot forma un triunghi segmentele 6, 7 și 12 cm?
Vezi rezolvarea
1. Într-un triunghi, unghiurile interioare însumează 180°, iar fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
2. Este suficient să verificăm că suma celor două laturi mai mici depășește latura cea mai mare.
3. 6 + 7 = 13 > 12, iar celelalte două inegalități sunt evidente.
Răspuns: Da
Exercițiul 3
Pot forma un triunghi segmentele 2, 5 și 8 cm?
Vezi rezolvarea
1. Într-un triunghi, unghiurile interioare însumează 180°, iar fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
2. Comparăm suma laturilor mici cu latura mare; egalitatea nu produce un triunghi.
3. 2 + 5 = 7 < 8, deci condiția nu este îndeplinită.
Răspuns: Nu
Exercițiul 4
Un unghi exterior este 125°. Cât are unghiul interior adiacent?
Vezi rezolvarea
1. Într-un triunghi, unghiurile interioare însumează 180°, iar fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
2. Unghiul exterior și interiorul adiacent au împreună 180°.
3. 180° − 125° = 55°.
Răspuns: 55
Exercițiul 5
Unghiurile unui triunghi sunt 3x, 4x și 5x. Cât este x?
Vezi rezolvarea
1. Adunăm expresiile celor trei unghiuri și egalăm cu 180°.
2. 3x + 4x + 5x = 12x = 180°.
3. x = 15°.
Răspuns: 15
Exercițiul 6
Un triunghi are două unghiuri de 48° și 57°. Cât măsoară al treilea unghi, în grade?
Vezi rezolvarea
1. 48° + 57° = 105°.
2. 180° − 105° = 75°.
3. Al treilea unghi are 75°.
Răspuns: 75
Exercițiul 7
În triunghiul ABC, unghiurile A și B au 50° și 70°. Cât măsoară unghiul exterior din C, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Unghiurile neadiacente cu exteriorul din C sunt A și B.
2. 50° + 70° = 120°.
3. Unghiul exterior are 120°.
Răspuns: 120
Exercițiul 8
Pot forma un triunghi segmentele de 4 cm, 4 cm și 9 cm?
Vezi rezolvarea
1. Verificăm cea mai lungă latură: 9.
2. 4 + 4 = 8, iar 8 < 9.
3. Segmentele nu se pot închide într-un triunghi.
Răspuns: Nu, pentru că 4 + 4 < 9
Exercițiul 9
Un triunghi isoscel are unghiul din vârf de 50°. Cât măsoară un unghi exterior de la bază, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Unghiurile de la bază au (180° − 50°) : 2 = 65°.
2. Exteriorul și interiorul adiacent sunt suplementare.
3. 180° − 65° = 115°.
Răspuns: 115
Exercițiul 10
Unghiurile unui triunghi sunt x, 2x și 3x. Cât măsoară unghiul cel mai mare, în grade?
Vezi rezolvarea
1. x + 2x + 3x = 180°.
2. 6x = 180°, deci x = 30°.
3. Cel mai mare unghi are 3 × 30° = 90°.
Răspuns: 90
Exercițiul 11
Un unghi exterior al unui triunghi are 110°, iar unul dintre unghiurile interioare neadiacente are 45°. Cât are celălalt unghi interior neadiacent, în grade?
Vezi rezolvarea
1. 110° = 45° + x.
2. x = 110° − 45°.
3. x = 65°.
Răspuns: 65
Exercițiul 12
Două laturi ale unui triunghi au 3 cm și 8 cm. Care este cea mai mică lungime întreagă, în cm, pe care o poate avea a treia latură?
Vezi rezolvarea
1. 8 trebuie să fie mai mic decât 3 + c, deci c > 5.
2. Cel mai mic număr întreg mai mare decât 5 este 6.
3. Verificare: 3 + 6 = 9 > 8, deci 3, 6, 8 formează triunghi.
Răspuns: 6

Fișă de consolidare din material (19)

1. Dificultate redusă
Într-un triunghi, două unghiuri au 35° și 75°. Calculează unghiul exterior corespunzător celui de-al treilea vârf.
Vezi răspunsul
Al treilea unghi are 180° − 35° − 75° = 70°, iar unghiul exterior 180° − 70° = 110° (= 35° + 75°).
2. Dificultate redusă
Pot forma un triunghi segmentele de 6 cm, 7 cm și 12 cm? Verifică inegalitatea triunghiulară.
Vezi răspunsul
Da: 6 + 7 = 13 > 12 (celelalte inegalități sunt evidente).
3. Dificultate redusă
Pot forma un triunghi segmentele de 2 cm, 5 cm și 8 cm? Verifică inegalitatea triunghiulară.
Vezi răspunsul
Nu: 2 + 5 = 7 < 8.
4. Dificultate redusă
Un unghi exterior al unui triunghi este 125°. Ce relație are acesta cu unghiul interior adiacent lui, din același vârf?
Vezi răspunsul
Sunt suplementare: unghiul interior are 180° − 125° = 55°.
5. Dificultate redusă
Explică, cu propriile cuvinte, de ce suma a două laturi ale unui triunghi trebuie să fie mai mare decât a treia latură.
Vezi răspunsul
Drumul cel mai scurt dintre două vârfuri este latura dintre ele. Dacă mergi prin al treilea vârf, drumul este mai lung, deci suma celorlalte două laturi este mai mare.
