Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

≡

Încărcăm partea curentă…

Congruența triunghiurilor

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile respectiv egale și toate unghiurile respectiv egale, adică dacă se suprapun perfect. Se scrie △ABC ≡ △MNP.

Ordinea literelor din notație este esențială: ea arată ce element îi corespunde fiecărui element. Din △ABC ≡ △MNP rezultă AB = MN, BC = NP, CA = PM și m(∢A) = m(∢M), m(∢B) = m(∢N), m(∢C) = m(∢P).

Prima literă îi corespunde primei litere, a doua celei de-a doua și așa mai departe — de aceea latura AC îi corespunde laturii MP, nu alteia.

De ținut minte

△ABC ≡ △MNP

AB = MN, BC = NP, CA = PM

Citește notația ca pe o listă de perechi: A cu M, B cu N, C cu P.
Congruent înseamnă „identic ca formă și mărime”, nu doar „asemănător”.

Exemplu rezolvat · alte date

△PQR ≡ △XYZ și PQ = 11 cm. Află XY.

1Ordinea dă P ↔ X, Q ↔ Y, R ↔ Z.
2Laturii PQ îi corespunde XY.
3Congruența păstrează lungimile: XY = 11 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Congruența triunghiurilor: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două triunghiuri sunt congruente dacă se suprapun perfect. Nu trebuie să măsurăm toate elementele: cazurile LUL, ULU și LLL oferă criterii suficiente.

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile respectiv egale și toate unghiurile respectiv egale, adică dacă se suprapun perfect. Se scrie △ABC ≡ △MNP.

Prima literă îi corespunde primei litere, a doua celei de-a doua și așa mai departe — de aceea latura AC îi corespunde laturii MP, nu alteia.

△ABC ≡ △MNP
AB = MN, BC = NP, CA = PM

Citește notația ca pe o listă de perechi: A cu M, B cu N, C cu P.
Congruent înseamnă „identic ca formă și mărime”, nu doar „asemănător”.

Exemplu rezolvat · alte date

△PQR ≡ △XYZ și PQ = 11 cm. Află XY.

Ordinea dă P ↔ X, Q ↔ Y, R ↔ Z.
Laturii PQ îi corespunde XY.
Congruența păstrează lungimile: XY = 11 cm.

Cazul de congruență LUL

Nu e nevoie să verifici toate cele șase elemente: trei perechi bine alese sunt de ajuns. Primul caz este LUL — latură, unghi, latură.

Dacă două laturi și unghiul cuprins între ele dintr-un triunghi sunt respectiv egale cu două laturi și unghiul cuprins între ele din alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cuvântul „cuprins” este cheia: unghiul trebuie să fie exact între cele două laturi. Dacă unghiul dat nu este între laturile date, cazul LUL nu se poate aplica.

AB = MN, ∢A = ∢M, AC = MP ⇒ △ABC ≡ △MNP
unghiul A este cuprins între AB și AC

Verifică întotdeauna dacă unghiul stă între cele două laturi date.
Ordinea literelor din caz îți spune poziția elementelor: L-U-L.

Exemplu rezolvat

În △ABC și △DEF avem AB = DE, BC = EF și ∢A = ∢D. Putem aplica LUL?

Laturile date sunt AB și BC, iar unghiul dintre ele este unghiul B.
Unghiul dat însă este A, care nu este cuprins între AB și BC.
Deci nu putem aplica LUL cu aceste date.

Cazurile ULU și LLL

Cazul ULU — unghi, latură, unghi: dacă o latură și cele două unghiuri alăturate ei sunt respectiv egale cu o latură și unghiurile alăturate ei din alt triunghi, triunghiurile sunt congruente.

Cazul LLL — latură, latură, latură: dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv egale cu laturile altui triunghi, triunghiurile sunt congruente. Aici nu mai trebuie verificat niciun unghi.

Atenție: trei unghiuri egale nu garantează congruența. Două triunghiuri pot avea exact aceleași unghiuri, dar mărimi diferite — atunci sunt asemenea, nu congruente.

ULU: ∢A = ∢M, AB = MN, ∢B = ∢N
LLL: AB = MN, BC = NP, CA = PM

La ULU, latura trebuie să fie între cele două unghiuri.
„UUU” nu este caz de congruență: triunghiurile pot avea mărimi diferite.

