Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
△

Teorie înainte de exerciții

Triunghiuri

Pe lângă suma unghiurilor interioare, folosim teorema unghiului exterior și inegalitatea triunghiulară pentru a decide dacă trei segmente pot forma un triunghi.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABC
Triunghiul ABC are trei laturi și trei unghiuri interioare. Suma unghiurilor este 180°. Marcajele A, B, C identifică vârfurile; desenul este o schemă, nu înlocuiește datele problemei.
1

Suma unghiurilor și unghiuri date prin expresii

În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interioare este 180°. De aceea, dacă știi două unghiuri, al treilea se află scăzând din 180°.

Când unghiurile sunt date prin expresii — de exemplu 3x, 4x și 5x — scrii că suma lor este 180°, reduci termenii asemenea și afli necunoscuta.

Pentru 3x + 4x + 5x = 180° obții 12x = 180°, deci x = 15°, iar unghiurile sunt 45°, 60° și 75°.

m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°
3x + 4x + 5x = 180° ⇒ x = 15°
  • Verifică la final: suma unghiurilor găsite trebuie să dea exact 180°.
  • Cel mai mare unghi se află în fața celei mai lungi laturi.

Exemplu rezolvat

Unghiurile unui triunghi sunt x, 2x și 3x. Cât măsoară unghiul cel mai mare?

  1. 1.Scriem suma: x + 2x + 3x = 180°, deci 6x = 180°.
  2. 2.Împărțim la 6: x = 30°.
  3. 3.Cel mai mare unghi este 3x = 90°, deci triunghiul este dreptunghic.
2

Unghiul exterior al unui triunghi

Un unghi exterior se formează prelungind o latură dincolo de un vârf. El este adiacent suplementar cu unghiul interior din același vârf, deci suma lor este 180°.

Teorema unghiului exterior spune că măsura unui unghi exterior este egală cu suma celorlalte două unghiuri interioare, cele neadiacente lui.

Demonstrația este scurtă: unghiurile interioare însumează 180°, iar unghiul exterior din C este 180° − m(∢C), adică exact m(∢A) + m(∢B).

exterior la C = m(∢A) + m(∢B)
exterior + interior adiacent = 180°
  • Unghiul exterior este întotdeauna mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente.
  • Din unghiul exterior poți afla imediat unghiul interior din același vârf, scăzând din 180°.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, unghiurile A și B au 50° și 70°. Cât măsoară unghiul exterior din C?

  1. 1.Teorema unghiului exterior spune că el este suma unghiurilor neadiacente.
  2. 2.Adunăm: 50° + 70° = 120°.
  3. 3.Verificare: unghiul interior din C are 60°, iar 60° + 120° = 180°.
3

Inegalitatea triunghiulară

Pentru ca trei segmente să formeze un triunghi, suma lungimilor oricăror două dintre ele trebuie să fie mai mare decât lungimea celei de-a treia: a + b > c, a + c > b și b + c > a.

Practic, verifici doar latura cea mai lungă: dacă suma celorlalte două o depășește, condiția este îndeplinită. Segmentele de 4, 5 și 8 cm formează triunghi, fiindcă 4 + 5 = 9 > 8.

Segmentele de 2, 3 și 7 cm nu formează triunghi: 2 + 3 = 5, mai puțin decât 7, deci capetele nu se întâlnesc.

De aici rezultă și în ce interval poate fi a treia latură: ea este mai mare decât diferența celorlalte două și mai mică decât suma lor.

a + b > c, a + c > b, b + c > a
|a − b| < c < a + b
  • E de ajuns să verifici latura cea mai mare.
  • Dacă suma este exact egală cu a treia latură, punctele sunt coliniare, deci nu există triunghi.

Exemplu rezolvat

Două laturi ale unui triunghi au 3 cm și 8 cm. Care este cea mai mică lungime întreagă posibilă pentru a treia latură?

  1. 1.A treia latură trebuie să fie mai mare decât diferența: 8 − 3 = 5 cm.
  2. 2.Trebuie totodată să fie mai mică decât suma: 8 + 3 = 11 cm.
  3. 3.Cea mai mică valoare întreagă strict mai mare decât 5 este 6 cm.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Într-un triunghi, două unghiuri au 35° și 75°. Calculează unghiul exterior corespunzător celui de-al treilea vârf.

    Vezi răspunsul

    Al treilea unghi are 180° − 35° − 75° = 70°, iar unghiul exterior 180° − 70° = 110° (= 35° + 75°).

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Pot forma un triunghi segmentele de 6 cm, 7 cm și 12 cm? Verifică inegalitatea triunghiulară.

    Vezi răspunsul

    Da: 6 + 7 = 13 > 12 (celelalte inegalități sunt evidente).

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Pot forma un triunghi segmentele de 2 cm, 5 cm și 8 cm? Verifică inegalitatea triunghiulară.

    Vezi răspunsul

    Nu: 2 + 5 = 7 < 8.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Un unghi exterior al unui triunghi este 125°. Ce relație are acesta cu unghiul interior adiacent lui, din același vârf?

    Vezi răspunsul

    Sunt suplementare: unghiul interior are 180° − 125° = 55°.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Explică, cu propriile cuvinte, de ce suma a două laturi ale unui triunghi trebuie să fie mai mare decât a treia latură.

