Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă se suprapun perfect. Nu trebuie să măsurăm toate elementele: cazurile LUL, ULU și LLL oferă criterii suficiente.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Triunghiurile ABC și DEF sunt copii de aceeași mărime. Corespondența este A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Laturii AB îi corespunde DE, iar laturii BC îi corespunde EF.

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile respectiv egale și toate unghiurile respectiv egale, adică dacă se suprapun perfect. Se scrie △ABC ≡ △MNP.

Ordinea literelor din notație este esențială: ea arată ce element îi corespunde fiecărui element. Din △ABC ≡ △MNP rezultă AB = MN, BC = NP, CA = PM și m(∢A) = m(∢M), m(∢B) = m(∢N), m(∢C) = m(∢P).

Prima literă îi corespunde primei litere, a doua celei de-a doua și așa mai departe — de aceea latura AC îi corespunde laturii MP, nu alteia.

△ABC ≡ △MNP

AB = MN, BC = NP, CA = PM

Citește notația ca pe o listă de perechi: A cu M, B cu N, C cu P.
Congruent înseamnă „identic ca formă și mărime”, nu doar „asemănător”.

Exemplu rezolvat

Dacă △ABC ≡ △DEF și BC = 7 cm, cât este EF?

1.Din notație, B îi corespunde lui E, iar C îi corespunde lui F.
2.Deci latura BC îi corespunde laturii EF.
3.Laturile corespunzătoare sunt egale, deci EF = 7 cm.

Cazul de congruență LUL

Nu e nevoie să verifici toate cele șase elemente: trei perechi bine alese sunt de ajuns. Primul caz este LUL — latură, unghi, latură.

Dacă două laturi și unghiul cuprins între ele dintr-un triunghi sunt respectiv egale cu două laturi și unghiul cuprins între ele din alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cuvântul „cuprins” este cheia: unghiul trebuie să fie exact între cele două laturi. Dacă unghiul dat nu este între laturile date, cazul LUL nu se poate aplica.

AB = MN, ∢A = ∢M, AC = MP ⇒ △ABC ≡ △MNP

unghiul A este cuprins între AB și AC

Verifică întotdeauna dacă unghiul stă între cele două laturi date.
Ordinea literelor din caz îți spune poziția elementelor: L-U-L.

Exemplu rezolvat

În △ABC și △DEF avem AB = DE, BC = EF și ∢A = ∢D. Putem aplica LUL?

1.Laturile date sunt AB și BC, iar unghiul dintre ele este unghiul B.
2.Unghiul dat însă este A, care nu este cuprins între AB și BC.
3.Deci nu putem aplica LUL cu aceste date.

Cazurile ULU și LLL

Cazul ULU — unghi, latură, unghi: dacă o latură și cele două unghiuri alăturate ei sunt respectiv egale cu o latură și unghiurile alăturate ei din alt triunghi, triunghiurile sunt congruente.

Cazul LLL — latură, latură, latură: dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv egale cu laturile altui triunghi, triunghiurile sunt congruente. Aici nu mai trebuie verificat niciun unghi.

Atenție: trei unghiuri egale nu garantează congruența. Două triunghiuri pot avea exact aceleași unghiuri, dar mărimi diferite — atunci sunt asemenea, nu congruente.

ULU: ∢A = ∢M, AB = MN, ∢B = ∢N

LLL: AB = MN, BC = NP, CA = PM

La ULU, latura trebuie să fie între cele două unghiuri.
„UUU” nu este caz de congruență: triunghiurile pot avea mărimi diferite.

Exemplu rezolvat

Două triunghiuri au toate unghiurile respectiv egale. Sunt sigur congruente?

1.Unghiurile egale fixează forma triunghiului, nu și mărimea lui.
2.Un triunghi cu laturi de două ori mai mari are exact aceleași unghiuri.
3.Deci nu sunt neapărat congruente; avem nevoie de cel puțin o latură egală.

Elementele corespunzătoare

Odată ce congruența a fost demonstrată prin unul dintre cele trei cazuri, toate celelalte elemente corespunzătoare devin automat egale, fără să mai fie nevoie de verificări.