Exemplu rezolvat · alte date

Două triunghiuri au laturile 3, 4, 5 și respectiv 6, 8, 10. Sunt congruente?

Laturile corespunzătoare sunt proporționale cu raport 2.
Congruența ar cere lungimi egale, nu doar proporționale.
Nu sunt congruente; sunt asemenea, al doilea fiind mai mare.

Elementele corespunzătoare

Odată ce congruența a fost demonstrată prin unul dintre cele trei cazuri, toate celelalte elemente corespunzătoare devin automat egale, fără să mai fie nevoie de verificări.

Dacă ai folosit LUL cu AB, ∢A și AC, rezultă imediat și că BC = NP, ∢B = ∢N și ∢C = ∢P.

De aici rezultă și că două triunghiuri congruente au același perimetru și aceeași arie.

△ABC ≡ △DEF ⇒ toate elementele corespunzătoare sunt egale
perimetre egale

Congruența se demonstrează cu trei elemente și se folosește pentru toate celelalte.
Perimetrul se calculează adunând cele trei laturi, oricare dintre cele două triunghiuri.

Exemplu rezolvat

△ABC ≡ △DEF, cu AB = 5 cm, BC = 7 cm și DF = 9 cm. Află perimetrul triunghiului ABC.

Din congruență, laturii DF îi corespunde latura AC, deci AC = 9 cm.
Adunăm cele trei laturi: 5 + 7 + 9.
Perimetrul este 21 cm, același pentru ambele triunghiuri.

Cum scrii o demonstrație cu triunghiuri congruente

La „Arată că” sau „Demonstrează că”, rezultatul este deja scris în enunț. Punctele nu vin din rezultat, ci din pașii care duc la el, de aceea o demonstrație se scrie într-o ordine fixă.

Ipoteza este ce ți se dă. Concluzia este ce trebuie arătat. Demonstrația este lanțul de pași, iar lângă fiecare afirmație scrii motivul ei: „din ipoteză”, „unghiuri opuse la vârf”, „latură comună”, „O este mijlocul lui AB”.

Ca să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt egale, cauți două triunghiuri care le conțin, arăți că triunghiurile sunt congruente printr-un caz (LUL, ULU sau LLL) și închei: „elemente corespunzătoare în triunghiuri congruente”.

Ipoteză: ce se dă · Concluzie: ce se cere · Demonstrație: pașii, fiecare cu motivul lui
3 perechi de elemente egale ⇒ caz de congruență ⇒ elementele corespunzătoare sunt egale

Scrie lângă fiecare egalitate de unde știi că este adevărată.
Numește cazul de congruență folosit; fără el, pasul nu se punctează.

Exemplu rezolvat

Segmentele AB și CD se intersectează în O, care este mijlocul fiecăruia. Arată că AC = BD.