    Vezi răspunsul

    Drumul cel mai scurt dintre două vârfuri este latura dintre ele. Dacă mergi prin al treilea vârf, drumul este mai lung, deci suma celorlalte două laturi este mai mare.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Într-un triunghi, unghiul exterior dintr-un vârf este 115°, iar unul dintre celelalte două unghiuri interioare este 45°. Calculează măsura celui de-al treilea unghi interior.

    Vezi răspunsul

    70°: unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente, deci 115° − 45° = 70°.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Verifică dacă segmentele 5 cm, 5 cm și 10 cm pot forma un triunghi. Ce observi în legătură cu suma primelor două laturi?

    Vezi răspunsul

    Nu: 5 + 5 = 10 nu este mai mare decât 10; segmentele s-ar așeza pe aceeași dreaptă.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Un triunghi are laturile exprimate ca x, x + 3 și 12. Pentru ce valori ale lui x segmentele pot forma un triunghi?

    Vezi răspunsul

    x + (x + 3) > 12, deci x > 4,5 (celelalte două inegalități sunt adevărate pentru orice x pozitiv).

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Într-un triunghi MNP, printr-un vârf M se duce o dreaptă paralelă cu latura [NP]. Dacă m(∢N) = 50°, ce măsură are unghiul format de paralelă cu latura [MN], știind că este alternă internă cu ∢N?

    Vezi răspunsul

    50° (unghiurile alterne interne sunt congruente)

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Un unghi exterior al unui triunghi este de 4 ori mai mare decât unghiul interior adiacent lui. Află măsurile celor două unghiuri.

    Vezi răspunsul

    Interiorul are 36°, exteriorul 144° (x + 4x = 180°).

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Într-un triunghi, unghiurile interioare sunt exprimate ca 3x, 4x și 5x. Calculează măsura fiecărui unghi, apoi calculează măsura unghiului exterior corespunzător celui mai mic unghi interior.

    Vezi răspunsul

    3x + 4x + 5x = 180°, deci x = 15°: unghiurile au 45°, 60°, 75°. Exteriorul celui de 45° are 135°.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Laturile unui triunghi isoscel sunt 10 cm, 10 cm și x cm (baza). Determină, folosind inegalitatea triunghiulară, între ce valori poate fi cuprinsă lungimea bazei x.

    Vezi răspunsul

    0 < x < 20 (10 + 10 > x)

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Într-un triunghi MNP, unghiul exterior din vârful M este 150°, iar m(∢N) este cu 30° mai mare decât m(∢P). Află măsurile unghiurilor ∢N și ∢P.

    Vezi răspunsul

    m(∢N) + m(∢P) = 150° și m(∢N) = m(∢P) + 30°, deci m(∢P) = 60° și m(∢N) = 90°.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un triunghi are perimetrul 30 cm. Una dintre laturi are 12 cm. Determină, folosind inegalitatea triunghiulară, ce condiții trebuie să îndeplinească celelalte două laturi.

    Vezi răspunsul

    Celelalte două laturi au suma 30 − 12 = 18 cm, iar fiecare trebuie să fie strict între 3 cm și 15 cm.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Într-un triunghi, unghiul exterior dintr-un vârf este cu 60° mai mare decât unghiul interior din același vârf, iar celelalte două unghiuri ale triunghiului sunt egale între ele. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri interioare ale triunghiului.

    Vezi răspunsul

    Interiorul și exteriorul din același vârf fac 180°, iar exteriorul e cu 60° mai mare: interiorul are 60°. Celelalte două sunt egale, (180° − 60°) : 2 = 60°. Toate unghiurile au 60°.

  16. Ex. 17Excelență

    Trei segmente au lungimile 2x − 1, x + 4 și 3x, unde x este un număr natural. Determină toate valorile posibile ale lui x, mai mici decât 10, pentru care segmentele pot forma un triunghi.

    Vezi răspunsul

    x ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: condiția care contează este (2x − 1) + 3x > x + 4, adică x > 1,25.

  17. Ex. 18Excelență

    Un triunghi ABC are unghiul exterior din A egal cu suma unghiurilor B și C (conform teoremei), iar acest unghi exterior este de 2 ori mai mare decât unghiul interior din A. Află măsurile tuturor unghiurilor triunghiului.

    Vezi răspunsul

    m(∢A) = 60° (exteriorul are 120°, iar 60° + 120° = 180°) și m(∢B) + m(∢C) = 120°. Din aceste date, ∢B și ∢C nu se pot afla separat.

  18. Ex. 19Excelență

    Se dă un triunghi cu laturile a, a + 2 și a + 4 (numere consecutive pare sau impare, în funcție de a). Determină cea mai mică valoare naturală a lui a pentru care aceste trei segmente pot forma un triunghi, aplicând inegalitatea triunghiulară.

    Vezi răspunsul

    a = 3: trebuie a + (a + 2) > a + 4, adică a > 2 (laturile 3, 5, 7).

  19. Ex. 20Excelență

    Într-un triunghi, unghiul exterior corespunzător celui mai mare unghi interior este 100°. Diferența dintre celelalte două unghiuri interioare ale triunghiului este 20°. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri interioare ale triunghiului.

    Vezi răspunsul

    80°, 60° și 40°: cel mai mare unghi are 180° − 100° = 80°, iar celelalte două au suma 100° și diferența 20°.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.