Dacă ai folosit LUL cu AB, ∢A și AC, rezultă imediat și că BC = NP, ∢B = ∢N și ∢C = ∢P.

De aici rezultă și că două triunghiuri congruente au același perimetru și aceeași arie.

△ABC ≡ △DEF ⇒ toate elementele corespunzătoare sunt egale

perimetre egale

Congruența se demonstrează cu trei elemente și se folosește pentru toate celelalte.
Perimetrul se calculează adunând cele trei laturi, oricare dintre cele două triunghiuri.

Exemplu rezolvat

△ABC ≡ △DEF, cu AB = 5 cm, BC = 7 cm și DF = 9 cm. Află perimetrul triunghiului ABC.

1.Din congruență, laturii DF îi corespunde latura AC, deci AC = 9 cm.
2.Adunăm cele trei laturi: 5 + 7 + 9.
3.Perimetrul este 21 cm, același pentru ambele triunghiuri.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Se dă △MNP ≡ △XYZ. Scrie toate perechile de laturi corespunzătoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[MN] ≡ [XY], [NP] ≡ [YZ], [MP] ≡ [XZ].
Ex. 2Dificultate redusă
Se dă △MNP ≡ △XYZ. Scrie toate perechile de unghiuri corespunzătoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∢M ≡ ∢X, ∢N ≡ ∢Y, ∢P ≡ ∢Z.
Ex. 3Dificultate redusă
Ce caz de congruență se aplică dacă se cunosc două unghiuri și latura cuprinsă între ele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ULU (unghi–latură–unghi)
Ex. 4Dificultate redusă
Ce caz de congruență se aplică dacă se cunosc toate cele trei laturi ale două triunghiuri?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
LLL (latură–latură–latură)
Ex. 5Dificultate redusă
Se dă △ABC ≡ △DEF, cu BC = 7 cm. Cât este EF?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
EF = BC = 7 cm
Ex. 6Dificultate medie
Se dau triunghiurile MNP și XYZ, cu MN = XY, MP = XZ, m(∢M) = m(∢X). Ce caz de congruență se aplică? Ce concluzie putem trage?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
LUL: laturile MN, MP și unghiul dintre ele. Triunghiurile sunt congruente, deci NP = YZ, ∢N ≡ ∢Y și ∢P ≡ ∢Z.
Ex. 7Dificultate medie
Se dau triunghiurile MNP și XYZ, cu m(∢M) = m(∢X), m(∢N) = m(∢Y), MN = XY. Ce caz de congruență se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ULU: latura MN este cuprinsă între unghiurile M și N.
Ex. 8Dificultate medie
Se dă △ABC ≡ △DEF, cu m(∢A) = 55°, m(∢B) = 70°. Calculează m(∢C), apoi precizează m(∢F).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢C) = 180° − 55° − 70° = 55°, iar m(∢F) = m(∢C) = 55°.
Ex. 9Dificultate medie
Două triunghiuri au toate laturile respectiv egale: 6 cm, 8 cm, 10 cm, pentru ambele. Sunt cele două triunghiuri congruente? Ce caz se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, prin cazul LLL.
Ex. 10Dificultate medie
Se dă △ABC ≡ △MNP, cu AB = 9 cm, BC = 7 cm, AC = 11 cm. Calculează perimetrul triunghiului MNP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 7 + 11 = 27 cm
Ex. 11Dificultate ridicată
Se dau triunghiurile isoscele MNP (cu MN = MP) și XYZ (cu XY = XZ), astfel încât MN = XY, iar m(∢M) = m(∢X). Demonstrează, folosind cazul LUL, că cele două triunghiuri sunt congruente, apoi precizează ce alte elemente devin automat egale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MN = XY, m(∢M) = m(∢X) și MP = MN = XY = XZ, deci △MNP ≡ △XYZ (LUL). Rezultă NP = YZ, ∢N ≡ ∢Y și ∢P ≡ ∢Z.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă un triunghi MNP, iar Q este mijlocul segmentului [NP]. Se știe că MN = MP (triunghi isoscel) și că [MQ] este comun celor două triunghiuri formate, MNQ și MPQ. Explică, folosind cazul LLL, de ce △MNQ ≡ △MPQ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MN = MP (triunghi isoscel), NQ = QP (Q e mijlocul lui [NP]) și [MQ] este latură comună. Cele trei laturi sunt respectiv egale, deci △MNQ ≡ △MPQ (LLL).