Ipoteză: O este mijlocul lui AB și mijlocul lui CD. Concluzie: AC = BD.
În triunghiurile AOC și BOD: AO = BO, pentru că O este mijlocul lui AB.
∢AOC = ∢BOD, fiind unghiuri opuse la vârf, și CO = DO, pentru că O este mijlocul lui CD.
Din cazul LUL, △AOC ≡ △BOD, deci AC = BD, laturi corespunzătoare în triunghiuri congruente.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce caz folosește trei perechi de laturi egale?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiurile congruente au laturi și unghiuri corespunzătoare egale; ordinea vârfurilor indică perechile.
2. Identificăm informațiile: sunt cunoscute toate cele trei perechi de laturi.
3. LLL înseamnă Latură–Latură–Latură.
Răspuns: LLL
Exercițiul 2
Două laturi și unghiul cuprins sunt egale. Ce caz aplici?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiurile congruente au laturi și unghiuri corespunzătoare egale; ordinea vârfurilor indică perechile.
2. Unghiul folosit trebuie să fie între cele două laturi cunoscute.
3. Criteriul este Latură–Unghi–Latură.
Răspuns: LUL
Exercițiul 3
Dacă △ABC ≡ △DEF și BC = 7 cm, cât este EF?
Vezi rezolvarea
1. În ordinea ABC și DEF, B se asociază cu E și C cu F.
2. B corespunde lui E, iar C lui F, deci BC corespunde lui EF.
3. EF = 7 cm.
Răspuns: 7
Exercițiul 4
În △ABC ≡ △MNP, latura AC corespunde cu...
Vezi rezolvarea
1. Triunghiurile congruente au laturi și unghiuri corespunzătoare egale; ordinea vârfurilor indică perechile.
2. Urmărim ambele capete ale laturii AC în corespondența ABC ↔ MNP.
3. Capetele A și C corespund lui M și P.
Răspuns: MP
Exercițiul 5
Două triunghiuri congruente au laturile 6, 8 și 10 cm. Care este perimetrul fiecăruia?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiurile congruente au laturi și unghiuri corespunzătoare egale; ordinea vârfurilor indică perechile.
2. Perimetrul se obține adunând cele trei laturi; congruența păstrează aceste lungimi.
3. 6 + 8 + 10 = 24 cm.
Răspuns: 24
Exercițiul 6
O latură și cele două unghiuri alăturate ei sunt respectiv egale. Ce caz aplici?
Vezi rezolvarea
1. Unghi, latură, unghi.
2. Latura este cuprinsă între cele două unghiuri.
3. Cazul este ULU.
Răspuns: ULU
Exercițiul 7
Dacă △ABC ≡ △DEF, unghiul B este egal cu:
Vezi rezolvarea
1. A corespunde cu D.
2. B corespunde cu E.
3. C corespunde cu F, deci ∠B = ∠E.
Răspuns: unghiul E
Exercițiul 8
△ABC ≡ △MNP și unghiul A are 40°. Cât măsoară unghiul M, în grade?
Vezi rezolvarea
1. A corespunde cu M.
2. Unghiurile corespunzătoare sunt egale.
3. Unghiul M are 40°.
Răspuns: 40
Exercițiul 9
Două triunghiuri au toate unghiurile respectiv egale. Sunt sigur congruente?
Vezi rezolvarea
1. Un triunghi echilateral cu latura 2 cm și unul cu latura 5 cm au unghiurile de 60°.
2. Laturile lor sunt diferite.
3. Nu există cazul UUU: ne trebuie și o latură.
Răspuns: Nu, pot avea mărimi diferite
Exercițiul 10
În △ABC și △DEF avem AB = DE, AC = DF și ∠A = ∠D. Ce caz aplici?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul A este format de laturile AB și AC.
2. Deci unghiul este cuprins între laturile egale.
3. Cazul este LUL.
Răspuns: LUL
Exercițiul 11
În △ABC și △DEF avem AB = DE, BC = EF și ∠A = ∠D. Putem aplica LUL?
Vezi rezolvarea
1. Laturile AB și BC se întâlnesc în B.
2. Unghiul dat este A, nu B.
3. Pentru LUL ne-ar trebui ∠B = ∠E.
Răspuns: Nu, unghiul nu este cuprins între cele două laturi
Exercițiul 12
△ABC ≡ △DEF, AB = 5 cm, BC = 7 cm și DF = 9 cm. Află perimetrul triunghiului ABC, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. AC corespunde cu DF, deci AC = 9 cm.
2. P = AB + BC + AC = 5 + 7 + 9.
3. P = 21 cm.
Răspuns: 21
Exercițiul 13
Într-o demonstrație, ce scrii la „Ipoteză”?
Vezi rezolvarea
1. Ipoteza conține tot ce ți se dă în enunț.
2. Ce trebuie demonstrat se scrie la „Concluzie”.
3. Cazul de congruență apare în demonstrație, ca motiv al unui pas.
Răspuns: datele din enunț
Exercițiul 14
Triunghiurile ABD și CBD au AB = CB și AD = CD. Ce a treia pereche completează cazul LLL?
Vezi rezolvarea
1. LLL cere trei perechi de laturi egale.
2. Două perechi sunt date în ipoteză: AB = CB și AD = CD.
3. A treia este latura BD, comună celor două triunghiuri.
Răspuns: BD = BD, latură comună
Exercițiul 15
Triunghiul ABC are AB = AC, iar M este mijlocul laturii BC. Arată că ∢AMB = ∢AMC.
Vezi rezolvarea
1. Ipoteză: AB = AC, M mijlocul lui BC. Concluzie: ∢AMB = ∢AMC.
2. În △ABM și △ACM: AB = AC din ipoteză, BM = CM pentru că M este mijlocul lui BC, iar AM este latură comună.
3. Din cazul LLL, △ABM ≡ △ACM, deci ∢AMB = ∢AMC, unghiuri corespunzătoare în triunghiuri congruente.
Exercițiul 16
Segmentele AD și BC se intersectează în O, iar OA = OD și OB = OC. Arată că AB ∥ CD.
Vezi rezolvarea
1. Ipoteză: AD ∩ BC = {O}, OA = OD, OB = OC. Concluzie: AB ∥ CD.
2. În △AOB și △DOC: OA = OD și OB = OC din ipoteză, iar ∢AOB = ∢DOC, opuse la vârf; din LUL, △AOB ≡ △DOC, deci ∢OAB = ∢ODC.
3. ∢BAD = ∢CDA sunt unghiuri alterne interne formate de dreptele AB și CD cu secanta AD, deci AB ∥ CD.