6. Dificultate medie
Într-un triunghi, unghiul exterior dintr-un vârf este 115°, iar unul dintre celelalte două unghiuri interioare este 45°. Calculează măsura celui de-al treilea unghi interior.
Vezi răspunsul
70°: unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente, deci 115° − 45° = 70°.
7. Dificultate medie
Verifică dacă segmentele 5 cm, 5 cm și 10 cm pot forma un triunghi. Ce observi în legătură cu suma primelor două laturi?
Vezi răspunsul
Nu: 5 + 5 = 10 nu este mai mare decât 10; segmentele s-ar așeza pe aceeași dreaptă.
8. Dificultate medie
Un triunghi are laturile exprimate ca x, x + 3 și 12. Pentru ce valori ale lui x segmentele pot forma un triunghi?
Vezi răspunsul
x + (x + 3) > 12, deci x > 4,5 (celelalte două inegalități sunt adevărate pentru orice x pozitiv).
9. Dificultate medie
Într-un triunghi MNP, printr-un vârf M se duce o dreaptă paralelă cu latura [NP]. Dacă m(∢N) = 50°, ce măsură are unghiul format de paralelă cu latura [MN], știind că este alternă internă cu ∢N?
Vezi răspunsul
50° (unghiurile alterne interne sunt congruente)
10. Dificultate medie
Un unghi exterior al unui triunghi este de 4 ori mai mare decât unghiul interior adiacent lui. Află măsurile celor două unghiuri.
Vezi răspunsul
Interiorul are 36°, exteriorul 144° (x + 4x = 180°).
11. Dificultate ridicată
Într-un triunghi, unghiurile interioare sunt exprimate ca 3x, 4x și 5x. Calculează măsura fiecărui unghi, apoi calculează măsura unghiului exterior corespunzător celui mai mic unghi interior.
Vezi răspunsul
3x + 4x + 5x = 180°, deci x = 15°: unghiurile au 45°, 60°, 75°. Exteriorul celui de 45° are 135°.
12. Dificultate ridicată
Laturile unui triunghi isoscel sunt 10 cm, 10 cm și x cm (baza). Determină, folosind inegalitatea triunghiulară, între ce valori poate fi cuprinsă lungimea bazei x.
Vezi răspunsul
0 < x < 20 (10 + 10 > x)
13. Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, unghiul exterior din vârful M este 150°, iar m(∢N) este cu 30° mai mare decât m(∢P). Află măsurile unghiurilor ∢N și ∢P.
Vezi răspunsul
m(∢N) + m(∢P) = 150° și m(∢N) = m(∢P) + 30°, deci m(∢P) = 60° și m(∢N) = 90°.
14. Dificultate ridicată
Un triunghi are perimetrul 30 cm. Una dintre laturi are 12 cm. Determină, folosind inegalitatea triunghiulară, ce condiții trebuie să îndeplinească celelalte două laturi.
Vezi răspunsul
Celelalte două laturi au suma 30 − 12 = 18 cm, iar fiecare trebuie să fie strict între 3 cm și 15 cm.
15. Dificultate ridicată
Într-un triunghi, unghiul exterior dintr-un vârf este cu 60° mai mare decât unghiul interior din același vârf, iar celelalte două unghiuri ale triunghiului sunt egale între ele. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri interioare ale triunghiului.
Vezi răspunsul
Interiorul și exteriorul din același vârf fac 180°, iar exteriorul e cu 60° mai mare: interiorul are 60°. Celelalte două sunt egale, (180° − 60°) : 2 = 60°. Toate unghiurile au 60°.
17. Excelență
Trei segmente au lungimile 2x − 1, x + 4 și 3x, unde x este un număr natural. Determină toate valorile posibile ale lui x, mai mici decât 10, pentru care segmentele pot forma un triunghi.
Vezi răspunsul
x ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: condiția care contează este (2x − 1) + 3x > x + 4, adică x > 1,25.
18. Excelență
Un triunghi ABC are unghiul exterior din A egal cu suma unghiurilor B și C (conform teoremei), iar acest unghi exterior este de 2 ori mai mare decât unghiul interior din A. Află măsurile tuturor unghiurilor triunghiului.
Vezi răspunsul
m(∢A) = 60° (exteriorul are 120°, iar 60° + 120° = 180°) și m(∢B) + m(∢C) = 120°. Din aceste date, ∢B și ∢C nu se pot afla separat.
19. Excelență
Se dă un triunghi cu laturile a, a + 2 și a + 4 (numere consecutive pare sau impare, în funcție de a). Determină cea mai mică valoare naturală a lui a pentru care aceste trei segmente pot forma un triunghi, aplicând inegalitatea triunghiulară.
Vezi răspunsul
a = 3: trebuie a + (a + 2) > a + 4, adică a > 2 (laturile 3, 5, 7).
20. Excelență
Într-un triunghi, unghiul exterior corespunzător celui mai mare unghi interior este 100°. Diferența dintre celelalte două unghiuri interioare ale triunghiului este 20°. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri interioare ale triunghiului.
Vezi răspunsul
80°, 60° și 40°: cel mai mare unghi are 180° − 100° = 80°, iar celelalte două au suma 100° și diferența 20°.