Ex. 13Dificultate ridicată
Se dau două triunghiuri dreptunghice, cu catetele respectiv egale: 5 cm și 12 cm, pentru ambele triunghiuri. Sunt cele două triunghiuri congruente? Ce caz de congruență se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: catetele de 5 cm și 12 cm și unghiul drept dintre ele dau cazul LUL (catetă–catetă).
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă △ABC ≡ △DEF. Perimetrul triunghiului ABC este 33 cm, iar AB = 10 cm, BC = 12 cm. Calculează lungimea laturii DF, apoi calculează perimetrul triunghiului DEF.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = 33 − 10 − 12 = 11 cm, deci DF = 11 cm; perimetrul lui DEF este tot 33 cm.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau triunghiurile MNP și STU, cu MN = ST, m(∢M) = m(∢S), m(∢N) = m(∢T). Explică de ce acest caz este ULU, apoi precizează ce concluzie tragem despre NP și TU.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura MN este cuprinsă între unghiurile M și N, iar ST între S și T: acesta este cazul ULU. Triunghiurile sunt congruente, deci NP = TU.
Ex. 16Excelență
Se dă un patrulater ABCD, în care diagonala [AC] împarte patrulaterul în triunghiurile ABC și ACD. Se știe că AB = AD, CB = CD, iar [AC] este latură comună. Demonstrează, folosind cazul LLL, că △ABC ≡ △ACD, apoi precizează ce relație rezultă între unghiurile ∢B și ∢D.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = AD, CB = CD și [AC] comună, deci △ABC ≡ △ADC (LLL). Rezultă ∢B ≡ ∢D.
Ex. 17Excelență
Se dau triunghiurile ABC și DEF, cu AB = DE = 7 cm, BC = EF = 9 cm, iar m(∢B) = 55° și m(∢E) = 55°. Verifică dacă este îndeplinit cazul LUL, apoi calculează perimetrul triunghiului DEF, știind că AC = 10 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: AB = DE, ∢B ≡ ∢E, BC = EF (LUL). Atunci DF = AC = 10 cm, iar perimetrul lui DEF este 7 + 9 + 10 = 26 cm.
Ex. 18Excelență
Într-un triunghi isoscel ABC (cu AB = AC), bisectoarea unghiului din vârful A intersectează latura [BC] în punctul D. Explică, folosind congruența triunghiurilor ABD și ACD (cazul LUL, cu AD latură comună), de ce BD = DC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = AC, ∢BAD ≡ ∢CAD (AD este bisectoare) și [AD] comună, deci △ABD ≡ △ACD (LUL). Laturile corespunzătoare sunt egale: BD = DC.
Ex. 19Excelență
Se dau două triunghiuri dreptunghice congruente, cu ipotenuzele de 13 cm și o catetă comună de 5 cm. Calculează lungimea celeilalte catete (folosind teorema lui Pitagora, dacă o cunoști din alte surse, sau prin încercare, testând numere naturale), apoi calculează perimetrul unui singur triunghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cealaltă catetă are 12 cm (13² − 5² = 169 − 25 = 144 = 12²); perimetrul: 5 + 12 + 13 = 30 cm.
Ex. 20Excelență
Se dă un triunghi echilateral ABC, împărțit prin cele trei mediane (segmentele care unesc fiecare vârf cu mijlocul laturii opuse) în 6 triunghiuri mai mici. Explică, folosind proprietățile de simetrie ale triunghiului echilateral, de ce toate cele 6 triunghiuri mici sunt congruente între ele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În triunghiul echilateral medianele sunt și înălțimi și bisectoare și se întâlnesc în centrul O. Fiecare triunghi mic are o jumătate de latură, segmentul de la vârf la O și segmentul de la O la mijlocul laturii, cu unghi drept la mijloc. Toate au aceleași trei laturi, deci sunt congruente (LLL).