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Se dă △MNP ≡ △XYZ. Scrie toate perechile de laturi corespunzătoare.
Vezi răspunsul
[MN] ≡ [XY], [NP] ≡ [YZ], [MP] ≡ [XZ].
2. Dificultate redusă
Se dă △MNP ≡ △XYZ. Scrie toate perechile de unghiuri corespunzătoare.
Vezi răspunsul
∢M ≡ ∢X, ∢N ≡ ∢Y, ∢P ≡ ∢Z.
3. Dificultate redusă
Ce caz de congruență se aplică dacă se cunosc două unghiuri și latura cuprinsă între ele?
Vezi răspunsul
ULU (unghi–latură–unghi)
4. Dificultate redusă
Ce caz de congruență se aplică dacă se cunosc toate cele trei laturi ale două triunghiuri?
Vezi răspunsul
LLL (latură–latură–latură)
5. Dificultate redusă
Se dă △ABC ≡ △DEF, cu BC = 7 cm. Cât este EF?
Vezi răspunsul
EF = BC = 7 cm
6. Dificultate medie
Se dau triunghiurile MNP și XYZ, cu MN = XY, MP = XZ, m(∢M) = m(∢X). Ce caz de congruență se aplică? Ce concluzie putem trage?
Vezi răspunsul
LUL: laturile MN, MP și unghiul dintre ele. Triunghiurile sunt congruente, deci NP = YZ, ∢N ≡ ∢Y și ∢P ≡ ∢Z.
7. Dificultate medie
Se dau triunghiurile MNP și XYZ, cu m(∢M) = m(∢X), m(∢N) = m(∢Y), MN = XY. Ce caz de congruență se aplică?
Vezi răspunsul
ULU: latura MN este cuprinsă între unghiurile M și N.
8. Dificultate medie
Se dă △ABC ≡ △DEF, cu m(∢A) = 55°, m(∢B) = 70°. Calculează m(∢C), apoi precizează m(∢F).
Vezi răspunsul
m(∢C) = 180° − 55° − 70° = 55°, iar m(∢F) = m(∢C) = 55°.
9. Dificultate medie
Două triunghiuri au toate laturile respectiv egale: 6 cm, 8 cm, 10 cm, pentru ambele. Sunt cele două triunghiuri congruente? Ce caz se aplică?
Vezi răspunsul
Da, prin cazul LLL.
10. Dificultate medie
Se dă △ABC ≡ △MNP, cu AB = 9 cm, BC = 7 cm, AC = 11 cm. Calculează perimetrul triunghiului MNP.
Vezi răspunsul
9 + 7 + 11 = 27 cm
11. Dificultate ridicată
Se dau triunghiurile isoscele MNP (cu MN = MP) și XYZ (cu XY = XZ), astfel încât MN = XY, iar m(∢M) = m(∢X). Demonstrează, folosind cazul LUL, că cele două triunghiuri sunt congruente, apoi precizează ce alte elemente devin automat egale.
Vezi răspunsul
MN = XY, m(∢M) = m(∢X) și MP = MN = XY = XZ, deci △MNP ≡ △XYZ (LUL). Rezultă NP = YZ, ∢N ≡ ∢Y și ∢P ≡ ∢Z.
12. Dificultate ridicată
Se dă un triunghi MNP, iar Q este mijlocul segmentului [NP]. Se știe că MN = MP (triunghi isoscel) și că [MQ] este comun celor două triunghiuri formate, MNQ și MPQ. Explică, folosind cazul LLL, de ce △MNQ ≡ △MPQ.
Vezi răspunsul
MN = MP (triunghi isoscel), NQ = QP (Q e mijlocul lui [NP]) și [MQ] este latură comună. Cele trei laturi sunt respectiv egale, deci △MNQ ≡ △MPQ (LLL).
13. Dificultate ridicată
Se dau două triunghiuri dreptunghice, cu catetele respectiv egale: 5 cm și 12 cm, pentru ambele triunghiuri. Sunt cele două triunghiuri congruente? Ce caz de congruență se aplică?
Vezi răspunsul
Da: catetele de 5 cm și 12 cm și unghiul drept dintre ele dau cazul LUL (catetă–catetă).
14. Dificultate ridicată
Se dă △ABC ≡ △DEF. Perimetrul triunghiului ABC este 33 cm, iar AB = 10 cm, BC = 12 cm. Calculează lungimea laturii DF, apoi calculează perimetrul triunghiului DEF.
Vezi răspunsul
AC = 33 − 10 − 12 = 11 cm, deci DF = 11 cm; perimetrul lui DEF este tot 33 cm.
15. Dificultate ridicată
Se dau triunghiurile MNP și STU, cu MN = ST, m(∢M) = m(∢S), m(∢N) = m(∢T). Explică de ce acest caz este ULU, apoi precizează ce concluzie tragem despre NP și TU.
Vezi răspunsul
Latura MN este cuprinsă între unghiurile M și N, iar ST între S și T: acesta este cazul ULU. Triunghiurile sunt congruente, deci NP = TU.
16. Excelență
Se dă un patrulater ABCD, în care diagonala [AC] împarte patrulaterul în triunghiurile ABC și ACD. Se știe că AB = AD, CB = CD, iar [AC] este latură comună. Demonstrează, folosind cazul LLL, că △ABC ≡ △ACD, apoi precizează ce relație rezultă între unghiurile ∢B și ∢D.
Vezi răspunsul
AB = AD, CB = CD și [AC] comună, deci △ABC ≡ △ADC (LLL). Rezultă ∢B ≡ ∢D.
17. Excelență
Se dau triunghiurile ABC și DEF, cu AB = DE = 7 cm, BC = EF = 9 cm, iar m(∢B) = 55° și m(∢E) = 55°. Verifică dacă este îndeplinit cazul LUL, apoi calculează perimetrul triunghiului DEF, știind că AC = 10 cm.
Vezi răspunsul
Da: AB = DE, ∢B ≡ ∢E, BC = EF (LUL). Atunci DF = AC = 10 cm, iar perimetrul lui DEF este 7 + 9 + 10 = 26 cm.
18. Excelență
Într-un triunghi isoscel ABC (cu AB = AC), bisectoarea unghiului din vârful A intersectează latura [BC] în punctul D. Explică, folosind congruența triunghiurilor ABD și ACD (cazul LUL, cu AD latură comună), de ce BD = DC.
Vezi răspunsul
AB = AC, ∢BAD ≡ ∢CAD (AD este bisectoare) și [AD] comună, deci △ABD ≡ △ACD (LUL). Laturile corespunzătoare sunt egale: BD = DC.
19. Excelență
Se dau două triunghiuri dreptunghice congruente, cu ipotenuzele de 13 cm și o catetă comună de 5 cm. Calculează lungimea celeilalte catete (folosind teorema lui Pitagora, dacă o cunoști din alte surse, sau prin încercare, testând numere naturale), apoi calculează perimetrul unui singur triunghi.
Vezi răspunsul
Cealaltă catetă are 12 cm (13² − 5² = 169 − 25 = 144 = 12²); perimetrul: 5 + 12 + 13 = 30 cm.
20. Excelență
Se dă un triunghi echilateral ABC, împărțit prin cele trei mediane (segmentele care unesc fiecare vârf cu mijlocul laturii opuse) în 6 triunghiuri mai mici. Explică, folosind proprietățile de simetrie ale triunghiului echilateral, de ce toate cele 6 triunghiuri mici sunt congruente între ele.
Vezi răspunsul
În triunghiul echilateral medianele sunt și înălțimi și bisectoare și se întâlnesc în centrul O. Fiecare triunghi mic are o jumătate de latură, segmentul de la vârf la O și segmentul de la O la mijlocul laturii, cu unghi drept la mijloc. Toate au aceleași trei laturi, deci sunt congruente (LLL).